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M041/2022-02-08 10:03:22 Page 1/4 Mathématiques 2 MP 4 heures Calculatrice autorisée 2022 Objectifs Ce problème étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions ∑ 𝑓𝑛 de deux façons différentes : un point de vue déterministe et un point de vue probabiliste. Pour conclure à une formule du type ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓𝑛) (𝐾) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓(𝐾) 𝑛 avec 𝐾 entier supérieur ou égal à 2, les théorèmes usuels contiennent généralement au moins une hypothèse sur les dérivées intermédiaires 𝑓′ 𝑛, ..., 𝑓(𝐾−1) 𝑛 (par exemple de convergence simple sur tout l’intervalle ou même en un seul point). Le sujet montre que l’on peut affaiblir l’hypothèse de contrôle des dérivées intermédiaires par une hypothèse de convergence de séries numériques de la forme ∑ 𝑓𝑛(𝑥) où 𝑥 parcourt un ensemble fini. Cette dernière hypothèse sera de nouveau affaiblie dans la partie probabiliste consacrée à la dérivation de séries aléatoires de fonctions. Le sujet est divisé en quatre parties : — la partie I étudie une inégalité, qualifiée d’inégalité d’interpolation, qui permet de contrôler les dérivées intermédiaires d’une fonction de classe 𝒞𝐾 ; — la partie II utilise la partie I pour démontrer un résultat de transfert du caractère 𝒞𝐾 à une somme de série de fonctions ; — la partie III, qui est indépendante des parties I et II, étudie la convergence des séries aléatoires numériques de la forme ∑ 𝑋𝑛𝑎𝑛, où (𝑋𝑛) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de Rademacher et (𝑎𝑛) une suite réelle telle que la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge ; — la partie IV utilise les résultats des parties précédentes pour donner une application au caractère 𝒞𝐾 de la somme d’une série aléatoire de fonctions de la forme ∑ 𝑋𝑛𝑓𝑛. Notations — Pour tous entiers 𝑖 et 𝑗 vérifiant 𝑖 ⩽ 𝑗, la notation ⟦𝑖, 𝑗⟧ désigne l’intervalle d’entiers [𝑖, 𝑗] ∩ ℕ. — La lettre 𝐾 désigne systématiquement un entier naturel non nul. — Le symbole ℝ𝐾−1[𝑋] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 𝐾 − 1 à coefficients réels. — Pour tout intervalle 𝐼, on note 𝒞𝐾(𝐼) le ℝ-espace vectoriel des fonctions 𝑓 : 𝐼 → ℝ de classe 𝒞𝐾. Pour tous 𝑓 ∈ 𝒞𝐾(𝐼) et 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, on note 𝑓(𝑘) la dérivée d’ordre 𝑘 (et donc 𝑓(0) = 𝑓, 𝑓(1) = 𝑓′, 𝑓(2) = 𝑓′′). — Dans le cas particulier 𝐼 = [0, 1], pour toute fonction bornée 𝑓 : [0, 1] → ℝ, on note ‖𝑓‖∞ = sup 𝑥∈[0,1] |𝑓(𝑥)|. I Inégalités d’interpolation des dérivées Soit 𝐾 réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 de l’intervalle [0, 1]. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant : il existe une constante 𝐶 > 0 (dépendant des réels 𝑥1, ..., 𝑥𝐾) telle que ∀𝑓 ∈ 𝒞𝐾([0, 1]), max 0⩽𝑘⩽𝐾−1 ∥𝑓(𝑘)∥∞ ⩽ ∥𝑓(𝐾)∥∞ + 𝐶 𝐾 ∑ ℓ=1 |𝑓(𝑥ℓ)| . (I.1) Une inégalité du type précédent est appelée inégalité d’interpolation à l’ordre 𝐾. I.A – Cas particulier 𝐾 = 1 On fixe 𝑥1 ∈ [0, 1] et on étudie une inégalité d’interpolation à l’ordre 1, ∀𝑓 ∈ 𝒞1([0, 1]), ‖𝑓‖∞ ⩽ ‖𝑓′‖∞ + 𝐶 |𝑓(𝑥1)| . (I.2) Q 1. Montrer l’inégalité d’interpolation (I.2) avec 𝐶 = 1. Q 2. Soit 𝐶 ∈ ]0, 1[. À l’aide d’un exemple simple de fonction 𝑓, montrer que l’inégalité d’interpolation (I.2) est fausse. I.B – Cas particulier 𝐾 = 2 On fixe deux réels distincts 𝑥1 < 𝑥2 de [0, 1]. On veut construire une constante 𝐶 > 0 telle qu’on ait l’inégalité d’interpolation à l’ordre 2, ∀𝑓 ∈ 𝒞2([0, 1]), max(‖𝑓‖∞ , ‖𝑓′‖∞) ⩽ ‖𝑓′′‖∞ + 𝐶(|𝑓(𝑥1)| + |𝑓(𝑥2)|). (I.3) M041/2022-02-08 10:03:22 Page 2/4 Q 3. Pour tous 𝑥 ∈ [0, 1] et 𝑓 ∈ 𝒞2([0, 1]), démontrer l’inégalité ∣𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 ∣ ⩽ ‖𝑓′′‖∞ . Q 4. En déduire que, pour toute fonction 𝑓 ∈ 𝒞2([0, 1]), on a ‖𝑓′‖∞ ⩽ ‖𝑓′′‖∞ + |𝑓(𝑥1)| + |𝑓(𝑥2)| 𝑥2 − 𝑥1 . Q 5. Conclure le cas 𝐾 = 2 en montrant l’inégalité d’interpolation (I.3) avec 𝐶 = 1 + 1 𝑥2 − 𝑥1 . I.C – Cas général par interpolation de Lagrange On revient à l’étude du cas général d’inégalité d’interpolation à l’ordre 𝐾, donnée par (I.1). On fixe 𝐾 ∈ ℕ⋆. Q 6. Démontrer que l’application Ψ : ∣ ℝ𝐾−1[𝑋] → ℝ𝐾 𝑃 ↦ (𝑃(𝑥1), ..., 𝑃(𝑥𝐾)) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Q 7. Montrer qu’il existe 𝐾 polynômes 𝐿1, ..., 𝐿𝐾 de ℝ𝐾−1[𝑋] tels que, pour toute fonction 𝑓 ∈ 𝒞𝐾([0, 1]), le polynôme 𝑃 = 𝐾 ∑ 𝑗=1 𝑓(𝑥𝑗)𝐿𝑗 vérifie ∀ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, 𝑃(𝑥ℓ) = 𝑓(𝑥ℓ). Dans les deux questions suivantes Q8 et Q9, on fixe 𝑓 ∈ 𝒞𝐾([0, 1]) et on note 𝑃 le polynôme déterminé dans la question Q7. Q 8. Pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧, montrer qu’il existe au moins 𝐾 − 𝑘 réels distincts de [0, 1] en lesquels la fonction 𝑓(𝑘) − 𝑃 (𝑘) s’annule. Q 9. En déduire l’inégalité ∥𝑓(𝑘) − 𝑃 (𝑘)∥∞ ⩽ ∥𝑓(𝑘+1) − 𝑃 (𝑘+1)∥∞ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧. Q 10. Montrer qu’il existe une constante 𝐶 > 0 pour laquelle l’inégalité d’interpolation (I.1) est vérifiée. II Dérivation 𝒞𝐾 pour les séries de fonctions II.A – Énoncé général On se propose maintenant de démontrer le résultat annoncé dans le préambule. Soit 𝐾 ∈ ℕ⋆, on considère — des réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 d’un intervalle [𝑎, 𝑏] (avec 𝑎 < 𝑏) ; — une suite de fonctions (𝑓𝑛) de classe 𝒞𝐾 sur [𝑎, 𝑏] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions ∑ 𝑓(𝐾) 𝑛 converge normalement sur [𝑎, 𝑏] ; (H2) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧ la série numérique ∑ 𝑓𝑛(𝑥ℓ) est absolument convergente. Q 11. Dans le cas particulier [𝑎, 𝑏] = [0, 1], justifier que la série ∑ 𝑓(𝑘) 𝑛 converge normalement sur [𝑎, 𝑏] pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧. Q 12. Traiter la question précédente dans le cas général d’un segment [𝑎, 𝑏] avec 𝑎 < 𝑏. On pourra examiner 𝑓𝑛 ∘ 𝜎 où 𝜎 : [0, 1] → [𝑎, 𝑏] est définie par 𝜎(𝑡) = (1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 pour tout 𝑡 ∈ [0, 1]. D’après le résultat de la question précédente, on peut poser 𝐹𝑘(𝑥) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓(𝑘) 𝑛 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Q 13. Démontrer que 𝐹0 est de classe 𝒞𝐾 sur [𝑎, 𝑏] et que 𝐹 (𝑘) 0 = 𝐹𝑘 pour tout 𝑘 ∈ ⟦1, 𝐾⟧. II.B – Application sur un exemple Dans cette sous-partie, on considère un exemple où les dérivées intermédiaires ne s’expriment pas avec les fonctions usuelles. Q 14. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ⋆, justifier qu’il existe une unique fonction 𝑓𝑛 ∈ 𝒞2(]0, +∞[) vérifiant 𝑓𝑛(1) = 0, 𝑓𝑛(2) = 0 et 𝑓′′ 𝑛(𝑥) = (−1)𝑛2−𝑛𝑥2 pour tout 𝑥 > 0. Q 15. Montrer que la série de fonctions ∑ 𝑓𝑛(𝑥) converge normalement sur tout segment inclus dans ]0, +∞[ et que la fonction 𝐹 : 𝑥 ↦ +∞ ∑ 𝑛=1 𝑓𝑛(𝑥) est de classe 𝒞2 sur ]0, +∞[. Q 16. Expliciter 𝐹 ′′(𝑥). Q 17. Montrer que |𝐹(𝑥)| ⩽ 1 3 pour tout 𝑥 ∈ [1, 2]. M041/2022-02-08 10:03:22 Page 3/4 III Convergence d’une série aléatoire de Rademacher Le but de cette partie est de montrer que, si la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge, alors la série aléatoire ∑ 𝑋𝑛𝑎𝑛 converge avec probabilité 1. Notations — (𝑋𝑛)𝑛∈ℕ désigne une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d’un espace probabilisé (Ω, 𝒜, ℙ) vérifiant ∀𝑛 ∈ ℕ, ℙ(𝑋𝑛 = −1) = ℙ(𝑋𝑛 = 1) = 1 2; — (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ est une suite réelle telle que la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge ; — pour tout 𝑁 ∈ ℕ, on note 𝑆𝑁 = 𝑁 ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛𝑎𝑛 la somme partielle au rang 𝑁 de la série ∑ 𝑋𝑛𝑎𝑛 ; — si (𝜙(𝑗))𝑗∈ℕ est une suite strictement croissante d’entiers naturels, pour tout entier 𝑗 ∈ ℕ et tout entier 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, on note les évènements 𝐴𝑗 = {∣𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗} , 𝐵𝑗 = { max 𝜙(𝑗)+1⩽𝑛⩽𝜙(𝑗+1) ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗}, 𝐵𝑗,𝑚 = {∣𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗 et ∀𝑛 ∈ ⟦𝜙(𝑗), 𝑚 − 1⟧, ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ ⩽ 2−𝑗} . La réalisation de l’évènement 𝐵𝑗,𝑚 signifie que 𝑚 est le plus petit entier de l’intervalle ⟦𝜙(𝑗), 𝜙(𝑗 + 1)⟧ vérifiant ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗. III.A – Construction de la suite (𝜙(𝑗))𝑗∈ℕ et majoration de ℙ(𝐴𝑗) Q 18. Justifier l’existence d’une suite strictement croissante d’entiers naturels (𝜙(𝑗))𝑗∈ℕ vérifiant ∀𝑗 ∈ ℕ, +∞ ∑ 𝑛>𝜙(𝑗) 𝑎2 𝑛 ⩽ 1 8𝑗 . On fixe désormais une telle suite (𝜙(𝑗))𝑗∈ℕ. Q 19. Exprimer l’espérance et la variance de 𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗) en fonction des termes de la suite (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ. Q 20. Déduire des deux questions précédentes la majoration ℙ(𝐴𝑗) ⩽ 2−𝑗. III.B – Inégalité maximale de Lévy ℙ(𝐵𝑗) ⩽ 2ℙ(𝐴𝑗) Q 21. Pour tout 𝑗 ∈ ℕ, démontrer que les évènements 𝐵𝑗,𝑚, pour 𝑚 parcourant ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, sont disjoints deux à deux et qu’on a l’égalité d’évènements 𝐵𝑗 = ⋃ 𝜙(𝑗)<𝑚⩽𝜙(𝑗+1) 𝐵𝑗,𝑚. Q 22. Expliquer comment en déduire la formule ℙ(𝐴𝑗) = 𝜙(𝑗+1) ∑ 𝑚=𝜙(𝑗)+1 ℙ(𝐴𝑗 ∩ 𝐵𝑗,𝑚). Q 23. Soit 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, montrer que la fonction ∣ ℝ → ℝ 𝛼 ↦ 2𝜙(𝑗+1)−𝜙(𝑗) ℙ ({∣𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗} ∩ 𝐵𝑗,𝑚) est à valeurs dans ℕ et est paire. Q 24. Prouver que si l’évènement 𝐵𝑗 se réalise, alors il existe 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧ et 𝛼 ∈ {−1, +1} tels que l’évènement {∣𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ > 2−𝑗} ∩ 𝐵𝑗,𝑚 se réalise également. On pourra exprimer 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) en fonction des deux nombres 𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) avec 𝛼 = ±1. Q 25. En déduire que ℙ(𝐵𝑗) ⩽ 2ℙ(𝐴𝑗) M041/2022-02-08 10:03:22 Page 4/4 III.C – Convergence de la série aléatoire ∑ 𝑋𝑛𝑎𝑛 Q 26. On note 𝐵 l’évènement ⋂ 𝐽∈ℕ ⋃ 𝑗⩾𝐽 𝐵𝑗. Montrer l’égalité ℙ(𝐵) = 0. Q 27. Montrer que l’évènement {∃𝐽 ∈ ℕ, ∀𝑗 ⩾ 𝐽, ∀𝑛 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗)∣ ⩽ 2−𝑗} se réalise avec probabilité 1. Q 28. En déduire que l’évènement {la suite (𝑆𝜙(𝑗))𝑗∈ℕ est convergente} a également une probabilité 1. On pourra examiner la série ∑ ∣𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗)∣. Q 29. Conclure que l’évènement {la série ∑ 𝑋𝑛𝑎𝑛 est convergente} a une probabilité 1. IV Dérivation 𝒞𝐾 pour des séries aléatoires de fonctions On fixe 𝐾 ∈ ℕ⋆ et on considère — une suite de variables aléatoires (𝑋𝑛)𝑛∈ℕ vérifiant les hypothèses de la partie précédente ; — des réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 de [0, 1] ; — une suite de fonctions (𝑓𝑛) de classe 𝒞𝐾 sur [0, 1] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions ∑ 𝑓(𝐾) 𝑛 converge normalement sur [0, 1] ; (H2’) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, la série numérique ∑ 𝑓𝑛(𝑥ℓ)2 est convergente. Q 30. Montrer que l’une des deux hypothèses (H2’) ou (H2) (étudiée dans la partie II) implique l’autre. Q 31. Montrer que l’évènement {pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, la série ∑ 𝑋𝑛𝑓𝑛(𝑥ℓ) est convergente} a une probabilité 1. Q 32. On note 𝑃𝑛 ∈ ℝ𝐾−1[𝑋] un polynôme vérifiant 𝑃𝑛(𝑥ℓ) = 𝑓𝑛(𝑥ℓ) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧ (cf. question 7), montrer que l’évènement ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, la série de fonctions ∑ 𝑋𝑛(𝑓𝑛 − 𝑃𝑛)(𝑘) est uniformément convergente sur [0, 1], la fonction +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛(𝑓𝑛 − 𝑃𝑛) est de classe 𝒞𝐾, pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛(𝑓𝑛 − 𝑃𝑛)) (𝑘) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛(𝑓𝑛 − 𝑃𝑛)(𝑘) ⎫ } } } ⎬ } } } ⎭ a une probabilité 1. Q 33. Montrer que l’évènement ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, la série de fonctions ∑ 𝑋𝑛𝑓(𝑘) 𝑛 est uniformément convergente sur [0, 1], la fonction +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛𝑓𝑛 est de classe 𝒞𝐾, pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛𝑓𝑛) (𝑘) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛𝑓(𝑘) 𝑛 ⎫ } } } ⎬ } } } ⎭ a une probabilité 1. Q 34. Donner un exemple d’entier 𝐾 ∈ ℕ⋆ pour lequel l’évènement précédent se réalise avec les fonctions 𝑓𝑛 définies par { 𝑓0 = 0, 𝑓𝑛(𝑥) = ln (1 + sin (𝑥 𝑛)) ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑥 ∈ [0, 1]. • • • FIN • • • CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2 MP m.laamoum@gmail.com I Inégalités d’interpolation des dérivées Si (E, ∥.∥) un e.v.n on rappelle les inégalités triangulaires , pour tout x,y dans E : ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ et |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥ I. A Cas particulier K = 1 Q 1. Soit x1 ∈ [0, 1] et f ∈ C1([0, 1]) , donc f et f′ sont bornées sur [0, 1] . Soit x ∈ [0, 1] d’après le TAF il existe c ∈ [0, 1] tel que |f(x) − f(x1)| = |x − x1| f′(c) par suite |f(x)| − |f(x1)| ≤ f′(c) ≤ f′ ∞ c.a.d |f(x)| ≤ f′ ∞ + |f(x1)| ceci est valable pour tout x dans [0, 1] donc ∥f∥∞ ⩽ ∥f′∥∞ + |f (x1)| . Q 2. Soit C ∈]0, 1[ et une fonction constante f = a avec a > 0. On a ∥f∥∞ = a et ∥f′∥∞ = 0 . Si f vérifie (I.2) alors 1 ≤ C , ce qui est absurde . Donc l’inégalité (I.2) est fausse. I. B Cas particulier K = 2 On fixe deux réels distincts x1 < x2 de [0, 1]. Q 3. Soit x ∈ [0, 1] et f ∈ C2([0, 1]) , par le le TAF il existe c1 ∈ [0, 1] tel que f′(x) − f (x2) − f (x1) x2 − x1 = f′(x) − f′(c1) le TAF , encore une autre fois, appliqué à f′ donne : ∃c2 ∈ [0, 1] tel que f′(x) − f′(c1) = |x − c1| f′′(c2) . f ∈ C2([0, 1]) donc f′′ est bornée sur [0, 1] , on en déduit f′(x) − f (x2) − f (x1) x2 − x1 = f′(x) − f′(c1) ≤ f′′ ∞ 1 Q 4. Soit f ∈ C2([0, 1]), l’inégalité précédente donne f′(x) ≤ f (x2) − f (x1) x2 − x1 + f′′ ∞ ≤ f′′ ∞ + |f (x1)| + |f (x2)| x2 − x1 ceci est valable pour tout x dans [0, 1] donc f′ ∞ ⩽ f′′ ∞ + |f (x1)| + |f (x2)| x2 − x1 Q 5. D’après Q1 ∥f∥∞ ⩽ f′ ∞ + |f (x1)| ⩽ f′′ ∞ + |f (x1)| + |f (x1)| + |f (x2)| x2 − x1 ≤ f′′ ∞ + 1 + 1 x2 − x1 (|f (x1)| + |f (x2)|) D’où l’inégalité (I.3) avec C = 1 + 1 x2−x1 . I. C Cas général par interpolation de Lagrange Soit K ∈ N∗ Q 6. Ψ est linéaire et dim RK−1 [X] = dim RK il suffit de montrer que Ψ est injective . Soit P dans le noyau de Ψ alors il a K racines distincts et il est de degré inférieur à K − 1 donc il est nul , d’où ker Ψ = {0} , ainsi Ψ est un isomorphisme . Q 7. Soit Li le polynômes de RK−1 [X] l’image réciproque par Ψ de (δi,1, ..., δi,K) , δi,j est le symbole de Kronecker . Soit f ∈ CK([0, 1]), le polynôme P = K j=1 f (xj) Lj vérifie ∀ℓ ∈ 1, K , P (xℓ) = f (xℓ) . ((Li)1≤i≤K est appelé la base de Lagrange de RK−1 [X] et Li(X) = K j=1 j̸=i X − xj xi − xj ) Q 8. f − P s’annule, sur [0, 1] , au moins K fois en x1 , ..., xK , le théorème de Rolle, appliqué sur chaque intervalle ]xi, xi+1[ , donne f′−P ′ s’annule, sur [0, 1] , au moins K −1 fois , ainsi par récurrence pour tout k ∈ 0, K − 1 , f(k) − P (k) s’annule, sur [0, 1] , au moins K − k fois . Q 9. Soit k ∈ 0, K − 1 et y ∈ [0, 1] une racine de f(k) − P (k) , comme dans Q1 on a f(k) − P (k) ∞ ⩽ f(k+1) − P (k+1) ∞ + f(k)(y) − P (k)(y) = f(k+1) − P (k+1) ∞ Q 10. On déduit de la question Q9 que, pour tout k ∈ 0, K −1 , f(k) − P (k) ∞ ⩽ f(K) − P (K) ∞, ce qui donne f(k) ∞ ⩽ P (k) ∞ + P (K) ∞ + f(K) ∞ 2 Nous avons P = K j=1 f (xj) Lj et les Lj sont dans CK([0, 1]), donc P (k) ∞ ≤ K j=1 |f (xj)| L(k) j ∞ ≤ max 0≤k≤K−1 1≤j≤K L(k) j ∞ K j=1 |f (xj)| On obtient l’inégalité d’interpolation (I.1) avec C = 2 max0≤k≤K−1 1≤j≤K L(k) j ∞. II Dérivation CK pour les séries de fonctions . II. A Énonce général Q 11. [a, b] = [0, 1] . Soit x ∈ [0, 1] on a max 0⩽k⩽K−1 f(k) n ∞ ⩽ f(K) n ∞ + C K ℓ=1 |fn (xℓ)| . donc pour tout k ∈ 1, K − 1 la série f(k) n converge normalement sur [0, 1] . Q 12. Soit gn = fn ◦ σ où σ : [0, 1] → [a, b] avec σ(t) = (1 − t)a + tb . gn de classe CK sur [0, 1] et g(K) n (t) = (b − a)Kf(K) n (σ(t)) donc g(K) n ∞,[0,1] = (b − a)K f(K) n ∞,[a,b] Pour tout ℓ ∈ 1, K la série numérique gn σ−1(xℓ) est absolument convergente. (gn) vérifie H1 et H2 sur [0, 1] donc pour tout k ∈ 1, K − 1 la série g(k) n converge normalement sur [0, 1] par suite f(k) n converge normalement sur [a, b] . D’après le résultat de la question précédente, on peut poser Fk(x) = +∞ n=1 f(k) n (x) pour tout x ∈ [a, b]. Q 13. La série fn vérifie les conditions du théorème de dérivabilité, d’ordre K, des séries de fonctions sur un segment, donc F0 est de classe CK sur [a, b] et que F (k) 0 = Fk pour tout k ∈ 1, K . II. B Application sur un exemple Q 14. Pour tout n ∈ N∗, l’application x → (−1)n2−nx2 est continue , les solutions de l’équation ∀x > 0 y′′(x) = (−1)n2−nx2 sont données par y(x) = (−1)n x 1 t 1 2−ns2ds dt + a(x − 1) + b il existe une unique solution, notée fn, vérifiant y(1) = 0, y(2) = 0, obtenue pour b = 0 et a = (−1)n+1 2 1 t 1 2−ns2ds dt . Q 15. Soit [a, b] ⊂ ]0, +∞[ , A = min(1, a) et B = max(2, b) . gn = fn ◦ σ où σ : [0, 1] → [A, B] avec 3 σ(t) = (1 − t)A + tB . L’inégalité (I.1) appliquée à gn , sur [0, 1] , avec K = 2, x1 = σ−1(1) et x2 = σ−1(2) donne max 0⩽k⩽1 g(k) n ∞,[0,1] ≤ g(K) n ∞,[0,1] et ∥fn∥∞,[A,B] ≤ (B − A)2 f′′ n ∞,[A,B] = (B − A)2 2−nA2 Puisque [a, b] ⊂ [A, B] alors ∥fn∥∞,[a,b] ≤ (B − A)2 2−nA2 De plus 2−nA2 = n→+∞ o( 1 n2 ) , donc fn(x) converge normalement sur [a, b] . La question Q13 assure que F est de classe C2 sur tout [a, b] ⊂ ]0, +∞[ donc elle est sur ]0, +∞[ . Q 16. F ′′(x) = +∞ n=1 (−1)n2−nx2 = −1 2x2 + 1 . Q 17. F est de classe C2 sur [1, 2] , F(1) = F(2) = 0 , l’inégalité I.1 au points a = 1 et b = 2 donne ∥F∥∞,[1,2] ≤ (b − a)2 F ′′ ∞,[1,2] = F ′′ ∞,[1,2] Or |F”(x)| = 1 2x2+1 ⩽ 1 3 pour tout x ∈ [1, 2] donc ∥F∥∞,[1,2] ≤ 1 3. III Convergence d’une série aléatoire de Rademacher (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d’un espace probabilisé (Ω, A, P) vérifiant ∀n ∈ N, P (Xn = −1) = P (Xn = 1) = 1 2 Cela ne signifie pas que Xn (Ω) = {−1, 1} , mais P (Xn (Ω) \ {−1, 1}) = 0. III. A Construction de la suite (ϕ(j))j∈N et majoration de P (Aj) Q 18. a2 n converge donc +∞ k=n+1 a2 k → n→+∞ 0 et pour tout k ≥ 0 il existe nk ∈ N tel que +∞ n>nk a2 n ⩽ 1 8k . Soit ϕ : k → max {n0, ..., nk} , la suite (ϕ(j))j∈N est strictement croissante et vérifie ∀j ∈ N, +∞ n>ϕ(j) a2 n ⩽ 1 8j Q 19. On a Sϕ(j+1) − Sϕ(j) = ϕ(j+1) n=ϕ(j)+1 Xnan , donc E Sϕ(j+1) − Sϕ(j) = ϕ(j+1) n=ϕ(j)+1 anE (Xn) comme P (Xn = −1) = P (Xn = 1) = 1 2 alors P (Xn = x) = 0 si x /∈ {−1, 1} , ainsi E (Xn) = 0 et E Sϕ(j+1) − Sϕ(j) = 0. 4 Les variables Xn sont indépendantes donc V Sϕ(j+1) − Sϕ(j) = ϕ(j+1) n=ϕ(j)+1 a2 nV (Xn) avec V (Xn) = E X2 n = 1 , d’où V Sϕ(j+1) − Sϕ(j) = ϕ(j+1) n=ϕ(j)+1 a2 n Q 20. L’inégalité de Bienaymé-Tchebichev donne P (Aj) = P Sϕ(j+1) − Sϕ(j) − E Sϕ(j+1) − Sϕ(j) > 2−j ≤ V(Sϕ(j+1)−Sϕ(j)) 2−2j et on a V Sϕ(j+1) − Sϕ(j) ≤ +∞ n=ϕ(j)+1 a2 n ≤ 1 8j donc P (Aj) ≤ 8−j 2−2j = 2−j III. B Inégalité maximale de Lévy P (Bj) ⩽ 2P (Aj) Q 21. Soit m, m′ ∈ ϕ(j) + 1, ϕ(j + 1) et m > m′ Si ω ∈ Bj,m alors Sm(ω) − Sϕ(j)(ω) > 2−j et ∀n ∈ ϕ(j), m − 1 , Sn(ω) − Sϕ(j)(ω) ⩽ 2−j , en particulier pour n = m′ donc ω /∈ Bj,m′ ainsi Bj,m ∩ Bj,m′ = ∅ . Soit ω ∈ Bj,m , max ϕ(j)+1≤n≤ϕ(j+1) Sn − Sϕ(j) ≥ Sm(ω) − Sϕ(j)(ω) > 2−j donc ω ∈ Bj et Bj,m ⊂ Bj ainsi ϕ(j)<m≤ϕ(j+1) Bj,m ⊂ Bj. Soit ω ∈ Bj et m0 = min n ∈ ϕ(j) + 1, ϕ(j + 1) tel que Sn(ω) − Sϕ(j)(ω) > 2−j alors ω ∈ Bj,m0 ce qui donne Bj ⊂ ϕ(j)<m≤ϕ(j+1) Bj,m. Finalement on a l’égalité Bj = ϕ(j)<m≤ϕ(j+1) Bj,m Q 22. Nous avons Aj ∩ Bj = ϕ(j)<m≤ϕ(j+1) Aj ∩ Bj,m qui est une réunion disjointe donc P (Aj ∩ Bj) = ϕ(j+1) m=ϕ(j)+1 P (Aj ∩ Bj,m). De plus Aj ⊂ Bj donc P (Aj) = ϕ(j+1) m=ϕ(j)+1 P (Aj ∩ Bj,m) 5 Q 23. Notons Φ cette fonction. Posons N = ϕ(j + 1) − ϕ(j) et, pour α ∈ R , Zα est l’ensemble des (ε1, .., εN) ∈ {−1, 1}N vérifiant :      εmam + ... + εϕ(j)+1aϕ(j)+1 > 2−j , ∀n ∈ ϕ(j), m − 1 , εnan + ... + εϕ(j)+1aϕ(j)+1 ⩽ 2−j et α(εm+1am+1 + ... + εϕ(j+1)aϕ(j+1)) + εmam + ... + εϕ(j)+1aϕ(j)+1 > 2−j Donc on a αSϕ(j+1) − αSm + Sm − Sϕ(j) > 2−j ∩Bj,m = (ε1,..,εN)∈Zα [X1 = ε1, ..., XN = εN] ( réunion disjointe) l’independance des Xn donne P( αSϕ(j+1) − αSm + Sm − Sϕ(j) > 2−j ∩ Bj,m) = Card(Zα) 2N donc Φ(α) = Card(Zα) ∈ N . Soit α ∈ R , l’application de Zα vers Z−α qui a (ε1, .., εN) associe (ε1, .., εm, −εm+1, .., −εN) , est une bijection donc Φ(−α) = Φ(α) et Φ est paire. Ceci pour ceux qui ont compris la question comme ça. Pour les autres on remarque que : si (ε1, .., εN) ∈ Zα alors (−ε1, .., −εN) ∈ Zα donc Φ(α) est un nombre pair . Q 24. L’événement Bj = ϕ(j)<m≤ϕ(j+1) Bj,m se réalise, c.a.d Bj ̸= ∅ , alors il existe Soit ω ∈ Bj il existe m ∈ ϕ(j) + 1, ϕ(j + 1) ( m depend de ω ) tel que ω ∈ Bj,m, donc Sm(ω) − Sϕ(j)(ω) > 2−j , écrivons Sm − Sϕ(j) = 1 2 Sϕ(j+1) − Sm + Sm − Sϕ(j) + 1 2 −Sϕ(j+1) + Sm + Sm − Sϕ(j) si on suppose Sϕ(j+1) − Sm + Sm − Sϕ(j) (ω) ≤ 2−j et −Sϕ(j+1) + Sm + Sm − Sϕ(j) (ω) ≤ 2−j alors Sm(ω) − Sϕ(j)(ω) ≤ 2−j ce qui est absurde . Ainsi ω ∈ αSϕ(j+1) − αSm + Sm − Sϕ(j) > 2−j ∩ Bj,m et l’événement se réalise pour α ∈ {−1, +1}. Q 25. Si Bj n’est pas réalisé l’inégalité est évidente. Supposons Bj est réalisé. Pour tout m ∈ ϕ(j) + 1, ϕ(j + 1) on note Rj,m = α∈{−1,+1} αSϕ(j+1) − αSm + Sm − Sϕ(j) > 2−j ∩ Bj,m = (Aj ∩ Bj,m) ∪ (Ej,m ∩ Bj,m) (∗) 6 et Ej,m = −Sϕ(j+1) + Sm + Sm − Sϕ(j) > 2−j . Nous avons d’après Q24 Bj ⊂ m∈ ϕ(j)+1,ϕ(j+1) Rj,m donc P(Bj) ≤ φ(j+1) m =φ(j) +1 P(Rj,m) de la relation (*) on a φ(j+1) m =φ(j) +1 P(Rj,m) ≤ φ(j+1) m =φ(j) +1 P(Aj ∩ Bj,m) + φ(j+1) m =φ(j) +1 P (Ej,m ∩ Bj,m) . La fonction Φ du Q23 est paire donc P(Aj ∩ Bj,m) = P (Ej,m ∩ Bj,m) , par suite φ(j+1) m =φ(j) +1 P(Rj,m) ≤ 2 φ(j+1) m =φ(j) +1 P(Aj ∩ Bj,m) ≤ 2P (Aj) ainsi P (Bj) ⩽ 2P (Aj) III. C Convergence de la série aléatoire Xnan Q 26. Soit B = J∈N j≥J Bj . La suite d’événements j≥J Bj J∈N est décroissante , le théorème de la limite monotone donne P (B) = lim J→+∞ P   j≥J Bj   On a P   j≥J Bj   ≤ +∞ j=J P (Bj) et P (Bj) ⩽ 2P (Aj) ≤ 1 2j−1 , donc P   j≥J Bj   ≤ +∞ j=J 1 2j−1 = 1 2J−2 d’où P(B) = lim J→+∞ P   j≥J Bj   = 0. Q 27. l’événement considéré se traduit simplement par :   ∃J ∈ N, j≥J Bj est réalisé    =    J≥1 j≥J Bj est réalisé    = B est réalisé 7 donc il se réalise avec probabilité 1 . Q 28. Soit ω ∈ B alors ∃J ∈ N ∀j ⩾ J, Sϕ(j+1)(ω) − Sϕ(j)(ω) ≤ 2−j . Ainsi la série Sϕ(j+1)(ω) − Sϕ(j)(ω) converge absolument donc elle converge ( télescopique ), par suite Sϕ(j)(ω) j∈N est convergente . En déduit que B ⊂ la suite Sϕ(j) j∈N est convergente ainsi ce dernier événement à une probabilité 1. Q 29. Soit ω ∈ B alors ∃J ∈ N ∀j ⩾ J, Sϕ(j+1)(ω) − Sϕ(j)(ω) ≤ 2−j par suite Sϕ(j)(ω) N∈N est convergente. Pour tout N > ϕ(J) , il existe j ⩾ J tel que N ∈ ϕ(j) + 1, ϕ(j + 1) , on a SN(ω) = Sϕ(j)(ω) + SN(ω) − Sϕ(j)(ω) avec SN(ω) − Sϕ(j)(ω) ⩽ 2−j donc (SN(ω))N∈N est convergente , d’où B ⊂ la série Xnan est convergente et {la série Xnan est convergente} a une probabilité 1. IV Dérivation CK pour des séries aléatoires de fonctions On fixe K ∈ N∗. Q 30. ℓ ∈ 1, K . Si |fn (xℓ)| converge alors |fn (xℓ)| → n→+∞ 0 et il existe N tel que si n ≥ N alors |fn (xℓ)| < 1, ce qui donne fn (xℓ)2 ≤ |fn (xℓ)| , la convergence de fn (xℓ)2 en découle. Donc (H 2) implique (H 2’) . Q 31. Pour tout ℓ ∈ 1, K fn (xℓ)2 converge , la question Q29 donne le résultat . Q 32. Notons A l’événement considéré dans cette question. On note Pn ∈ RK−1[X] un polynôme vérifiant Pn (xℓ) = fn (xℓ) pour tout ℓ ∈ 1, K D’près la question Q 9 , f(k) n − P (k) n ∞ ⩽ f(k+1) n − P (k+1) n ∞ pour tout k ∈ 0, K − 1 donc ∀k ∈ 0, K − 1 , f(k) n − P (k) n ∞ ⩽ f(K) n ∞ (P (K) n = 0) Remarquons que P (|Xn| = 1) = 1 et P n∈N [|Xn| = 1] = 1 car les Xn sont indépendantes. Notons E = n∈N [|Xn| = 1] . Si ω ∈ E alors Xn(ω) (fn − Pn)(k) ≤ f(K) n ∞ 8 ce qui prouve la convergence normale et uniforme de la série Xn(ω) (fn − Pn)(k)sur [0, 1] . De la partie II.A (H1 et H2 sont vérifiées) la fonction x → +∞ n=0 Xn(ω) (fn(x) − Pn(x)) est de classe CK sur [0, 1] et +∞ n=0 Xn(ω) (fn(x) − Pn(x)) (k) = +∞ n=0 Xn(ω) (fn(x) − Pn(x))(k) pour tout k ∈ 0, K . Ainsi E ⊂ A et ce dernier se réalise avec une probabilité 1 . Q 33. Notons A′ l’événement considéré dans cette question . Écrivons fn = XnPn + Xn (fn − Pn) . L’ensemble A des ω tels que Xn(ω) (fn − Pn) vérifie Q32 est de probabilité 1. Pour tout ℓ ∈ 1, K les séries Xnfn (xℓ) convergent avec une probabilité 1, notons C cet événement. de la question 7 , on a Pn = K j=1 fn (xj) Lj qui définit une fonction polynomiale de degré ⩽ K − 1 de classe CK et ∀k ∈ 0, K , P (k) n = K j=1 fn (xj) L(k) j Donc pour tout ω ∈ A′ , les series Xn (ω) P (k) n convergent pour tout k ∈ 1, K , de somme : +∞ n=0 Xn (ω) P (k) n = K j=1 +∞ n=0 Xn (ω) fn (xj) L(k) j qui sont des fonctions polynomiales. Ainsi A ∩ C ⊂ A′ or A ⊂ C donc A ⊂ A′ d’où A′ est de probabilité 1. Q 34. fn est de classe C∞ sur [0, 1] et fn(x) ∼ n→+∞ x n donc n≥1 f2 n(x) converge pour tout x dans [0, 1]. On a fn(x) = f1( x n) , donc pour tout k ≥ 1 f(k) n (x) = 1 nk f(k) 1 ( x n) ce qui donne f(k) n ∞ ≤ 1 nk f(k) 1 ∞. L’événement précédent se réalise pour tout K ≥ 2. • • • FIN • • • 9