Corrigé Mines Ponts 1 2022

Concours Corrigé

Corrigé Mines Ponts 1 2022

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A2022 – PHYSIQUE I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International). CONCOURS 2022 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l’épreuve : 3 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - MP L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁcation 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Physique I, année 2022 — ﬁlière MP L’anémométrie à ﬁl chaud Figure 1 – Anémomètre L’anémométrie à ﬁl chaud est une technique permettant de mesurer la vitesse d’écoulement d’un ﬂuide. Elle est basée sur l’inﬂuence de la vitesse d’écoulement du ﬂuide sur le transfert thermique conducto- convectif d’un solide conducteur plongé dans ce ﬂuide. Le système le plus couramment utilisé est un petit ﬁl cylindrique, d’un diamètre typique dw de l’ordre de quelques micromètres, par- couru par un courant et donc chauﬀé par eﬀet Joule. Ce petit ﬁl est ﬁxé à des broches d’alimentation par l’intermédiaire d’une gaine d’adaptation qui permet notamment l’alimentation du ﬁl et de ﬁxer la longueur active du ﬁl, notée Lw qui est ici de l’ordre de quelques millimètres. Quelques valeurs numériques concernant certaines caractéristiques physiques du ﬁl chaud sont rassemblées dans le tableau ci-dessous. Matériau Résistivité à 20 C : ⇢20 [µ⌦ · cm] Conductivité thermique : w [W · cm 1 · K 1] Masse volumique : µw [kg · m 3] ⇥ 104 Capacité thermique massique : cw [kJ · kg 1 · K 1)] Tungstène 5,5 1,9 1,93 0,14 Platine 9,8 0,72 2,15 0,13 Platine-iridium 32 0,17 2,16 0,13 Les applications numériques seront réalisées avec au plus 2 chiﬀres signiﬁcatifs. I Étude énergétique de l’anémomètre I.A Bilan d’énergie dans le ﬁl chaud Le ﬁl conducteur (en tungstène par exemple) est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I. Il est plongé dans un ﬂuide en écoulement. On utilisera les notations suivantes : • Caractéristiques du ﬁl (que l’on repère avec l’indice « w » pour wire en anglais) : masse volumique µw, capacité thermique massique cw, température Tw, résistivité (inverse de la conductivité) électrique ⇢w, conductivité thermique w, longueur Lw et diamètre dw. • Caractéristiques du ﬂuide (généralement de l’air que l’on repère lorsqu’il a ambiguïté avec l’indice « f » pour ﬂuide) et de l’écoulement : masse volumique µf, viscosité ⌘, température Tf, pression pf, vitesse de l’écoulement ~V . Ces caractéristiques sont supposées constantes pendant la mesure. Si l’on note h le coeﬃcient de transfert thermique conducto-convectif, la puissance thermique surfacique cédée par le ﬁl au ﬂuide à travers la surface S est donnée par la loi de Newton : ˙Qf dS = h (Tw Tf) (1) On notera (Ox) l’axe du ﬁl, ses extrémités étant situées en x = Lw/2 et x = +Lw/2. o – 1. Rappeler la loi d’Ohm locale. Déﬁnir les grandeurs intervenant dans cette loi et donner leurs unités usuelles. Établir l’expression de la résistance électrique totale, notée Rw, du ﬁl en fonction de ⇢w, Lw et dw. En déduire la puissance Pj dissipée par eﬀet Joule dans le ﬁl en fonction de ⇢w, Lw, dw et I, puis la puissance volumique dissipée par eﬀet Joule : Pv = dPj d⌧ . Page 1/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP o – 2. Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Déﬁnir les grandeurs intervenant dans cette loi. On dit souvent qu’il s’agit d’une loi phénoménologique. Que cela signiﬁe- t-il ? La température est supposée homogène sur chaque section du ﬁl d’abscisse x. Que peut-on en déduire ? Établir l’équation de diﬀusion thermique dans le cas d’un ﬁl à la température T(x,t) où seuls les transferts thermiques par conduction ont lieu. On se place en régime permanent dans tout le reste de la partie I et on suppose la vitesse ~V de l’écoulement uniforme et indépendant du temps. En plus des transferts thermiques par conduction, on prend en compte les transferts thermiques par conducto-convection et ceux provenant de l’eﬀet Joule. Les transferts thermiques sont intégrés dans le terme conducto- convectif. o – 3. Dans la loi de Newton (1), la grandeur h dépend de la vitesse ~V de l’écoulement. Quelle est son unité ? Expliquer qualitativement comment varie h en fonction de V = ~V . Expliquer alors comment évolue Tw quand V augmente. o – 4. En eﬀectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de ﬁl compris entre les abscisses x et x + dx, établir l’équation aux dérivées partielles vériﬁée par la température Tw(x,t). La résistivité du ﬁl dépend en fait de la température Tw de ce dernier. Expérimentalement, on mesure que si le ﬁl est en contact avec un ﬂuide à la température Tf, sa résistivité ⇢w vériﬁe la relation : ⇢w = ⇢f [1 + ↵ (Tw Tf)] (2) où ⇢f est sa résistivité à la température du ﬂuide et ↵ = 10 3 K 1 est un coeﬃcient expérimental supposé constant. On note enﬁn T1(x) = Tw(x) Tf. o – 5. Mettre l’équation obtenue à la question 4 sous la forme : d 2T1(x) dx 2 + K1T1(x) + K2 = 0 (3) Exprimer les constantes K1 et K2 en fonction de l’intensité I et des caractéristiques du ﬁl, du ﬂuide et de l’écoulement. On montrera, en particulier, que ↵K2 = K1 +4h/( wdw). Dans la plupart des anémomètres à ﬁl chaud, K1 est négatif. Déterminer la condition correspondante sur le coeﬃcient conducto-convectif h. On se place dans ce cas dans toute la suite et on pose : `c = 1 p |K1| On considère que le contact thermique assuré par les gaines d’adaptation entre les extrémités du ﬁl et les broches de l’anémomètre (voir ﬁgure 1) se fait sans résistance thermique (contact parfait). Les broches et les gaines sont à la température Tf du ﬂuide. o – 6. Rappeler la déﬁnition d’une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle est la consé- quence d’un contact sans résistance thermique ? Déterminer la solution générale de l’équation diﬀérentielle (3). En tenant compte des conditions aux limites dans le problème et de sa symétrie, montrer que T1(x) s’exprime assez simplement à partir de la fonction cosinus hyperbolique. En déduire l’expression du proﬁl de température Tw(x) dans le ﬁl de la sonde en fonction de x, `c, K2, Tf et Lw. Page 2/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP o – 7. Déterminer la puissance thermique ˙Qg cédée par le ﬁl à l’ensemble des deux gaines d’adap- tation en fonction de `c, K2, Lw, w et dw. o – 8. Montrer que la moyenne spatiale hTwi de la température du ﬁl s’écrit selon la relation hTwi = Tf + K2`2 c  1 ⇤ tanh ✓Lw 2`c ◆ dans laquelle on précisera l’expression du paramètre ⇤. La ﬁgure 2 représente la distribution de température dans le ﬁl chaud pour diﬀérentes valeurs du rapport k = Lw 2`c . La fonction tracée est f(y) = Tw Tf hTwi Tf avec y = x/Lw Figure 2 – Représentation graphique de la fonction f(y) pour quatre valeurs du paramètre k. o – 9. Pour un ﬁl de tungstène de diamètre dw = 5 µm, de longueur Lw = 1,2 mm et fonc- tionnant dans un régime de température Tw tel que `c = 30 dw, évaluer, en faisant les approximations pertinentes, la valeur numérique du coeﬃcient ⇠ = Tw, max Tf hTwi Tf où Tw, max est la température maximale atteinte dans le ﬁl. En exploitant la ﬁgure 2, commenter la valeur trouvée. Page 3/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP I.B Puissance thermique cédée au ﬂuide o – 10. Commenter les courbes de la ﬁgure 2. Quelle approximation peut-on faire quant à la température Tw dans le cas d’un ﬁl long (on précisera ce que « long » signiﬁe ici) ? La résistivité ⇢w du ﬁl est toujours supposée dépendre de la température du ﬂuide avec lequel il est en contact selon la relation (2). o – 11. Calculer la résistance Rw,1 d’un ﬁl supposé long en fonction de sa résistance Rf à la température Tf, de ↵ et des températures hTwi et Tf. Toujours dans le cadre d’un ﬁl long, on fait l’hypothèse que la puissance thermique ˙Qg cédée par le ﬁl aux deux gaines d’adaptation est négligeable devant la puissance ˙Qj dissipée par eﬀet Joule le long du ﬁl ou celle, notée ˙Qf, correspondant aux échanges thermiques conducto-convectifs reçus par le ﬂuide à l’interface entre le ﬁl et le ﬂuide. o – 12. Déterminer, en régime permanent, l’expression de ˙Qj en fonction de la diﬀérence hTwi Tf. Pour un ﬂuide de viscosité ⌘ et de masse volumique µf, qui s’écoule à la vitesse V autour d’un obstacle ﬁxe de taille caractéristique dw, on déﬁnit le nombre de Reynolds Re = µfV dw/⌘. Il compare deux modes de transport au sein du ﬂuide. o – 13. Sachant que la viscosité ⌘ s’exprime en Pa · s déterminer la dimension de Re. On déﬁnit par ailleurs le nombre de Nusselt, Nu = hdw/ f. o – 14. Déterminer la dimension de Nu et proposer une interprétation physique de cette quantité. Comment varie Nu lorsque la vitesse V du ﬂuide s’écoulant autour du ﬁl augmente ? On admet que le nombre de Nusselt vériﬁe la loi de King Nu = A + B pRe où A et B sont des constantes connues qui ne dépendent que de la nature du ﬂuide en écoulement. o – 15. En exploitant l’expression de hTwi obtenue à la question 8 et les résultats de la question 5, montrer que dans le cas d’un ﬁl long on peut écrire `c = dw 2 ✓⌫ avec ✓ = 1 Nu w f Rw,1 Rf . (4) On précisera la valeur numérique de l’exposant ⌫. o – 16. On considère de nouveau un ﬁl de longueur Lw quelconque. Établir l’expression de la puissance thermique ˙Qf associée au transfert conducto-convectif du ﬁl vers le ﬂuide. On suppose que la relation (4) reste valable en ordre de grandeur pour un ﬁl de longueur quelconque et que, de plus, le coeﬃcient ✓ qu’elle fait intervenir est de l’ordre de l’unité pour toutes les mesures eﬀectuées. o – 17. En étudiant le rapport ˙Qf/ ˙Qg, et sachant que dans le contexte d’étude Nu ' 10 SI, justiﬁer a posteriori que l’on puisse simpliﬁer le problème en ne considérant pas les pertes dans les gaines d’adaptation sous l’hypothèse d’un ﬁl long. En utilisant le résultat de la question 12 et en supposant que l’on puisse appliquer la loi de King, montrer que, pour un ﬁl long, la mesure de la vitesse V du ﬂuide se ramène à une mesure de résistance. On déterminera l’expression de V en fonction notamment de Rw,1, Rf et I. Page 4/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP II Anémométrie à deux ﬁls On étudie à présent une autre technique qui utilise deux ﬁls parallèles séparés par une distance ✏ comme représenté sur la ﬁgure 3 ci-dessous. Cette technique est plus précise que la précédente car elle permet de faire deux mesures : la première n’utilise que le premier ﬁl ; la seconde étudie la réponse induite par le premier dans le second. Figure 3 – Disposition des 2 ﬁls. — Le premier ﬁl (l’émetteur, repéré par un indice e), froid initialement (c’est-à-dire à la tem- pérature du ﬂuide environnant Tf), est traversé par une impulsion électrique d’intensité I = 1 A et d’une durée ⌧ de quelques µs, appelée « phase de chauﬀe », à l’issue de laquelle le ﬁl s’est donc échauﬀé. On fait ensuite passer dans l’émetteur un faible courant I0 = 1 mA, dont on négligera l’inﬂuence thermique, et on mesure la tension à ses bornes en fonction du temps. On obtient ainsi l’évolution de la résistance électrique Re(t) en fonction du temps et donc celle de sa température Te(t). — Un second ﬁl (le recepteur, repéré par un indice r) est placé parallèlement au premier, en aval dans l’écoulement du ﬂuide (ici de l’air), à une distance ✏ = 0,5 mm du premier. Sous l’action de l’écoulement, une trainée d’air chaud (zone échauﬀée du ﬂuide par l’impulsion thermique de l’émetteur) va atteindre le récepteur. L’acuité et la durée de cette trainée d’air chaud vue par le second ﬁl vont dépendre notamment de la norme V de la vitesse de l’air. Hormis leur température et donc leur résistance, les caractéristiques de ces deux ﬁls sont sup- posées identiques à celles du ﬁl utilisé dans la partie I. On se concentre tout d’abord sur le ﬁl émetteur de l’impulsion thermique aﬁn d’étudier la première possibilité de mesure de la vitesse de l’écoulement. On néglige la conduction thermique dans le ﬁl et entre le ﬁl et les broches. On suppose donc, conformément à ce qui a été fait précédemment, que la température du ﬁl est homogène et ne dépend que du temps, tout comme sa résistance toujours obtenue dans le cadre du modèle de résistivité résumé par la relation (2). Pendant la phase de chauﬀe, l’impulsion étant très brève, on négligera les pertes d’énergie dues à la convection de l’air autour du ﬁl lors de cette phase. L’origine des temps t = 0 correspond au début de l’impulsion électrique. o – 18. Montrer que, pendant la phase de chauﬀe, la température Te(t) vériﬁe une équation dif- férentielle qui peut se mettre sous la forme d(Te Tf) dt Te Tf ⌧1 = RfI2 C (5) où l’on exprimera la durée caractéristique ⌧1 de montée en température et le paramètre C en fonction des paramètres du problème. Que représente C ? Page 5/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP o – 19. Résoudre cette équation en exprimant ﬁnalement Te(t) en fonction de t, Tf, ↵ et ⌧1. En déduire, en fonction de ⌧, ⌧1 et ↵, l’expression de l’amplitude de l’impulsion ther- mique Te, max = Te, max Tf obtenue dans le ﬁl émetteur après qu’il a été parcouru par l’impulsion de courant. o – 20. Une fois l’impulsion terminée, i. e. pour t > ⌧, le ﬁl émetteur ne reçoit plus de courant qui le chauﬀe, il se refroidit par convection au contact thermique de l’air en mouvement. Déterminer la température de l’émetteur Te(t) durant cette phase dite de relaxation en fonction de t, ⌧, Tf, Te, max ainsi que d’une nouvelle durée ⌧2 caractéristique de cette phase de relaxation dépendant notamment de Nu. Sur la ﬁgure 4 ci-dessous le graphe de gauche indique l’allure de Te(t) mesurée lors des phases de chauﬀe et de relaxation au contact de deux écoulements de vitesse diﬀérente. Sur cette même ﬁgure 4, le graphe de droite montre de façon plus quantitative en échelle semi- logarithmique, des relevés expérimentaux de la phase de relaxation pour diﬀérentes valeurs de la norme de la vitesse de l’écoulement. Figure 4 – Mesures au niveau de l’émetteur. Sur la ﬁgure de droite on a représenté les mesures et leurs diﬀérentes régressions linéaires. o – 21. Pendant la phase de chauﬀe, on constate sur la partie gauche de la ﬁgure 4 que les deux courbes sont confondues. Quelle hypothèse émise plus haut ce résultat permet-il de conﬁrmer ? o – 22. Expliquer qualitativement comment l’analyse des courbes de la ﬁgure 4 permet une pre- mière mesure de la norme de la vitesse de l’écoulement du ﬂuide. L’air réchauﬀé par l’émetteur va être transportée par convection jusqu’au second ﬁl, le récepteur. En alimentant ce dernier par un très faible courant I0 = 1 mA, dont on peut toujours négliger l’inﬂuence thermique, on peut mesurer sa résistance et en déduire sa température. Certains résultats expérimentaux sont rassemblés dans la ﬁgure 5 sur la page suivante 1. 1. Ils ont été collectés dans l’article « Pulsed-wire technique for velocity measurements in natural convection ﬂow – a numerical optimisation tool », Grignon et al., 1998, International Journal of Heat and Mass Transfer, volume 41, p. 3121-3129. Page 6/7 Physique I, année 2022 — ﬁlière MP Figure 5 – Analyse des températures. Sur la partie gauche de la ﬁgure 5, on a représenté avec les mêmes échelles de temps et d’am- plitude l’allure typique des pics de températures relevés dans chacun des deux ﬁls. De façon plus quantitative, on a représenté sur la partie droite de cette même ﬁgure, le résultat des mesures de l’évolution de la fonction normalisée (Tr (t) Tf) / Tr, max pour diﬀérentes valeurs de la norme de la vitesse de l’écoulement. o – 23. Commenter les deux courbes de la partie gauche de la ﬁgure 5. Proposer des explications qualitatives pour les diﬀérents phénomènes que l’on peut observer. o – 24. Expliquer qualitativement comment l’analyse des courbes de la ﬁgure 5 permet une se- conde mesure de la norme de la vitesse de l’écoulement du ﬂuide. FIN DE L’ÉPREUVE Page 7/7

CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 1 MP m.laamoum@gmail.com Exemples de contraintes symplectiques linéaires. I Préliminaires Q 1. Soient A et B ∈ Mn(R) telles que pour tout (X, Y ) ∈ (Mn,1(R))2 , X⊤AY = X⊤BY donc X⊤ (A − B) Y = 0 en particulier pour X = (A − B) Y on obtient X⊤X = ∥X∥2 Rn = 0 donc X = 0, ( ∥X∥2 Rn = n i=1 X2 i la norme usuelle de Rn). Ainsi (A − B) Y = 0 pour tout Y ∈ Mn,1(R) donc A = B. Autre méthode , soit (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, pour tout i , j on a e⊤ i Aej = Ai,j , ainsi Ai,j = Bi,j et A = B. Q 2. Soit M ∈ GLn(R). M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable et Sp(M ⊤M) ⊂ R . De plus det M ⊤M = (det M)2 ̸= 0 donc Sp(M ⊤M) ⊂ R∗. Soit λ ∈ Sp(M ⊤M) et X un vecteur propre associé à λ , on a ∥MX∥2 Rn = (MX) ⊤ MX = X ⊤(M ⊤M)X = λ ∥X∥2 Rn donc λ ≥ 0 , ainsi Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée et Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . IL existe P ∈ On(R) telle M ⊤M = P.diag(λ1, ..., λn).P ⊤ , soit S = P.diag(√λ1, ..., √λn).P ⊤, c’est une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. II Objets symplectiques II. A Structure d’espace vectoriel symplectique réel Q 3. Si ω est une forme symplectique sur E, alors elle est antisymétrique et pour tout vecteur x de E, ω(x, x) = −ω(x, x) = 0. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace symplectique (E, ω). Q 4. Soit y ∈ F , l’application φy : x → ω(x, y) est linéaire de E vers R , on a F ω = y∈F ker φy donc F ω est un sous-espace vectoriel de E. Q 5. Soit x ̸= 0 et F = Vect({x}) , on a ω(x, x) = 0 donc F ⊂ F ω et F ω n’est pas en somme directe avec F . Q 6. dω est linéaire . Soit x ∈ ker dω donc ω(x, ·) = 0 et pour tout y dans E on a ω(x, y) = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 . Ainsi ker dω = {0} , comme dim E = dim L(E, R) alors dω est un isomorphisme. Q 7. Soit BF une base de F on la complète en une base BE de E . Pour tout u ∈ L(F, R) soit ℓ ∈ L(E, R) tel que : ℓ(x) = u(x) si x ∈ BF et ℓ(x) = 0 si x ∈ BE\BF , ainsi rF (ℓ) = u et rF est surjective. 1 Q 8. On a rF ◦ dω ∈ L(E, L(F, R)) . Soit x ∈ ker rF ◦ dω donc ∀y ∈ F ω(x, y) = 0 donc ker rF ◦ dω = F ω. De plus Im rF ◦ dω = rF (dω(E)) , dω est un isomorphisme et rF est surjective donc dω(E) = L(E, R) et rF (L(E, R)) = L(F, R) , d’où Im rF ◦ dω = L(F, R) , le théorème du rang donne dim F ω = dim E − dim F. Q 9. On a ωF est bilinéaire et antisymétrique sur F 2 , puisque {x ∈ F | ∀y ∈ F, ωF (x, y) = 0} = F ∩ F ω alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ∩ F ω = {0} , comme dim F ω + dim F = dim E alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ⊕ F ω = E. II. B Structure symplectique standard sur Rn Q 10. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X = (x1, . . . , xn)⊤ et Y = (y1, . . . , yn)⊤les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn, ω est bilinéaire donc ω(x, y) = n i=1 xi   n j=1 yjω (ei, ej)   = X⊤.   n j=1 yjω (e1, ej) , ..., n j=1 yjω (en, ej)   ⊤ = X⊤ΩY Q 11. On a ω(ei, ej) = −ω(ej, ei) donc Ω est antisymétrique . Soit X la colonne des coordonnées d’un vecteur x dans la base canonique de Rn . Si X ∈ ker Ω alors pour tout y de vecteur colonne Y dans la base canonique de Rn , ω(x, y) = −ω(y, x) = −Y ⊤ΩX = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 , ainsi Ω est inversible. Q 12. On a Ω⊤ = −Ω donc det Ω = (−1)n det Ω , si n est impair alors det Ω = 0 , Ω est inversible donc n est forcement pair. Q 13. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X et Y les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn. • ⟨., .⟩ est bilinéaire , j est linéaire donc bsest bilinéaire . • On a bs(x, y) = X⊤J Y (∈ R) = X⊤J Y ⊤ = −Y ⊤J X (J⊤ = −J) = −bs(y, x) • Remarquons que J2 = −I2m , donc J est inversible . Si bs(x, y) = 0 pour tout y , alors pour y = j−1(x) on a bs(x, y) = ⟨x, x⟩ = 0 donc x = 0 et bs est non dégénérée . Ainsi bs est une forme symplectique . II. C Endomorphismes et matrices symplectiques réels Q 14. Soit x ∈ Eλ(u) et ∀y ∈ Eµ(u) , supposons λµ ̸= 1, ω(u(x), u(y)) = λµω(x, y) = ω(x, y) donc ω(x, y) = 0, ainsi Eλ(u) et Eµ(u) sont ω-orthogonaux . Q 15. Soit (x, y) ∈ E2 et X et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn , on a bs(x, y) = X⊤JY 2 et bs(u(x), u(y)) = (MX)⊤ J (MY ) = X⊤ M ⊤JM Y Donc , u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si ∀(X, Y ) ∈ (Rn)2 , X⊤ M ⊤JM Y = X⊤JY D’après Q 1 on a : u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si M ⊤JM = J. Q 16. • Spn(R) ⊂ GLn(R) : Soit M ∈ Spn(R) de M ⊤JM = J on a (det M)2 det J = det J, donc det M = ±1 et M ∈ GLn(R). • Spn(R) est non vide : On a In ∈ Spn(R) . • Spn(R) est stable par produit : Soit M , N ∈ Spn(R). on a (MN)⊤ J (MN) = N ⊤ M ⊤JM N = N ⊤JN = J , donc MN ∈ Spn(R). • Les éléments de Spn(R) sont symétrisables : Soit M ∈ Spn(R). on a M −1 ⊤ JM −1 = M J−M ⊤ −1 = M ⊤ J− ⊤ M −1 ⊤ Or J− = J⊤ = −J donc M −1 ⊤ JM −1 = J et M −1 ∈ Spn(R). Ainsi Spn(R) est un sous groupe de GLn(R) . • Soit M ∈ Spn(R). on a J = M −1 ⊤ JM −1 = − M JM ⊤ −1 Or J⊤ = −J , donc M JM ⊤ = J et M ⊤ ∈ Spn(R) . Q 17. Soit M = A B C D on a M ⊤JM = A⊤ C⊤ B⊤ D⊤ 0 −Im Im 0 A B C D = C⊤ −A⊤ D⊤ −B⊤ A B C D = C⊤A − A⊤C C⊤B − A⊤D D⊤A − B⊤C D⊤B − B⊤D 3 Donc M ∈ Sp2m(R) ⇔ M ⊤JM = J ⇔ C⊤A − A⊤C = D⊤B − B⊤D = 0 D⊤A − B⊤C = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C ⊤ − A⊤C = B⊤D ⊤ − B⊤D = 0 A⊤D − C⊤B ⊤ = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C et B⊤D sont symétriques et A⊤D − C⊤B = Im. III Déterminant d’une matrice symplectique réelle III. A Le cas de la dimension 2 Q 18. Soit M = a b c d , d’après Q 17. on a M ∈ Sp2m(R) ⇔ da − bc = det M = 1 Ainsi Sp2(R) = SL2(R). III. B Commutant de J Q 19. Soit M = A B C D on a M J = B −A D −C et JM = −C −D A B Donc M ∈ CJ ⇐⇒ B = −C A = D ⇐⇒ ∃(U, V ) = (A, C) , M = U −V V U Q 20. Soit M ∈ CJ, On a Im 0 i Im Im U −V V U Im 0 −i Im Im = U + iV −V 0 U − iV Le calcul de determinant par blocs donne det(M) = det (U + iV ) det (U − iV ) = det (U + iV ) det (U + iV ) = |det (U + iV )|2 ⩾ 0 III. C Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle Q 21. OSpn(R) est une intersection de sous groupes de GLn(R), donc c’est un sous groupe de GLn(R) . Ainsi OSpn(R) est un groupe inclus dans Spn(R) donc c’est un sous groupe de Spn(R). 4 On a OSpn(R) = M ∈ Mn(R) | M ⊤JM, M ⊤M = (J, In) , considérons l’application φ : Mn(R) → Mn(R) × Mn(R) M → M ⊤JM, M ⊤M elle est continue, car la transposition est continue, elle est linéaire en dimensions finies , et le produit de deux matrice est continue , car bilinéaire en dimensions finies. On a alors OSpn(R) = φ−1({(J, In)} , c’est un fermé , comme image réciproque par une application continue d’un fermé. De plus pour toute matrice M de OSpn(R) on a ∥M∥2 = Tr(M ⊤M) = √n , ainsi OSpn(R) est borné en dimension finie donc il est compact . Q 22. Soit M ∈ OSpn(R) elle vérifie M ⊤JM = J et M ⊤M = MM ⊤ = In ce qui donne MJ = MM ⊤JM = JM donc M ∈ CJ et OSpn(R) ⊂ CJ. Q 23. Soit M de OSpn(R) = Spn(R) ∩ On(R) donc (det M)2 = 1 et det M ≥ 0 (d’près Q 20) d’où det M = 1 . Q 24. Soit M ∈ Spn(R) et S ∈ Sn(R) une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. Soit (v1, ..., vn) une base orthonormée de Rn formée de vecteurs propres de l’endomorphisme u canoniquement associé à M ⊤M, on a u(vi) = λivi et s(vi) = √λivi pour tout i. Comme M ∈ Spn(R) alors M ⊤ et M ⊤M sont dans Spn(R) , par suite u est symplectique de (Rn, bs) . Soit x = n i=1 xivi et y = n i=1 yivi , on a s(x) = n i=1 xi √λivi et : bs(s(x), s(y)) = ⟨s(x), j(s(y))⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλk ⟨vh, j(vk)⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλkbs (vh, vk) u est symplectique donc bs (vh, vk) = 0 si λhλk ̸= 1 d’après Q 14. par suite : bs(s(x), s(y)) = n 1≤k,h≤n λhλk=1 xhykbs (vh, vk) = n h=1 n k=1 xhykbs (vh, vk) ( on rajoute un terme nul) = bs(x, y) Donc s est symplectique de (Rn, bs) et S ∈Spn(R) . Q 25. On a S ∈Spn(R) ⊂GLn(R) donc S est inversible . Soit O = MS−1 , Spn(R) est un groupe donc O ∈Spn(R), de plus O⊤O = S−1 ⊤ M ⊤MS−1 = S−1S2S−1 = In ainsi O appartient au groupe OSpn(R). Q 26. On a det O = 1 donc det M = det S . S ∈Spn(R) elle vérifie SJS = J et det J ̸= 0 donc (det S)2 = 1 , det S est positif car toutes les valeurs propres de S sont positives donc det S = 1. et det M = 1. 5 III. D Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques III. D.1 Transvection symplectique Q 27. Soit a ∈ E un vecteur non nul , λ ∈ R et τ λ a (x) = x + λω(a, x)a ∀x ∈ E. L’application x → ω(a, x) est linéaire et ω(a, a) = 0 donc τ λ a est une transvection de E . Soit x et y dans E , par bilinéarité de ω on a ω(τ λ a (x), τ λ a (y)) = ω(x, y) + λω(a, y)(ω(x, a) + ω(a, x) =0 ) + λ2ω(a, x)ω(a, y)ω(a, a) =0 = ω(x, y) donc τ λ a est symplectique . Q 28. Soit a ∈ E un vecteur non nul et λ , µ ∈ R . Soit x ∈ E on a τ µ a ◦ τ λ a (x) = τ µ a (x) + λω(a, x)τ µ a (a) (τ µ a (a) = a) = x + µω(a, x)a + λω(a, x)a = τ λ+µ a (x). donc τ µ a ◦ τ λ a = τ λ+µ a . Q 29. Soient a ∈ E un vecteur non nul et λ un réel. On a det τ λ a = det(τ λ/2 a ◦ τ λ/2 a ) = det(τ λ/2 a )2 ≥ 0. Si det τ λ a = 0 alors il existe x ̸= 0 tel que τ λ a (x) = x + λω(a, x)a = 0 , x est colinéaire avec a donc ω(a, x) = 0 et τ λ a (x) = x = 0 absurde , d’où det τ λ a > 0 . Q 30. τ λ a −1 = τ −λ a . III. D.2 Un lemme On fixe x et y, non nuls, dans E. Q 31. Supposons que ω(x, y) ̸= 0. Soit λ ∈ R tel que τ λ y−x(x) = y donc y = x + λω(y − x, x)(y − x) = x + λω(y, x)(y − x) ainsi λ = 1 ω(y,x) . La réciproque est vraie. Q 32. Supposons que ω(x, y) = 0. Soit F = Vect({x, y}) il est de dimension 1 ou 2 , donc F ω est de dimension n − 1 ou n − 2 , soit G un supplémentaire de F ω dans E , prenons un z ∈ G\ {0} alors ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0. Q 33. Soit x et y dans E\ {0} . Si ω(x, y) ̸= 0 , soit λ = 1 ω(y,x) alors τ λ y−x(x) = y . Si ω(x, y) = 0 , soit z tel que ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0, posons λ = 1 ω(z,x) et µ = 1 ω(y,z) , alors τ µ y−zoτ λ z−x(x) = y Ce qui démontre le lemme. 6 III. D.3 Le théorème Soit u ∈ Sympω(E) un endomorphisme symplectique de E et e1 ∈ E un vecteur non nul. Q 34. ω non dégénerée et e1 ̸= 0 donc il existe x ∈ E non colinéaire à e1 , tel que ω (e1, x) ̸= 0 . Soit f1 = 1 ω(e1,x)x , on a ω (e1, f1) = 1 et f1 non colinéaire à e1 . On pose P = Vect (e1, f1) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e1 et f1. Q 35. Si u (e1) = 0 alors pour tout x on a ω (u(e1), u(x)) = ω (e1, x) = 0 , ω est non degenerée donc e1 = 0 , ce qui est absurde , ainsi u (e1) ̸= 0 , le lemme donne le résultat. Q 36. Soit f1 = δ1 (u (f1)) , on a δ1 (u (e1)) = e1 , comme δ1, u ∈ Sympω(E) alors ω e1, f1 = ω (δ1 (u (e1)) , δ1 (u (f1))) = ω (e1, f1) = 1 • Si ω f1, f1 ̸= 0 . Soit λ = 1 ω f1, f1 , alors τ λ f1− f1( f1) = f1 et τ λ f1− f1(e1) = e1 + λω(f1 − f1, e1)(f1 − f1) = e1 (car ω e1, f1 − f1 = 0) • Si ω f1, f1 = 0 . Soit x0 = e1 +f1 , on a ω (x0, f1) = 1 et ω x0 , f1 = 1 , forcement x0 ̸= 0 , d’après le premier cas il existe deux transvections symplectiques τ1 et τ2 telles que : τ1(x0) = f1 ,τ1(e1) = e1 , τ2( f1) = x0 et τ2(e1) = e1, δ2 = τ1 ◦ τ2 convient. Ce qui prouve le résultat . La composée δ = δ2 ◦ δ1 d’au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées. On pose v = δ ◦ u. Q 37. On a v(e1) = δ ◦ u(e1) = e1 et v(f1) = δ ◦ u(f1) = f1 , donc P est stable par v et vP = v| P = idP . Q 38. Remarquons que P ω = {x ∈ E | ω(x, e1) = ω(x, f1) = 0}. Soit x ∈ P ω, on a ω(v(x), e1) = ω(v(x), v(e1)) = ω(x, e1) = 0 et ω(v(x), f1) = ω(v(x), v(f1)) = ω(x, f1) = 0 donc P ω est stable par v. Q 39. Soit ωP ω la restriction de ω à P ω × P ω . On a P ∩ P ω = {0} donc E = P ⊕ P ω , d’après Q 9. ωP ω définit une forme symplectique sur P ω . Soit x, y ∈ P ω , on a ωP ω(vP ω(x), vP ω(y)) = ω(v(x), v(y)) ( car P ω stable par v) = ω(x, y) ( car v est symplectique) = ωP ω(x, y) donc vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω. Q 40. Soit u un endomorphisme symplectique de (E, ω) . On fait une récurrence sur m tel que dim E = 2m. 7 • Si m = 1 alors E = Vect (e1, e2) avec ω (e1, e2) = 1 , d’après Q 36.il existe δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 , ainsi u = δ−1, ce qui prouve le cas m = 1. • On suppose le résultat vrai pour 2m , soit E de dimension 2(m + 1) et P = Vect (e1, e2) ⊂ E avec ω (e1, e2) = 1 . Soit δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 et v = δou . On a E = P ⊕ P ω , vP = idP et vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω , d’après l’hypothèse de récurrence vP ω = τp ◦ · · · ◦ τ1 avec p ≤ 4m et τ1, τ2, . . . , τp des transvections symplectiques de P ω . Pour tout i il existe ai ∈ P ω et λi ∈ R tels que τi = τ λi ai , qui se prolonge en τi transvections symplectique sur E , par τi(x) = x si x ∈ P . On obtient alors u = δ−1 ◦ τp ◦ · · · ◦ τ1 , d’où le résultat. III. D.4 Une conséquence topologique Q 41. Soit M ∈ Spn(R) alors u l’endomorphisme canoniquement associé à M ,s’écrit de la forme u = τ λ1 a1 ◦ · · · ◦ τ λp ap ave p ≤ 4m . Par suite M = T λ1 a1 ◦ · · · ◦ T λp ap , avec T λi ai la matrice de τ λi ai dans la base canonique de Rn. Si B = (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, et a = n i=1 aiei alors T λ a = (δi,j + λω(a, ej)ai)1≤i≤n 1≤j≤n qui est continue par rapport à λ. Le produit de p matrices est continue ( il est p linéaire en dimensions finies) donc l’application φM : [0, 1] → Spn(R) t → T tλ1 a1 ◦ · · · ◦ T tλp ap est continue et φu(0) = In et φu(1) = M . Pour N ∈ Spn(R) , l’application Φ : [0, 1] → Spn(R) t → φM(1 − 2t) si t ∈ 0, 1 2 φN(2t − 1) si t ∈ 1 2, 1 est continue et Φ(0) = M et Φ(1) = N . Ainsi Spn(R) est connexe par arcs . III. D.5 Deuxième conséquence Q 42. Si M ∈ Spn(R) alors det M = ±1, et on a M = T λ1 a1 ◦· · ·◦T λp ap , avec T λi ai des matrices de transvection symplectique donc det T λi ai > 0 par suite det M > 0 ce qui prouve que det M = 1 et Spn(R) ⊂ SLn(R). IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires On fixe n = 2m ⩾ 4. IV. A Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans un cylindre Q 43. B = (e1, . . . , em, e′ 1, . . . , e′ m) est la base canonique de R2m. Soit u l’endomorphisme de R2m définit par : u(ei) = rei , u(ei+1) = 1 r ei+1 si i ∈ {1, m + 1} et u(ei) = ei si non on vérfie facilement que u ∈ SL R2m et u B2m(1) ⊂ Z2m(r). 8 IV. B Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans une autre Soit r > 0 tel qu’il existe u ∈ SL R2m vérifiant u B2m(1) ⊂ B2m(r). Soit λ ∈ C une valeur propre complexe de la matrice U la matrice de u dans la base canonique de R2m. Q 44. Si λ ∈ R , soit X un vecteur propre de U, de norme 1, associé à λ. X ∈ B2m(1) donc UX = λX ∈ B2m(r) , par suite ∥λX∥ = |λ| ≤ r. Si λ = α + iβ ∈ C , soit Z = P + iQ un vecteur propre de U, associé à λ.Posons P = (p1, . . . , p2m) et Q = (q1, . . . , q2m) . On a UP + iUQ = (α + iβ) (P + iQ) = (αP − βQ) + i (βP + αQ) donc UP = αP − βQ et UQ = βP + αQ ce qui donne ∥UP∥2 + ∥UQ∥2 = ∥αP − βQ∥2 + ∥βP + αQ∥2 = 2m k=1 (αpk − βqk)2 + (βpk + αqk)2 = 2m k=1 α2 + β2 p2 k + q2 k = |λ|2 ∥P∥2 + ∥Q∥2 De l’inclusion u B2m(1) ⊂ B2m(r) on a ∥UP∥ ≤ r ∥P∥ et ∥UQ∥ ≤ r ∥Q∥ d’où |λ| ≤ r . Q 45. On a 1 = det u = λ∈Sp(u) λ ≤ r2m donc 1 ≤ r. Q 46. Si u B2m(1) ⊂ B2m(r) alors 1 ≤ r . Réciproquement si 1 ≤ r alors B2m(1) ⊂ B2m(r) , on prend u = id . IV. C Injection symplectique d’une boule dans un cylindre Soit r > 0 tel qu’il existe un endomorphisme symplectique ψ ∈ Sympbs R2m vérifiant ψ B2m(1) ⊂ Z2m(r). On note M ∈ Sp2m(R) la matrice de ψ dans la base canonique (e1, . . . , em, f1, . . . , fm) de R2m et ψ⊤ l’endomorphisme canoniquement associé à M ⊤. Q 47. On a ψ ⊤ ∈ Sympbs R2m donc bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = bs (e1, f1) = ⟨e1, j(f1)⟩ ( j(f1) = −e1) = −1 d’où bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = 1 . L’inégalité de Cauchy -Schwartz donne bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = ψ⊤ (e1) , j(ψ⊤ (f1)) ≤ ψ⊤ (e1) j(ψ⊤ (f1) et on a J⊤J = I2m , j est un endomorphisme orthogonal, donc 1 = bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ≤ ψ⊤ (e1) ψ⊤ (f1) 9 on en déduit que ψ⊤ (e1) ⩾ 1 ou ψ⊤ (f1) ⩾ 1. Q 48. Posons M = (ai,j)1≤i,j≤2m , soit X = (x1, ..., x2m)⊤ ∈ R2m\ {0} , 1 ∥X∥X ∈ B2m(1) donc 1 ∥X∥MX ∈ Z2m(r) . On a MX = ( 2m j=1 a1,jxj, ..., 2m j=1 a2m,jxj)⊤ donc   2m j=1 a1,jxj   2 +   2m j=1 am+1,jxj   2 ≤ r 2m j=1 x2 j en particulier pour xj = a1,j ∀j , on obtient   2m j=1 a2 1,j   2 ≤   2m j=1 a2 1,j   2 +   2m j=1 am+1,ja1,j   2 ≤ r 2m j=1 a2 1,j Comme M ⊤X = ( 2m j=1 aj,1xj, ..., 2m j=1 aj,2mxj)⊤ alors 2m j=1 a2 1,j = ψ⊤ (e1) 2 ̸= 0 car ψ est bijective . Ainsi ψ⊤ (e1) ≤ r De même pour xj = am+1,j ∀j , on obtient ψ⊤ (f1) ≤ r Finalement 1 = max( ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ) ≤ r. Q 49. Soit R > 0 , R′ > 0 et ψ ∈ Sympbs R2m telque ψ B2m(R) ⊂ Z2m (R′) . Pour tout x ∈ B2m(1) on a Rx ∈ B2m(R) donc ψ (Rx) ∈ Z2m (R′) ce qui donne ψ (x) ∈ Z2m (R′/R) , par suite ψ B2m(1) ⊂ Z2m (R′/R) , la question Q 49. donne R ⩽ R′. Réciproquement , si R ⩽ R′ alors B2m(R) ⊂ B2m(R′) ⊂ Z2m (R′) . Ce qui montre le théorème de non-tassement linéaire • • • FIN • • • 10