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A2017 – PHYSIQUE II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II - PC L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Physique II, année 2017 — filière PC Voyage au cœur du Soleil Ce sujet traite de quelques phénomènes remarquables concernant le Soleil, et aborde différentes manières d’étudier notre étoile, de sa surface à son centre. Les trois parties sont indépendantes les unes des autres. La première concerne les manifestations en surface de l’activité magnétique du Soleil, que l’on peut voir sur des clichés pris par des satellites en orbite autour de notre étoile. La seconde partie s’intéresse aux pulsations solaires, observées pour la première fois dans les années 60, et qui permettent aujourd’hui de connaitre la structure interne du Soleil. Enfin, la troisième partie propose un modèle simplifié permettant d’estimer les conditions physiques régnant au centre de notre étoile. Le Soleil est décrit comme une sphère en équilibre hydrostatique, constituée de plasma (gaz ionisé) localement neutre. Sauf mention contraire, on néglige la rotation de l’étoile sur elle- mˆeme, ce qui permet de traiter un problème à symétrie sphérique. Le symbole ⊙ désigne les quantités se rapportant au Soleil dans son ensemble. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d’une flèche, par exemple ⃗B pour le champ magnétique ; sauf s’ils sont unitaires et seront alors surmontés d’un chapeau, par exemple ur tel que ∥ ur∥ = 1. Les applications numériques seront des ordres de grandeurs comportant au maximum deux chiffres significatifs. Des données numériques et un formulaire sont rassemblés en fin d’énoncé. I. — La surface du Soleil 1 — Le flux radiatif surfacique à la surface du Soleil, considéré comme un corps noir, est donné par la loi de Stéfan φ = σT 4 ou σ est la constante de Stéfan-Boltzmann et T la température de sa surface. On définit la luminosité d’une étoile comme la quantité d’énergie qu’elle rayonne par seconde. Déterminer l’expression de la luminosité L⊙ du Soleil et calculer sa valeur numérique. En réalité, la luminosité du Soleil n’est pas uniforme : on observe des taches sombres à sa surface qui sont liées à son activité magnétique (figure 1). En particulier, ces taches sont souvent situées à la base de boucles magnétiques, dites boucles coronales, qui sont la conséquence directe de la torsion du champ magnétique par la dynamo solaire. Pour interpréter l’existence de ces taches et boucles, on adopte le modèle suivant : • A l’échelle d’une tache, la surface du Soleil est localement plate. Elle est assimilée au plan (xOy) sur la figure 1. • On se place à la surface du Soleil, dans un système de coordonnées cylindriques (r,θ,z). On note ( ur, uθ, uz) la base locale associée. La géométrie correspondante est représentée sur la partie centrale de la figure 1. • Sur une portion de surface petite devant les dimensions du Soleil et aux échelles de temps considérées, le champ magnétique est supposé stationnaire et de la forme ⃗B = B(r) uz, avec B (r) > 0. On précise que B décroit depuis l’axe vers la périphérie. • On suppose que le plasma solaire n’est composé que d’ions H+ et d’électrons libres. On assimile ce plasma à un gaz parfait dont on note T la température et p la pression. On suppose sa masse volumique ρs uniforme au voisinage de la surface. I.A. — Les taches solaires 2 — On considère un volume élementaire dτ supposé neutre du plasma solaire constitué de N sortes de particules élémentaires de charges q1, · · · , qN, en nombre n1, · · · , nN par unité de volume et de vitesses ⃗v1, · · · ,⃗vN. Donner l’expression de la densité volumique de courant ⃗j puis celle de la résultante des forces électromagnétiques d⃗F en fonction de ⃗j, ⃗B et dτ. En déduire que l’on peut écrire cette résultante sous la forme d⃗F = − ⃗ grad(ϵ)dτ dans laquelle on précisera l’expression de ϵ. Page 1/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC b b b Tube de champ Tache solaire Figure 1 – A gauche : Cliché d’une tache solaire pris par la sonde Hinode en 2006. Au centre : géométrie adoptée pour la modélisation des tubes et des taches. A droite : Cliché d’une boucle magnétique pris par le téléscope TRACE, en orbite autour du Soleil depuis 1998. 3 — Montrer que la grandeur p + 1 2µ0B2 est uniforme si on reste proche de la surface du Soleil. A la surface du Soleil, mais à l’extérieur d’une tache solaire, la valeur de la pression est pext = 1,3 bar et celle de la température Text = Ts, le champ magnétique est quant à lui négligeable. Ce n’est plus le cas au centre d’une tache solaire ou la valeur du champ magnétique est Bint = 0,5 T. Calculer la pression pint et la température Tint au centre d’une tache solaire. 4 — Calculer la valeur du rapport du flux radiatif d’une tache solaire sur celui d’une zone normale. Commenter ce résultat. I.B. — Les boucles magnétiques Les taches solaires sont dues à l’émergence de tubes de champ magnétique dans l’atmosphère solaire. On considère ici un tube de champ magnétique en forme de cylindre de révolution d’axe (O, uz) et de rayon R. Ce tube est représenté sur la partie centrale de la figure 1. 5 — On admet que B (r) est une fonction décroissante. Justifier le fait que le tube de champ a tendance à se dilater sous le seul effet du champ magnétique ⃗B. 6 — En fait, le tube de champ est également parcouru par un courant électrique provenant de l’intérieur du Soleil et dont la densité est de la forme ⃗jt = jt(r) uz. En supposant que la longueur du tube est grande devant son rayon, déterminer l’expression du champ magnétique ⃗Bt créé par ⃗jt en fonction de µ0, r et de l’intensité I(r) du courant traversant un disque de rayon r. En déduire l’expression de la force de Laplace d⃗Ft correspondante exercée sur un élément de volume dτ du tube, en fonction de I(r), de sa dérivée et des autres grandeurs du problème. En admettant que I(r) est une fonction positive et croissante, quel est l’effet du champ magnétique ⃗Bt sur le tube de champ ? 7 — On se place maintenant dans la situation réelle en superposant les deux champs magnétiques régnant dans le tube ⃗Btot = ⃗B + ⃗Bt. Etablir une condition portant sur les com- posantes du champ et de la densité de courant, traduisant l’équilibre du tube de champ. En déduire que dans un tube de champ à l’équilibre, la densité de courant est colinéaire au champ magnétique. 8 — On constate sur les clichés du Soleil (partie droite de la figure 1) que les tubes de champ ont tendance à former des boucles, en connectant deux points de la surface du Soleil. Ce que l’on voit sur la photo est en fait le rayonnement des particules chargées présentes dans la boucle et dont la vitesse varie le long de celle-ci. Quelle hypothèse de l’énoncé faudrait-il modifier pour rendre compte de ce phénomène ? FIN DE LA PARTIE I Page 2/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC II. — Modes de vibration des étoiles De nos jours, il est possible d’aller plus loin que l’observation de la surface du Soleil. Grˆace à des techniques proches de la sismologie terrestre, on peut étudier la structure interne du So- leil, on parle d’héliosismologie. On propose dans cette partie de découvrir deux types d’ondes mécaniques pouvant se propager dans notre étoile. L’étude de leurs propriétés permet notam- ment de remonter au profil de rotation interne du Soleil mais ce point ne sera pas abordé. II.A. — Ondes acoustiques dans un fluide à une dimension On veut étudier la propagation du son dans un tuyau de section constante, d’axe (O, ux). Au repos, le fluide présent dans le tuyau est caractérisé par une pression uniforme p0, une masse volumique uniforme ρ0 et un champ de vitesses nulles. On rappelle qu’une onde sonore est une perturbation par rapport à cet état d’équilibre, et on notera p1, ρ1 et v1 les valeurs des pression, masse volumique et vitesse associées à cette perturbation. Le coefficient de compressibilité isentropique du fluide au repos est défini par χS = 1 ρ0 dρ dP S. 9 — Etablir l’équation de propagation vérifiée par la pression p1 à partir de trois équations locales à linéariser. Vous nommerez et expliciterez les approximations et/ou hypothèses réalisées. En déduire l’expression de la célérité c de l’onde acoustique en fonction de χS et de ρ0. 10 — On se place à présent dans le cas d’un tuyau fermé en x = 0 et ouvert en x = L. Justi- fier que ces conditions aux limites imposent v1(0,t) = 0 et p1(L,t) = 0. Justifier ensuite que l’on peut chercher les solutions de l’équation précédente sous la forme p1(x,t) = p0 cos(ωt) cos(kx+φ) et en déduire l’expression de v1. Etablir la relation de dispersion de ces ondes, puis déterminer l’expression des fréquences propres fn, pour n ∈ N. Calculer l’écart ∆f entre deux fréquences propres consécutives. Que pouvez-vous en dire ? 11 — Représenter les modes n = 1 et n = 2 sur un schéma montrant les ondes de pression et de vitesse, dans deux couleurs (ou styles de traits) différentes. II.B. — Ondes mécaniques dans une étoile Les étoiles, et en particulier le Soleil, sont également le siège de phénomènes oscillants, induisant des variations mesurables de leur luminosité et de leur rayon. Nous admettons que des ondes se propagent dans les étoiles, excitées par divers processus que nous n’étudierons pas ici. La géométrie du problème est à présent en 3 dimensions et nous utiliserons donc les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ). De la mˆeme fa¸con qu’à une dimension, on peut écrire les équations linéarisées de l’hydrodynamique, obtenir une équation d’onde et, en cherchant des solutions séparables en temps et en espace, montrer que le déplacement radial ξr d’une particule de fluide dans l’étoile est solution de l’équation d2ξr dr2 + ω2 c2 1 − (2πN)2 ω2 1 − (2πSℓ)2 ω2 k2r ξr = 0 ou ω est une pulsation que l’on supposera indépendante de r, c(r) est la célérité des ondes sonores dans l’étoile. Enfin, les quantités Sℓ(r) et N(r) sont deux fréquences intervenant dans ce genre de problèmes : Sℓ(r) = ℓ(ℓ + 1)c2 r2 Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC est la fréquence de Lamb pour ℓ ∈ N et N(r) = g 1 γp0 ∂p0 ∂r − 1 ρ0 ∂ρ0 ∂r est la fréquence de Brunt-V¨ais¨al¨a ou γ est l’indice adiabatique du gaz (plasma) constituant l’étoile et g le champ gravitationnel. On généralise la notion de vecteur d’onde à 3 dimensions en notant sa norme k(r) = k2 r + k2 h, ou kr(r) est la norme du vecteur d’onde vertical et kh(r) = 2π√ ℓ(ℓ+1) r celle du vecteur d’onde horizontal. 1 5 20 100 = = = = [ Hz ] / ¯ Figure 2 – Profils de la fréquence de Brunt-V¨ais¨al¨a (trait continu) et de la fréquence de Lamb (pointillés) dans le Soleil. Tiré de Christensen-Dalsgaard, 2011, Lecture notes in physics. 12 — On se place dans un pre- mier temps dans le régime des hau- tes fréquences dans lequel ω ≫ 2πN. Simplifier l’expression de kr et mon- trer que l’on retrouve la relation de dispersion correspondant aux ondes acoustiques de la sous-partie II.A. Etablir la condition d’existence d’on- des acoustiques harmoniques radia- les selon le signe de k2 r. En exploi- tant la figure 2, déterminer l’inter- valle [r1,r2] des rayons de l’étoile dans lequel une onde harmonique de fréquence f = 1 mHz et de degré ℓ = 5 peut exister. Les frontières r1 et r2 de cette zone de propagation définissent des condi- tions aux limites sur le déplacement radial et la pression du fluide dans l’étoile. Il se forme alors des modes de résonance, appelés modes p, créés par la surperposition d’ondes acoustiques progressives. Ces modes sont caractérisés par une condition de résonance qui impose r2 r1 krdr = π(n + αp), αp étant une constante et n un entier naturel. 13 — Dans le cas ou ω ≫ 2πSℓ et ω ≫ 2πN, exprimer la fréquence fn,p des modes p en fonction de n, αp et d’une intégrale β que l’on exprimera mais que l’on ne cherchera pas à calculer. Déterminer l’écart entre deux fréquences consécutives et commenter. Quelle critique peut-on faire concernant la validité de cette approximation ? 14 — On s’intéresse maintenant au régime des basses fréquences, dans lequel pour chaque entier ℓ on a ω ≪ 2πSℓ. Etablir la condition d’existence d’ondes harmoniques radiales dans cette situation. En exploitant la figure 2, discuter de la région du Soleil dans laquelle elles peuvent exister en fonction de leur fréquence. Ces ondes sont appelées ≪ ondes de gravité ≫. En établissant un bilan des forces sur un élément de fluide à cet endroit de l’étoile, proposer une explication du mécanisme à l’origine de ces ondes. Tout comme pour les modes p, les ondes de gravité qui existent dans la région r ∈ [r3,r4] peuvent entrer en résonance si r4 r3 krdr = π(n + αg) ou αg est une constante et n un entier naturel. La superposition d’ondes acoustiques progressives forme alors des modes g. 15 — Dans le cas des très basses fréquences ω ≪ 2πN, montrer que ces modes g ne sont plus espacés régulièrement en fréquence mais qu’une autre grandeur est régulière. Laquelle ? Page 4/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC 16 — D’une manière générale, les ondes acoustiques sont-elles longitudinales ou transver- sales ? On justifiera sa réponse par une explication qualitative basée sur un schéma si nécessaire. 17 — Dans le cadre du Soleil à symétrie sphérique, la vitesse de groupe est un vecteur ⃗vg qui s’exprime sous la forme ⃗vg = ∂ω ∂kr ur + ∂ω ∂kh uθ dans la base locale. En déduire la nature longitudinale ou transversale des ondes de gravité. 10¡2 10¡3 10¡4 10¡5 10¡1 100 101 102 103 104 105 Fréquence [Hz] Puissance spectrale [ m . s . Hz ] 2 -2 -1 Fréquence [ Hz ] 216 218 220 222 2000 3000 4000 Figure 3 – Spectre des oscillations du Soleil obtenu grˆace à l’instrument GOLF entre 1996 et 1998. Les figures de droite détaillent certaines régions du spectre de gauche A l’instar d’une peau de tambour, le Soleil ≪ vibre ≫ selon une combinaison des modes p et g dont il est le siège, et sa luminosité varie en conséquence. Le spectre représenté sur la figure 3 a été obtenu par une analyse spectrale des variations temporelles de la luminosité du Soleil, entre avril 1996 et juin 1998. 18 — Dans quelles bandes spectrales s’attend-on à trouver les modes p d’une part et le mode g d’autre part ? Quels modes sont les plus visibles sur la figure 3 ? Les données expérimentales sont le résultat d’une observation de la surface du soleil, proposer une explication pour cette différence de visibilité. Commenter la cohérence entre les données expérimentales et les résultats théoriques obtenus dans cette partie. FIN DE LA PARTIE II Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC III. — Modèle polytropique du Soleil Nous cherchons dans cette dernière partie à estimer les conditions de température, pression et densité régnant au centre du Soleil, région encore inaccessible à tout moyen d’observation. On utilise à nouveau les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) et on note p(r) la pression, ρ(r) la masse volumique et g(r) le champ gravitationnel à une distance r du centre de l’étoile (à symétrie sphérique). La masse de gaz à l’intérieur d’une sphère de rayon r est notée M(r). 19 — En appliquant le théorème de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M (r). Rappeler l’équation de la statique des fluides que l’on peut écrire pour cette étoile. On suppose que le gaz vérifie une équation d’état dite polytropique, s’écrivant sous la forme p = Kρ1+ 1 n ou K est une constante et n est l’indice polytropique du gaz (plasma) constituant le Soleil. On définit les deux grandeurs adimensionnées Ψ et ξ par ρ = ρcΨn, ou ρc est la densité au centre du Soleil et r = r0ξ ou r0 est un rayon caractéristique. 20 — Vérifier que la pression s’écrit sous la forme p = pcΨn+1, on donnera l’expression de pc en fonction de K, ρc et n. 21 — Etablir la relation dM dr = 4πr2ρ. 22 — Indiquer les valeurs prises par la fonction Ψ au centre et à la surface du Soleil, dont on néglige l’atmosphère. En utilisant les trois questions prédentes montrer que, par un choix astucieux de r0, la fonction Ψ obéit à l’équation différentielle dite de Lane-Emden, 1 ξ2 d dξ ξ2dΨ dξ + Ψn = 0 On déterminera l’expression de r0 en fonction de n, K, G et ρc. L’équation de Lane-Emden peut ˆetre résolue numériquement pour une valeur donnée de l’indice polytropique. On peut donc calculer numériquement son premier zéro ξs, c’est-à-dire la première valeur de ξ ou la fonction Ψ(ξ) s’annule. On peut ensuite calculer numériquement Ψ′ s la valeur de la dérivée de Ψ(ξ) en ξs. 23 — On suppose connus la masse M⊙ = M(ξs) et le rayon R⊙ = r0ξs du Soleil. Montrer que si l’on considère que la masse du Soleil est le produit de son volume par sa masse volumique moyenne ¯ρ, l’équation d’équilibre hydrostatique permet d’obtenir sa masse volumique centrale ρc que l’on exprimera en fonction de ξs, Ψ′ s et ¯ρ. 24 — On modélise le Soleil par un polytrope d’indice n = 10 3 . La résolution de l’équation de Lane-Emden donne ξs = 26 3 et − ξs 3Ψ′s = 7 × 16 = 112. Sachant que dans le cas du Soleil K = 4 × 109 SI, calculer la valeur de ρc, puis en utilisant la figure 4 celle de pc pour le Soleil. 25 — Pour évaluer la température centrale, on suppose maintenant que le plasma solaire est un gaz parfait, constitué de protons, de noyaux d’hélium 4 et d’électrons (on néglige la présence des autres éléments). On considère que la fraction massique d’hélium est Y = 28%. Montrer que la neutralité électrique impose xe = xp +2xHe, ou xp désigne la fraction en nombre de protons, xe celle en électrons et xHe celle en noyaux d’hélium. En déduire que la masse molaire du mélange est donnée par M = 4 8−5Y Mp, en justifiant les éventuelles approximations réalisées. En déduire la température centrale du Soleil selon ce modèle. Le Soleil tire son énergie de deux cycles de réaction : le cycle PP (pour proton-proton) domine si la température centrale est inférieure à 20 MK et le cycle CNO (pour Carbone-Azote-Oxygène) qui domine pour les températures supérieures. 26 — Quelle est la nature de ces réactions ? Quel est le cycle dominant dans le Soleil ? FIN DE LA PARTIE III Page 6/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, année 2017 — filière PC Données • Si un vecteur ⃗A se décompose dans la base cylindrique locale ( ur, uθ, uz) sous la forme ⃗A = Ar ur + Aθ uθ + Az uz, son rotationnel est donné par ⃗rot ⃗A = 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z ur + ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r uθ + 1 r ∂(rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ uz • Dans la base cylindrique locale ( ur, uθ, uz), le gradient d’un champ scalaire ϕ(r,θ,z) s’écrit sous la forme ⃗ gradϕ = ∂ϕ ∂r ur + 1 r ∂ϕ ∂θ uθ + ∂ϕ ∂z uz • Constante des gaz parfaits : R ≃ 25 3 J · mol−1 · K−1 ; • Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4π · 10−7 T · m · A−1 ; • Constante de Stefan-Boltzmann : σ = 6 · 10−8 W · m−2 · K−4 • Constante de gravitation : G = 6,7 · 10−11 m3 · kg−1 · s−2 ; • Masse molaire du proton : Mp = 1,0 · 10−3 kg · mol−1 • Pour le Soleil : — masse : M⊙ = 2 · 1030 kg — rayon : R⊙ = 7 · 108 m — température de surface : Ts = 5,7 · 103 K ≃ 1000 1 4 · 103 K 4 10 £ 7 3 10 £ 7 2 10 £ 7 2 10 £ 7 1 10 £ 7 1 10 £ 5 2 10 £ 5 3 10 £ 5 ( ) 1,3 1,2 9 10 £ 6 1,4 Figure 4 – Représentation graphique des fonctions f(x) = x1,2; x1,3 et x1,4 FIN DE L’ÉPREUVE Page 7/7

Mines PC Physique II Emmanuel Loyer - loyer.cpge@orange.fr 1. L = (4 π R⊙ 2) σ T4 ≃ 4.1026 W. 2. Vecteur densité volumique de courant −→ = N i=1 ni qi −→ vi. Force exercée sur les particules de type i dans le volume dτ : −→ dfi = (ni dτ)qi (−→ vi ∧ −→ B) Force exercée sur l’ensemble des particules : −→ dF = N i=1 −→ dfi = ( N i=1 ni qi −→ vi) ∧ −→ B dτ = −→ ∧ −→ B dτ Équation de Maxwell-Ampère : −→ rot −→ B = µ0 −→ d’ou −→ dF = 1 µ0 (−→ rot −→ B) ∧ −→ B dτ = 1 µ0 −dB dr uθ ∧ (B(r) uz) dτ = −B(r) µ0 dB dr dτ = − d dr B(r)2 2 µ0 ur dτ soit −→ dF = − −−→ grad ε dτ avec ε = B(r)2 2 µ0 3. Dans le plasma à l’équilibre −→ dF + −→ dFpression + −→ dFgravité = −→0 avec −→ dFpression = −(−−→ grad p) dτ et −→ dFgravité = − −−→ grad (µ g0 z) (g0 champ gravitationnel au voisinage de la surface du Soleil ; cette expression n’est vraie qu’au voisi- nage de la surface) ; d’ou −−→ grad (p + ε + µ g0 z) = −→0 ; ainsi p + B2/2µ0 + µ g0 z est uniforme. Si l’on reste proche de la surface du Soleil, µ g0 z en varie quaisment pas et p + B2/2µ0 est uniforme. D’ou pext + Bext 2/2µ0 = pint + Bint 2/2µ0 soit pint = pext − Bint 2/2µ0 = 0,3 bar car on néglige Bext. Équation d’état du gaz parfait ρs = M pint R Tint = M pext R Text d’ou Tint = pint pext Text = 1 − Bint 2 2µ0 pext Ts = 1.103 K 4. On a Φtache solaire Φzone normale = σTint 4 σTint 4 = Tint Ts 4 = 1 − Bint 2 2µ0 pext 4 = 3.10−3 ≪ 1 (La tache est sombre) 5. On a −→ dF = −(−−→ grad ε) dτ = −(B/µ0) (dB/dr) dτ ur ; comme B > 0 et dB/dr < 0, alors −→ dF est selon + ur tend à dilater le tube de champ. 6. Modélisation du tube du champ par un fil infini ; étude des symétries et des invariance + théorème d’Ampère : −→ Bt = µ0 I(r) 2 π r uθ (cours) On a I(r) = r r′=0 jt(r′) 2 π r′ dr′ d’ou dI dr(r) = 2 π r jt(r) et jt(r) = 1 2 π r dI dr(r) Ainsi −−→ dFt = −→ jt ∧ −→ Bt dτ = 1 2 π r dI dr(r) uz ∧ µ0 I(r) 2 π r uθ dτ = − µ0 4 π r2 I(r) dI dr(r) ur dτ Avec I(r) > 0 et I(r) croissant, alors I(r) (dI/r) > 0 et −−→ dFt est selon − ur et tend à contracter le tube de champ. 7. Équilibre du tube de champ : −→ dF + −−→ dFt = −→0 soit (j uθ) ∧ (B uz) + (jt uz) ∧ (Bt uθ) = −→0 et ainsi j B − jt Bt = 0. Or −→ jtot ∧ −−→ Btot = (j uθ + jt uz) ∧ (B uz + Bt uθ) = (j B − jt Bt) ur = −→0 donc −→j tot et −→ B tot sont colinéaires. 8. Il faut tenir compte de la courbure de la surface du Soleil et du fait que le champ magnétique dépend de z. 9. Question de cours ; équations linéarisées dans l’approximation acoustique : ρ0 ∂v1 ∂t = −∂p1 ∂x (Euler) ∂µ1 ∂t + ρ0 ∂v1 ∂x = 0 (continuité) ∂ρ1 ∂t = ρ0 χS ∂p1 ∂t (isentropique) 1 Équation de d’Alembert ∂2p1 ∂x2 − 1 c2 ∂2p1 ∂t2 = 0 avec c = 1 √ρ0 χS 10. Problème de notation dans l’énoncé : p0 désigne la pression uniforme du fluide au repos, et l’amplitude de l’onde acoustique stationnaire ; on note ici P0 la pression uniforme du fluide au repos, et p0 l’amplitude de l’onde acoustique stationnaire. La présence d’une paroi imperméable en x = 0 impose vx(x = 0) = 0 soit v1(0, t) = 0 pour tout t. De plus, comme le tuyau est ouvert en x = L, p(x = L) = P0 soit p1(L, t) = 0 pour tout t. On cherche une solution à variable sépare de l’équation de d’Alembert p1(x, t) = f(x) g(t) ; il vient f ′′(x) f(x) = 1 c2 g′′(t) g(t) = K ou K est une constante ; on se limite à K < 0 et on pose K = −k2 et ω2 = −K c2, soit ω = k c. Il vient f(x) = α cos(k x + φ) et g(t) = β cos(ω t + ϕ) qui correspond au résultat attendu si on prend ϕ = 0 et p0 = α β. L’équation d’Euler linéarisé donne ∂v1 ∂t = − 1 ρ0 ∂p1 ∂x = p0 k ρ0 sin(k x + φ) cos(ω t) qui s’intègre en v1(x, t) = p0 ρ0 c sin(k x + φ) sin(ω t) La condition v1(0, t) = 0 pour tout t permet de choisir φ = 0. La condition p1(L, t) = 0 pour tout t impose cos(k L) = 1 dont on déduit kn = π 2 L + n π L puis fn = c 4 L + n c 2 L On en déduit ∆f = fn+A − fn = c/(2 L) : les fréquences propres sont en progression arithmétique. 11. On trace p1(x, t) et v1(x, t) en fonction de x à un instant t fixé tel que cos(ω t) et sin(ω t) sont positifs. x v1 L O x v1 L O x p1 L O x p1 L O n = 1 n = 2 12. On a k2 = kr 2 + kh 2 = ω2 c2 1 − (2 π N)2 ω2 1 − (2 π Sℓ)2 ω2 + 4 π2 ℓ(ℓ + 1) r2 Si ω ≫ 2 π N k2 ≃ ω2 c2 1 − 4 π2 ℓ(ℓ + 1) c2 ω2 r2 + 4 π2 ℓ(ℓ + 1) r2 = ω2 c2 On retrouve bien la relation de dispersion de la question 10... mais c dépend ici de r ! L’équation différentielle vérifiée par ξ(r) s’écrit d2ξr dr2 + kr 2 ξr = 0 2 Si kr est constant (indépendant de r), alors cette équation admet des solutions harmoniques si et seulement si kr 2 > 0 ; ici, kr dépend de r, on admet que cela n’affecte pas le résultat1. La condition kr 2 > 0 s’écrit (2 π Sℓ/ω)2 < 1 soit f < Sℓ. Pour ℓ = 5 et f = 1 mHz, on lit sur la figure 2 : 0,4 ⩽ r/R⊙ ⩽ 1.0, soit r1 = 0,4 R⊙ et r2 = R⊙. 13. Si ω ≫ 2 π Sℓ et ω ≫ 2 π N, alors kr ≃ ω/c et la condition r2 r1 kr dr = π(n + αp) devient ω r2 r1 dr c(r) = π(n + αp) soit fn,p = n + αp 2 β avec β = r2 r1 dr c(r) Ecart entre deux fréquences conséqutives : ∆f = fn+1,p−fn,p = 1/(2 β) est constant, les fréquences sont en progression arithmétique. Critique ? 14. Si ω ≪ 2 π N, la condition kr 2 > 0 conduit à (1 − (2 π N)2/ω2) > 0 soit f < N. Cette condition n’est possible que pour f < 500 mHz ; si on impose de plus f < S1, alors 0,01 < r/R⊙ < 0,7 soit r3 ≃ 0,01 R⊙ et r4 ≃ 0,7 R⊙. Ces ondes existent dans le Soleil, mais pas au voisinage de sa surface. Explication ? 15. Avec ω ≪ 2 π N et ω ≪ 2 π N il vient kr 2 ≃ ω2 c2 −(2 π N)2 ω2 −(2 π Sℓ)2 ω2 soit kr ≃ 4 π2 N Sℓ ω c La condition r4 r3 kr dr = π(n + αg) devient 4 π2 ω r4 r3 N(r) Sℓ(r) c(r) dr = π(n + αg) soit fn,g = 2 β′ n + αg avec β′ = r4 r3 N(r) Sℓ(r) c(r) dr Les fréquences ne sont pas en progressions arithmétiques mais les périodes le sont : ∆T = Tn+1,g − Tn,g = 1/(2 β′) est constant. 16. Les ondes acoustiques sont de fa¸con générale longitudinales. 17. Le déplacement ξr envisagé ici est radial ; le vecteur d’onde possède une composante radiale kr et une composante qui lui est orthogonale kh (« horizontal ») ; le vecteur d’onde et le déplacement ne sont ni colinéaires ni orthogonaux. L’onde n’est ni longitudinale ni transversale ? Quel rapport avec la vitesse de groupe ? 18. La question 12 invitait à considérer des ondes p de fréquence de l’ordre de 1 mHz ; les modes propres ont des fréquences en progression arithmétique, ce qui est compatible avec les observations entre 2 mHz et 4 mHz. À la question 14, on a montré que la fréquence des ondes g est de l’ordre de 0,1 mHz ; il est difficile d’observer un signal dans cette région du spectre. Les ondes p se propagent jusqu’à la surface du Soleil (r2 = R⊙, question 12) c’est pourquoi elles sont détectables dans les observations faites à la surface du Soleil ; ce n’est pas le cas des ondes g (r2 = 0,7 R⊙, question 14). 19. Symétries et invariances + théorème de Gauss : g(r) = −GM(r)/r2. Équilibre d’un domaine élémentaire de fluide soumis aux forces de pression et au champ de gravité : (− −−→ grad p) dτ + (µ dτ) −→g = −→0 soit −−→ grad p = ρ −→g ou ∂p ∂r (r) = ρ(r) g(r) 20. On a p = Kρ1+1/n et ρ = ρc Ψn d’ou p = K(ρc Ψn)1+1/n = K ρ1+1/n c Ψn+1 soit p = pc Ψn+1 avec pc = K ρ1+1/n c . 21. On raisonne sur une coquille sphérique comprise entre r et r + dr : M(r + dr) − M(r) = ρ(r) dτ avec dτ = 4 π r2 dr d’ou le résultat. On peut aussi dériver la relation M(r) = r 0 ρ(r′) 4 π r′2 dr′. 22. Au centre du Soleil, ρ = ρc dont Ψ = 1 ; à la surface du Soleil, p = 0 (car on néglige l’atmosphère) donc Ψ = 0. Pour arriver à une équation différentielle portant sur Ψ, on commence par éliminer g des équations précédentes : le théorème de Gauss et l’équation de la statique des fluides (question 19) conduisent à 1 ρ(r) dp dr (r) = g(r) = −G M(r) r2 soit M(r) = − r2 G ρ(r) dp dr (r) En dérivant la relation précédente et en utilisant le résultat de la question 21, il vient d dr − r2 G ρ(r) dp dr (r) (r) = 4 π r2 ρ(r) soit 1 4 π G 1 r2 d dr r2 ρ(r) dp dr (r) (r) + ρ(r) = 0 Il ne reste plus qu’à remplacer p et ρ par leur expression en fonction de ξ ; on a d’abord dp dr = pc 1 r0 (n + 1) dΨ dξ Ψn puis r2 ρ(r) dp dr = pc r0 ρc (n + 1) ξ2 dΨ dξ car d dr = 1 r0 d dξ Ensuite 1Voir remarque en fin de corrigé. 3 d dr r2 ρ(r) dp dr = pc ρc (n + 1) d dξ ξ2 dΨ dξ d’ou 1 4 π G 1 r2 d dr r2 ρ(r) dp dr = (n + 1) pc 4 π G ρc r02 1 ξ2 d dξ ξ2 dΨ dξ L’équation vérifiée par ξ s’écrit (n + 1) pc 4 π G ρc2 r02 1 ξ2 d dξ ξ2 dΨ dξ + Ψn = 0 On obtient l’équation de Lane-Emden si l’on pose r0 = (n + 1) pc 4 π G ρc2 = (n + 1) K ρc−1+1/n 4 π G 23. En utilisant les résultats obtenus à la question précédente, il vient M(r) = − r2 G ρ(r) dp dr (r) soit M(ξ) = −pc r0 (n + 1) ρc G ξ2 dΨ dξ (ξ) et donc M⊙ = −pc r0 (n + 1) ρc G ξs 2 Ψ′ s Comme M⊙ = ρ × 4/3 π R⊙ 3 = ρ × 4/3 π (r0 ξs)3, on en déduit ρ = M⊙ 4/3 π (r0 ξs)3 = −3 (n + 1) pc 4 π G ρc2 r02 ρc Ψ′ s ξs = −3 ρc Ψ′ s ξs d’ou ρc = − ξs 3 Ψ′s ρ 24. ρc = 112 ρ = 112 M⊙/(4/3 π R⊙ 3) = 2.105 kg.m−3 ; avec n = 10/3, pc = K ρc1+1/n = K ρc1,3 = 2.1011 bar. 25. Notons respectivement Ne, Np et NHe le nombre total d’électrons, de protons et de noyaux d’hélium. La neutralité du plasma s’écrit Ne (−e) + Np e + NHe (2e) = 0. En divisant par Ntot = Ne + Np + NHe, il vient xe = xp + 2 xHe. La masse molaire du mélange a pour expression M = xe Me + xp Mp + xHe MHe ≃ xp Mp + xHe MHe car Me est très faible devant Mp et MHe ; il reste à exprimer xp et xHe en fonction de Y. Pour cela, on écrit Y = mHe/(me + mp + mHe) ≃ 4 NHe/(Np + 4 NHe) = 4 xHe/(xp + 4 xHe) ; on a négligé la masse les électrons devant celle des protons et des noyaux d’hélium, et on considère de plus qu’un noyau d’hélium est quatre fois plus passif qu’un proton. On en déduis que xe et xp vérifient 4 (1−Y) xe−Y xp = 0. De plus, on a xe+xp+xHe = 1 ; combinée avec la relation issue de la neutralité du plasma, il vient 2 xe+3 xHe = 1. La résolution du système linéaire de deux équations vérifiées par xp et xHe donne xp = 4 (1 − Y)/(8 − 5 Y) et xHe = Y/(8 − 5 Y) dont on déduit M = 4 Mp/(8 − 5 Y) ≃ 6.10−4 kg.mol−1. La loi des gaz parfaits permet de déterminer la température au centre du Soleil : Tc = M pc/R ρc = 7.106 K. 26. Ces réactions sont des réactions nucléaires (qui modifient la structure des noyaux atomiques) ; plus précisément, ce sont des réacions de fusion. En raison de la température, c’est le cycle PP qui domine. Remarque Pour en savoir plus sur les oscillations des étoiles (en lien avec la partie II.B du problème), voir Lectures Notes on Stellar Oscillations de Jorgen Christensen-Dalsgaard (téléchargeable à l’adresse http ://astro.phys.au.dk/ jcd/oscilnotes/) qui montre notament l’existence des solutions harmoniques de la question 12. 4