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A2022 – PHYSIQUE I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International). CONCOURS 2022 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l’épreuve : 3 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - MP L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Physique I, année 2022 — filière MP L’anémométrie à fil chaud Figure 1 – Anémomètre L’anémométrie à fil chaud est une technique permettant de mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide. Elle est basée sur l’influence de la vitesse d’écoulement du fluide sur le transfert thermique conducto- convectif d’un solide conducteur plongé dans ce fluide. Le système le plus couramment utilisé est un petit fil cylindrique, d’un diamètre typique dw de l’ordre de quelques micromètres, par- couru par un courant et donc chauffé par effet Joule. Ce petit fil est fixé à des broches d’alimentation par l’intermédiaire d’une gaine d’adaptation qui permet notamment l’alimentation du fil et de fixer la longueur active du fil, notée Lw qui est ici de l’ordre de quelques millimètres. Quelques valeurs numériques concernant certaines caractéristiques physiques du fil chaud sont rassemblées dans le tableau ci-dessous. Matériau Résistivité à 20 C : ⇢20 [µ⌦ · cm] Conductivité thermique : w [W · cm 1 · K 1] Masse volumique : µw [kg · m 3] ⇥ 104 Capacité thermique massique : cw [kJ · kg 1 · K 1)] Tungstène 5,5 1,9 1,93 0,14 Platine 9,8 0,72 2,15 0,13 Platine-iridium 32 0,17 2,16 0,13 Les applications numériques seront réalisées avec au plus 2 chiffres significatifs. I Étude énergétique de l’anémomètre I.A Bilan d’énergie dans le fil chaud Le fil conducteur (en tungstène par exemple) est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I. Il est plongé dans un fluide en écoulement. On utilisera les notations suivantes : • Caractéristiques du fil (que l’on repère avec l’indice « w » pour wire en anglais) : masse volumique µw, capacité thermique massique cw, température Tw, résistivité (inverse de la conductivité) électrique ⇢w, conductivité thermique w, longueur Lw et diamètre dw. • Caractéristiques du fluide (généralement de l’air que l’on repère lorsqu’il a ambiguïté avec l’indice « f » pour fluide) et de l’écoulement : masse volumique µf, viscosité ⌘, température Tf, pression pf, vitesse de l’écoulement ~V . Ces caractéristiques sont supposées constantes pendant la mesure. Si l’on note h le coefficient de transfert thermique conducto-convectif, la puissance thermique surfacique cédée par le fil au fluide à travers la surface S est donnée par la loi de Newton : ˙Qf dS = h (Tw Tf) (1) On notera (Ox) l’axe du fil, ses extrémités étant situées en x = Lw/2 et x = +Lw/2. o – 1. Rappeler la loi d’Ohm locale. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi et donner leurs unités usuelles. Établir l’expression de la résistance électrique totale, notée Rw, du fil en fonction de ⇢w, Lw et dw. En déduire la puissance Pj dissipée par effet Joule dans le fil en fonction de ⇢w, Lw, dw et I, puis la puissance volumique dissipée par effet Joule : Pv = dPj d⌧ . Page 1/7 Physique I, année 2022 — filière MP o – 2. Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi. On dit souvent qu’il s’agit d’une loi phénoménologique. Que cela signifie- t-il ? La température est supposée homogène sur chaque section du fil d’abscisse x. Que peut-on en déduire ? Établir l’équation de diffusion thermique dans le cas d’un fil à la température T(x,t) où seuls les transferts thermiques par conduction ont lieu. On se place en régime permanent dans tout le reste de la partie I et on suppose la vitesse ~V de l’écoulement uniforme et indépendant du temps. En plus des transferts thermiques par conduction, on prend en compte les transferts thermiques par conducto-convection et ceux provenant de l’effet Joule. Les transferts thermiques sont intégrés dans le terme conducto- convectif. o – 3. Dans la loi de Newton (1), la grandeur h dépend de la vitesse ~V de l’écoulement. Quelle est son unité ? Expliquer qualitativement comment varie h en fonction de V = ~V . Expliquer alors comment évolue Tw quand V augmente. o – 4. En effectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de fil compris entre les abscisses x et x + dx, établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par la température Tw(x,t). La résistivité du fil dépend en fait de la température Tw de ce dernier. Expérimentalement, on mesure que si le fil est en contact avec un fluide à la température Tf, sa résistivité ⇢w vérifie la relation : ⇢w = ⇢f [1 + ↵ (Tw Tf)] (2) où ⇢f est sa résistivité à la température du fluide et ↵ = 10 3 K 1 est un coefficient expérimental supposé constant. On note enfin T1(x) = Tw(x) Tf. o – 5. Mettre l’équation obtenue à la question 4 sous la forme : d 2T1(x) dx 2 + K1T1(x) + K2 = 0 (3) Exprimer les constantes K1 et K2 en fonction de l’intensité I et des caractéristiques du fil, du fluide et de l’écoulement. On montrera, en particulier, que ↵K2 = K1 +4h/( wdw). Dans la plupart des anémomètres à fil chaud, K1 est négatif. Déterminer la condition correspondante sur le coefficient conducto-convectif h. On se place dans ce cas dans toute la suite et on pose : `c = 1 p |K1| On considère que le contact thermique assuré par les gaines d’adaptation entre les extrémités du fil et les broches de l’anémomètre (voir figure 1) se fait sans résistance thermique (contact parfait). Les broches et les gaines sont à la température Tf du fluide. o – 6. Rappeler la définition d’une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle est la consé- quence d’un contact sans résistance thermique ? Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (3). En tenant compte des conditions aux limites dans le problème et de sa symétrie, montrer que T1(x) s’exprime assez simplement à partir de la fonction cosinus hyperbolique. En déduire l’expression du profil de température Tw(x) dans le fil de la sonde en fonction de x, `c, K2, Tf et Lw. Page 2/7 Physique I, année 2022 — filière MP o – 7. Déterminer la puissance thermique ˙Qg cédée par le fil à l’ensemble des deux gaines d’adap- tation en fonction de `c, K2, Lw, w et dw. o – 8. Montrer que la moyenne spatiale hTwi de la température du fil s’écrit selon la relation hTwi = Tf + K2`2 c  1 ⇤ tanh ✓Lw 2`c ◆ dans laquelle on précisera l’expression du paramètre ⇤. La figure 2 représente la distribution de température dans le fil chaud pour différentes valeurs du rapport k = Lw 2`c . La fonction tracée est f(y) = Tw Tf hTwi Tf avec y = x/Lw Figure 2 – Représentation graphique de la fonction f(y) pour quatre valeurs du paramètre k. o – 9. Pour un fil de tungstène de diamètre dw = 5 µm, de longueur Lw = 1,2 mm et fonc- tionnant dans un régime de température Tw tel que `c = 30 dw, évaluer, en faisant les approximations pertinentes, la valeur numérique du coefficient ⇠ = Tw, max Tf hTwi Tf où Tw, max est la température maximale atteinte dans le fil. En exploitant la figure 2, commenter la valeur trouvée. Page 3/7 Physique I, année 2022 — filière MP I.B Puissance thermique cédée au fluide o – 10. Commenter les courbes de la figure 2. Quelle approximation peut-on faire quant à la température Tw dans le cas d’un fil long (on précisera ce que « long » signifie ici) ? La résistivité ⇢w du fil est toujours supposée dépendre de la température du fluide avec lequel il est en contact selon la relation (2). o – 11. Calculer la résistance Rw,1 d’un fil supposé long en fonction de sa résistance Rf à la température Tf, de ↵ et des températures hTwi et Tf. Toujours dans le cadre d’un fil long, on fait l’hypothèse que la puissance thermique ˙Qg cédée par le fil aux deux gaines d’adaptation est négligeable devant la puissance ˙Qj dissipée par effet Joule le long du fil ou celle, notée ˙Qf, correspondant aux échanges thermiques conducto-convectifs reçus par le fluide à l’interface entre le fil et le fluide. o – 12. Déterminer, en régime permanent, l’expression de ˙Qj en fonction de la différence hTwi Tf. Pour un fluide de viscosité ⌘ et de masse volumique µf, qui s’écoule à la vitesse V autour d’un obstacle fixe de taille caractéristique dw, on définit le nombre de Reynolds Re = µfV dw/⌘. Il compare deux modes de transport au sein du fluide. o – 13. Sachant que la viscosité ⌘ s’exprime en Pa · s déterminer la dimension de Re. On définit par ailleurs le nombre de Nusselt, Nu = hdw/ f. o – 14. Déterminer la dimension de Nu et proposer une interprétation physique de cette quantité. Comment varie Nu lorsque la vitesse V du fluide s’écoulant autour du fil augmente ? On admet que le nombre de Nusselt vérifie la loi de King Nu = A + B pRe où A et B sont des constantes connues qui ne dépendent que de la nature du fluide en écoulement. o – 15. En exploitant l’expression de hTwi obtenue à la question 8 et les résultats de la question 5, montrer que dans le cas d’un fil long on peut écrire `c = dw 2 ✓⌫ avec ✓ = 1 Nu w f Rw,1 Rf . (4) On précisera la valeur numérique de l’exposant ⌫. o – 16. On considère de nouveau un fil de longueur Lw quelconque. Établir l’expression de la puissance thermique ˙Qf associée au transfert conducto-convectif du fil vers le fluide. On suppose que la relation (4) reste valable en ordre de grandeur pour un fil de longueur quelconque et que, de plus, le coefficient ✓ qu’elle fait intervenir est de l’ordre de l’unité pour toutes les mesures effectuées. o – 17. En étudiant le rapport ˙Qf/ ˙Qg, et sachant que dans le contexte d’étude Nu ' 10 SI, justifier a posteriori que l’on puisse simplifier le problème en ne considérant pas les pertes dans les gaines d’adaptation sous l’hypothèse d’un fil long. En utilisant le résultat de la question 12 et en supposant que l’on puisse appliquer la loi de King, montrer que, pour un fil long, la mesure de la vitesse V du fluide se ramène à une mesure de résistance. On déterminera l’expression de V en fonction notamment de Rw,1, Rf et I. Page 4/7 Physique I, année 2022 — filière MP II Anémométrie à deux fils On étudie à présent une autre technique qui utilise deux fils parallèles séparés par une distance ✏ comme représenté sur la figure 3 ci-dessous. Cette technique est plus précise que la précédente car elle permet de faire deux mesures : la première n’utilise que le premier fil ; la seconde étudie la réponse induite par le premier dans le second. Figure 3 – Disposition des 2 fils. — Le premier fil (l’émetteur, repéré par un indice e), froid initialement (c’est-à-dire à la tem- pérature du fluide environnant Tf), est traversé par une impulsion électrique d’intensité I = 1 A et d’une durée ⌧ de quelques µs, appelée « phase de chauffe », à l’issue de laquelle le fil s’est donc échauffé. On fait ensuite passer dans l’émetteur un faible courant I0 = 1 mA, dont on négligera l’influence thermique, et on mesure la tension à ses bornes en fonction du temps. On obtient ainsi l’évolution de la résistance électrique Re(t) en fonction du temps et donc celle de sa température Te(t). — Un second fil (le recepteur, repéré par un indice r) est placé parallèlement au premier, en aval dans l’écoulement du fluide (ici de l’air), à une distance ✏ = 0,5 mm du premier. Sous l’action de l’écoulement, une trainée d’air chaud (zone échauffée du fluide par l’impulsion thermique de l’émetteur) va atteindre le récepteur. L’acuité et la durée de cette trainée d’air chaud vue par le second fil vont dépendre notamment de la norme V de la vitesse de l’air. Hormis leur température et donc leur résistance, les caractéristiques de ces deux fils sont sup- posées identiques à celles du fil utilisé dans la partie I. On se concentre tout d’abord sur le fil émetteur de l’impulsion thermique afin d’étudier la première possibilité de mesure de la vitesse de l’écoulement. On néglige la conduction thermique dans le fil et entre le fil et les broches. On suppose donc, conformément à ce qui a été fait précédemment, que la température du fil est homogène et ne dépend que du temps, tout comme sa résistance toujours obtenue dans le cadre du modèle de résistivité résumé par la relation (2). Pendant la phase de chauffe, l’impulsion étant très brève, on négligera les pertes d’énergie dues à la convection de l’air autour du fil lors de cette phase. L’origine des temps t = 0 correspond au début de l’impulsion électrique. o – 18. Montrer que, pendant la phase de chauffe, la température Te(t) vérifie une équation dif- férentielle qui peut se mettre sous la forme d(Te Tf) dt Te Tf ⌧1 = RfI2 C (5) où l’on exprimera la durée caractéristique ⌧1 de montée en température et le paramètre C en fonction des paramètres du problème. Que représente C ? Page 5/7 Physique I, année 2022 — filière MP o – 19. Résoudre cette équation en exprimant finalement Te(t) en fonction de t, Tf, ↵ et ⌧1. En déduire, en fonction de ⌧, ⌧1 et ↵, l’expression de l’amplitude de l’impulsion ther- mique Te, max = Te, max Tf obtenue dans le fil émetteur après qu’il a été parcouru par l’impulsion de courant. o – 20. Une fois l’impulsion terminée, i. e. pour t > ⌧, le fil émetteur ne reçoit plus de courant qui le chauffe, il se refroidit par convection au contact thermique de l’air en mouvement. Déterminer la température de l’émetteur Te(t) durant cette phase dite de relaxation en fonction de t, ⌧, Tf, Te, max ainsi que d’une nouvelle durée ⌧2 caractéristique de cette phase de relaxation dépendant notamment de Nu. Sur la figure 4 ci-dessous le graphe de gauche indique l’allure de Te(t) mesurée lors des phases de chauffe et de relaxation au contact de deux écoulements de vitesse différente. Sur cette même figure 4, le graphe de droite montre de façon plus quantitative en échelle semi- logarithmique, des relevés expérimentaux de la phase de relaxation pour différentes valeurs de la norme de la vitesse de l’écoulement. Figure 4 – Mesures au niveau de l’émetteur. Sur la figure de droite on a représenté les mesures et leurs différentes régressions linéaires. o – 21. Pendant la phase de chauffe, on constate sur la partie gauche de la figure 4 que les deux courbes sont confondues. Quelle hypothèse émise plus haut ce résultat permet-il de confirmer ? o – 22. Expliquer qualitativement comment l’analyse des courbes de la figure 4 permet une pre- mière mesure de la norme de la vitesse de l’écoulement du fluide. L’air réchauffé par l’émetteur va être transportée par convection jusqu’au second fil, le récepteur. En alimentant ce dernier par un très faible courant I0 = 1 mA, dont on peut toujours négliger l’influence thermique, on peut mesurer sa résistance et en déduire sa température. Certains résultats expérimentaux sont rassemblés dans la figure 5 sur la page suivante 1. 1. Ils ont été collectés dans l’article « Pulsed-wire technique for velocity measurements in natural convection flow – a numerical optimisation tool », Grignon et al., 1998, International Journal of Heat and Mass Transfer, volume 41, p. 3121-3129. Page 6/7 Physique I, année 2022 — filière MP Figure 5 – Analyse des températures. Sur la partie gauche de la figure 5, on a représenté avec les mêmes échelles de temps et d’am- plitude l’allure typique des pics de températures relevés dans chacun des deux fils. De façon plus quantitative, on a représenté sur la partie droite de cette même figure, le résultat des mesures de l’évolution de la fonction normalisée (Tr (t) Tf) / Tr, max pour différentes valeurs de la norme de la vitesse de l’écoulement. o – 23. Commenter les deux courbes de la partie gauche de la figure 5. Proposer des explications qualitatives pour les différents phénomènes que l’on peut observer. o – 24. Expliquer qualitativement comment l’analyse des courbes de la figure 5 permet une se- conde mesure de la norme de la vitesse de l’écoulement du fluide. FIN DE L’ÉPREUVE Page 7/7 Concours Commun Mines-Ponts CCmp ÉPREUVE DE PHYSIQUE 1 -MP MOHAMED AFEKIR LYCÉE D’EXCELLENCE DE BENGUÉRIR cpgeafek@gmail.com Si vous avez des remarques, n’hésitez pas à me contacter. L’anémomètrie à fil chaud I.— Étude énergétique de l’anénomètre I.A.— Bilan d’énergie dans le fil chaud □ 1 — ◦ La loi d’ohm locale : −→j e(M, t) = γ(M)−→ E (M, t) ;      −→j e(M, t) : vecteur densité de courant (courant volumique), A.m−2 γ(M) : conductivité électrique, S.m−1 −→ E e(M, t) : champ électrique responsable du courant électrique, V.m−1 ◦ Résistance électrique Rw : −Lw/2 Lw/2 V⊖ V⊕ O | x I −→ E e −→j e S = πd2 w/4 Lw • ˛ −→ E · −→ dℓ = V⊕ − V⊖ = EeLw = U, • I = ‹ −→j e · −→ dS = jeS = jπd2 w/4, • je = γwEe = Ee ρw , La résistance électrique Rw du fil : Rw = U I = EeLw jπd2w/4 = 4ρwLw πd2w Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 ◦ La puissance PJ dissipée par effet Joule dans le fil : PJ = RwI2 = 4ρwLw πd2w I2 ◦ La puissance volumique PJ dissipée par effet Joule : Pv = dPJ dτ = PJ Lw dx dτ = PJ SLw = 16ρw π2d4m I2 □ 2 — ◦ La loi de Fourier : −→j th(M, t) = −λ(M)−−→ gradT(M, t) ;      −→j th(M, t) : vecteur densité de courant thermique, W.m−2 λ(M) : conductivité thermique, W.m−1.K−1 T(M, t) : Champ de température absolue, K ◦ La loi de Fourier est une loi phénoménologique : elle décrit le phénomène de transfert thermique sans se baser sur la connaissance du mécanisme sous-jacent. ◦ Chaque section est une isotherme et la conduction thermique est unidimensionnelle. ◦ Équation de diffusion thermique : −Lw/2 Lw/2 O | x I S = πd2 w/4 dx x x + dx dτ Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système (Σ) de volume dτ = Sdx, d’énergie interne UΣ(t), au cours de sa transformation entre les instants t et t + dt : dUΣ = UΣ(t + dt) − UΣ(t) = δU e + δU p avec : ◦ δU e est l’énergie interne échangée par le système à travers la surface délimitant (Σ) ; ◦ δU p est l’énergie interne produite ou créée dans le volume dτ. dUΣ dt = δU e dt +δU p dt ⇒ ΦΣ = Φech+Φp ;                        ΦΣ : la puissance stockée dans (dτ) ΦΣ = µwcwdτ ∂T(x, t) ∂t Φech : la puissance échangée à travers (S) Φech = jth(x, t)S − jth(x + dx, t)S = − ∂jth(x, t) ∂x Sdx Φp : la puissance produite dans (dτ) Φp = Pvdτ Soit : µwcw ∂T(x, t) ∂t = − ∂jth(x, t) ∂x + Pv et jth(x, t) = −λw ∂T(x, t) ∂x d’où : µwcw ∂T(x, t) ∂t = λw ∂2T(x, t) ∂x2 + Pv cpgeafek@gmail.com 2/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 □ 3 — ◦ L’unité de h est W.m−2.K−1. ◦ h augmente avec la vitesse V de l’écoulement ◦ quant V augmente, la température Tw diminue. □ 4 — En régime permanent la puissance stockée dans l’élément de volume dτ = Sdx est nulle, soit le bilan : 0 = Φech + Φp avec Φech = Φech,cd + Φech,cv = − djth(x) dx Sdx − δ ˙Qf = − djth(x) dx Sdx − h(Tw − Tf)2πrwdx avec rw = dw/2 = S/π Équation aux dérivées partielles vérifiée par Tw(x, t) : 0 = − djth(x) dx Sdx − h(Tw − Tf)πdwdx + PvSdx jth(x) = −λw dTw(x) dx ⇒ 0 = λw d2Tw(x) dx2 − 4h dw (Tw − Tf) + 16ρw π2d4m I2 D’où l’équation : d2Tw(x) dx2 − 4h λwdw (Tw(x) − Tf) + 16ρw π2d4mλw I2 = 0 □ 5 — Avec T1(x) = Tw(x) − Tf et ρw = ρf (1 + α(Tw(x) − Tf)) on peut écrire l’équation différentielle précédente sous la forme : d2T1(x) dx2 − 4h λwdw T1(x) + 16 π2d4mλw I2ρf (1 + αT1(x)) = 0 d2T1(x) dx2 + T1(x) − 4h λwdw + 16ρfα π2d4mλw I2 K1 + 16ρf π2d4mλw I2 K2 = 0 Soit : d2T1(x) dx2 + K1T1(x) + K2 = 0 avec                        K2 = 16ρf π2d4mλw I2 K1 = − 4h λwdw + 16ρfα π2d4mλw I2 = − 4h λwdw + αK2 ⇒ αK2 = K1 + 4h λwdw K1 < 0 ⇒ αK2 < 4h λwdw ⇒ h > 4αρf π2d3w I2. □ 6 — On pose ℓc = 1 |K1| ⇒ K1 = −|K1| = 1 ℓ2c . ◦ La résistance thermique Rth est la capacité d’un matériau à résister aux variations des échanges thermiques. Elle s’exprime en K.W −1. cpgeafek@gmail.com 3/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 température Te > Tr température Tr flux thermique Φth Rth = Te − Tr Φth ◦ Contact sans résistance thermique : transfert intégrale et instantané du flux thermique et continuité de la température. ◦ Solution générale de l’équation : d2T1(x) dx2 − T1(x) ℓ2c + K2 = 0 T1(x) = A1 cosh x ℓc + B1 sinh x ℓc + ℓ2 cK2 A1 et A2 sont deux constantes qui dépendent des conditions aux limites. ◦ Conditions aux limites : Tw(−Lw/2) = Tw(+Lw/2) = Tf, soient : 0 = A1 cosh Lw 2ℓc − B1 sinh Lw 2ℓc + ℓ2 cK2 (C.L1) 0 = A1 cosh Lw 2ℓc + B1 sinh Lw 2ℓc + ℓ2 cK2 (C.L2) (C.L2)-(C.L1) donne : 2B1 sinh Lw 2ℓc = 0 ⇒ B1 = 0 . Il ne reste, alors dans T1(x), que le terme en cosinus hyperbolique. ◦ Profil de température Tw(x) : T1(x) = A1 cosh x ℓc + ℓ2 cK2 ⇒ Tw(x) = Tf + ℓ2 cK2 + A1 cosh x ℓc De la relation (C.L1) ou de la relation (C.L2), on déduit que A1 = − ℓ2 cK2 cosh Lw 2ℓc . Soit : Tw(x) = Tf + ℓ2 cK2 − ℓ2 cK2 cosh x ℓc cosh Lw 2ℓc = Tf + ℓ2 cK2  1 − cosh x ℓc cosh Lw 2ℓc   □ 7 — Puissance thermique ˙Qg cédée par le fil : x O| ˙Q+ g ˙Q− g ˙Qg = ˙Q+ g + ˙Q− g = Sjth(x = Lw/2) − Sjth(x = −Lw/2) = −λwS dTw dx (x = Lw/2) − dTw dx (x = −Lw/2) ˙Qg = 1 2πℓcK2λwd2 w tanh Lw 2ℓc cpgeafek@gmail.com 4/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 □ 8 — La moyenne spatiale ⟨Tw⟩ : ⟨Tw⟩ = ⟨Tw⟩x = 1 Lw ˆ Lw/2 −Lw/2 Tw(x)dx = Tf + ℓ2 cK2 − ℓ2 cK2 Lw cosh Lw 2ℓc ˆ Lw/2 −Lw/2 cosh x ℓc dx = Tf + ℓ2 cK2 1 − Λ tanh Lw 2ℓc avec Λ = 2ℓc Lw □ 9 — La fonction f(y) = Tw − Tf ⟨Tw⟩ − Tf avec y = x Lw et le coefficient ξ = Tw,max − Tf ⟨Tw⟩ − Tf . D’après le graphe de la fonction f(y), le maximum se présente en y = 0 (et donc en x = 0) : Tw,max = Tw(x = 0) = Tf + ℓ2 cK2 1 − 1 cosh(k) ≈ Tf + ℓ2 cK2 car k = 1 Λ = 4 et 1 cosh(4) ≪ 1. Tw,max − Tf = ℓ2 cKe et ⟨Tw⟩ − Tf = ℓ2 cK2 1 − 1 k tanh(k) ⇒ ξ = 1 1 − tanh(k) k = 1, 33. I.B.— Puissance thermique cédée au fluide □ 10 — • Une distribution de température non uniforme est présent en raison de la pertes de chaleur par conduction vers les broches • la température est maximal au milieu du fil. • plus k est grand, plus la courbe présente un palier : la température devient uniforme en tout point du fil. • pour un fil long (Lw/2 ≫ ℓc), Tw pourra être considérée homogène et tend vers sa valeur moyenne ⟨Tw⟩. □ 11 — Résistance Rw,∞ : Rw,∞ = ρw,∞Lw S = 4ρfLw πd2w Rf [1 + α (Tw,∞ − Tf)] = Rf [1 + α (⟨Tw⟩ − Tf)] □ 12 — En régime permanent ; ˙Qf = ˙Qg + ˙Qj ≃ ˙Qj ⇒ ˙Qj = hπdwLw (⟨Tw⟩ − Tf) . □ 13 — Le nombre de Reynolds Re = µfV dw η : [Re] = [ρ][V ][dw] [η] = M.L−3.L.T −1.L M.L.T −1.L−2.T = 1 ⇒ Re est sans dimension. □ 14 — Le nombre de Nusselt Nu = hdw λf : [Nu] = [h][dw] [λf] = M.T −3.Θ−1.L M.L.T −3.Θ−1 = 1 ⇒ Nu est sans dimension. Nu est d’autant plus élevé que la convection est prédominante sur la conduction et la convection augmente avec la vitesse ; donc Nu augmente aussi avec V . cpgeafek@gmail.com 5/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 □ 15 — La loi de King : Nu = A + B√Re ; ⟨Tw⟩ = Tf + ℓ2 cK2 1 − Λ tanh Lw 2ℓc = Tf + ℓ2 cK2 1 − tanh(k) k (1) Rw,∞ = Rf [1 + α (⟨Tw⟩ − Tf)] (2) Nu = hdw λf ⇒ h = λfNu dw (3) αK2 = K1 + 4h λwdw = − 1 ℓ2c + 4h λwdw (4) • Fil long :      Lw 2 ≫ ℓc ou k ≫ 1 tanh(k) k ≈ 0 ; l’expression (1) s’écrit : ⟨Tw⟩ ≈ Tf + ℓ2 cK2. • L’expression (2) permet d’écrire : Rw,∞ Rf = 1 + α (⟨Tw⟩ − Tf) = 1 + αℓ2 cK2. • On remplace αK2 à l’aide de la relation (4) : Rw,∞ Rf = 1 + ℓ2 c − 1 ℓ2c + 4h λwdw = 4hℓ2 c λwdw . • En remplaçant h par son expression (3) : Rw,∞ Rf = 4λfNuℓ2 c λwd2w ⇒ ℓc = dw 2 λwRw,∞ RfλfNu Soit : ℓc = dw 2 θν avec θ = 1 Nu λw λf Rw,∞ Rf et ν = 1/2. □ 16 — La puissance thermique ˙Qf : δ ˙Qf dS = h(Tw − Tf) ⇒ ˙Qf = πdwhℓ2 cK2 ˆ Lw/2 −Lw/2  1 − cosh x ℓc cosh Lw 2ℓc   dx ⇒ ˙Qf = πdwhℓ2 cK2Lw 1 − Λ tanh Lw 2ℓc ⇒ ˙Qf = πdwhLw(⟨Tw⟩ − Tf) □ 17 — ◦ ˙Qf ˙Qg = πdwhℓ2 cK2Lw 1 2πℓcK2λwd2w   1 − Λ tanh Lw 2ℓc tanh Lw 2ℓc   = 4hℓ2 c λwdw Lw 2ℓc cotanh Lw 2ℓc − 1 ˙Qf ˙Qg = 4λfℓ2 c λwd2w Nu [k cotanh(k) − 1] = 10 λf λw [k cotanh(k) − 1] Dans l’hypoyhèse "fil long" : k ≫ 1 ⇒ ˙Qf ˙Qg ≈ 10 λf λw k cotanh(k) ≫ 1 ou ˙Qf ≫ ˙Qg ; les pertes par conduction sont, alors, négligeables. ◦ Dépendance de V à la résistance : Nu = A + B Re et Re = µfV dw η ⇒ Nu = A + B µfdw η √ V cpgeafek@gmail.com 6/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 Or θ = 1 Nu λw λf Rw,∞ Rf = 1 (par hypothèse) ⇒ Nu = λw λf Rw,∞ Rf = A + B µfdw η √ V . Soit : V = η µfdwB2 λw λf Rw,∞ Rf − A 2 = g Rw,∞ Rf La mesure de V se ramène, alors, à une mesure de résistance. ◦ Expression de V en fonction de Rw,∞, Rf et I : On rappel l’équation bilan établie précédemment, en régime permanent ; ˙Qg − ˙Qf + ˙Qj = 0 Par hypothèse : ˙Qg ≪ ˙Qf et ˙Qg ≪ ˙Qj (fil long) ; ⇒ ˙Qf = ˙Qj ⇒ πhdwLw(Tw−Tf) = Rw,∞I2 avec          Rw,∞ = Rf [1 + α (⟨Tw⟩ − Tf)] Nu = hdw λf ⇒ hdw = λfNu ⇒ πLwλfNu Rw,∞ − Rf αRf = Rw,∞I2 ⇒ Nu = αRfRw,∞ (Rw,∞ − Rf) I2 πLwλf = A+B µfdw η √ V D’où : V = η µfdwB2 αRfRw,∞ (Rw,∞ − Rf) I2 πLwλf − A 2 II.— Anémométrie à deux fils □ 18 — Pendant phase de chauffe les pertes d’énergie par convection de l’air étant négligeables, la puissance Φst stockée dans le fil émetteur (d’énergie interne U(t)) est égale à la puissance Φst dissipée par effet Joule : Φst = ΦJ ⇒ dU dt = RwI2 ⇒ µwcwSLw dTe dt = RfI2 [1 + α(Te − Tf)] avec S = πd2 w 4 . Soit : µwcw πd2 w 4 Lw dTe dt − αRfI2(Te − Tf) = RfI2 dTe dt − 4αRfI2 µwcwπd2wLw (Te − Tf) = 4RfI2 µwcwπd2wLw ⇒ dTe dt − (Te − Tf) τ1 = RfI2 C avec            C = µwcwπd2 wLw 4 τ1 = µwcwπd2 wLw 4αRfI2 = C αRfI2 La constante C a pour unité J.K−1 : elle est, donc, homogène à une capacité thermique. C’est la capacité thermique du fil de longueur Lw. □ 19 — Solution : Te − Tf = −RfI2 C τ1 + A1 exp t τ1 Conditions initiales : Te(t = 0) = Tf ; ce qui donne la constante A1 = RfI2 C τ1 = 1 α. L’évolution Te(t) s’écrit : Te(t) = Tf + 1 α exp t τ1 − 1 cpgeafek@gmail.com 7/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 Amplitude de l’impulsion thermique ∆Te,max : ∆Te,max = Te,max − Tf avec Te,max = Te(t = τ) = Tf + 1 α exp τ τ1 − 1 Soit : ∆Te,max = 1 α exp τ τ1 − 1 □ 20 — Pendant la phase de relaxation, l’équation bilan s’écrit : dU dt = −hπdwLw(Te − Tf) ⇒ µwcwLwπd2 w 4 dTe dt = −hπdwLw(Te − Tf) Soit : dTe dt + Te − Tf τ2 = 0 avec τ2 = µwcwdw 4h • Solution : Te(t) − Tf = A2 exp − t τ2 , • Continuité de la température : Te(t = τ, chauffe) = Te(t = τ, relaxation) ; A2 exp − τ τ2 = 1 α exp τ τ1 − 1 = ∆Te,max ⇒ A2 = ∆Te,max exp τ τ2 • D’où : Te(t) = Tf + ∆Te,max exp −t − τ τ2 □ 21 — Pendant la phase de chauffe, l’impulsion est très brève. □ 22 — ln Te − Tf ∆Te,max = −t − τ τ2 est une fonction linéaire de pente négative (en accord avec les courbes des droite de la figure 4). La pente de cette droite est − 1 τ2 (1) dépend du nombre de Nusselt Nu par la relation τ2 = µwcwd2 w 4λfNu . Ce nombre Nu dépend à son tours de la norme V de la vitesse (expression vue précédemment - Cf. question □ 17 —- page 6/9). Soit : 1 τ2 = 4λf µwcwd2w Nu = 4λf µwcwd2w A + B µfdw η √ V □ 23 — Commentaires : (1)ou l’abscisse à l’origine τ τ2 puisque τ sera donnée par la courbe de gauche. cpgeafek@gmail.com 8/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir Concours Commun Mines-Ponts PHYSIQUE1-MP2022 temps «phase chauffe» instantané (très brève) «phase de relaxation» sa durée dépend de V (ordre de τ2) «phase de transmission» à travert la résistance ∼ ρfϵ Lwdw sa durée dépend de V «phase de transfert» "chauffe" du second fil, par convection elle est lente et dépend aussi de V □ 24 — On constate sue la courbe de droite que Tr,max est indépendante de la vitesse, alors que l’écart temporel ∆ter entre les deux pics de la courbe de gauche en dépend via τ2. Il suffit, alors, de mesurer ∆ter pour accéder à la vitesse V . cpgeafek@gmail.com 9/ 9 M.Afekir-Lydex - Benguérir