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2016-02-08 11:45:03 Page 1/8 2016 Physique–chimie 1 MP 4 heures Calculatrices autorisées Ce sujet est accompagné d’un document réponse à rendre avec la copie. La magnétosphère de la Terre D’après : Gilbert Pietryk (sous la direction de), Panorama de la physique, Pour la Science, Belin, 2007. La magnétosphère est la dernière enveloppe d’une planète, avant le milieu interplanétaire. Ce milieu est dominé essentiellement par le vent solaire, constitué de protons et d’électrons très rapides. Comme son nom l’indique, la magnétosphère est caractéristique des planètes qui ont un champ magnétique propre. La magnétosphère terrestre est la mieux connue puisqu’elle est la plus facilement accessible et qu’elle est explorée depuis l’ère des projets spatiaux. Pourtant de nombreux mystères subsistent quant à son fonctionnement, en particulier sur la manière dont elle répond aux modifications de l’activité solaire. Figure 1 Coupe méridienne de la magnétosphère de la Terre. Le Soleil est loin sur la gauche. Les traits fins symbolisent les lignes de champ magnétique, les flèches jaunes le mouvement du plasma. L’avant de la magnétosphère se caractérise par une première frontière nette, le choc. Ce choc est dû au fait que le vent solaire a une vitesse d’ensemble supérieure à toutes les vitesses possibles de propagation des ondes dans le milieu. Derrière le choc se trouve la magnétogaine, région où le plasma du vent solaire est ralenti, chauffé et où l’on observe une turbulence importante. Le champ magnétique est encore celui du vent solaire un peu modifié par la traversée du choc. Cette région intermédiaire est suivie d’une autre frontière nette, la magnétopause. Cette frontière sépare la zone d’influence du champ magnétique terrestre de celle du vent solaire. Cette frontière est une discontinuité mince comme un choc mais ce n’est pas un choc, c’est une frontière qui isole vraiment les deux milieux, l’énorme majorité des particules du vent solaire restant à l’extérieur. On constate donc que ce qui fait obstacle au vent solaire ce n’est pas la planète elle-même, ni son atmosphère, mais son champ magnétique. Le contournement du vent solaire donne à la magnétosphère sa forme caractéristique, avec une queue allongée dans la direction opposée au Soleil et deux immenses « lobes » presque totalement vides. L’ionosphère est une région importante dans la dynamique de la magnétosphère (bien qu’invisible à l’échelle de la figure). Elle résulte de l’ionisation des couches supérieures de l’atmosphère par le rayonnement UV du Soleil qui la rend conductrice, et lui fait jouer un rôle dans la fermeture des courants magnétosphériques. La magnétosphère et son intense activité électromagnétique ne sont pas visibles du sol sauf dans les régions polaires où elles peuvent se manifester de façon très spectaculaire. Le champ magnétique terrestre est à peu près celui d’un dipôle dont l’axe passe dans les régions polaires. Les lignes de champ qui viennent des régions éloignées de la Terre plongent donc dans l’atmosphère dans les régions polaires. Comme dans la magnétosphère le plasma est peu dense, il n’y a pas de collisions et les particules chargées restent liées aux lignes de champ. Quand une reconfiguration magnétique intervient (ce qu’on appelle un sous-orage magnétique), les particules 2016-02-08 11:45:03 Page 2/8 Figure 2 Aurore boréale vue du sol sur la Terre. La Lune, visible à côté de l’aurore, donne une idée de la lumi- nosité (Centre d’étude spatiale des rayonnements ©CNRS Photothèque/V. Génot). accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le long du champ sur les couches denses de l’atmosphère et produisent des aurores. Dans le même temps, ces électrons accélérés émettent un rayonnement radio dont la longueur d’onde est de l’ordre du kilomètre et qui s’échappe de la magnétosphère par les pôles. Une liste de données numériques et un formulaire sont disponibles à la fin du sujet. Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement. I Confinement d’une particule chargée dans un champ magnétique I.A – Aurores polaires terrestres Les aurores polaires sont des phénomènes lumineux se produisant entre 80 et 400 km d’altitude causés par la précipitation de particules chargées en provenance de l’espace sur les atomes et les molécules des couches externes de l’atmosphère terrestre. Ces particules sont principalement des électrons dont l’énergie cinétique est de l’ordre du keV pour les aurores les plus spectaculaires. I.A.1) Expliquer le caractère lumineux d’une aurore polaire. I.A.2) Pourquoi une aurore boréale (hémisphère nord) apparaît-elle simultanément à une aurore australe (hémisphère sud) ? I.A.3) Comparer la carte de champ magnétique donnée figure 1 à celle d’un unique dipôle modélisant l’activité magnétique terrestre. I.B – Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme Afin d’interpréter l’arrivée des particules chargées à l’origine des aurores polaires, on se propose dans la suite de modéliser la dynamique d’un électron dans une zone de champ magnétique stationnaire. I.B.1) Dans le référentiel géocentrique (ℛ) supposé galiléen, on considère tout d’abord un électron de masse 𝑚 pénétrant en 𝑂 dans une zone de champ magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵0 = 𝐵0 ⃗𝑢u (𝐵0 > 0). La force gravitationnelle terrestre a-t-elle une influence sur la dynamique de cet électron ? On attend un argument qualitatif fondé sur un calcul d’ordre de grandeur. I.B.2) On suppose que la vitesse initiale de la particule s’écrit ⃗𝑣0 = 𝑣0u ⃗𝑢u (𝑣0u > 0). Comment se déplace l’électron vis à vis des lignes de champ magnétique ? I.B.3) On suppose désormais que l’électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en 𝑂 avec une vitesse initiale ⃗𝑣0 = 𝑣0u ⃗𝑢u (𝑣0u > 0). a) Mettre en évidence une pulsation 𝜔u caractéristique du mouvement de l’électron et l’évaluer dans le champ magnétique terrestre régnant à l’altitude d’un satellite géostationnaire. b) Montrer que la trajectoire de l’électron est circulaire en établissant son équation cartésienne. Évaluer son rayon 𝑅u . I.B.4) Un électron accéléré non relativiste perd de l’énergie en rayonnant à un instant donné une puissance électromagnétique 𝒫 = 1 4𝜋𝜀0 2 3𝑒u 𝑐u ∥d ⃗𝑣 d𝑡 ∥ 2 . a) Déterminer les valeurs 𝛼 et 𝛽. 2016-02-08 11:45:03 Page 3/8 b) Après avoir exprimé la variation de l’énergie cinétique de l’électron d𝐸 lorsque 𝑅u varie de d𝑅u , établir l’expression de la fonction 𝑅u (𝑡) et établir que le temps caractéristique 𝜏 mis en évidence s’écrit 𝜏 = 6𝜋𝜀0𝑐3𝐵0 𝑒𝜔3 u . Conclure. I.B.5) On suppose désormais que l’électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en 𝑂 avec la vitesse initiale ⃗𝑣0 = 𝑣0u ⃗𝑢u + 𝑣0u ⃗𝑢u (𝑣0u > 0 et 𝑣0u > 0). Comment se déplace l’électron vis à vis des lignes de champ magnétique ? I.C – Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme On se limite ici au cas d’un champ magnétique stationnaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 = 𝐵u (𝑟, 𝑧) ⃗𝑢u +𝐵u (𝑟, 𝑧) ⃗𝑢u possédant une géométrie cylindrique autour d’une ligne de champ confondue avec l’axe (𝑂𝑧). On note 𝐿 l’échelle caractéristique de variation de ce champ magnétique selon l’axe 𝑂𝑧. On supposera en première approximation que 𝐵u ne dépend que de 𝑧 : 𝐵u (𝑧). 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵(𝑀) 𝐵u ⃗𝑢u 𝐵u ⃗𝑢u 𝑟 𝑧 Figure 3 Initialement, l’électron possède la vitesse ⃗𝑣0 = 𝑣0u ⃗𝑢u + 𝑣0u ⃗𝑢u (𝑣0u > 0, 𝑣0u > 0) et se situe au point de coordonnées cartésiennes (0, −𝑅u (0), 0). I.C.1) Montrer qu’une propriété structurelle du champ magnétique impose : 𝐵u (𝑟, 𝑧) ≃ −𝑟 2 d𝐵u d𝑧 . I.C.2) À quelle condition sur 𝐿, la composante radiale 𝐵u (𝑟, 𝑧) du champ magnétique pourra-t-elle être traitée comme une perturbation de la composante axiale 𝐵u ? Dans la suite, on supposera cette condition vérifiée. I.C.3) Justifier qualitativement l’existence d’un rayon caractéristique 𝑅(𝑧), dépendant de 𝑧, pour la trajec- toire électronique. On donnera l’expression de 𝑅(𝑧) en fonction de 𝐵u et de 𝑣u , composante orthoradiale de la vitesse de l’électron. I.C.4) En assimilant le mouvement de l’électron à une boucle de courant, associer un moment magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ au mouvement de l’électron et l’exprimer en fonction de 𝑅(𝑧) et de la composante du champ magnétique suivant (𝑂𝑧). Établir que la relation entre ℳu , composante de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ selon ⃗𝑢u , et ℒu , moment cinétique de l’électron par rapport à l’axe (𝑂𝑧), s’écrit ℳu = − 𝑒 2𝑚ℒu I.C.5) En supposant que l’on puisse utiliser les résultats relatifs à l’action d’un champ magnétique sur un dipôle magnétique, justifier que ℳu est une constante du mouvement. Comment se déplace l’électron vis à vis des lignes de champ magnétique ? I.C.6) Dans cette question, on suppose un champ axial de la forme 𝐵u (𝑟, 𝑧) ≃ 𝐵0 (1 + 𝑧2 𝐿2 ). a) Pourquoi peut-on dire que cette configuration de champ magnétique assure un confinement de l’électron dans un domaine de l’espace situé entre deux limites appelées miroirs magnétiques ? Le candidat pourra s’appuyer sur la conservation de l’énergie. b) Exprimer une pulsation caractéristique 𝜔u associée à ce confinement et en déduire l’ordre de grandeur du temps mis par un électron confiné pour accomplir un aller-retour entre le pôle Nord et le pôle Sud terrestres. I.C.7) La Terre émet un rayonnement radio au-dessus de ses régions aurorales (cf. document d’introduction). a) Expliquer les localisations spatiale et spectrale de ce phénomène. b) Pourquoi a-t-il fallu attendre l’ère spatiale pour observer ce rayonnement ? 2016-02-08 11:45:03 Page 4/8 I.D – Ceintures de Van Allen La Terre est entourée d’une zone où des particules de haute énergie cinétique, typiquement de quelques 100 MeV au GeV, sont piégées par le champ magnétique. Ces particules sont réparties dans des ceintures autour du plan équatorial dites ceintures de Van Allen ou ceintures de radiation. Ces ceintures sont très stables et contrai- rement aux autres éléments de la magnétosphère, elles sont peu sensibles aux orages, sous-orages et autres reconfigurations de la magnétosphère. De ce fait, les particules s’en échappent difficilement. Évaluer la vitesse typique d’un électron dans ces ceintures. La dynamique d’un tel électron peut-elle se déduire des résultats précédents ? II Confinement d’objets quantiques II.A – Confinement d’électrons dans une boîte quantique On sait réaliser depuis quelques années des « boîtes quantiques », de dimensions nanométriques, qui confinent les électrons de conduction d’un solide à basse température. La possibilité de contrôler les états d’énergie d’un tel dispositif ouvre des perspectives très riches en opto-électronique. Une boîte quantique est constituée d’un matériau 𝐴 jouant le rôle de puits, autour duquel on dépose un matériau 𝐵 qui forme une barrière de potentiel autour de 𝐴 (figure 4). 𝑥 (nm) 50 100 150 200 𝑦 (nm) 50 100 150 200 𝑧 Figure 4 Ensemble de boîtes quantiques de GaN (matériau 𝐴) déposées à 705 °C sur un substrat d’AlN (matériau 𝐵) et mûries sous vide. Image obtenue par microscopie à force atomique. Source : CEA-Grenoble/DSM/DRFMC/SP2M Rapport d’activité 1996-1998 du SP2M II.A.1) Fonction d’onde électronique Nous nous intéressons ici au confinement d’un électron dans une telle boîte. Les directions 𝑥 et 𝑦 étant suppo- sées équivalentes, on traite dans un premier temps le problème à une dimension horizontale 𝑥. L’influence du confinement vertical suivant la direction 𝑧 sera abordé ultérieurement. On admet que dans la boîte, la dynamique de l’électron est décrite par l’équation de Schrödinger où : − la masse de l’électron libre 𝑚 est remplacée par une masse effective 𝑚∗ = 0,07𝑚 ; − l’ensemble des atomes des matériaux 𝐴 et 𝐵 crée un potentiel effectif harmonique 𝑉 (𝑥) = 1 2𝑚∗𝜔2𝑥2 qui varie lentement à l’échelle atomique et pour lequel 𝜔 = 9,10 × 1013 rad⋅s–1. Dans tout le problème, on néglige tout effet associé au spin de l’électron. a) Citer deux exemples de systèmes analogues de confinement, dans des domaines différents de la physique classique. Pour chacun d’eux, établir l’équation d’évolution par une méthode énergétique et décrire les échanges énergétiques mis en jeu. b) Écrire l’équation de Schrödinger vérifiée par la fonction d’onde Ψ1D(𝑥, 𝑡) associée à l’état quantique de l’électron dans la boîte. Que représente cette fonction d’onde ? 2016-02-08 11:45:03 Page 5/8 c) On s’intéresse aux états stationnaires unidimensionnels Ψ1D(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝑔(𝑡) solutions de cette équation. Expliciter la fonction 𝑔(𝑡) et justifier le caractère stationnaire de ces états. d) Ces états stationnaires sont-ils libres ou liés ? Que dire des fonctions d’onde Ψ1D(𝑥, 𝑡) associées ? e) La partie spatiale de la fonction d’onde associée à l’état fondamental Ψ1D,0(𝑥, 𝑡) de l’électron dans la boîte s’écrit 𝜑0(𝑥) = (𝑚∗𝜔 2𝜋ℏ ) 1/4 exp (−𝑚∗𝜔𝑥2 2ℏ ). Quelle est dans cet état la position moyenne ⟨𝑥⟩ de l’électron ? Quelle est l’extension caractéristique Δ𝑥 de la distribution en position de l’électron ? Effectuer l’application numérique. f) Déduire de la relation d’indétermination spatiale d’Heisenberg l’énergie de l’état fondamental 𝐸0 pour un électron dont l’impulsion moyenne ⟨𝑝u ⟩ est nulle. Montrer que cette valeur de l’énergie est liée au confinement spatial de l’électron. Comparer au cas classique. Dans la suite, on admettra que les états stationnaires unidimensionnels Ψ1D,u u (𝑥, 𝑡) ont des énergies du type 𝐸0 + 𝑛u ℏ𝜔 avec 𝑛u ∈ ℕ. On souhaite désormais prendre en compte le confinement équivalent de l’électron dans la direction horizontale 𝑦. Le potentiel effectif bidimensionnel dans lequel évolue l’électron doit alors s’écrire 𝑉 (𝑥) + 𝑉 (𝑦) = 1 2𝑚∗𝜔2𝑥2 + 1 2𝑚∗𝜔2𝑦2 g) On cherche les états stationnaires bidimensionnels Ψ2D(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝜑(𝑥)𝜒(𝑦)𝑔(𝑡) solutions de l’équation de Schrödinger. Montrer que l’énergie 𝐸 de ces états s’écrit sous la forme 𝐸 = 𝐸u + 𝐸u , 𝐸u et 𝐸u désignant les énergies des états stationnaires unidimensionnels suivant les directions 𝑥 et 𝑦. h) Quelle est le nombre d’états quantiques (dégénérescence) 𝑔2D associé à chacun des niveaux d’énergie bidi- mensionnels de l’électron ? II.A.2) Propriétés optiques de la boîte a) Citer un dispositif usuel qui met à profit les propriétés optiques de telles boîtes quantiques. Quel est le domaine spectral concerné ? b) L’étude précise des niveaux d’énergie bidimensionnels de la boîte se fait par spectroscopie d’absorption. Décrire le principe de cette technique en explicitant le fonctionnement d’un dispositif couramment utilisé en chimie. La figure 5 fournit les résultats expérimentaux obtenus pour la fréquence des deux premiers pics d’absorption de la boîte quantique lorsqu’on lui applique un champ magnétique statique et uniforme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵u = 𝐵u ⃗𝑢u . 𝐵u (T) 0 2 4 6 8 10 12 13 14 15 16 17 Fréquence d’absorption en THz Figure 5 Fréquence des deux premiers pics d’absorption de la boîte quantique en fonction du champ magnétique appliqué à une température 𝑇 = 10 K 2016-02-08 11:45:03 Page 6/8 Dans la suite, on désigne par 𝜔u la pulsation cyclotron mise en évidence dans la première partie. On admet alors que, dans le régime 𝜔u < 𝜔/ √ 2, la résolution de l’équation de Schrödinger dans le potentiel 𝑉 (𝑥) + 𝑉 (𝑦) conduit pour les trois premiers niveaux d’énergie accessibles par l’électron à 𝐸′ 0 = ℏΩ 𝐸− ≃ 2ℏΩ − ℏ𝜔u 2 𝐸+ ≃ 2ℏΩ + ℏ𝜔u 2 avec Ω = √𝜔2 + 𝜔2 u /4. c) Déterminer les valeurs de champ magnétique vérifiant l’inégalité 𝜔u < 𝜔/ √ 2 et 𝜔u = 𝑒𝐵u /𝑚∗. d) À une température de 10 K, on constate que seul le niveau d’énergie 𝐸′ 0 contribue de manière significative au signal d’absorption. Justifier quantitativement ce fait. e) En exploitant la figure 5 reproduite en figure A dans le document réponse, déterminer le domaine de champ magnétique pour lequel le modèle adopté pour la boîte quantique permet d’interpréter les résultats expérimen- taux obtenus. II.A.3) Anisotropie de la boîte quantique On peut montrer que les résultats expérimentaux précédents sont interprétables intégralement si on prend en compte une légère anisotropie de la boîte quantique, ce qui revient à considérer le potentiel de confinement ˜𝑉 (𝑥, 𝑦) = 1 2𝑚∗𝜔2(1 + 𝜖)𝑥2 + 1 2𝑚∗𝜔2(1 − 𝜖)𝑦2 avec 𝜖 ≪ 1 En exploitant la figure 5, déterminer la valeur de l’anisotropie 𝜖. II.A.4) Rôle de la dimension 𝑧 Le confinement dans la direction 𝑧 peut être modélisé par un puits carré infini de largeur 𝐷. a) Établir les énergies 𝐸u des états stationnaires unidimensionnels de l’électron suivant la direction 𝑧. b) À quelle condition reliant 𝐷 et 𝜔 est-il légitime de considérer que le mouvement de l’électron selon 𝑧 est « gelé », c’est à dire que l’on peut ne s’intéresser qu’aux premiers niveaux du mouvement harmonique dans la direction 𝑥 ou 𝑦 ? c) Sur la figure 4, l’échelle de la direction verticale n’est pas la même que l’échelle dans le plan 𝑥𝑂𝑦. En supposant que l’approximation consistant à ignorer le mouvement selon 𝑧 est valide, déterminer si cette échelle verticale est dilatée ou contractée. On se servira de la grandeur Δ𝑥 déterminée à la question II.A.1. d) Déterminer complètement l’expression des états stationnaires unidimensionnels de l’électron suivant la direc- tion 𝑧. e) Proposer une analogie formelle entre ces résultats et ceux obtenus pour une corde vibrante. Mettre en regard les différences notables entre ces deux systèmes. f) Représenter les fonctions d’ondes spatiales de l’électron dans la direction 𝑧 pour les trois premiers niveaux d’énergies 𝐸u sur la figure B du document réponse ainsi que les densités de probabilité de présence associées. Commenter. g) Discuter des résultats attendus dans le cas des énergies élevées. II.B – Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique Nous allons préciser les propriétés physiques d’un unique oscillateur harmonique quantique à une dimension en équilibre thermodynamique avec un thermostat à la température 𝑇. Comme indiqué dans la partie précédente, la résolution de l’équation de Schrödinger pour un tel oscillateur de pulsation 𝜔 conduit à des états stationnaires d’énergie 𝐸u = 𝐸0 + 𝑛ℏ𝜔 avec 𝑛 ∈ ℕ. On admet qu’à l’équilibre avec le thermostat, cet oscillateur ne se trouve pas dans un état stationnaire mais dans un mélange statistique des états stationnaires d’énergie 𝐸u affectés des poids respectivement proportionnels au facteur de Boltzmann e− u u u u u . II.B.1) Exprimer la probabilité d’occupation 𝑝u de l’état d’énergie 𝐸u . II.B.2) En déduire le rapport 𝑟 entre la probabilité d’occupation de l’état d’énergie 𝐸u +1 et celle de l’état d’énergie 𝐸u . Comment la température influence-t-elle ce résultat ? II.B.3) Déterminer l’énergie moyenne ⟨𝐸⟩ de l’oscillateur harmonique quantique en équilibre thermodyna- mique. II.B.4) La figure 6 représente la variation en fonction de la température des énergies moyennes d’un oscillateur harmonique quantique et d’un oscillateur harmonique classique. Identifier, en justifiant votre réponse, chacune des courbes. 2016-02-08 11:45:03 Page 7/8 𝑘u 𝑇 Énergie moyenne Figure 6 Commenter le comportement de ces oscillateurs − à 𝑇 = 0 K ; − à basse température ; − à haute température. Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 𝑐 = 3,00 × 108 m⋅s–1 Masse de l’électron 𝑚 = 9,11 × 10–31 kg Charge élémentaire 𝑒 = 1,60 × 10–19 C Permittivité diélectrique du vide 𝜀0 = 8,85 × 10–12 F ⋅m–1 Constante d’Avogadro 𝒩u = 6,02 × 1023 mol–1 Constante de Boltzmann 𝑘u = 1,38 × 10–23 J⋅K–1 Constante de Planck ℎ = 6,63 × 10–34 J⋅s Constante de Planck réduite ℏ = ℎ/(2𝜋) Rayon de la Terre 𝑅u = 6,37 × 103 km Vitesse angulaire de rotation propre de la Terre Ωu = 7,29 × 10–5 rad⋅s–1 Rayon de l’orbite géostationnaire 𝑅u = 4,22 × 104 km Intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre 𝑔 = 9,81 m⋅s–2 Ordre de grandeur du champ magnétique à la surface de la Terre 5 × 10−5 T Formulaire − Impulsion d’une particule relativiste ⃗𝑝 = 𝛾𝑚 ⃗𝑣 avec 𝛾 = 1 √1 − 𝑣2/𝑐2 − Énergie cinétique d’une particule relativiste 𝐸u = 𝑚𝑐2(𝛾 − 1) avec 𝛾 = 1 √1 − 𝑣2/𝑐2 2016-02-08 11:45:03 Page 8/8 − Champ créé au point 𝑀 par un dipôle de moment magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ placé en 𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵(𝑀) = 𝜇0 4𝜋𝑟3 (3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ ⋅ ⃗𝑟 𝑟2 ⃗𝑟 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ) avec ⃗𝑟 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 − Couple subi par un dipôle de moment magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ dans un champ magnétique extérieur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗Γ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℳ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 − Opérateur divergence en coordonnées cylindriques au point 𝑀(𝑟, 𝜃, 𝑧) div ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = 1𝑟 ∂(𝑟𝐴u ) ∂𝑟 + 1𝑟 ∂𝐴u ∂𝜃 + ∂𝐴u ∂𝑧 − Densité de probabilité pour une loi normale d’espérance (moyenne) ⟨𝑥⟩ et d’écart type 𝜎 𝑓(𝑥) = 1 𝜎 √ 2𝜋 exp (−1 2 (𝑥 − ⟨𝑥⟩ 𝜎 ) 2 ) − Relation d’indétermination spatiale d’Heisenberg Δ𝑥Δ𝑝u ⩾ ℏ 2 • • • FIN • • • NOM : Prénom : Épreuve de Physique–chimie 1 Filière MP NUMÉRO DE PLACE Ne rien porter sur cette feuille avant d’avoir rempli complètement l’en-tête Signature : 𝐵u (T) 0 2 4 6 8 10 Fréquence d’absorption en THz 12 13 14 15 16 17 Figure A Fréquence des deux premiers pics d’absorption de la boîte quantique en fonction du champ magnétique appliqué à une température 𝑇 = 10 K 2016-02-09 13 :08 :02 Ne rien écrire dans la partie barrée 2015-019-DR 0 𝑧 𝐸u 0 𝑧 𝐸u Figure B Tracés des fonctions d’ondes spatiales des trois premiers niveaux d’énergie et des densités de proba- bilité de présence associées

Centrale MP 2016 – physique-chimie 1 par Karim Helal / merci de me signaler les coquilles à karim.helal@free.fr I Confinement d’une particule chargée dans un champ magnétique I.A Aurores polaires terrestres I.A.1. cf. énoncé : « Les particules chargées accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le long du champ sur les couches denses de l’atmosphère. » Leurs collisions avec les molécules présentes excitent ces molécules (transfert d’énergie cinétique en énergie interne) qui se désexcitent ensuite en émettant un rayonnement dans le visible – notamment. I.A.2. Symétrie de la figure 1 de l’énoncé par rapport au plan équatorial : lorsqu’une reconfiguration ma- gnétique intervient, les particules guidées par les lignes de champ magnétique arrivent aussi bien dans l’hémisphère nord que dans l’hémisphère sud. I.A.3. On reconnait le champ d’un dipôle magnétique (présenté ci dessous) assez près de la Terre. A plus grande distance, le champ magnétique du vent solaire « tire » les lignes de champ (ldc) vers l’arrière (la droite sur la figure 1 de l’énoncé) : du côté de l’arrivée du vent solaire les ldc sont « aplaties » et à l’arrière on note que des ldc ne sont plus fermées. Figure 1 – Topographie du champ d’un di- pôle magnétique ; #– m I.B Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme I.B.1. On néglige le poids car ∥m⃗g∥ ≪ ∥q⃗v ∧ #– B∥ : le poids est inférieur à 10−26 N pour un proton et à 10−29 N pour une électron ; 1 2mv2 = Ec ∼ 10−16 J ⇒ ve ∼ 107 m.s−1 et vp ∼ 105 m.s−1 et avec B ∼ BT ∼ 10−5 T on a Fmagn ∼ evB ∼ 10−19 à 10−17 N. I.B.2. La trajectoire est rectiligne uniforme à ⃗v = v0 ⃗uz car alors q⃗v ∧ #– B = ⃗0 puisque ⃗v ∥ #– B. La particule chargée suit une ligne de champ rectiligne. I.B.3. (a) Par analyse dimensionnelle ωc = eB0 me . MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 1/ 6 Pour l’ordre de grandeur : le champ magnétique terrestre assimilé à celui d’un dipôle ma- gnétique décroit comme 1 r3 donc Bgeo ∼ RT rgeo 3 BT ∼ 6400 42200 3 5.10−5 ∼ 1, 7 .10−7 T d’où ωc ∼ 3.104 rad.s−1. Rem : avec cet odg de B, l’approximation consistant à négliger le poids reste légitime. (b) Le fait de montrer que la trajectoire est circulaire est explicitement hors programme et doit être admis ce que nous ferons. En coordonnées polaires, on projette alors la 2e loi de Newton sur la direction radiale : mv2 0 Rc = ev0B d’où Rc = mv0 eB = v0 ωc . En passant par l’équation cartésienne : m      dvx dt dvy dt dvz dt      = −e      vx vy vz      ∧      0 0 B0      =⇒          dvx dt = −ωcvy dvy dt = ωcvx dvz dt = 0 d’où vz = cte = 0 Le mouvement reste plan dans un plan orthogonal à #– B0. On pose les grandeurs complexes r(t) = x(t) + i y(t) et u(t) = vx(t) + i vy(t) = dr dt qui vérifient du dt = iωcu ⇒ u(t) = v0x u(0) eiωct ⇒ r(t) = iv0x ωc 1 − eiωct par intégration avec la CI r(0) = 0 On prend les parties réelle et imaginaire et on a x(t) = v0x ωc sin ωct et y(t) = v0x ωc (1 − cos ωct). On retrouve bien sur Rc = mv0 eB = v0x ωc avec x2(t)+(y(t) − Rc)2 = R2 c ; la trajectoire est un cercle de centre (0; Rc) de rayon Rc parcouru (dans le sens trigonométrique) à la pulsation ωc. I.B.4. (a) Par analyse dimensionnelle avec e2 ε0L =énergie (potentielle)= puissance x temps et [c] = L t on obtient α = 2 et β = −3. (b) E = Ec = 1 2mv2 0 = 1 2mω2 cR2 c ⇒ dE = mω2 cRcdRc = −Pray dt = − e2 6πε0c3 ω4 cR2 c ∥⃗a∥2 dt d’où dRc dt = −Rc τ et Rc(t) = Rc(0)e− t τ avec τ = 6πε0c3 m e2ω2c = 6πε0c3 B0 eω3c . La particule spirale jusqu’à s’arrêter au bout de quelques τ. AN : avec ωc ∼ 3.104 rad.s−1 : τ ∼ 1, 8 .1014 s ∼ 6 millions d’années ! Ce phénomène est donc négligeable à l’échelle d’observation. I.B.5. Il y a superposition des deux mouvements étudiés précédemment : superposi- tion d’une translation uniforme selon Oz et du mouvement circulaire uniforme dans le plan (Oxy) d’où un mouvement hélicoïdal (cf. ci-contre) s’enroulant autour des ldc magnétiques. I.C Mouvement d’un électron dans un champ stationnaire et non uniforme I.C.1. (Maxwell-Thomson) div #– B = 0 = 1 r ∂ (r Br) ∂r + ∂Bz ∂z . On est proche de l’axe donc on suppose que Bz(r, z) ≃ Baxe(z) = Bz(z) d’où ∂ (r Br) ∂r = −rdBz dz qui donne par intégration r Br(r, z) = −r2 2 dBz dz + f(z). Pas de divergence sur l’axe donc en faisant r = 0, on obtient f(z) = 0 d’où le résultat : Br(r, z) = −r 2 dBz dz . MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 2/ 6 I.C.2. L est l’échelle caractéristique de variation de Bz selon z donc dBz dz ∼ Bz L et avec la question précédente Br ∼ r LBz. On pourra donc considérer la composante radiale Br comme une petite perturbation de la composante axiale Bz tant que r ≪ L . I.C.3. Avec l’approximation ci-dessus on peut utiliser le résultat de la question B.3)b) soit R(z) = m vθ eBz(z). I.C.4. On assimile le mvt de l’électron à une boucle de courant de moment magnétique Mz = I S = I πR2(z), où I = δq dt = −e T car débit de charge d’un électron par tour parcouru en une période T = 2π R(z) vθ . On a donc Mz = −e R(z)vθ 2 = − e 2mLz en identifiant Lz = mR(z)vθ. I.C.5. TMC à l’électron dans (R) projeté sur ⃗uz : dLz dt = # – M ∧ #– B · ⃗uz ≃ 0 au premier ordre donc Lz et Mz = − e 2mLz peuvent être considérés comme des constantes du mouvement au premier ordre. I.C.6. (a) c.f. cours MPSI, le TEC donne la conservation de l’énergie cinétique d’où v2 z + v2 θ = cte = v2 où v est la norme – constante – de la vitesse. La conservation du moment magnétique Mz implique v2 θ Bz = cte soit v2 θ 1 + z2 L2 = v2 θ,0 où vθ,0 est la vitesse orthoradiale dans le plan z = 0. Ainsi v2 z = v2 − v2 θ = v2 − v2 θ,0 1 + z2 L2 ≥ 0 d’où un confinement entre [−zmax; zmax] où zmax = L v2 vθ,0 − 1 (points de rebroussement). (b) La conservation de l’énergie cinétique s’écrit Ec = 1 2m v2 z + v2 θ,0 1 + z2 L2 = cte, ou encore avec l’expression de Mz dans le plan z = 0 et en éliminant la constante inutile : 1 2m v2 z+Mz B0 L2 z2 = cte’, où on reconnait l’expression de la conservation de l’énergie pour un OH 1D de pulsation propre ωm = 2Mz B0 mL2 . Temps d’aller-retour : Tar = 2π ωm et on peut réécrire ωm ∼ E m L donc avec un électron (m ∼ 10−30 kg) d’énergie de qqs keV, avec L ∼ qqs 106 m, on obtient Tar ∼ 1 s. I.C.7. (a) Il s’agit d’un rayonnement d’accélération proportionnel à ω4 donc d’autant plus important que B augmente, le rayonnement est donc particulièrement intense près de la Terre, aux pôles puisque c’est là que les particules chargées sont guidées par les ldc magnétiques. (b) ω = eB m ∼ 1, 6.10−19 5.10−5 10−30 ∼ 9.106 rad.s−1 d’où f ∼ 1, 4 MHz et λ = 200 m (cohérent avec le document où λ = c f ∼ km). On sait que les ondes EM de cette fréquence ne traversent pas l’ionosphère, il faut donc être au dessus de celle-ci pour pouvoir l’observer. I.D Ceintures de Van Allen Ec = 1 2mv2 ∼ 0, 1 à 1 GeV ⇒ v ∼ 1010 m.s−1 ! Le mvt de l’électron est donc fortement relativiste ! Toute l’étude est à reprendre dans ce cadre ! II Confinement d’objets quantiques II.A Confinement dans une boite quantique II.A.1. (a) Confinement au voisinage d’un minimum de potentiel : oscillateur harmonique Em = 1 2m ˙x2 + 1 2mω2x2 = cte d’où en dérivant par rapport au temps ¨x + ω2x = 0 ; conversion d’énergie cinétique en énergie potentielle et réciproquement. MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 3/ 6 Circuit électrique LC : E = q2 2C + 1 2L i2 = cte où i = dq dt ; ω = 1 √ LC ; mêmes calculs (analogie méca-élec) ; conversion d’énergie électrique stockée dans le condensateur en énergie magnétique stockée dans la bobine et réciproquement. (b) iℏ∂ψ ∂t = − ℏ2 2m ∂2ψ ∂x2 + V (x) ψ(x, t) où ρ = |ψ|2 est la densité de probabilité de présence, c’est à dire que la probabilité dP de se trouver entre x et x + dx à t est dP = |ψ(x, t)|2dx. (c) g(t) = e− iEt ℏ où E est l’énergie de cet état. Cet état est stationnaire car la densité de probabilité de présence ρ = |ψ|2 est bien indépendante du temps. (d) C’est un état lié et la fonction d’onde doit être normalisée : +∞ −∞ |ψ|2(x) dx = 1. (e) ⟨x⟩ = +∞ −∞ x|ψ|2(x) dx = 0 (imparité de la fonction ou changement de variable x → −x). Avec le formulaire on a directement l’extension caractéristique ∆x = 1 √ 2 ℏ m∗ω = 3, 0 nm. (f) ∆x ∆px ≥ ℏ 2 ⇒ ∆px ≥ m∗ℏω 2 . Et ⟨px⟩ = 0 donc p2 x = (∆px)2 ≥ m∗ℏω 2 d’où E = p2 x 2m + 1 2m∗ω2x2 ≥ ℏω 2 . Pour l’OHQ le minimum est atteint et E0 = ℏω 2 . Contrairement au cas classique cette énergie minimale n’est pas nulle mais strictement positive. Cette énergie minimale est directement liée au confinement au travers de ω et de la relation d’incertitude de Heisenberg (c.f. calcul ci-dessus). (g) On a toujours g(t) = e− iEt ℏ et en injectant la solution à variables séparées ψ(x, y, t) = ϕ(x)χ(y)e− iEt ℏ dans l’équation de Schrödinger bidimensionnelle iℏ∂ψ ∂t = − ℏ2 2m ∆ψ laplacien + V (x, y) ψ on a − ℏ2 2m ∂2ϕ ∂x2 χ + ϕ ∂2χ ∂y2 + (V (x) + V (y)) ϕ χ = Eϕ χ ; on divise par ϕ(x) χ(y) et on sépare les variables pour obtenir − ℏ2 2m 1 ϕ(x) ∂2ϕ ∂x2 + V (x) = E + ℏ2 2m 1 χ(y) ∂2χ ∂y2 − V (y) =cte puisque le terme de gauche ne dépend que de x et celui de droite que de y. Ainsi ϕ(x) est solution de l’équation de Schrödinger stationnaire 1D pour le potentiel harmonique V d’où une énergie Ex = nx + 1 2 ℏω et de même pour χ(y) avec une énergie Ey = ny + 1 2 ℏω. En réinjectant dans l’égalité précédente on en déduit que E = Ex + Ey = (nx + ny + 1) ℏω avec nx et ny entiers positifs. (h) On obtient E2D n = (n + 1) ℏω où n entier positif de dégénérescence g2D n = n+1 (nombre de paires d’entiers positifs nx et ny tels que nx + ny = n). Le fondamental d’énergie E2D 0 = ℏω est non dégénéré. II.A.2. (a) On peut citer les diodes laser qui émettent principalement dans l’infrarouge. (b) On éclaire l’échantillon par une source de fréquence réglable (IR/visible/UV) et on mesure l’ab- sorbance en fonction de la fréquence ; des pics de résonance se présentent à certaines pulsations de résonance ωn,p liée aux niveaux d’énergie par ℏωn,p = En − Ep. (c) ωc = eBs m∗ < ω √ 2 ⇔ Bs < Bmax = m∗ω e √ 2 = 25, 6 T ok ! (d) kBT ∼ 10−22 J ≪ ℏω ∼ 10−20 J donc l’agitation thermique est négligeable et la – quasi – totalité des électrons se trouve dans l’état fondamental d’énergie E′ 0 qui est donc le seul à contribuer à l’absorbance. MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 4/ 6 (e) On effectue une modélisation linéaire très satisfaisante des courbes fabs(Bs). Interprétation : on a Bs < 9 T ∼ Bmax 3 donc ω2 c 4 < ω2 32 ∗ 4 ∗ 2 ≪ ω2 ; on peut donc considérer que Ω ≃ ω. Les fréquences d’absorption s’expriment alors f1 = E− − E′ 0 h ≃ ω 2π − e 4πm∗ Bs et f2 = E+ − E′ 0 h ≃ ω 2π + e 4πm∗ Bs. Cela correspond bien aux variations affines symétriques observées. Aspect quantitatif : pente mesurée ±2, 0.1011 Hz.T−1 pour une pente théorique ± e 4πm∗ = ±2, 0.1011 Hz.T−1 ; l’accord est excellent ! Il y a par contre un problème car les deux droites devraient se croiser sur l’axe des ordonnées à ω 2π = 14, 5 THz ce qui n’est pas le cas (la question suivante va apporter l’explication). II.A.3. On se place à B = 0 et l’anisotropie lève la dégénérescence sur le premier niveau excité E′ 1 = 2ℏω : en effet on a Ex = nx + 1 2 ℏω 1 + ε 2 (DL au premier ordre en ε), Ey = ny + 1 2 ℏω 1 − ε 2 et E = Ex + Ey. Le fondamental (nx, ny) = (0, 0) est d’énergie inchangée ℏω mais les couples (1, 0) et (0, 1) corres- pondent désormais à des niveaux d’énergie différents : E(0,1) = 2 − ε 2 ℏω premier niveau excité et E(1,0) = 2 + ε 2 ℏω deuxième niveau excité. C’est bien ce qui est observé à B = 0 sur la figure 5 avec f(0,1) = 1 − ε 2 ω 2π ≃ 13, 75 THz et f(1,0) = 1 + ε 2 ω 2π ≃ 15, 15 THz. On note que l’on a bien une moyenne de 14, 45 THz égale à la valeur attendue de 14, 5 THz aux incertitudes de lecture près. On obtient une anisotropie ε = f(1,0) − f(0,1) fmoy = 15, 15 − 13, 75 14, 45 ≃ 0, 1. On note qu’on a bien ε ≪ 1. II.A.4. (a) C’est le cours sur le puits infini de largeur D : Ez = n2 zℏ2π2 2m∗D2 où nz ∈ N∗. (b) On pourra considérer que le mvt de l’électron selon z est « gelé » si |Ez,2 − Ez,1| ≫ ℏω soit D ≪ 3 2π ℏ m∗ω (voir paragraphe B ci-après pour la justification). (c) L’inégalité ci dessus se réécrit D ≪ π √ 3 ∆x alors que sur la figure on a ∆z ∼ ∆x donc l’échelle verticale a été dilatée. (d) cf. cours, avec la condition de normalisation (z ∈ [0 ; D]), ϕn(z) = 2 D sin nπz D . (e) Dans les deux cas les états stationnaires correspondent à D = nλ 2 mais la corde de Melde correspond à une onde mécanique classique alors que le puits quantique est justement quantique avec des aspects à la fois ondulatoires et corpusculaires où |ϕ|2 est une probabilité de présence ; pour le puits quantique l’énergie est quantifiée, contrairement à la corde de Melde où elle ne l’est pas. MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 5/ 6 (f) Voir tracés ci-contre. La fonction d’onde ϕn et la probabilité de présence |ϕn|2 s’annulent sur les bords, et présentent n maxima (ventres) entre 0 et D et n − 1 annulations (nœuds) à l’inté- rieur. (g) Pour les énergies élevées, la distance entre les nœuds et les ventres devient très faible : on tend vers une probabilité de présence uniforme qui est le comportement classique attendu. II.B OHQ en équilibre thermique II.B.1. Pn = 1 Z e− En kBT où Z = +∞ n=0 e− En kBT = e− E0 kBT +∞ n=0 e− ℏω kBT n = e− ℏω 2kBT 1 − e− ℏω kBT = 1 2 sh ℏω 2kBT est la fonction de partition. II.B.2. r = Pn+1 Pn = e− ℏω kBT < 1. Si ℏω ≪ kBT alors l’agitation thermique domine et Pn+1 ≃ Pn ; les états sont sensiblement équipro- bables. Si ℏω ≫ kBT alors Pn+1 ≪ Pn. On peut dire que l’OHQ est « gelé » dans son état fondamental où se trouvent l’immense majorité des particules. II.B.3. ⟨E⟩ = +∞ n=0 Pn En. On pose β = 1 kBT et on constate que ⟨E⟩ = 1 Z +∞ n=0 Ene−βEn = − 1 Z dZ dβ . Du calcul de Z au 1) on déduit ⟨E⟩ = ℏω 2 + ℏω e ℏω kBT − 1 = ℏω 2 tanh ℏω 2kBT II.B.4. On déduit que pour l’OHQ en équilibre thermique : – Si ℏω ≪ kBT alors tanh ℏω 2kBT ≃ ℏω 2kBT et ⟨E⟩ = kBT ; on retrouve le résultat classique correspon- dant au théorème d’équipartition de l’énergie : 2 degrés de liberté (DL) quadratiques et kBT 2 par DL quadratique classique. – Si ℏω ≫ kBT, l’OHQ est « gelé » dans son état fondamental et ⟨E⟩ = E0 = ℏω 2 (ok car tanh u → 1 si u → +∞). La courbe en trait plein correspond donc à l’OHQ et celle en pointillés à l’OH classique. MP 2016 Centrale – physique-chimie 1 6/ 6