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SESSION 2017 PCPH003 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ PHYSIQUE Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________         η η π   ⋅ = ⋅ +   ⋅ ⋅      ρ η  ( ) = = ( ) = = ( ) ( ) = ⋅   ( ) Σ ( ) ( ) η = ⋅ ⋅Σ ⋅   ( ) ρ ρ η ∂ ⋅ + ⋅ ⋅ = − + ⋅∆ ∂        ( ) η ⋅∆       θ    +  ( ) Σ + −  ( ) Σ η θ     = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅            θ ( ) ( ) = − − ⋅ ( ) ( ) ( ) η − = ⋅ − ⋅ ⋅ η π ⋅ ⋅ = ⋅  α = ⋅ α << α  ( )  ( ) ρ ρ ρ = + ( ) ( )  ( ) = + ρ  ( ) ρ  ( )  ( ) ρ ρ >>  ( ) >>  ( ) ρ  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) = +  ( ) ∂   = ⋅  ∂   ∂     ∂     ≈ ⋅ ρ χ ρ ∂   = ⋅  ∂     ρ χ ρ ≈ ⋅  ρ ∂ ∂ ⋅ = − ∂ ∂ + ( )⋅ +  ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ∂ ( )  χ ∂ ∂ + ⋅ = − ∂ ∂  ( )  ρ χ ρ = ⋅    ℜ      ⋅ − = ⋅ ⋅ −      ℜ = ⋅    θ         θ θ θ ∆ = − θ    ℜ  + → + +  → → → → = + − = ⋅ ⋅ ε π − = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ ⋅              ( ) ( ) − = ⋅ − η ϕ α = ≈ ρ  ν⋅ = − α λ β δ γ λδ λγ λβ λα δ γ β α    θ  θ  = ⋅   ( ) θ =    ε π = ⋅ = ⋅ ⋅  ∈ = ⋅ − ≈ ⋅ = − ε   θ   θ λ   = ⋅ −       = α λ = = µ = +   − ≈ − ⋅ ⋅       − α α α λ λ λ − λα α λα α  ( )    • = ⋅    = − ⋅                 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 17 1184 – D’après documents fournis 1 PC CCP Physique 2017 Proposition de corrigé Ce corrigé à été rédigé conjointement par David Lasne et Jean Maysonnave. N’hésitez pas à nous signaler par mail (da- vid.lasne@wanadoo.fr ou jmaysonnave@yahoo.fr) toute coquille ou erreur ! Voici par ailleurs quelques imperfections repérées dans l’énoncé de cette épreuve : Q9 : un traitement mathématique de cette question nécessitait l’expression du gradient en coordonnées cylindriques, non donnée dans l’énoncé, bien que non exigible au programme. Q10 : le formalisme de la question est un peu ambigu. La force notée −→f v,visc correspond au terme η∆−→v mais ce n’est pas explicité de manière claire dans l’énoncé. Ce choix de notation prête aussi un peu à confusion car elle pourrait être identifiée, à tort, avec la force notée −→f vol introduite à la question 7. Q14 et Q15 : la résolution se fait facilement en utilisant la notion de différenciation, qui n’est plus explicitement un outil mathématique associé au programme, au moins en physique. Q33 : il y a une petite incohérence dans l’énoncé : celui-ci fournit la valeur de r0, sans doute pour simplifier et trouver plus rapidement E0, mais on demande d’exprimer E0 en fonction de h, ce qui signifie qu’il faut quand même faire le calcul complet... On propose donc ici la version "courte" (sans h) puis la version complète. Q34 : Question un peu floue : il est question de tableaux non présentés : en fournir un exemple aurait été préférable, ou alors ne pas en parler... Quelle est l’évolution ? Doit-on la trouver, ou simplement la justifier ?... Est-il fait référence à l’effet d’écrantage ? Q39 : La notation R est déjà utilisée pour la constante de RYDBERG dans le même problème, même s’il y a peu de risque de confusion. 1 / La circulation sanguine I. Généralités Q1. Le volume de sang mis en circulation chaque seconde est de 80 cm3, donc chaque minute un volume de 60×80 = 4800 cm3 = 4.8 L, proche de 5 L, circule dans le corps d’un adulte. Q2. La puissance mécanique de la partie droite, pour faire circuler le sang dans les poumons, est Pd = 0.2 W d’après l’énoncé. La partie gauche développe quant à elle un travail (de force de pression) W = p.∆V = 16.103 ∗80.10−6 ≈ 1,3 J en une seconde pour envoyer le sang dans le corps, ce qui correspond à une puissance Pg = 1,3 W. La puissance totale est donc Ptot = 1,48 W. Si on divise par la masse du cœur (m = 0,3 kg), on obtient une puissance massique de 5 W.kg−1, ce qui correspond à la valeur indiquée. Q3. Les 90 % d’énergie restants servent à alimenter le muscle, c’est à dire à maintenir/développer les tissus qui le constituent, et à permettre leur fonctionnement. Une partie est également dissipée sous forme thermique, pour maintenir le corps à 37°C. Q4. D’après le figure 2, on peut extraire la dépendance log(N) = 10+p×log(a) avec p = − 10 3.74, pente de la droite représentative des données. Cette expression peut se réécrire log N ap = 10. On obtient ainsi : N = 1010a−10/3.74 Q5. Le débit volumique Dv s’exprime selon Dv = vmoySartère dans l’artère aorte. Avec Dv = 80.10−6 m3.s−1 et Sartère = πa2 : vmoy = Dv Sartère = 80.10−6 π×(5.10−3)2 = 1.0m.s−1 II. Loi de Poiseuille Q6. L’introduction de pressions différentes en A et B est cohérent avec une bonne description de l’effet du coeur, qui en imposant une différence de pression, met le sang en mouvement. Q7. • ρ ∂−→v ∂t : accélération volumique locale d’une particule de fluide. Elle traduit le changement de vitesse d’une particule de fluide, dû au caractère non stationnaire de l’écoulement. D.Lasne - J.Maysonnave 2 • ρ −→v .−−−→ grad −→v : accélération volumique convective d’une particule de fluide. Ce terme traduit la variation de vitesse de la particule de fluide induite par une inhomogénéité spatiale du champ des vitesses. • −−−−→ gradp : résultante volumique des forces de pressions exercées par le fluide. • η∆−→v : résultante volumique des forces de viscosité. • −→f vol : autres forces volumiques (par exemple la contribution du poids). Q8. L’écoulement est considéré laminaire si le nombre de REYNOLDS Re = Lvρ η est inférieur à 1. Ici, L = a = 5.10−3 m, v ∼ 1 m.s−1, ρ = 103 kg.m−3 et η = 10−3 Pa.s, d’où : Re = 5.10−3 ×1×103 10−3 = 5.103 >> 1 L’écoulement du sang ne peut pas être considéré comme laminaire (on considère en général qu’il faut Re ≲ 2000) dans l’artère aorte. Il faut noter que ce résultat n’est pas du tout généralisable à l’ensemble du système sanguin, constitué de manière très majoritaire de vaisseaux bien plus petits (tableau 1), pour lesquels le nombre de REYNOLDS est bien plus faible, ce qui peut justifier la suite de l’étude. Q9. On peut se placer en coordonnées cylindriques (r,θ,x). On a : — −→v ne dépend pas de t, donc ∂−→v ∂t = −→0 — −→v .−−−→ grad −→v = vr ∂ ∂r + vθ r ∂ ∂θ + vx ∂ ∂x −→v = vx ∂−→v ∂x = −→0 — −→f vol = −→0 car tout autre force que la résultante des forces de pression et de viscosité est négligée Ainsi, l’équation de NAVIER-STOKES se réécrit de manière simplifiée selon : −−−→ gradp = η∆−→v Remarque : l’expression du gradient en cylindrique manque dans l’énoncé pour calculer le terme convectif. Cependant, l’énoncé impose une forme d’écoulement particulière, en cisaillement : #»v (M) = v(r)#» ex. C’est donc, de fait, un écoulement laminaire, pour lequel le terme convectif peut être négligé (il est en fait même nul, ce qui est un peu contradictoire avec la valeur du nombre de REYNOLDS trouvé...). Q10. On a : d−→ F + = η dv dr (r + dr)Σ(r + dr)−→e x d−→ F − = −η dv dr (r)Σ(r)−→e x d’où d−→ F visc = d−→ F + + d−→ F − = η dv dr (r + dr)Σ(r + dr)− dv dr (r)Σ(r) −→e x = η d dr dv dr (r)Σ(r) dr−→e x or Σ(r) = rdθdx, d’où : d−→ F visc = η d dr dv dr (r)r drdθdx−→e x. Or le volume de la tranche de fluide prise entre les rayons r et r+dr est dτ = rdθdrdx, d’où l’expression de la force volumique de viscosité : −→f v,visc = d−→ F visc dτ = η r d dr r dv dr −→e x Q11. La pression ne dépend pas de la variable θ car il y a une invariance par rotation autour de l’axe −→e x, donc −−−→ gradp = ∂p ∂x −→e x. En reprenant l’équation de la question Q8, on aboutit à : ∂p ∂x −→e x = η∆−→v soit d’après la question 10 : ∂p ∂x −→e x = η r d dr r dv dr (r) −→e x Les termes respectivement à droite et à gauche de l’égalité ne dépendent pas de la même variable (x et r respectivement). La seule solution possible est que chacun de ces deux termes soit égal à une même constante A ce qui induit dp dx = A (1) η r d dr r dv dr = A (2) 3 PC CCP Physique 2017 D’après l’équation (1), A correspond au taux d’accroissement de la pression par unité de longueur et s’exprime donc d’après les données selon A = PB − PA L . On en déduit avec P(x = 0) = PA et P(x = L) = PB : P(x) = PA + PB − PA L x L’équation (2) conduit quant à elle successivement à : d dr r dv dr = A η r r dv dr = A 2η r2 +B dv dr = A 2η r + B r v(r) = A 4η r2 +Bln(r)+C B ne peut être que nul sinon v(r) diverge quand r → 0, ce qui est absurde. De plus, l’écoulement est visqueux, donc la composante tangentielle du champ des vitesses s’annule sur les parois, soit v(r = a) = 0 ce qui entraîne C = − A 4η a2. Ainsi, v(r) = A 4η r2 − a2 , soit en reprenant l’expression de A : v(r) = PA − PB 4ηL a2 − r2 Q12. Le débit volumique s’exprime comme Dv = section −→v .d−→ S ("section" désigne ici la section du vaisseau). On a −→v = v(r)−→e x et d−→ S = rdθdr−→e x, ainsi : Dv = a r=0 2π θ=0 v(r)rdθdr = 2π(PA − PB) 4ηL a r=0 a2r − r3 dr = (PA − PB)π 2ηL a2 a2 2 − a4 4 soit Dv = (PA − PB)πa4 8ηL En électrocinétique, la tension U pour un conducteur ohmique vérifie U = VA − VB = Réleci, où i est un débit de charge. Par analogie on peut poser ici PA − PB = RHDv, d’où : RH = PA − PB Dv = 8ηL πa4 Q13. La figure 3 permet de constater que le système sanguin correspond à une association de résistances hydrauliques en série et en parallèle, et plus précisément à un système de (Na artères en parallèle, chacune de résistance Ra) mis en série avec un système de (Nc artères en parallèle, chacune de résistance Rc). On a ainsi Rtot = Ra Na + Rc Nc avec Ra = 8ηLa πr4a et Rc = 8ηLc πr4c . Soit : Rtot = 8η π La Nar4a + Lc Ncr4c ce qui correspond bien à l’expression donnée dans l’énoncé. III. Loi de Murray Q14. On a tout d’abord V0 = NaVa + NcVc avec Va, Vc, volumes de tissu dû aux parois des artères et des capillaires respective- ment. Va correspond donc au volume compris entre deux cylindres de même axe, de longueur La et de rayons respectifs ra et ra + e. Ainsi Va ∼ 2πraeLa = 2παr2 aLa (dans la mesure où e << ra). De même Vc ∼ 2παr2 cLc, soit : V0 = 2πα NaLar2 a + NcLcr2 c D.Lasne - J.Maysonnave 4 Différencions l’expression ci-dessus, soit dV0 = 2πα{2NaLaradra +2NcLcrcdrc}. On cherche un minimum de V0, qui se traduit par dV0, de sorte que : drc dra = − NaLa NcLc ra rc Q15. Une minimisation de la résistance totale correspond de même à dRtot = 0 soit 8η π La Na (−4) r5a dra + Lc Nc (−4) r5c drc = 0 d’où : drc dra = − NcLa NaLc rc ra 5 En utilisant maintenant le résultat obtenu à la question précédente, on aboutit à : Nc Na = ra rc 3 Q16. Cette question est très ouverte et nous proposons ici une possibilité, sans doute parmi d’autres interprétations possibles. Pour plus de détails sur la question on peut se reporter à https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2695432/ Ici, on trouve donc la dépendance N ∝ a−3 alors qu’on a N ∝ a−2.7 d’après la question Q4. Le nombre de vaisseaux sanguins réel semble plus élevé que celui attendu en théorie. Les hypothèses du modèle permettant d’aboutir au résultat de le question Q15 pourraient donc être reconsidérés, par exemple : — le rôle de la pesanteur a été négligé alors qu’elle a bien sûr un effet ; — la résistance a été calculée en considérant uniquement une géométrie cylindrique. Cette géométrie n’est pas rigou- reusement représentative de la réalité, les vaisseaux se coudent, n’ont pas des sections uniformes... De même, α n’est certainement pas uniforme dans tout le système. Pour les petits vaisseaux par exemple, la membrane pourra représenter une plus grande proportion car on atteint la taille minimum des cellules qui la compose (typiquement, une cellule est de l’ordre du micron) ; — le caractère non newtonien supposé du sang dans les calculs menés auparavant est sans doute discutable — comme Re >> 1, l’écoulement n’est sans doute pas un simple écoulement de cisaillement. En particulier, on peut supposer assez raisonnablement qu’en raison de la géométrie réelle, la résistance totale RH est plus élevée que celle que nous proposons. Or nous avons vu RH = PA−PB Dv . La différence de pression PA −PB est fixée par le cœur. Une augmentation de RH se traduit donc par une diminution de Dv. pour "compenser" cet effet, un nombre plus élevé de vaisseaux permettrait de maintenir un débit en sang suffisant pour alimenter tous les tissus. IV. Le rôle de l’élasticité des vaisseaux Q17. Si jamais le flux sanguin varie de manière brutale ou inattendue (caillot par exemple), l’élasticité des artères permet de modifier la valeur du rayon a et ainsi de changer radicalement la valeur du débit volumique (dépendance en a4). Q18. L’équation d’EULER est : ∂−→v ∂t = − −−−→ gradP ρ + −→f vol ρ ici −→f vol = −→0 (pas de forces en dehors de la résultante des forces de pression) soit ∂−→v ∂t = − −−−→ gradP ρ ou encore : ρ0 + ˜ρ ∂v ∂t −→e x = − ∂ P0 + ˜P ∂x −→e x ρ0 ∂v ∂t + ˜ρ ∂v ∂t = −∂ ˜P ∂x De gauche à droite, les termes sont respectivement d’ordre 1, d’ordre 2 et d’ordre 1. D’où, en supprimant le terme d’ordre 2 (méthode similaire à l’approximation acoustique faite en cours pour les ondes sonores) : ρ0 ∂v ∂t = −∂ ˜P ∂x Q19. On a d’une part m(t+ dt)− m(t) = ∂m ∂t dt. Or m(x,t) = ρ(x,t)A(x,t)dx donc : m(t+ dt)− m(t) = ∂(Aρ) ∂t dxdt Par ailleurs : m(t+ dt)− m(t) = ρ(x,t)A(x,t)v(x,t)dt−ρ(x+ dx,t)A(x+ dx,t)v(x+ dx,t)dt = −∂(ρAv) ∂x dxdt 5 PC CCP Physique 2017 En mettant les deux équations ci-dessus en commun : ∂(Aρ) ∂t + ∂(Aρv) ∂x = 0 Q20. Remplissons dans l’équation ˜P par ˜P = ˜A A0D et χs par χs = 1 ρ0 ˜ρ ˜P = A0D ρ0 ˜ρ ˜A . Ainsi : D + D A0 ρ0 ˜ρ ˜A ∂ ˜A/(A0D) ∂t = −∂v ∂x 1 A0 ∂ ˜A ∂t + 1 ρ0 ˜ρ ˜A ∂ ˜A ∂t = −∂v ∂x ρ0A0 ∂v ∂x +ρ0 ∂ ˜A ∂t + A0 ˜ρ ˜A ∂ ˜A ∂t = 0 Et comme ˜P = ˜A A0D = ˜ρ ρ0χs , on en déduit que A0 ˜ρ ˜A ∂ ˜A ∂t = A0 × ρ0χs A0D × A0D ρ0χs × ∂ ˜ρ ∂t = A0 ∂ ˜ρ ∂t . On a donc bien au final : ρ0A0 ∂v ∂x +ρ0 ∂ ˜A ∂t + A0 ∂ ˜ρ ∂t = 0 Q21. On a : ρ0 ∂v ∂t = −∂ ˜P ∂x (3) D +χs ∂ ˜P ∂t = −∂v ∂x (4) Si on dérive par rapport à la variable x l’équation (1) −∂2 ˜P ∂x2 = ρ0 ∂2v ∂x∂t = ρ0 ∂2v ∂t∂x = ρ0 ∂ ∂t ∂v ∂x = ρ0 ∂ ∂t − D +χs ∂ ˜P ∂t Ainsi : ∂2 ˜P ∂t2 − 1 ρ0 (D +χs) ∂2 ˜P ∂x2 = 0 C’est une équation de D’ALEMBERT avec une vitesse de propagation c = 1 ρ0 D +χs . D’après le théorème de D’ALEMBERT, la solution générale de cette équation peut s’écrire comme la somme de 2 Ondes Planes Progressives se propageant en sens opposé ˜P(x,t) = f (x− ct)+ g(x+ ct). D’après la théorie de FOURIER, on peut ensuite décomposer ces Ondes Planes Progressives en une combinaison linéaire d’Ondes Planes Progressives Monochromatiques (OPPM) de la forme ˜P(x,t) = P1 cos(ωt− kx+ϕ). Si le sang est considéré comme incompressible alors χs = 0 et on retrouve c = 1/ ρ0D. On retrouve la valeur moyenne de la vitesse obtenue en Q5. V. Effet Doppler Q22. Le gel permet de minimiser les réflexions non désirées de l’onde ultrasonore sur la peau. Q23. La direction du vecteur d’onde est la direction suivant laquelle se propage l’onde ultrasonore. Comme l’équation de propagation est l’équation de D’ALEMBERT, on a simplement ∥k∥ = ω c = 2πf c = 1,7.104 m−1. Q24. Dans le cas présent, −→v E = −→0 et −→u ER.−→v R c = 1 c −→k .−→v k = v c cosθ, d’où f ′ = 1− v c cosθ f . Par ailleurs, f ′′ = f ′ 1− −→u ER.−→v R c 1− −→u ER.−→v E c avec −→v R = −→0 et −→v E = −→v . Soit f ′′ = f 1− v c cosθ 1 1+ v c cosθ d’où : D.Lasne - J.Maysonnave 6 f ′′ = f c − vcosθ c + vcosθ Q25. Si v << c alors 1 c + vcosθ ∼ 1 c 1− v c cosθ (DL à l’ordre 1) d’où f ′′ ∼ f 1− v c cosθ 2 , soit en effectuant à nouveau un DL : f ′′ ∼ f 1−2 v c cosθ Q26. On a ∆f = f ′′ − f ∼ −2 v c cosθ. On obtient ainsi ∆f = 4 kHz (pour l’aorte) et ∆f = 4 Hz (pour le capillaire). Un montage de « détection synchrone »peut être adapté pour mesurer cette différence. On multiplie le signal décalé en fréquence par le signal fondamental, puis on utilise un filtrage passe-bas : Q27. Si l’objet s’éloigne, en raison de l’effet DOPPLER, la fréquence détectée va être abaissée et donc la longueur d’onde accrue. En physique, on parlera alors spontanément d’un décalage vers le rouge (vers de plus grandes longueurs d’onde) alors que la couleur pourtant choisie ici est le bleu. Q28. Le cœur peut continuer à assurer un bon débit en élevant le rythme cardiaque. 2 / Enrichissement de l’uranium I. Quantité d’uranium à enrichir pour un rechargement annuel d’un quart de combustible Q29. On impose une double conservation : — celle de la masse totale d’uranium (par unité de temps) : F = P +W — celle de la masse de 235U (par unité de temps) : NF.F = NP.P + NW.W On résout le système (en remplaçant W par F − P dans la seconde équation) et on obtient bien : F = NP − NW NF − NW P Q30. La puissance thermique de la centrale est Pth = Pe η (Pe est la puissance utile). Or par définition de la puissance volumique, Pth = ϕV VUO2 = ϕV mUO2 ρUO2 . On en déduit la masse d’uranium totale : mU = α ρUO2 Pe ϕV η . Comme on ne change qu’un quart de l’uranium chaque année, on obtient : P = αρUO2Pe 4ϕVη ⇒ F = NP − NW NF − NW αρUO2Pe 4ϕVη Application numérique : F = 170 tonnes. Si NW diminue, F diminue : il y a moins de déchets donc moins de minerai à fournir. II. Energies de liaison de l’électron de l’atome d’hydrogène Q31. On applique le Principe Fondamental de la Dynamique à l’électron, dans le référentiel galiléen du laboratoire. Il n’est soumis qu’à la force électrostatique attractive du noyau : #» F e = − e2 4πε0r2 #» er. Comme le mouvement est circulaire d’après l’énoncé, on écrit #»v = r ˙θ#» eθ (avec ˙θ > 0 d’après le schéma) et #»a = r ¨θ#» eθ − r ˙θ2#» er = r ¨θ#» eθ − v2 r #» er. Le PFD donne donc, en projection sur #» er : −me v2 r = − e2 4πε0r2 7 PC CCP Physique 2017 On en déduit #»v = e 4πε0mer # » eθ . Q32. Par définition, l’énergie cinétique s’écrit Ec = 1 2 mev2 = p2 2me . L’énergie potentielle électrostatique s’écrit quant à elle E p = −e2 4πε0r (en prenant classiquement un potentiel nul à l’infini), mais on reconnaît alors la vitesse, ce qui permet d’écrire : E p = −mev2 = −2Ec. Finalement, on a donc E = Ec + E p = −Ec = − p2 2me . On note que E < 0, ce qui est normal pour un état lié (avec énergie potentielle nulle à l’infini). Q33. Version simple : r = r0.n2 et on exprime E en fonction de r en passant par l’expression de v, ce qui donne : E = −1 2 mev2 = − e2 8πε0r0.n2 On a donc bien E = −E0 n2 avec E0 = e2 8πε0r0 . Application numérique : E0 ≈ 14 eV (car r0 est approximatif). Version complète : On écrit : Ec = − E p 2 soit mev2 = e2 4πε0r . On fait apparaître le moment cinétique qui s’écrit simplement ici L = merv = nħ : mv2 = n2ħ2 mr2 = e2 4πε0r On en déduit alors r = n2 ħ24πε0 mee2 . On a donc trouvé r0 = ħ24πε0 mee2 . On peut alors reporter dans l’expression de E0 (voir version simple) et obtenir une expression explicite, plus précise d’ailleurs : E0 = me4 32π2ε2 0ħ2 Application numérique : E0 = 13,5 eV. Q34. La valeur absolue de l’énergie correspond à l’énergie d’ionisation de l’atome (énergie nécessaire pour arracher un élec- tron). Plus n est élevé, plus l’électron est éloigné du noyau (r = n2r0). De plus, un électron sur les couches externes subit un "écran- tage" électrostatique de la part des couches électroniques plus internes. Par conséquent, son interaction électrostatique avec le noyau est plus faible : il est moins "retenu" et son énergie d’ionisation est plus faible. Q35. L’énergie du photon émis correspond, au signe près, à la différence d’énergie entre le niveau de départ − E0 n2 i et celle de celui d’arrivée − E0 n2 f , et elle peut également s’écrire au moyen de la loi de PLANCK-EINSTEIN : E = hν = hc λ = E0 n2 f − E0 n2 i ⇒ 1 λ = E0 hc 1 n2 f − 1 n2 i On obtient la relation demandée, avec la constante de RYDBERG R = E0 hc qui s’exprime en m−1. Q36. Application numérique : λα = 6,5.10−7 m, soit environ 650 nm. On obtient une raie dans le domaine visible (rouge), d’où l’adjectif "optique". Q37. On a montré précédemment que E = −E0 n2 = − mee4 32π2ε2 0ħ2n2 , donc que E est proportionnelle à la masse. On pose pour alléger les notations K = − e4 32π2ε2 0ħ2n2 , ce qui donne E = meK. On remplace maintenant la masse de l’électron me par la masse réduite µ. Ainsi : ED = K me 1+ me md et EH = K me 1+ me mp Comme me ≪ mp,md, on peut faire un développement limité : µd ≈ me(1− me md ) et µp ≈ me(1− me mp ). En remplaçant, on obtient : D.Lasne - J.Maysonnave 8 ED − EH ≈ K 1− me md −1+ me mp ⇒ ED − EH ≈ meE 1 mp − 1 md Application numérique : |ED − EH| ≈ 4 meV, l’écart est très faible. Q38. On pose RD = −ED hc et RH = −EH hc les constantes de RYDBERG pour l’hydrogène et le deutérium. On peut donc écrire, pour des niveaux ni et nf donnés : λα,H −λα,D λα,H = 1 RH − 1 RD 1 RH = 1− RH RD = 1− EH ED = ED − EH ED Au dénominateur, on peut se contenter à l’ordre le plus bas de EH ≈ ED ≈ E, on peut donc faire apparaître les masses avec le résultat précédent : λα,H −λα,D λα,H ≈ me mp − me md Application numérique : λα,H−λα,D λα,H ≈ 3.10−4. L’écart relatif en énergie étant très faible, celui en longueur d’onde l’est également. III. Procédé SILVA Q39. La force magnétique de LORENTZ, qui s’exerce sur les électrons et leur donne cette trajectoire circulaire, s’écrit #» F m = q#»v ∧ #» B. En coordonnées polaires, on veut que #» F m soit selon −#» er et #»v est selon #» eθ. Comme q = −e < 0, ceci impose que #» B soit selon +#» ez. On applique ensuite le PFD à un électron, en utilisant la base polaire. La force magnétique est donc bien selon −#» er, donc en projection sur #» er, on obtient, de manière similaire à la Q31 : −me v2 R = −evB R = mevH eB Q40. Le canon doit servir à vaporiser 10 kg d’uranium par heure, et par définition, l’énergie nécessaire à vaporiser une masse unité d’uranium est l’enthalpie massique (chaleur latente) de vaporisation lv, donc si on néglige les pertes Pe ≈ ˙mlv Application numérique : Pe ≈ 5,5 kW Q41. La longueur d’onde du laser est choisie pour que l’énergie transportée par un photon corresponde à l’énergie d’ionisation de 235U, ce qui donne λi,235 = hc Ei,235 Application numérique : λi,235 ≈ 200,2 nm. C’est un laser UV. Q42. On peut calculer la longueur d’onde pour ioniser 238U : λi,235 ≈ 199,8 nm. Il faut donc, pour ne ioniser que 235U et pas 238U, avoir un laser de largeur spectrale de l’ordre du dixième de nanomètre, donc une possédant une très grande finesse spectrale (on retrouve le même effet qu’à la question Q38. Q43. Grâce au laser, on ionise spécifiquement l’uranium 235, qui est donc chargé positivement. Si on polarise négativement la plaque, ces ions 235U+ vont être captés par la plaque, tandis que les atomes d’uranium 238, neutres, ne seront pas affectés. On pourra donc les séparer pour réaliser l’enrichissement. *** FIN DU CORRIGE ***