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2020-02-17 16:13:24 Page 1/4 2020 Mathématiques 2 PC 4 heures Calculatrice autorisée Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle Soit (Ω, 𝒜, ℙ) un espace probabilisé, où 𝒜 est une tribu sur Ω et ℙ une probabilité sur (Ω, 𝒜). Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, définies sur (Ω, 𝒜). Si la variable aléatoire 𝑋 : Ω → ℝ est d’espérance finie, on note 𝔼(𝑋) son espérance. Pour tout nombre complexe 𝑧, on note Re(𝑧) sa partie réelle, Im(𝑧) sa partie imaginaire et ¯𝑧 son conjugué. On appelle sinus cardinal la fonction définie, pour tout réel 𝑥, par sinc(𝑥) = ⎧ { ⎨ { ⎩ sin 𝑥 𝑥 si 𝑥 ≠ 0, 1 si 𝑥 = 0. On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel 𝑥, |sinc(𝑥)| ⩽ 1. On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d’espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu’une variable aléatoire discrète à valeurs complexes 𝑍 : Ω → ℂ est d’espérance finie si les variables aléatoires réelles Re(𝑍) et Im(𝑍) sont d’espérance finie et on définit alors l’espérance de 𝑍 par 𝔼(𝑍) = 𝔼(Re(𝑍)) + i 𝔼(Im(𝑍)). On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles. — Toute variable aléatoire 𝑍 complexe finie est d’espérance finie. Si 𝑍(Ω) = {𝑧1, …, 𝑧𝑟}, où les 𝑧𝑖 sont deux à deux distincts, alors 𝔼(𝑍) = 𝑟 ∑ 𝑘=1 𝑧𝑘ℙ(𝑍 = 𝑧𝑘). — Théorème du transfert (cas 𝑋(Ω) fini). Soit 𝑋 une variable aléatoire réelle d’image finie 𝑋(Ω) = {𝑥1, …, 𝑥𝑟} où les 𝑥𝑖 sont deux à deux distincts et soit 𝑓 une application à valeurs complexes définie sur 𝑋(Ω). Alors 𝑓(𝑋) est d’espérance finie et 𝔼(𝑓(𝑋)) = 𝑟 ∑ 𝑘=1 ℙ(𝑋 = 𝑥𝑘)𝑓(𝑥𝑘). — Soit 𝑍 une variable aléatoire complexe telle que 𝑍(Ω) soit dénombrable égal à {𝑧𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} où les 𝑧𝑛 sont deux à deux distincts. Alors 𝑍 est d’espérance finie si, et seulement si, la série ∑ 𝑛⩾0 𝑧𝑛ℙ(𝑍 = 𝑧𝑛) converge absolument. Dans ce cas, 𝔼(𝑍) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑧𝑛ℙ(𝑍 = 𝑧𝑛). — Théorème du transfert (cas 𝑋(Ω) dénombrable). Soit 𝑋 une variable aléatoire réelle d’image dénombrable 𝑋(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} où les 𝑥𝑛 sont deux à deux distincts et soit 𝑓 une application à valeurs complexes définie sur 𝑋(Ω). Alors 𝑓(𝑋) est d’espérance finie si, et seulement si, la série ∑ 𝑛⩾0 ℙ(𝑋 = 𝑥𝑛)𝑓(𝑥𝑛) converge absolument. Dans ce cas, 𝔼(𝑓(𝑋)) = +∞ ∑ 𝑛=0 ℙ(𝑋 = 𝑥𝑛)𝑓(𝑥𝑛). — Soit 𝑍 une variable aléatoire complexe et ¯𝑍 : 𝜔 ∈ Ω ↦ 𝑍(𝜔) sa variable aléatoire conjuguée. Si 𝑍 est d’espérance finie, alors ¯𝑍 est d’espérance finie et 𝔼( ¯𝑍) = 𝔼(𝑍). — Soit 𝑍1 et 𝑍2 deux variables aléatoires complexes d’espérance finie et soit 𝜆 ∈ ℂ. Alors 𝑍1 + 𝑍2 et 𝜆𝑍1 sont d’espérance finie et 𝔼(𝑍1 + 𝑍2) = 𝔼(𝑍1) + 𝔼(𝑍2) et 𝔼(𝜆𝑍1) = 𝜆𝔼(𝑍1). 2020-02-17 16:13:24 Page 2/4 I Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle À toute variable aléatoire réelle discrète 𝑋 : Ω → ℝ, on associe une fonction 𝜙𝑋, appelée fonction caractéristique de 𝑋 et définie par ∀𝑡 ∈ ℝ, 𝜙𝑋(𝑡) = 𝔼 (ei 𝑡𝑋) . I.A – Premières propriétés Dans cette sous-partie, 𝑋 est une variable aléatoire réelle discrète. Q 1. On suppose, dans cette question, que 𝑋(Ω) est un ensemble fini de cardinal 𝑟 ∈ ℕ∗. On note 𝑋(Ω) = {𝑥1, …, 𝑥𝑟} où les 𝑥𝑖 sont deux à deux distincts, et, pour tout entier 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑟⟧, 𝑎𝑘 = ℙ(𝑋 = 𝑥𝑘). Montrer que, pour tout réel 𝑡, 𝜙𝑋(𝑡) = 𝑟 ∑ 𝑘=1 𝑎𝑘ei 𝑡𝑥𝑘. Q 2. On suppose dans cette question que 𝑋(Ω) est un ensemble dénombrable. On note 𝑋(Ω) = {𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} où les 𝑥𝑛 sont deux à deux distincts. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on pose 𝑎𝑛 = ℙ(𝑋 = 𝑥𝑛). Montrer que 𝜙𝑋 est définie sur ℝ et que, pour tout réel 𝑡, 𝜙𝑋(𝑡) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑎𝑛ei 𝑡𝑥𝑛. Q 3. Montrer que 𝜙𝑋 est continue sur ℝ. Q 4. Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels et 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏. Pour tout réel 𝑡, exprimer 𝜙𝑌(𝑡) en fonction de 𝜙𝑋, 𝑡, 𝑎 et 𝑏. Q 5. Soit 𝑡 ∈ ℝ. Donner une expression de 𝜙𝑋(−𝑡) en fonction de 𝜙𝑋(𝑡). En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur l’image 𝜙𝑋(ℝ) pour que la fonction 𝜙𝑋 soit paire. I.B – Trois exemples Q 6. Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑝 ∈ ]0, 1[. On suppose que 𝑋 : Ω → ℝ suit une loi binomiale ℬ(𝑛, 𝑝) et on note 𝑞 = 1−𝑝. Montrer que, pour tout 𝑡 ∈ ℝ, 𝜙𝑋(𝑡) = (𝑞 + 𝑝ei 𝑡)𝑛. Q 7. Soit 𝑝 ∈ ]0, 1[. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre 𝑝 ? Q 8. Soit 𝜆 > 0. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 𝜆 ? I.C – Image de 𝜙𝑋 On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète 𝑋 : Ω → ℝ, dont on note 𝜙𝑋 la fonction caractéristique. Pour tout (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2, 𝑎 + 𝑏ℤ désigne l’ensemble {𝑎 + 𝑏𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}. Q 9. Montrer que pour tout 𝑡 ∈ ℝ, |𝜙𝑋(𝑡)| ⩽ 1. Q 10. Montrer que, s’il existe 𝑎 ∈ ℝ et 𝑡0 ∈ ℝ∗ tels que 𝑋(Ω) ⊂ 𝑎 + 2𝜋 𝑡0 ℤ, alors |𝜙𝑋(𝑡0)| = 1. On suppose réciproquement qu’il existe 𝑡0 ∈ ℝ∗ tel que |𝜙𝑋(𝑡0)| = 1. Dans la suite de cette sous-partie I.C, on suppose de plus que 𝑋(Ω) est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. Q 11. Montrer qu’il existe 𝑎 ∈ ℝ tel que +∞ ∑ 𝑛=0 𝑎𝑛 exp(i(𝑡0𝑥𝑛 − 𝑡0𝑎)) = 1. Q 12. En déduire que +∞ ∑ 𝑛=0 𝑎𝑛(1 − cos(𝑡0𝑥𝑛 − 𝑡0𝑎)) = 0. Q 13. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, si 𝑎𝑛 ≠ 0, alors 𝑥𝑛 ∈ 𝑎 + 2𝜋 𝑡0 ℤ. Q 14. En déduire que ℙ (𝑋 ∈ 𝑎 + 2𝜋 𝑡0 ℤ) = 1. 2020-02-17 16:13:24 Page 3/4 II Fonction caractéristique et loi d’une variable aléatoire L’objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d’une variable aléatoire détermine sa loi. Deux méthodes de démonstration sont proposées. II.A – Première méthode Soit 𝑋 une variable aléatoire réelle et discrète et 𝑚 ∈ ℝ. Pour 𝑇 ∈ ℝ∗ +, on pose 𝑉𝑚(𝑇) = 1 2𝑇 𝑇 ∫ −𝑇 𝜙𝑋(𝑡) e−i𝑚𝑡 d𝑡. II.A.1) On suppose que 𝑋(Ω) est fini et on reprend les notations de la question 1. Q 15. Montrer que, pour tout 𝑇 ∈ ℝ∗ +, on a 𝑉𝑚(𝑇) = 𝑟 ∑ 𝑛=1 sinc(𝑇(𝑥𝑛 − 𝑚))ℙ(𝑋 = 𝑥𝑛). Q 16. En déduire que 𝑉𝑚(𝑇) →→→→→→→→→→→→ 𝑇 → +∞ ℙ(𝑋 = 𝑚). II.A.2) On suppose que 𝑋(Ω) est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. Pour 𝑛 ∈ ℕ et ℎ ∈ ℝ∗ +, on pose 𝑔𝑛(ℎ) = sinc (𝑥𝑛 − 𝑚 ℎ ) ℙ(𝑋 = 𝑥𝑛). Q 17. Montrer que pour tout 𝑇 ∈ ℝ∗ +, on a 𝑉𝑚(𝑇) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑔𝑛 ( 1 𝑇). Q 18. Montrer que la fonction 𝑔𝑛 se prolonge en une fonction ̃𝑔𝑛 définie et continue sur ℝ+. Q 19. Montrer que la fonction 𝐺 = +∞ ∑ 𝑛=0 ̃𝑔𝑛 est définie et continue sur ℝ+. Q 20. Établir que 𝑉𝑚(𝑇) →→→→→→→→→→→→ 𝑇 → +∞ ℙ(𝑋 = 𝑚). II.A.3) Application Q 21. Soient 𝑋 : Ω → ℝ et 𝑌 : Ω → ℝ deux variables aléatoires discrètes telles que 𝜙𝑋 = 𝜙𝑌. Montrer que, pour tout 𝑚 ∈ ℝ, ℙ(𝑋 = 𝑚) = ℙ(𝑌 = 𝑚), autrement dit que 𝑋 et 𝑌 ont la même loi. II.B – Deuxième méthode Si 𝑎 et 𝑏 sont deux réels, on note 𝐾𝑎,𝑏 la fonction définie pour tout réel 𝑡 par 𝐾𝑎,𝑏(𝑡) = ⎧ { ⎨ { ⎩ ei 𝑡𝑏 − ei 𝑡𝑎 2 i 𝑡 si 𝑡 ≠ 0, 𝑏 − 𝑎 2 si 𝑡 = 0. Q 22. À l’aide de séries entières, montrer que 𝐾𝑎,𝑏 est de classe 𝐶∞ sur ℝ. Soit 𝑁 un entier naturel et soit 𝐹𝑁 la fonction définie, pour tout réel 𝑥, par 𝐹𝑁(𝑥) = 𝑁 ∫ −𝑁 𝐾𝑎,𝑥(𝑡) d𝑡. Q 23. Montrer que 𝐹𝑁 est de classe 𝐶1 sur ℝ et que, pour tout réel 𝑥, 𝐹′𝑁(𝑥) = 𝑁 sinc(𝑁𝑥). Q 24. Montrer que 𝑁 ∫ −𝑁 𝐾𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡 = 𝑁𝑏 ∫ 𝑁𝑎 sinc(𝑠) d𝑠. Q 25. Montrer que l’intégrale +∞ ∫ 0 sinc(𝑠) d𝑠 est convergente. On admettra dans la suite que +∞ ∫ 0 sinc(𝑠) d𝑠 = 𝜋 2 . Q 26. En déduire l’existence et la valeur de lim 𝑁→+∞ 𝑁 ∫ −𝑁 𝐾𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡 dans le cas où 𝑎 < 𝑏. Q 27. Soit 𝑋 : Ω → ℝ une variable aléatoire telle que 𝑋(Ω) est fini. On suppose que les réels 𝑎 et 𝑏 n’appartiennent pas à 𝑋(Ω). Montrer que 1 𝜋 𝑁 ∫ −𝑁 𝜙𝑋(−𝑡)𝐾𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡 →→→→→→→→→→→→ 𝑁 → +∞ ℙ(𝑎 < 𝑋 < 𝑏). 2020-02-17 16:13:24 Page 4/4 III Régularité de 𝜙𝑋 On fixe dans cette partie une variable aléatoire réelle 𝑋 : Ω → ℝ, dont l’image 𝑋(Ω) est un ensemble dénombrable et on reprend les notations de la question 2. On cherche à établir des liens entre des propriétés de la loi de 𝑋 et la régularité de 𝜙𝑋. Pour tout 𝑘 ∈ ℕ∗, on dit que 𝑋 admet un moment d’ordre 𝑘 si la variable aléatoire 𝑋𝑘 est d’espérance finie. III.A – Soit 𝑘 ∈ ℕ∗. On suppose dans cette sous-partie III.A que 𝑋 admet un moment d’ordre 𝑘. Q 28. Soit 𝑗 un entier tel que 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘. Montrer que pour tout réel 𝑥, |𝑥|𝑗 ⩽ 1 + |𝑥|𝑘 et en déduire que 𝑋 admet un moment d’ordre 𝑗. Q 29. En déduire que 𝜙𝑋 est de classe 𝐶𝑘 sur ℝ et donner une expression de la dérivée 𝑘−ième de 𝜙𝑋. Q 30. En déduire une expression de 𝔼(𝑋𝑘) en fonction de 𝜙(𝑘) 𝑋 (0). III.B – On suppose dans cette sous-partie III.B que 𝜙𝑋 est de classe 𝐶2 sur ℝ. Q 31. On note 𝑓 la fonction qui à tout réel ℎ > 0 associe 𝑓(ℎ) = 2𝜙𝑋(0) − 𝜙𝑋(2ℎ) − 𝜙𝑋(−2ℎ) 4ℎ2 . Quelle est la limite de 𝑓 en 0 ? Q 32. Montrer que pour tout ℎ ∈ ℝ∗, 𝑓(ℎ) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑎𝑛 sin2(ℎ𝑥𝑛) ℎ2 . Q 33. En déduire que 𝑋 admet un moment d’ordre 2. III.C – On fixe dans cette sous-partie III.C un entier naturel 𝑘 ∈ ℕ et on suppose à la fois que 𝜙𝑋 est de classe 𝐶2𝑘+2 sur ℝ et que 𝑋 admet un moment d’ordre 2𝑘. On note 𝛼 = 𝔼(𝑋2𝑘). Q 34. Que peut-on dire de 𝑋 si 𝛼 est nul ? On suppose dorénavant que le réel 𝛼 est strictement positif. Q 35. Soit 𝑌 : Ω → ℝ une variable aléatoire vérifiant 𝑌 (Ω) = 𝑋(Ω) et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ℙ(𝑌 = 𝑥𝑛) = 𝑎𝑛𝑥2𝑘 𝑛 𝛼 . Montrer que 𝜙𝑌 est de classe 𝐶2 sur ℝ. Q 36. En déduire que 𝑋 admet un moment d’ordre 2𝑘 + 2. Q 37. Soit 𝑘 ∈ ℕ∗. Déduire des questions précédentes que si 𝜙𝑋 est de classe 𝐶2𝑘 sur ℝ, alors 𝑋 admet un moment d’ordre 2𝑘. IV Développement en série entière de 𝜙𝑋 Soit 𝑋 : Ω → ℝ une variable aléatoire réelle. IV.A – On suppose que 𝑋(Ω) est fini et on reprend les notations de la question 1. Q 38. Montrer que 𝜙𝑋 est développable en série entière sur ℝ et, pour tout réel 𝑡, 𝜙𝑋(𝑡) = +∞ ∑ 𝑛=0 (i 𝑡)𝑛 𝑛! 𝔼(𝑋𝑛). IV.B – On suppose que 𝑋(Ω) est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. On suppose également que, pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ, 𝑋 admet un moment d’ordre 𝑛 et qu’il existe un réel 𝑅 > 0 tel que 𝔼(|𝑋|𝑛) = 𝑂 ( 𝑛𝑛 𝑅𝑛 ) quand 𝑛 → +∞. Q 39. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ et tout 𝑦 ∈ ℝ, ∣ei𝑦 − 𝑛 ∑ 𝑘=0 (i𝑦)𝑘 𝑘! ∣ ⩽ |𝑦|𝑛+1 (𝑛 + 1)!. Q 40. En déduire que pour tout réel 𝑡 ∈ [−𝑅 e , 𝑅 e ], 𝜙𝑋(𝑡) = +∞ ∑ 𝑘=0 (i𝑡)𝑘 𝑘! 𝔼(𝑋𝑘). • • • FIN • • •

Centrale-Supélec 2020 1 PC - Mathématiques 2 I Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle I.A Premières propriétés 1. Soit t ∈ R. La variable aléatoire eiXt : Ω → C est bornée (par 1) donc elle admet une espérance et φX(t) est bien défini. On a φX(t) = E[eiXt] = x∈X(Ω) P(X = x)eixt par la formule de transfert. D’où φX(t) = r 1 akeixkt par définition des ak. Pour tout t ∈ R, φX(t) = r 1 akeixkt. 2. La fonction φX est bien définie sur R pour la même raison que précédemment. La formule de transfert (cas dénombrable) donne le résultat. Pour tout t ∈ R, φX(t) = +∞ 0 aneixnt. Oui, cette question est la même que la précédente... 3. Pour tout n ∈ N, définissons la fonction un : R → C par un(t) = aneixnt. Les fonctions un sont continues sur R et de plus, φX = ∞ 0 un. Pour montrer que φX est continue il suffit de montrer que la convergence est uniforme. Montrons qu’elle est même normale. On a que ||un||∞ = an = P(X = xn) pour tout n ∈ N. Or, la famille d’événements ({X = xn})n∈N est un système complet d’événements donc la série P(X = n) est convergente d’où ∞ 0 ||un||∞ < +∞ ce qui montre que la série un converge normalement donc uniformément. La fonction φX est donc continue comme limite uniforme de fonctions continues. φX est continue. Une preuve à base de continuité sous le signe intégrale (une somme n’est rien d’autre qu’une intégrale discrète) fonctionne aussi. 4. Soit t ∈ R. On a eiY t = eibteiaXt donc par linéarité de l’espérance : E[eiY t] = eibtE[eiX(at)] c’est-à-dire φY (t) = eibtφX(at). Pour tout t ∈ R, φY (t) = eibtφX(at). 5. Soit t ∈ R. On a φX(−t) = E[e−iXt] = E[eiXt] = φX(t) car l’espérance et la conjugaison commutent par définition de l’espérance d’une variable complexe. On en déduit φX(−t) = φX(t) si et seulement si φX(t) est réel. Pour tout t ∈ R, φX(−t) = φX(t) et φX est paire ssi φX(R) ⊂ R. 1. Vous pouvez envoyez vos remarques ainsi que les irréductibles erreurs et fautes de frappes qui se seront glissées dans ce document à l’adresse suivante pierre-amaury.monard@laposte.net. L’auteur vous en sera reconnaissant. 1 I.B Trois exemples 6. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors φX(t) = q.eit0 + pei1t. Si X1, . . . , Xn sont des va- riables indépendantes alors E[ei(X1+···+Xn)t] = E[eiX1t] . . . E[eiXnt] i.e φX1+···+Xn(t) = φX1(t) . . . φXn(t). Considérons X1, . . . , Xn des Bernoulli de paramètre p indépendantes et X = X1 + · · · + Xn. Alors X suit une loi binomiale de paramètre (n, p) et φX(t) = (q + peit)n. Si X → B(n, p) alors φX(t) = (q + eit)n. 7. Si X → G(p) alors φX(t) = +∞ 1 qn−1peint = peit +∞ 0 (qeit)n = peit 1−qeit car qeit < 1. Si X → G(p) alors φX(t) = peit 1 − qeit . 8. Si X → P(λ) alors φX(t) = +∞ 0 e−λλk k! .eikt = e−λeλeit. Si X → P(λ), φX(t) = e−λ(1−eit). I.C Image de φX 9. Soit t ∈ R. On a E[eiXt] ⩽ E[ eiXt =1 ] = 1. Pour tout t ∈ R, |φX(t)| ⩽ 1. 10. Soit Y : Ω → R tel que X = a + 2π t0 Y . Alors Y est à valeur dans Z. De plus, φX(t0) = k∈Z P(Y = k)ei(a+ 2π t0 k)t0 = eiat0 k∈Z P(Z = k)ei2πk = eiat0 k∈Z P(Y ∈ Z) =1 . D’où |φX(t0)| = eiat0 = 1. Si X(Ω) ⊂ a + 2π t0 Z alors |φX(t0)| = 1. 11. Puisque |φX(t0)| = 1, il existe b ∈ R tel que φX(t0) = eib. En posant a := b/t0 on obtient φX(t0) = ∞ 0 aneixnt0 = eiat0. Il existe a ∈ R tel que ∞ 0 an exp(it0(xn − a)) = 1. 12. En se souvenant que 1 = ∞ 0 an on obtient ∞ 0 an(1 − exp(it0(xn − a)) = 0. On obtient le résultat souhaité en prenant la partie réelle. ∞ 0 an(1 − cos(t0(xn − a))) = 0. 13. Puisque la fonction cosinus est bornée par 1, tous les termes de la somme ci-dessus sont positifs. Or une somme (finie ou infinie) de réels positifs est nulle si et seulement si tous les termes de la somme sont tous nuls. D’où, an(1 − cos(t0(xn − a))) = 0 pour tout n ∈ N. Si an ̸= 0 alors cos(t0(xn − a)) = 1 i.e t0(xn − a) ∈ 2πZ et xn ∈ a + 2π t0 Z car t0 ̸= 0. Pour tout n tel que an ̸= 0, xn ∈ a + 2π t0 Z. 14. Posons A = R\ a + 2π t0 Z. Alors A = {xn ∈ X(Ω) : an = 0} et P(X ̸∈ a + 2π t0 Z) = P(X ∈ A) = n,an=0 an = 0 ce qui prouve bien que X ∈ a+ 2π t0 Z presque sûrement. P(X ∈ a+ 2π t0 Z) = 1. 2 II. Fonction caractéristique et loi d’une variable aléatoire II.A Première méthode La fonction φXe−im· est bien intégrable puisque continue. 15. Puisque X(Ω) est fini, φX est définie par une somme finie et on peut échanger somme et intégrale par linéarité de l’intégrale. Pour T > 0, 2TVm(T) = r 1 ak T −T eixkte−imt dt. De plus, T −T eixkte−imt dt = eit(xk−m) i(xk−m T −T = eiT (xk−m)−e−iT (xk−m) i(xk−m) = 2i sin(T(xk−m)) i(xk−m) = 2T sinc(T(xk−m)) si xk−m ̸= 0. Si xk−m = 0 alors T −T eixkte−imt dt = T −T 1 = 2T = 2T sinc(T(xk−m)). D’où 2TVm(T) = r 1 an2T sinc(T(xk−m)). Pour T > 0, Vm(T) = r 1 sinc(T(xk − m))P(X = xk). 16. Quitte à rajoute xr+1 = 0 à X(Ω) avec ar+1 = 0 on peut supposer que X prend la valeur 0 (éventuel- lement sur un ensemble négligeable). Pour x ̸= 0, |sinc(x)| ⩽ 1 |x| donc sinc(x) → 0 quand x → + ± ∞. Si xk ̸= m alors sinc(T(xk − m)) → 0 quand T → +∞. Si xk − m = 0 alors sinc(T(xk − m)) = 1. Par passage à la limite quand T tend vers +∞, il ne reste que P(X = m). Vm(T) −→ T→+∞ P(X = m). L’opérateur Vm « filtre » les composantes de X pour ne garder que celle selon m. 17. Soit T > 0. On a 2TVm(T) = T −T +∞ 0 aneixnt e−imt dt. D’après le théorème d’échange − , il suffit de vérifier que +∞ 0 |un| < +∞ où un : [−T, T] → C est définie par un(t) = anei(xn−m)t pour pouvoir échanger la somme et l’intégrale. On a |un| = an donc T −T |un| = 2Tan et +∞ 0 |un| = 2T < +∞. Donc 2TVm(T) = +∞ 0 T −T aneit(xn−m) dt = +∞ 0 2T sinc(T(xn − m)) d’après les calculs effectués à la question précédente. Pour tout T > 0, Vm(T) = +∞ 0 gn( 1 T ). 18. La fonction gn est définie et continue sur R∗ + comme quotient et composée de fonctions continues sur R ne s’annulant pas sur R∗ +. Reste à montrer que gn admet une limite en 0. Si xn − m = 0 alors la fonction gn est constante égale à an sur R∗ + et donc se prolonge par continuité en 0 en posant gn(0) = an = P(X = m). Si xn −m ̸= 0 alors xn−m T vers ±∞ selon le signe de xn −m et gn se prolonge par continuité en 0 en posant gn(0) = 0 puisque la fonction sinus cardinal admet 0 comme limite en ±∞. La fonction gn se prolonge par continuité sur R+. 19. De la majoration |sinc(x)| ⩽ 1 pour tout x ∈ R on tire que ||gn||∞ ⩽ an et donc ||˜gn||∞ ⩽ an par continuité de ˜gn en 0. Comme an converge, la série ˜gn est normalement convergente. La fonction G := +∞ 0 ˜gn est ainsi bien définie. Puisque la convergence est même uniforme, G est continue comme limite uniforme de fonctions continues. La fonction G = +∞ 0 ˜gn est bien définie et continue sur R+. 20. Par définition de G, Vm(T) = G( 1 T ) donc Vm(T) → G(0) quand T → +∞ par continuité de G en 0. De plus, G(0) = ˜gn(0) = +∞ 0 anδxn−m,0 = P(X = m) au vu de la façon dont on a prolongé gn en 0. Vm(T) −→ T→+∞ P(X = m). 21. Soit m ∈ R. Notons V X m (resp. V Y m ) la fonction Vm associée à la variable X (resp. Y ). Soit T > 0. On a : V X m (T) = V Y m (T) puisque φX = φY . Par passage à la limite quand T tend vers +∞ : P(X = m) = P(Y = m). Les variables X = Y ont la même loi. La fonction caractéristique caractérise la loi. 3 II.B Seconde 2 méthode 22. Soit t ∈ R. On dispose de la suite d’égalité suivante. Ka,b(t) = eibt − eiat 2it = ( +∞ 0 (ibt)n n! − +∞ 0 (iat)n n! ) 2it = +∞ 1 in(bn − an) 2i tn−1 = +∞ 0 cntn où l’on a posé cn := in+1(bn+1−an+1) 2i . Comme c0 = b−a 2 , cette dernière égalité est vraie aussi pour t = 0. Donc Ka,b(t) = +∞ 0 cntn pour tout t ∈ R ce qui fait de Ka,b une série entière de rayon de convergence infinie donc une fonction C∞ sur R. La fonction Ka,b est de classe C∞ sur R. 23. Utilisons le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Soit x ∈ R. La fonction Ka,x est continue sur [−N, N] donc N −N Ka,x est bien définie. Définissons h : [−N, N] × R → C par h(t, x) = Ka,x(t). On sait déjà que la fonction FN : R → C définie par FN(x) = N −N h(t, x) dt est bien définie. De plus la fonction h : (t, x) → eixt−eiat 2it est dérivable par rapport à x (y compris si t = 0) de dérivée ∂h ∂x(t, x) = iteixt 2it . Alors ∂h ∂x ⩽ 1 2 et la fonction constante 1 2 est intégrable sur le compact [−N, N]. Le théorème de dérivation sous le signe intégrale prouve que la fonction de F N est dérivable sur R de dérivée F ′ N(x) = N −N ∂h ∂x = N −N eixt 2 dt = eixt 2ix N −N = 2i sin(Nx) x = N sinc(Nx) si x ̸= 0. Si x = 0 alors N −N 1 2 = N = N sinc(0). La fonction FN est de classe C1 sur R de dérivée F ′ N(x) = N sinc(Nx). 24. Posons I := N −N Ka,b(t) dt. Alors I = FN(b) = FN(a) + b a F ′ N. Or Ka,a = 0 donc FN(a) = N −N Ka,a = 0. D’où I = b a N sinc(Nx) dx = Nb Na sinc(s) ds après le changement de variable s = Nx qui est réalise une bijection de [a, b] sur [Na, Nb]. N −N Ka,b(t) dt = Nb Na sinc(s) ds. 25. Soit 0 < ϵ < M. Les fonctions x → 1 x et x → 1−cos(x) sont de classe C1 sur [ϵ, M] donc, par intégration par partie : M ϵ sin(x) x dx = 1−cos(x) x M ϵ + M ϵ 1−cos(x) x2 dx. Puisque 1−cos(x) ∼ x 2 en 0 et 1−cos(x) x2 ⩽ 2 |x|, le terme crochet admet une limite nulle quand ϵ → 0 et M → +∞. Par ailleurs, la fonction x → 1−cos(x) x2 est continue sur R∗ +, prolongeable par continuité en 0 et est un O( 1 x2 ) au voisinage de +∞ donc est intégrable sur R+. Ainsi, l’intégrale M ϵ 1−cos(x) x2 dx admet une limite finie quand ϵ → 0 et M → +∞. L’intégrale ?‘∞ 0 sinc est convergente. 2. Une deuxième méthode impliquerait l’existence d’une troisième méthode. 4 26. La fonction sinus cardinal étant paire, l’intégrale 0 −∞ sinc est convergente de valeur π 2 . Posons IN = N −N Ka,b. Si 0 < a < b alors IN = Nb 0 sinc − Na 0 sinc → π 2 − π 2 = 0. De même si a < b < 0. Si a < 0 < b alors IN → +∞ −∞ sinc = π. Si 0 = a < b alors IN = Na 0 sinc → π 2 . Si a < b = 0 alors IN = 0 Na sinc → π 2 . N −N Ka,b −→ N→+∞ π si ab < 0 π 2 si ab = 0 0 si ab > 0 . 27. Soient a < b. On a 1 π N −N φX(−t)Ka,b(t) dt = r 1 ak( 1 π N −N Ka−xk,b−xk(t) dt). Puisque a et b ne sont pas dans le support de X, les termes intégrales ne peuvent tendrent que vers 0 ou π selon que a − xk < 0 < b − xk ou non. Si ce n’est pas le cas la limite est nulle. On ne garde donc que les indices k pour lesquels a < xk < b. Ainsi, 1 π N −N φX(−t)Ka,b(t) dt tend vers k,a<xk<b ak π π = P(a < X < b). Pour a < b qui ne sont pas dans X(Ω), N −N φX(−t)Ka,b(t) dt tend vers P(a < X < b). III. Régularité de φX 28. Soit x ∈ R. Si |x| ⩽ 1 alors |x|j ⩽ 1. Si |x| > 1 alors |x|j ⩽ |x|k. Donc |x|j ⩽ 1 + |x|k pour tout x ∈ R. Pour tout x ∈ R, |x|j ⩽ 1 + |x|k. Ainsi, |X|j ⩽ 1 + |X|k et E[|X|j] ⩽ 1 + E[|X|k] < ∞ et Xj admet une espérance. Si Xk admet une espérance, alors Xj admet une espérance pour tout 1 ⩽ j ⩽ k. 29. C’est le théorème de dérivation terme à terme. Posons un : R → C par un(t) = aneixnt. Les fonctions un sont de classe C∞ de dérivées u(j) n (t) = an(ixn)jeixnt. De plus, φX = +∞ 0 un et u(j) n ∞ ⩽ an |xn|j qui est le terme général d’une série absolument convergente pour tout j ⩽ k. Donc la série u(j) n converge uniformément pour tout j ⩽ k. Ainsi, la fonction φX est de classe Ck et φ(j) X = +∞ 0 u(j) n = +∞ 0 an(ixn)keixnt = E[(iX)keiXt] pour tout j ⩽ k d’après le théorème de dérivation terme à terme. φX est de classe Ck et φ(k) X (t) = E[(iX)keiXt]. 30. D’après la question précédente, φ(k) X (0) = ikE[Xk]. E[Xk] = (−i)kφ(k) X (0). 31. Puisque φX est de classe C2 sur R, φX admet un développement de Taylor d’ordre 2 en 0. Ainsi, φX(2h) = φX(0)+φ′ X(0)2h+φ′′ X(0) (2h)2 2 +o(h2) et φX(−2h) = φX(0)−φ′ X(0)2h+φ′′ X(0) (−2h)2 2 +o(h2). D’où 2φX(0) − φX(2h) − φX(−2h) = −4h2φ′′ X(0) + o(h2) et f(h) = −φ′′ X(0) + o(1) en 0. lim h→0 f(h) = −φ′′ X(0). 5 32. Soit h > 0. On a 2φX(0) − φX(2h) − φX(−2h) = +∞ 0 an(2 − e2ihxn − e−2ihxn) = +∞ 0 an(2 − 2 cos(2hxn)) = +∞ 0 an4 sin2(hxn) d’où f(h) = +∞ 0 an sin2(hxn) h2 . Pour tout h > 0, f(h) = +∞ 0 an sin2(hxn) h2 . 33. Soit N un entier naturel et h > 0. On dispose de l’inégalité N 0 anx2 n sinc2(hxn) ⩽ +∞ 0 anx2 n sinc2(hxn) = f(h). En effet, sin(hxn) h = xn sinc(hxn) que xn soit nul ou non. Par passage à la limite quand h → 0+ on obtient N 0 anx2 n ⩽ −φ′′ X(0). Ceci étant vrai pour tout entier N, on obtient par passage à la limite quand N tend vers +∞ : +∞ 0 anx2 n ⩽ −φ′′ X(0) < +∞ ce qui prouve que X admet un moment d’ordre 2. X admet un moment d’ordre 2. 34. Si α = +∞ 0 anx2k n ⩾0 = 0 alors anx2k n = 0 pour tout n ∈ N. Donc an = 0 dès que xn ̸= 0 i.e X est nulle presque sûrement. Si α = 0 alors X = 0 ps. 35. Soit t ∈ R. On a φY (t) = +∞ 0 anx2k n α eixnt. Puisque φX est de classe C2k+2, φX est en particulier de classe C2k et d’après la question 29, φ(2k) X (t) = +∞ 0 an(ixn)2keixnt. D’où φY = (−i)2k α φ(2k) X et φY est de classe C2. φY est de classe C2 sur R. 36. Si α = 0 alors X = 0 presque sûrement et X admet un moment d’ordre 2k + 2. Si α > 0 alors d’après la partie III.B la variable aléatoire Y est bien définie et admet un moment d’ordre 2. La série P(Y = xn)x2 n est donc convergente. Or P(Y = xn)x2 n = 1 αanx2k+2 n . Donc la série anx2k+2 n converge. Donc X admet un moment d’ordre 2k + 2. X admet un moment d’ordre 2k + 2. 37. Montrons par récurrence sur k ∈ N∗ que si φX est de classe C2k alors X admet un moment d’ordre 2k. Le cas k = 1 a été traité dans la partie III.B. Soit donc k ∈ N∗ tel que la résultat soit vrai. Supposons que φX soit de classe C2k+2. Alors X admet un moment d’ordre 2k par hypothèse de récurrence. D’après la question précédente, X admet un moment ordre 2k + 2 ce qui conclut la récurrence. Pour tout k ⩾ 1, si φX est de classe C2k alors X admet un moment d’ordre 2k. 6 IV. Développement en série entière de φX 38. Soit t ∈ R. On a φX(t) = r 1 akeixkt = r 1 ak +∞ 0 (ixkt)n n! = +∞ 0 1 n! r 1 ak(ixk)n tn. D’où φX(t) = +∞ 0 dntn où l’on a posé dn = 1 n!E[(iX)n]. Ceci est vrai pour tout t ∈ R donc φX est développable en série entière sur R. φX est développable en série entière sur R et φX(t) = +∞ 0 (it)n n! E[Xn]. 39. La fonction y → eiy est de classe C∞ sur R donc la formule de Taylor avec reste intégral en 0 donne : eiy = n 0 ik k!yk + y 0 in+1eit n! (y − t)n dt. D’où eiy − n 0 (iy)k k! ⩽ |y| 0 |y−t| n! dt = |y|n+1 (n+1)!. Pour tout y ∈ R, eiy − n 0 (iy)k k! ⩽ |y|n+1 (n + 1)!. 40. Par hypothèse, il existe M > 0 tel que E[|X|n] ⩽ M n R n. Soit |t| ⩽ R e . Posons Sn(t) := n 0 (it)k k! E[Xk] qui est bien définie puisque X admet des moments de tout ordre par hypothèse. Alors, |φX(t) − Sn(t)| ⩽ E eiXt − n 0 (iXt)k k! ⩽ E[ |iXt|n+1 (n+1)! ] ⩽ M( n+1 e )n+1 (n+1)! ∼ M √ 2πn → 0. Ainsi, la série Sn(t) admet une limite quand n tend vers +∞ et celle-ci vaut φX(t). Pour tout |t| ⩽ R e , φX(t) = +∞ 0 (it)k k! E[Xk]. ∗ ∗ ∗ FIN ∗ ∗ ∗ 7