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SESSION 2017 PSIPC03 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________ PHYSIQUE - CHIMIE Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ 1/14 Les calculatrices sont autorisées Ce sujet est composé de quatre parties, toutes indépendantes. Leurs poids respectifs sont approximativement de 30 %, 15 %, 38 % et 17 %. Des données numériques et mathématiques sont disponibles en fin de sujet. 2/14 Étude d’un actionneur électromécanique La première partie étudie le principe du moteur linéaire synchrone, la seconde concerne son pilotage, la troisième traite de la soudure des connectiques et la quatrième du capteur optique nécessaire à sa commande. Partie I - Principe de l’actionneur électromécanique linéaire synchrone Ce type d’actionneur qui s’affranchit de tout dispositif de transmission mécanique classique est utilisé en robotique. Il est aussi particulièrement bien adapté aux trains à sustentation magnétique comme le SCMaglev japonais (figure 1) qui peut atteindre des vitesses de l’ordre de 600 km/h. Figure 1 - SCMaglev I.1 - Multi-pôle magnétique On considère (figure 2) un circuit magnétique composé de deux plaques de fer supposées infinies et distantes d’un entrefer e. Des conducteurs électriques, de diamètre négligeable, parcourus par des courants d’intensité I sont placés à l’interface fer-air de la plaque inférieure. Ils sont distants d’une longueur L. Deux conducteurs voisins sont parcourus par des courants opposés comme le montre le sens des flèches sur la figure 2. Figure 2 - Circuit magnétique x = 0 z e Fer Air Fer I I I I I x L y Ligne de champ moyenne de longueur 2e dans l’air et lfer dans le fer. 3/14 Le module du champ magnétique n’est pas tout à fait uniforme dans l’actionneur. Son intensité moyenne peut être déterminée par application des théorèmes de l’électromagnétisme sur une ligne de champ particulière appelée : ligne de champ moyenne. Cette ligne de champ moyenne est représentée en pointillés sur la figure 2. D’un point de vue magnétique, le fer sera assimilé à un matériau magnétique doux de perméabilité relative rμ . L’air sera assimilé au vide de perméabilité magnétique 0 μ . De façon générale, on note H  , le champ d’excitation magnétique. On notera respectivement air H  et fer H  les champs d’excitation magnétique dans l’air et dans le fer, air B  et fer B  les champs magnétiques dans l’air et dans le fer. Q1. Préciser les unités de 0 μ et de rμ , ainsi qu’un ordre de grandeur de rμ pour le fer. Q2. Par une analyse des invariances, déterminer de quelle(s) variable(s) de l’espace dépendent les champs B  et H  . Q3. Ecrire, dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, l’équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique. On considère la ligne de champ moyenne, de longueur 2e dans l’air et lfer dans le fer, figure 2. Déterminer, en considérant Hair et Hfer comme uniforme, l’équation liant Hair, Hfer, e, lfer et I. Q4. On a représenté sur la figure 3 un tube de champ magnétique traversant l’entrefer. Figure 3 - Tube de champ magnétique Quelle propriété de B  permet d’affirmer que Bfer = Bair ? Ecrire l’équation de Maxwell qui traduit cette propriété. Dans la suite du problème, cette valeur commune sera notée B. Q5. Rappeler les équations liant d’une part Hair et B, puis d’autre part Hfer et B. En remarquant que fer r l e << µ , déterminer l’expression de B en fonction de e, I et de 0 μ . Dans ce type de moteur, a-t-on intérêt à avoir un entrefer large ou réduit ? Q6. Dans l’entrefer, on a y B B(x)e =   . Tracer l’allure de la fonction B(x). B  Fer Air Fer 4/14 I.2 - Multi-pôle magnétique sinusoïdal La répartition du courant à l’interface inférieure air-fer, n’est pas constituée, par pôle, d’un seul conducteur aller et d’un seul conducteur retour, espacés d’une longueur L, mais d’un ensemble de deux groupements de trois conducteurs aller et de trois conducteurs retour centrés sur les abscisses x = - L/2 et x = L/2, comme le montre la figure 4. Les trois conducteurs d’un même groupement sont équidistants de ∆L < L/4. Figure 4 - Multi-pôle magnétique quasi-sinusoïdal Q7. Tracer, dans ce cas, l’allure graphique de la fonction B(x). Dans toute la suite du problème, on admettra qu’en choisissant bien le nombre et la répartition des conducteurs aller et retour, le champ magnétique dans l’entrefer est de la forme y x B KIcos( )e L π =   où K est une constante positive. I.3 - Onde magnétique plane progressive sinusoïdale On considère maintenant la superposition de deux multi-pôles magnétiques sinusoïdaux décalés spatialement d’une distance de L/2. Ils sont respectivement alimentés par des courants sinusoïdaux, de même amplitude Is et de même pulsation , en quadrature de phase, de sorte que i1t = Is cosωst et i2t = Is sinωst. Le premier multi-pôle crée ainsi dans l’entrefer un champ magnétique 1 1 y x B Ki (t) cos( )e L π =   alors que le second crée un champ magnétique 2 2 y (x L/2) B Ki (t)cos( )e L π − =   . - L/2 ∆L < L/4 L/2 Fer Air Fer y x z 5/14 Q8. Déterminer en fonction de K, Is, L et s ω , l’expression du champ magnétique créé par cette double répartition du courant dans l’entrefer. Dans quel sens et à quelle vitesse, notée sv , se propage cette onde magnétique ? Q9. Que faut-il faire pour inverser le sens de propagation de cette onde magnétique ? Application numérique : dans le cadre d’une application au train à sustentation magnétique, déterminer la valeur de la distance inter-polaire L permettant d’obtenir une vitesse vs = 500 km/h avec une alimentation à la fréquence fs = 100 Hz. I.4 - Actionneur linéaire synchrone L’actionneur linéaire synchrone (figure 5) est constitué : - d’une partie statique, analogue à celle étudiée précédemment, qui crée une onde magnétique sinusoïdale progressive 0 s y B(x,t) B cos( t kx)e = ω −   ; - d’une partie mobile assimilable : • d’un point de vue électrique, à une spire rectangulaire orientée, parcourue par un courant électrique permanent I, imposé par un dispositif extérieur. Elle a pour longueur L = 2a suivant l’axe des x et pour largeur 2b suivant l’axe des z, • d’un point de vue magnétique, à un dipôle de moment y M 2LbIe =   . Figure 5 - Actionneur linéaire synchrone Cette spire est en mouvement supposé rectiligne et considéré comme uniforme à la vitesse x v = v e  . On note x0 la position initiale du centre de la spire qui a donc pour abscisse, à la date t, x(t) = x0 + vt. Q10. La force qui s’exerce sur la spire, à la date t, est de la forme x x F(t) F (t)e =   . On admettra que : xF (t)= centredudipôle B (M. ) x ∂ ∂   . Exprimer Fx(t) en fonction de b, L, I, B0, s ω , k, v, x0 et t. x(t) 2b I z y x 2a Bx,t 6/14 Q11. En faisant une analogie avec vos connaissances sur les machines synchrones, déterminer la valeur de la force F(t)  , maintenant notée F , en fonction de b, L, I , B0, k et x0. Exprimer en fonction de k, la valeur de x0 pour laquelle la composante xF de cette force est maximale. Partie II - Pilotage de l’actionneur synchrone Le principe de l’autopilotage de l’actionneur synchrone consiste à mesurer, à l’aide d’un codeur optique par exemple, la position de la partie mobile de l’actionneur. On alimente alors les conducteurs de la partie statique par un onduleur de tension. Sa commande, dictée par la sortie des boucles de contrôle des courants, permet d’asservir 1i (t) et 2i (t), en fréquence et en phase, de façon à garantir la condition de synchronisme ainsi qu’une force F maximale. II.1 - Alimentation par onduleur de tension L’alimentation des deux phases de l’actionneur fait appel à une source de tension continue U et à deux onduleurs. On note : K1a, K1b, K1c et K1d les quatre interrupteurs électroniques de l’onduleur de tension qui alimente la phase 1 de la partie statique de l’actionneur (figure 6). On donne la loi de commande de l’onduleur de la phase 1 sur une période T : K1a et K1d sont fermés sur l’intervalle de temps T 0, 2       , K1b et K1c sont fermés sur l’intervalle de temps T ,T 2       . Figure 6 - Onduleur alimentant la phase 1 Q12. Représenter graphiquement l’allure de la tension u1(t) sur une période T de fonctionnement de l’onduleur. U Phase 1 de l’actionneur K1a K1c K1b K1d u1(t) 7/14 Q13. La structure de l’onduleur de tension qui alimente la phase 2 de l’actionneur (figure 7) est analogue à la précédente. Figure 7 - Onduleur alimentant la phase 2 En gardant la même horloge pour les deux onduleurs, décrire les séquences d’ouverture-fermeture des interrupteurs K2a, K2b, K2c et K2d : - d’une part, lorsque la partie mobile de l’actionneur se translate dans le sens des x > 0 ; - d’autre part, lorsque la partie mobile de l’actionneur se translate dans le sens des x < 0. II.2 - Onduleur à commande décalée Les tensions u1(t) et u2(t) présentent un contenu harmonique. Bien que filtrés par les impédances de l’actionneur, les courants i1(t) et i2(t) ne sont donc pas rigoureusement sinusoïdaux. L’onde magnétique n’est plus monochromatique. Il s’ensuit des composantes harmoniques, dans le spectre de la force F, à l’origine de vibrations de l’actionneur. Par une modélisation prenant compte les premières composantes en fréquence, on a 1 1 s 1 3 s 3 5 s 5 2 1 s 1 3 s 3 5 s 5 i (t) I cos( t ) I cos(3 t ) I cos(5 t ) i (t) I sin( t ) I sin(3 t ) I sin(5 t ) = ω + ϕ − ω + ϕ + ω + ϕ   = ω + ϕ + ω + ϕ + ω + ϕ  avec I1 > I3 > I5. L’onde magnétique est alors de la forme : [ ] 1 s 1 3 s 3 5 s 5 y B(x,t) K I cos( t kx ) I cos(3 t kx ) I cos(5 t kx ) e = ω − + ϕ − ω + + ϕ + ω − + ϕ   . Q14. Déterminer l’expression de la force F(t) à la vitesse vs de synchronisme. Quelle est la fréquence de la première vibration de F(t) ? Pour atténuer ce comportement vibratoire, on a recours généralement à un onduleur à modulation de largeurs d’impulsions ou à des onduleurs avec une loi de commande décalée des interrupteurs. U Phase 2 de l’actionneur K2a K2c K2b K2d u2(t) 8/14 La loi de commande de l’onduleur de la phase 1, sur une période T, est alors la suivante : K1d est fermé sur l’intervalle de temps : T T T , 2 2 2 α α   − −     , K1a est fermé sur l’intervalle de temps : T T T , 2 2 2 α α   +     , K1b est fermé sur l’intervalle de temps : T T T ,T 2 2 2 α α   − −     , K1c est fermé sur l’intervalle de temps : T T T ,T 2 2 2 α α   + +     . Q15. Représenter graphiquement, avec une valeur de 0,1 α ≈ , l’allure de la tension u1(t) sur une période T de fonctionnement de l’onduleur. Quelle valeur de α préconisez-vous pour atténuer fortement le comportement vibratoire de l’actionneur ? Partie III - Soudure de la connectique Une grande partie de la connectique, que ce soit pour l’assemblage initial ou pour la maintenance, est encore assurée par un travail au fer à souder. Il est nécessaire d’obtenir un cordon de soudure très fluide, à température suffisamment basse pour assurer une fusion quasi-instantanée. III.1 - Choix d’un mélange binaire Différents alliages sont bien adaptés à ce travail en particulier les associations bismuth-étain et étain-argent. Figure 8 - Diagramme binaire sous P = 1 bar du système bismuth-étain 232 Sn Bi θ : température (°C) 100 0 20 50 wSn (% massique) 0 100 200 150 138 271 E (wSn = 42 %) I II III IV 9/14 En première approximation, on peut considérer que le bismuth et l’étain sont non miscibles à l’état solide. Le diagramme binaire, isobare, solide-liquide simplifié du système bismuth-étain, avec une composition exprimée en fraction massique est représenté sur la figure 8. Q16. Préciser les phases des constituants Sn et Bi, dans chacun des domaines I, II, III et IV. Q17. Nommer le point E. Préciser la composition molaire du point E. Q18. Tracer les trois courbes de refroidissement iso-titres des systèmes représentés par les trois points initiaux : M1 Sn (w 0; 300 C) = θ = ° , M2 Sn (w 0,2; 300 C) = θ = ° et M3 Sn (w 0,42; 300 C) = θ = ° . On précisera les températures de rupture de pente. Q19. Préciser les températures de fusion du bismuth et de l’étain sous la pression de 1 bar. Pourquoi ce mélange binaire semble-t-il approprié pour les applications de soudure ? Quelle composition massique préconisez-vous et pourquoi ? Q20. On prépare un mélange contenant 4 g d’étain et 16 g de bismuth. Ce mélange est fondu, homogénéisé, puis lentement refroidi. Déterminer les masses de Sn et de Bi dans chacune des phases solide et liquide, en équilibre à 150 °C. Q21. Pour des assemblages complexes, on assemble parfois deux pièces avec un point de soudure du type étain-argent, puis une troisième avec un point de soudure du type bismuth-étain pour ne pas prendre le risque de dessouder les deux premières pièces. Justifier ce protocole opératoire. III.2 - Phénomène d’oxydation Q22. Les couples Sn4+/Sn et Ag+/Ag sont des couples oxydoréducteurs rapides sur la plupart des électrodes. Tracer l’allure des courbes intensité-potentiel associées à ces deux couples pour des concentrations en espèces dissoutes Sn4+ et Ag+ de 1 mol.l-1. Q23. La présence d’une gouttelette d’eau aérée, sur une soudure du type étain-argent donne lieu à un phénomène d’oxydation. On observe ainsi un ternissement localisé au centre de cette gouttelette. Lequel de ces deux métaux s’est-il oxydé ? Quelle est l’espèce chimique qui est réduite ? Décrire succinctement le circuit de bouclage du courant électrique. Q24. Contrairement au cas d’une gouttelette d’eau aérée qui stagnerait sur une plaque d’acier, le point de soudure n’est soumis à aucune dégradation profonde du type corrosion. Expliquer cette différence. III.3 - Refroidissement d’un point de soudure On se propose ici de déterminer un ordre de grandeur du temps, noté ∆t, nécessaire à la solidification d’un point de soudure. On adopte le modèle simplifié suivant (figure 9, page suivante), où le point de soudure, de masse m1 et d’un matériau nommé Mat1, est assimilé à une boule de diamètre 2Rb = 10 mm qui raccorde deux conducteurs cylindriques de diamètre d = 2 mm, constitués du même matériau nommé Mat2 et supposés infinis. 10/14 Figure 9 - Modélisation d’un point de soudure On admettra que la chaleur s’évacue du point de soudure, de température uniforme notée T1, à la fois par conduction thermique par les conducteurs cylindriques et par un échange conducto-convectif avec l’air extérieur. On note Text la température supposée constante de l’air extérieur. L’échange conducto- convectif suit une loi du type Pth = h.S.(T1 – Text), où Pth est la puissance thermique évacuée, S la surface du point de soudure et h ( ≈ 10 W.m-2.K-1) le coefficient d’échange conducto-convectif. La température initiale du point de soudure, notée init 1 T , n’est que très légèrement supérieure à la température de fusion du matériau Mat1, de sorte qu’on assimilera init 1 T à T1fusion. On admettra, de plus, que le profil de température dans les conducteurs soudés entre eux obéit à une loi de fonction affine représentée par le graphe suivant (figure 10), où b ≈ 10 cm. Figure 10 - Profil de température Q25. Recenser, en précisant leur unité, les grandeurs physiques dont vous avez besoin pour résoudre ce problème. Q26. Ecrire la (ou les) équation(s) faisant intervenir les grandeurs précitées permettant de déterminer le temps de solidification ∆t. Point de soudure (matériau Mat1) Conducteurs cylindriques (matériau Mat2) Text T1 x T(x) Rb Rb+ b - Rb - (Rb + b) 11/14 Q27. Pour le matériau Mat1, on donne : - masse volumique ρ1 = 8 500 S.I., - capacité thermique massique : c1 = 180 S.I., - enthalpie massique de fusion : Lfus1 = 60 103 S.I. - conductivité électrique : γ1 = 5 106 S.I. Pour le matériau Mat2, on donne : - masse volumique ρ2 = 8 200 S.I., - conductivité thermique : λ2 = 400 S.I. En faisant preuve d’initiatives, proposer des valeurs numériques pour les grandeurs physiques éventuellement non fournies. Puis estimer la valeur numérique du temps ∆t de solidification du cordon de soudure. Partie IV - Capteur optique de position Le capteur optique de position fait appel à une technologie laser. Le laser est un dispositif qui amplifie la lumière et la rassemble en un étroit faisceau, dit cohérent. Il fournit un rayonnement lumineux directif et quasiment monochromatique grâce à une émission stimulée de radiation. Les lasers couvrent aujourd'hui toute la gamme des rayonnements électromagnétiques, des rayons X et ultraviolets, aux ondes infrarouges et micrométriques. Principe de fonctionnement Le laser (figure 11) consiste en un milieu amplificateur placé dans une cavité résonante qui fournit un rayonnement d'ondes cohérentes et monochromatiques par émission stimulée. Figure 11 - Schéma d'un dispositif laser matériau optiquement actif faisceau laser source d’énergie miroir totalement réfléchissant miroir partiellement réfléchissant propagation de photons par effet laser 12/14 L'excitation du milieu permet d'obtenir l'inversion de population, occupation anormale de niveaux d'énergie élevés, qui favorise l'émission stimulée par rapport à l'émission aléatoire spontanée (dans des proportions décrites par les coefficients d'Einstein). La cavité permet, en effet, de réfléchir au sein du milieu les photons émis, de manière à ce qu'ils provoquent à leur tour une émission stimulée (production de photons de même fréquence, de même phase et de même direction de propagation que ceux du rayonnement stimulateur). La longueur d'onde d'émission doit correspondre à un mode propre de la cavité (résonateur) pour que puisse s'y installer un système d'ondes stationnaires. Le gain de l'ensemble milieu amplificateur-cavité doit être supérieur à ses pertes (dues entre autres aux réflexions). Comme tout oscillateur, le laser peut se représenter par le schéma bloc de la figure 12, dans lequel A(j ) ω et B(j ) ω représentent respectivement les fonctions de transfert de la chaîne directe et de la chaîne de retour. Figure 12 - Schéma bloc associé au laser Q28. Quelle partie du dispositif optique joue le rôle de chaîne directe ? De chaîne de retour ? Rappeler, sans démonstration, par une simple égalité mathématique, la condition d’oscillation du dispositif. Comment doit être modifiée cette condition pour assurer le démarrage du dispositif ? Q29. En faisant une analogie avec les modes propres d’une corde vibrante de longueur connue, déterminer les longueurs d’onde des modes propres de la cavité résonante, en fonction de sa longueur notée L0. Quel est l’écart en fréquence 0 L ∆υ entre deux modes voisins ? Application numérique : déterminer, pour une longueur de la cavité L0 = 10 cm, l’écart absolu 0 L ∆υ ainsi que l’écart relatif 0 0 L L ∆υ υ pour une longueur d’onde de 633 nm. Q30. Après quelques minutes de fonctionnement, la température d’un laser a augmenté de quelques degrés. Quel est, qualitativement, l’effet de la dilatation thermique des parois sur la fréquence de la lumière émise ? En supposant la section de la cavité résonante constante, déterminer au 1er ordre, l’expression de la variation relative de fréquence dυ υ , induite pour un échauffement dθ de la cavité résonante. On rappelle l’expression du coefficient de dilatation isobare P 1 V V T ∂   α =   ∂   . Application numérique : dθ = 10 °C, 6 1 9.10 K . − − α = Evaluer dυ υ et conclure. A(jω) B(jω) 13/14 Données Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 108 m.s-1. Température de fusion de l’eutectique (Sn 96,5 – Ag 3,5) : 220 °C. Masse molaire de l’étain : M(Sn) = 119 g.mol-1. Masse molaire du bismuth : M(Bi) = 209 g.mol-1. Potentiels standard d’oxydo-réduction à 25 °C : E°(Ag+/Ag) = 0,80 V ; E°(Sn4+/Sn) = 0,005 V. Formules trigonométriques : cos(a b) cosa cosb sin asin b cos(a b) cosa cosb sin asin b sin(a b) sin a cosb cosasin b sin(a b) sin a cosb cosa sin b + = − − = + + = + − = − p q p q cosp cosq 2cos( )cos( ) 2 2 p q p q cosp cosq - 2sin( )sin( ) 2 2 p q p q sin p sin q 2sin( )cos( ) 2 2 p q p q sin p sinq 2cos( )sin( ) 2 2 + − + = + − − = + − + = + − − = 14/14 FIN Séries de Fourier Signal 1 : cas général 1 k 0 4E cos((2k 1) ) 2 (2k 1)t s (t) sin( ) 2k 1 T ∞ = + απ π + = π + ∑ . Signal 2 : cas particulier pour α = 0 2 k 0 4E 1 2 (2k 1)t s (t) sin( ) 2k 1 T ∞ = π + = π + ∑ . T 0 E t 0 T t E I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 17 1189 – D’après documents fournis

CCP SESSION 2017 ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI PHYSIQUE - CHIMIE Corrigé proposé par Pierre-Yves VIALATTE (lycée Jean Perrin Marseille) Je vous prie de me signaler erreur ou modification à l’adresse : vialatte812@neuf.fr NE PAS PUBLIER, NE PAS METTRE EN LIGNE. USAGE RESERVE AUX PROFESSEURS DE l’UPS ET A LEURS ÉLÈVES. Q1. µ0 est en H.m–1 (ou en T.A. m–1 ou en N.A–2 ou en kg.m.s–2.A–2) µr est sans unité. Pour le fer, il est de l’ordre de 1000. Q2. Le problème est invariant par translation suivant z. Donc les champs B et H ne dépendent pas de z. a priori, ( , ) B x y et ( , ) H x y Par ailleurs, ces fonctions sont 2L-périodiques en x, comme l’est la distribution de courants. Q3. Rot H J  où J est la densité volumique de courant (courants vrais ou libres). Sous forme intégrale, on obtient le théorème d’Ampère sur un conteur fermé orienté    :   . enlacé H dl I    . On choisit pour contour la ligne de champ moyenne proposée. On remarque aussi (justification détaillée par symétrie non demandée) que de part et d’autre du conducteur : Le sens de H est inversé entre le fer de la plaque supérieure et le fer de la plaque inférieure. Le sens de H est inversé entre l’air à droite et l’air à gauche de la ligne proposée. En notant : air air y H H e  dans l’air à droite du conducteur et fer fer x H H e  dans la plaque inférieure, On obtient : 2 2 fer fer air H l H e I   Q4. La conservativité du flux de B permet cette affirmation (le flux de B se conserve le long d’un tube de courant). Localement : div 0 B  . Q5. Dans un milieu Linéaire Homogène Isotrope (LHI), on peut écrire : B = µ0 µr H en chaque point. En un point de l’air où µr = 1 : air B = µ0 air H . Donc 0 air air B B H    (en notant y B Be  à droite du conducteur) En un point du fer : fer B = µ0 fer H . Donc 0 fer r fer B B H     L’équation de Q3. Donne alors : 0 0 2 2 fer r Bl Be I      et en tenant compte de l’approximation fer r l e  , on obtient : 0 2 I B e   Pour maximiser le champ, et la densité d'énergie stockée dans l’entrefer, on a intérêt dans ce type de moteurs à choisir un entrefer étroit. Q6. Rq : il y a dans le texte une confusion entre le B positif de la question précédente Q5. Et le B(x) à représenter ici qui change de signe. Rq2 : l’origine de l’axe Ox n’est pas bien précisée dans le texte. On la choisit ici, comme le suggère la figure 2, à mi-chemin entre deux conducteurs parcourus par des courants opposés. Le plan (O,y,z) est alors un plan d’antisymétrie de la distribution de courant. Le champ B est alors symétrique par rapport à ce plan et la fonction B(x) est paire de période 2L. Q7. La répartition proposée est la superposition de trois configurations précédentes identiques et décalées d'une distance L, chacune créant un champ analogue à celui de la question précédente, mais décalé du précédent comme l'indiquent les figures ci-dessous. Cas précédent = seulement le conducteur central de chaque groupement Conducteurs décalés vers la droite de L Conducteurs décalés vers la gauche de L Le champ résultant est la superposition des trois champs précédents, ce qui conduit au résultat ci-dessous. 3L/2 -L/2 L/2 x B0(x) 0 2 I e  0 2 I e   3L/2+L -L/2+L L/2+L x B’(x) 0 2 I e  0 2 I e   3L/2-L -L/2-L L/2-L x B’’ (x) 0 2 I e  0 2 I e   Rq : En augmentant le nombre de conducteurs, on se rapprocherait d’une forme sinusoïdale pour cette courbe, ce qui justifie le champ de période 2L donné pour la suite : cos y x B KI e L         Q8. Le champ total est, en chaque point, la superposition des champs créés par les deux multipôles :     1 2 ( / 2) cos cos sin cos S S y S S y x x L B B B KI t e KI t e L L                          cos cos sin sin cos cos S y S S S y S S y S S x x x x KI e t t KI e t KI e t L L L L                                                      Dans cette dernière expression la phase du cos est bien de la forme de celle d’une onde progresive vers les x croissants (fonction de / S t x v  , avec S S L v    ). L’onde de champ magnétique se propage ainsi à la vitesse de phase : S S x L v e    Rq : on peut écrire la phase S x t L    sous la forme St kx   en posant S S k L v     Q9. Pour inverser le sens de propagation de cette onde magnétique, il faut avoir une phase: S x t L    . Ceci est obtenu en inversant le sens du courant dans une phase (ou en la déphasant de ) Application numérique : 69 cm 2 S S S S v v L f      Q10. En dérivant le champ donné :   0 sin S y B KB t kx e x      Par ailleurs : 2 y M LbIe  ; donc :   0 . 2 sin S B M LbI KB t kx x      ULe centre du dipôle correspond à l’abscisse 0 x x vt   , donc :   0 0 ( ) 2 sin ( ) x S F t LbI KB kv t kx     -L/2-L -L/2 0 2 I e  3L/2+L L/2+L 3L/2-L L/2 -L/2+L L/2-L x B(x) 0 3 2 I e  0 2 I e   0 3 2 I e   3L/2 Q11. Comme dans le cours sur les machines tournantes synchrones, il faut distinguer deux cas : - Si S kv   , alors la force varie sinusoïdalement au cours du temps et possède une moyenne temporelle nulle. Le moteur ne fonctionne pas. - Si S kv   (condition de synchronisme), alors :   0 0 ( ) 2 sin x F t LbI KB kx   ne dépend plus du temps. La force est une constante, et peut s’ajuster à la charge suivant la valeur de x0. C’est ce cas qui correspond à un fonctionnement utile :   0 0 2 sin x F LbI KB kx e   Pour avoir une force positive maximale, il faut :   0 sin 1 kx   , c'est-à-dire :   0 0 2 2 2 2 kx x k k                Q12. Dans la première demi-période, la source de tension est directement connectée à la charge, et 1( ) u t U  Dans la deuxième demi-période, la source est connectée à la charge en inversant ses bornes, 1( ) u t U   Q13. Pour une onde magnétique se déplaçant vers les x croissants 1( ) u t va donner par filtrage à travers la charge le courant sinusoïdal 1( ) i t qui doit être en   cos St  . De même, 2( ) u t va le courant sinusoïdal 2( ) i t qui doit être en   sin St  . La charge va conserver le déphasage d’un quart de période entre les tensions 1( ) u t et 2( ) u t sur le premier harmonique du créneau qui doit être à la pulsation S  1( ) i t étant en avance d’un quart de période sur 2( ) i t , 1( ) u t doit être en avance d’un quart de période sur 2( ) u t . On en déduit le chronogramme de 2( ) u t : K2b et K2c sont donc fermés sur l’intervalle de temps , 4 4 T T        K2a et K2d sont fermés sur l’intervalle de temps 3 , 4 4 T T       Pour une onde magnétique se déplaçant vers les x décroissants Il faut inverser 2( ) u t pour inverser 2( ) i t , et donc : K2a et K2d sont fermés sur l’intervalle de temps , 4 4 T T        K2b et K2c sont fermés sur l’intervalle de temps 3 , 4 4 T T       T T/2 t 1( ) u t U  U 3T/4 T/4 -T/4 t 2( ) u t U  U Q14. En dérivant le champ donné :       1 1 3 3 5 5 sin sin 3 sin 5 S S S y B Kk I t kx I t kx I t kx e x                      On déduit :       1 0 0 1 3 0 0 3 5 0 0 5 ( ) 2 sin sin 3 sin 5 x S S S F t LbI Kk I t kv t kx I t kv t kx I t kv t kx                       A la vitesse de synchronisme, comme dans la partie précédente : 0 S kv   , et on obtient :       1 0 1 3 0 3 5 0 5 ( ) 2 sin sin 4 sin 4 S S F t LbI K k I kx I t kx I t kx                   La première vibration (termes dépendant du temps) est donc à la pulsation 4 S  . Cette vibration est due à 3I et 5I , et c’est le terme en 3I qui prédomine. Q15. Lorsque K1a et K1d sont fermés ensemble, dans l’intervalle de temps , 2 2 2 T T T          : 1( ) u t U  Lorsque K1b et K1c sont fermés ensemble, dans l’intervalle de temps , 2 2 2 T T T T           : 1( ) u t U   Dans les autres cas, une des deux bornes de la charge n’est pas connectée à la source, et 1( ) 0 u t  On en déduit le chronogramme : Rq : ce chronogramme est celui (signal 1) dont la série de Fourier est fournie à la fin du sujet. Pour atténuer les vibrations au maximum, il faut annuler les termes en 3I et 5I (harmoniques 3 et 5) - Le terme en 3I correspond dans le développement fourni à l’entier k = 1. Son amplitude vaut donc :     cos (2 1) 1 cos 3 2 1 3 k k      qui s’annule pour les valeurs de  égales à 1/6, 1/2 , et 5/6 - Le terme en 5I correspond dans le développement fourni à l’entier k = 2. Son amplitude vaut donc :     cos (2 1) 1 cos 5 2 1 5 k k      qui s’annule pour les valeurs de  égales à 1/10, 3/10, 1/2, 7/10, et 9/10. La meilleure valeur de  est donc 1/2, car c’est celle qui annule les deux termes vibratoires principaux. Rq : on met là en évidence l’intérêt d’un onduleur à commande décalée. Q16. I : Mélange liquide homogène Bi-Sn II : Bi solide + mélange liquide homogène III : Sn solide + mélange liquide homogène IV : Bi solide + Sn solide non miscibles (2 phases) Q17. E est le point eutectique. Fraction massique en étain : wSn= wE = 0,42 T T/2 T T/2 t 1( ) u t U  U Dans un mélange à la composition eutectique, on note n le nombre total de moles, nBi et nSn les nombres de moles des deux constituants : n = nBi + nSn . De même pour les masses : m, mBi et mSn avec m = mBi + mSn. Par définition : Sn E m w m  On calcule la fraction molaire en étain, notée xE. Par définition : Sn E n x n  1 1 Sn Sn Sn Sn Bi Bi Bi E Sn Bi Bi Sn Sn Bi Bi Sn Bi Sn Bi Sn Sn Bi Sn Sn E m n n M M M M x m m m m m n n n M M M M M M M M m m w                    Application numérique : 0,56 E x  Q18. M1 : Bi pur M2 : Mélange liquide à 20% Sn M3 : Mélange eutectique Solidification à 271°C La solidification débute à 200°C La solidification débute à 138°C et se fait à température variable. et se fait à température constante. Q19. On lit les températures de fusion sur le diagramme binaire : Bi : 271°C et Sn 232°C. Un mélange binaire Bi-Sn commence à fondre à plus basse température que chacun des deux corps purs. Les températures de fusion des deux corps purs sont déjà basses, mais celle du mélange l'est encore plus, en particulier à la composition de l'eutectique où la fusion a lieu à 138°. Atteindre cette température est rapide et facile, ce qui simplifie la soudure. Il faut donc utiliser un mélange solide à la composition de l’eutectique. Q20. La composition massique globale du mélange est : wSn = 4/20 = 0,20. On note ml et ms les masses totales de liquide et de solide dans le mélange à 150°C. La masse totale est donc : m = ml + ms = 20 g. Comme le point représentatif M du système se situe dans le domaine II (wSn = 0,20 et  = 150°) il n’y a pas d’étain solide et la masse solide est entièrement du Bismuth. On note l Sn m et l Bi m les masses d’étain et de Bismuth dans le liquide. Au total : l l l Sn Bi m m m   On applique le théorème des moments chimiques en notant Ml et Ms les points donnant la composition des deux phases à 150° : ms MsM = ml MMl. On note les distances : MsM = 0,20 et MMl = 0,16, ce qui donne : 0,16 0,80 0,20 s l m m   Avec m = ml + ms = 20 g, on obtient : ml = 11,1 g et ms = 8,9 g. Par ailleurs, on connaît la composition du liquide : c'est l'abscisse du point Ml : 0,36 l l Sn Sn l m w m   . 138° 200° 271° 300° 300° 300° 138° Ms x x Ml x M On retrouve bien : 0,36 4,0 g l l l Sn Sn w m m    , puis 7,1 g l l l Bi Sn m m m    . Au total, il y a donc 8,9 g de Bi solide, 7,1 g de Bi dans le liquide, et l’ensemble des 4 g de Sn dans le liquide. Q21. Dans les données, il est précisé que l’eutectique Sn-Ag fond à 220°C, c'est-à-dire à une température plus élevée que la température de fusion de la soudure étain argent. Le deuxième point de soudure se fait donc à température plus basse, ce qui évite de faire fondre le premier, et ainsi de dessouder le premier assemblage. Q22. Le potentiel de Nernst est le potentiel du couple pris par l’électrode à l’équilibre thermodynamique, donc à courant nul. Pour le couple Sn4+/Sn de demi équation redox : Sn4+ + 4 e- = Sn Eeq = 0,005 + 0,06/4 log ([Sn4+]) = 0,005 V pour une concentration de 1 mol.l-1. Pour le couple Ag+/Ag : Ag+ + e- = Ag E’eq = 0,80 + 0,06 log ([Ag+]) = 0,80 V pour une concentration de 1 mol.l-1. On en déduit, en l’absence de surtensions, l’allure des courbes intensité-potentiel : Rq : sur ces courbes, le palier de diffusion de réduction des ions étain est sans doute plus important en valeur absolue que celui des ions argent, puisqu’à mobilité comparable, la réduction des ions étain met en jeu quatre fois plus d'électrons. En revanche, pour l'oxydation des solides étain et argent, il n'y a pas de palier de diffusion. Q23. L’oxydant est le dioxygène dissous ; c’est donc lui qui est réduit (couple O2/H2O). L'ordre de grandeur du potentiel donnait en est de ce couple à l'équilibre est : 1,23 - 0,06 pH. Si on se place à pH =7, on obtient un potentiel de 0,81 V. L'oxydation de l'argent n'est donc pas possible dans ces conditions, c'est l’étain qui s'oxyde en ions Sn4+. L'oxydation est spontanée : il existe un potentiel mixte entre les deux couples. Au niveau de la goutte, il se forme une pile de corrosion. C'est la zone la moins oxygénée, situé au centre de la goutte qui est oxydée, et c'est là que le métal se ternit. Les électrons cédés par l'étain sont consommés par l'oxygène, plus concentré à la périphérie de la goutte. Ces électrons vont donc migrer dans le métal entre le centre et l’extérieur de la goutte : il s'agit de corrosion électrochimique différentielle. Q24. Seul l'étain est oxydé, et la soudure est constituée de microcristaux d'étain et d'argent non miscibles. Au contact de la goutte, il reste donc de l'étain oxydé assurant une bonne passivation et des microcristaux d'argent inaltérables qui protègent le solide d'une oxydation plus en profondeur. Dans le cas de l’acier par contre, il n'y a pas la protection des cristaux d'argent, et la passivation par la rouille est de mauvaise qualité : l'oxydation se poursuit donc lentement en profondeur au centre de la goutte. Q25. Pour décrire le refroidissement de la sphère, il faut sa capacité thermique totale (ou bien la capacité thermique massique de Mat1 et sa masse). Pour décrire le changement d'état de la soudure, il faut l'enthalpie massique de fusion du matériau 1. 0,005 0,80 Sn Sn4+ Ag Ag+ E (V) i (A) Pour décrire la diffusion thermique dans les conducteurs cylindriques, il faut aussi la conductivité thermique du matériau 2. Les paramètres géométriques sont aussi bien entendus nécessaires. Rq : dans les données, il n'est pas précisé si. la capacité thermique massique du matériau 1 est en phase solide ou en phase liquide : on les supposera voisins. Q26. Il faut d'abord remarquer que le refroidissement s'effectue en deux phases distinctes : une première phase de solidification du matériau un à température constante, puis une deuxième phase de refroidissement proprement dit du solide. Pour la phase de solidification, on écrit le premier principe de la thermodynamique à pression constante au système point de soudure entre les instants t et t+t (t étant la durée de la phase de solidification) : reçue H Q   Avec, au cours du changement d'état : 1 fus H m L    , m étant la masse du point de soudure : 3 1 4 3 b m R    Et : 1 1 ' reçue th th Q P t P t      où th P est donnée et constante (puisque la température 1 1 fusion T T Cte   ) et 0 'th th P J S  est la puissance thermique constante cédée par le système aux conducteurs ( 2 b th x R dT J dx            est la densité de flux thermique dans le conducteur droit au niveau de la goutte et S0 la surface totale de contact entre goutte et conducteurs : 2 0 2 4 d S   ) Donc: 2 0 2 ' 2 b th th x R dT d P J S dx              avec la pente fournie par le graphe : 1 b fusion ext x R T T dT dx b           Finalement :   2 1 2 1 2 ' 4 2 fusion ext reçue th th b fusion ext T T d Q P t P t h R T T t t b                et :   2 3 2 1 1 2 1 4 4 3 2 b fus b fusion ext d R L h R T T t b                    3 1 1 2 2 2 1 4 3 12 2 b fus b fusion ext R L t d h R T T b              Q27. Il manque la température extérieure. On apprend donc à Text = 20°C La conductivité électrique est inutile ! L’application numérique donne : t  =80 s. Rq : Dans cette application, c’est le terme de diffusion en 2  qui prime sur le terme de convection. La chaleur s’évacue prioritairement par les fils conducteurs. Q28. C'est le milieu optiquement actif avec inversion de population qui joue le rôle de chaîne directe avec amplification du nombre de photons. C'est la cavité optique avec ses miroirs qui joue le rôle de chaîne de retour : elle permet aux photons de revenir à leur point de départ après un aller retour en introduisant des pertes au niveau du miroir partiellement réfléchissant et un éventuel déphasage dépendant de la longueur de la cavité. C'est la condition de Barkhausen, qui est la condition nécessaire et suffisante d'oscillation sinusoïdale de l'oscillateur : elle s'écrit : ( ) ( ) 1 A j B j    En réalité, le démarrage est assuré par amplification du bruit de photons ambiant, et nécessite donc, à la pulsation d'oscillation un gain initial global légèrement supérieur à1 : ( ) ( ) réel 1 A j B j    Q29. Comme dans le cas des modes propres d'oscillation d'une corde, une onde stationnaire harmonique peut exister dans la cavité si ses deux extrémités sont des nœuds du champ électrique, et sont donc distantes d'un nombre entier de demi-longueur d'onde : 0 0 0 0 2 2 2 L L c c L p p p L        Entre deux modes successifs p et p+1, on trouve donc un écart de fréquence : 0 0 1,5 GHz 2 L c L     Et 0 0 6 0 0 2 3.10 / 2 L L c L c L          . Les fréquences des modes successifs sont donc très rapprochées. Q30. La dilatation thermique augmente la taille de la qualité et donc L0. Il en résulte une diminution de la fréquence des modes propres, puisque pour le mode p : 0 0 2 L c p L   Considérons un volume parallélépipédique de dimensions A, B,et C. Son volume vaut donc :V = ABC la variation relative de ce volume lorsque la température varie et donc en différenciant logarithmiquement : dV dA dB dC V A B C    Si on suppose l'objet isotrope, les variations relatives de longueur sont les mêmes dans toutes les directions : et donc : dA dB dC A B C   , ce qui donne : 3 dV dA V A  . Par analogie, pour la cavité : 0 0 1 1 3 3 dL dV d L V     à pression constante. Pour un mode p donné, on a vu que la fréquence d’émission était : 0 2 c p L   et donc : 0 0 1 3 dL d d L         . Application numérique : 10 K d  (variation de T en °C ou en K) 5 3.10 d    Cela paraît peu, mais c'est 10 fois supérieur à l'écart relatif de fréquence entre deux modes ! En conclusion : il peut y avoir à température donnée de nombreuses fréquences d'émission très proches par un laser (fonctionnement multimode). Même si on arrive à obtenir un fonctionnement monomode, la fréquence d'émission varie encore beaucoup par dilatation de la cavité. Il faut alors réaliser un asservissement de la longueur de la cavité si on veut conserver une fréquence d'émission rigoureusement constante pour une lumière émise monochromatique. Pour la deuxième phase, on écrit le premier principe de la thermodynamique à pression constante au système point de soudure entre les instants t et t+dt: reçue dH Q   Avec : 3 1 1 1 1 1 4 3 b dH mc dT R c dT     et       2 2 2 2 1 1 2 2 1 ' 4 4 2 2 ext reçue th th b ext b ext T T d d Q P P dt h R T T dt dt h R T T dt b b                          . Rq : on fait ici l'hypothèse, comme le suggère le profil de température dans les conducteurs d'un régime quasi permanent de transfert thermique dans les conducteurs. On obtient par le premier principe l’équation différentielle à intégrer sur la durée de la deuxième phase :   2 3 2 1 1 1 2 1 4 4 0 3 2 b b ext dT d R c h R T T dt b                Rq : t1 est calculé, et on peut donner un ordre de grandeur de t2 sans résoudre l'équation différentielle en prenant la constante de temps de cette équation qui vaut : 3 1 1 2 2 2 4 3 12 2 b b R c d h R b        