OpenSup

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 2017 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE – A – (XE) (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d’un seul chiffre significatif. On prendra 21/3 = 1, 25 et 22/3 = 1, 6 ainsi que g = 9, 8 m.s−2 pour l’accélération de la pesanteur. ⋆ ⋆ ⋆ Catapultes Les catapultes sont des engins mécaniques destinés à lancer de gros projectiles pour attaquer des murailles. Mais on peut généraliser cette définition à d’autres situations que le siège de fortifications : dans le monde végétal, les plantes peuvent stocker de l’énergie sous différentes formes pour la libérer rapidement et provoquer des mouvements très rapides (plantes ”carni- vores”, éjection de graines et de spores). On peut également utiliser l’énergie électromagnétique pour fabriquer une catapulte. Nous nous intéressons ici à ces deux variantes de catapultes. Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1 Catapultes capillaires Lorsqu’on fait condenser de la vapeur d’eau sur une surface très hydrophobe, on observe les phénomènes suivants : les gouttes d’eau (de taille submillimétrique) ont une forme sphérique et ne s’étalent pas sur la surface solide. La taille de chaque goutte augmente au cours du temps par la condensation de la vapeur. Lorsque deux gouttes initialement proches se touchent et coalescent en une seule goutte plus grosse, cette dernière saute verticalement (fig. 1). On cherche à analyser ce phénomène et, en particulier, à trouver la taille optimale de goutte pour la propulsion verticale. 1. On considère deux gouttes identiques de rayon R, ayant une tension interfaciale avec l’air γ. Quelle est la variation d’énergie de surface δEs résultant de la coalescence de ces deux gouttes ? 2. En admettant qu’il n’y a pas de dissipation d’énergie lors de la coalescence et que les gouttes sont initialement au repos, quelle est la vitesse verticale initiale V0 du mouvement de la goutte résultant de la coalescence ? Quelle est la valeur numérique de V0 pour des gouttes d’eau (masse volumique ρ = 1000 kg.m−3, tension de surface γ = 70 mN.m−1) de rayon R = 1 mm ? 3. Quelle est la hauteur h atteinte par la goutte, si on néglige la friction dans l’air ? 4. Immédiatement après la coalescence, la goutte est très fortement déformée par rapport à sa forme d’équilibre sphérique (fig. 1b). On cherche à estimer par un raisonnement en loi d’échelle le temps caractéristique de déformation de la goutte. En comparant l’énergie de surface de la goutte et l’énergie 1 Figure 1 – En haut : saut d’une goutte d’eau résultant de la coalescence de deux gouttes sur un substrat superhydrophobe. L’intervalle entre images est 0,8 ms et le diamètre de la goutte éjectée est 0,5 mm. Images tirées de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). En bas : Simulation numérique montrant l’évolution de la forme de la goutte immédiatement après coalescence. Figure tirée de S. Farokhirad, J. Morris & T. Lee, Phys. Fluids 27, 102102 (2015). cinétique liée aux mouvements internes du liquide, montrer que ce temps caractéristique τ est tel que : τ ∝ ρR3/γ. Dans ce raisonnement, on ignorera tous les préfacteurs numériques. Quel est l’ordre de grandeur de ce temps pour une goutte d’eau millimétrique ? 5. Dans un écoulement, la puissance dissipée par unité de volume du fait de la viscosité est η j i(∂ui/∂xj)2 ou η est la viscosité dynamique, ui est la composante i du vecteur vitesse et xj la composante j de la coordonnée d’espace. On suppose ici que tous les termes ∂ui/∂xj sont du mˆeme ordre de gran- deur. Montrer, toujours en ignorant les préfacteurs numériques, que l’énergie dissipée par viscosité à l’intérieur de la goutte pendant sa déformation est proportionnelle à η γR3/ρ. 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 Vitesse (m/s) 350 300 250 200 150 100 50 0 Diam tre (microns) Figure 2 – Vitesse verticale initiale de la goutte après coalescence en fonction du diamètre moyen (après coalescence) des gouttes. Données tirées de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). 6. Il y a en fait un préfacteur numérique important pour l’énergie dissipée qui est : 36πη γR′3/ρ ≈ 2 100η γR′3/ρ. En faisant un bilan d’énergie prenant en compte la dissipation visqueuse, déterminer l’évolution de la vitesse d’éjection verticale de la goutte en fonction du rayon R′ et des paramètres physiques du problème. R′ est ici le rayon de la goutte après coalescence. Y a-t-il une valeur du rayon pour laquelle la vitesse d’éjection est maximale ? Si oui, quelle est elle ? Quelle est alors la vitesse d’éjection ? Comment se comparent ces résultats aux données expérimentales de la fig. 2 ? La viscosité dynamique de l’eau est : η = 10−3 Pa.s. 2 Application à l’éjection des spores de champignons Figure 3 – Éjection d’une spore de champignon. À gauche, a, b : schéma de la coalescence de la goutte d’eau (en gris foncé) sur la spore. d, e : deux vues de la coalescence prises avec une caméra ultra-rapide (largeur des images : 30 µm). À droite, surimpression des positions d’une spore à des intervalles de temps de 100 µs. Images tirées de A. Pringle et al., ”The captured launch of a ballistospore”, Mycologia, 97, 866 (2005). Certaines espèces de champignons ont développé une stratégie efficace pour éjecter les spores depuis les lamelles situées sous le chapeau. À la base du support de la spore se trouve une petite zone hydrophile qui permet la croissance d’une goutte d’eau (fig. 3). Lorsque la goutte d’eau, de rayon Rg est assez grande, elle fusionne avec une très mince couche d’eau couvrant la surface de la spore et s’étale à son tour en une couche mince couvrant toujours la surface entière de la spore. Le rayon de la spore, que l’on supposera sphérique, Rs est de l’ordre de 4 µm, sa masse m est de l’ordre de 4 × 10−10 g. 7. Estimer la variation d’aire interfaciale eau/air et la variation d’énergie interfaciale associée. On sup- posera que le film d’eau initialement présent couvre la totalité de la surface de la spore et que le rayon de la goutte d’eau est deux fois plus petit que celui de la spore. 8. En admettant que la variation d’énergie interfaciale est intégralement récupérée en énergie cinétique, estimer la vitesse initiale d’éjection de la spore et comparer cette vitesse à celle observée expérimentalement. 9. Quel est le nombre de Reynolds associé à l’écoulement d’air autour de la spore ? La viscosité dyna- mique de l’air est 1, 8 × 10−5 Pa.s et sa masse volumique est 1,3 kg.m−3. 3 10. En déduire l’expression de la force de traˆınée exercée par l’air sur la spore en mouvement en fonction notamment du rayon de la spore et de sa vitesse. 11. La gravité joue-t-elle un rˆole dans le mouvement ? Si la spore est éjectée horizontalement, décrire sa trajectoire et donner en particulier la longueur et le temps de freinage. Comparer votre prédiction au mouvement réel représenté sur la fig. 3. 3 Catapultes électromagnétiques On considère une catapulte électromagnétique constituée de deux rails en aluminium parallèles de section carrée (de cˆoté a) et de longueur xmax, reliés d’une part à une extrémité à un générateur G (un groupe de condensateurs) en série avec un interrupteur I et d’autre part à un rail mobile de longueur l et de masse m (de matériau et section identiques aux deux rails parallèles et perpendiculaire à ceux-ci), comme schématisé sur la figure 4. On suppose que le rail mobile se déplace sans frottement dans la direction (Ox) entre les deux rails parallèles et assure un contact électrique parfait au niveau de chaque rail. Le rail mobile est de plus muni d’un support de masse négligeable (non représenté sur le schéma) permettant de pousser un projectile de masse M. Figure 4 – Schéma de la catapulte Lors de la fermeture de l’interrupteur I, le groupe de condensateurs initialement chargé fournit de l’énergie au circuit, en particulier sous forme d’énergie cinétique fournie à la partie mobile (d’ou le nom de cata- pulte électromagnétique). On considère le circuit dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires. Le groupe de condensateurs est équivalent à un condensateur de capacité notée C. On note L(x) l’inductance propre du circuit lorsque le conducteur mobile se trouve à la position x (voir figure 4). L’ensemble des parties résistives du système est assimilable à une résistance R(x) en série avec la capacité C et l’inductance L(x). On note i(t) l’intensité dans le circuit. 12. Rappeler l’expression de l’énergie magnétique à l’instant t d’un circuit d’inductance L parcouru par un courant d’intensité i, ainsi que la force électromotrice s’exer¸cant sur un circuit déformable. En effectuant de deux manières un bilan de la puissance fournie par la source au circuit, montrer que le module de la force exercée sur la partie mobile s’écrit : F = 1 2 dL dx i2. Faire un schéma montrant la direction du champ magnétique dans le plan situé à égale distance des deux conducteurs parallèles ainsi que la direction de la force agissant sur la partie mobile. 13. La figure 5 indique quelques valeurs de L(x) pour différentes valeurs de x et pour quelques valeurs de a et l. Expliquer pourquoi L(x) varie en bonne approximation linéairement en fonction de la distance x, 4 position x du conducteur mobile (m) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Inductance L(x) (µH) 0 1 2 3 4 5 l = 20 cm, a = 1 cm l = 20 cm, a = 5 cm l = 20 cm, a = 10 cm l = 40 cm, a = 5 cm l = 40 cm, a = 10 cm Figure 5 – Valeur de l’autoinductance L(x) du circuit constituant la catapulte en fonction de la distance x, pour diverses valeurs des paramètres géométriques l et a. dans l’hypothèse ou x est grand devant l’écart l entre les deux barres parallèles. On notera Lx = dL dx , valeur qui sera dans toute la suite de l’énoncé supposée constante. 14. En supposant que le plan de la catapulte est incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale, et en supposant un courant constant de valeur i0 dans le circuit, établir la relation littérale entre i0 et la vitesse v(x) de la partie mobile de masse m + M après un parcours de longueur x, et une position initiale en x = 0. 15. Déduire à partir de la figure 5 les valeurs des paramètres géométriques l et a (parmi ceux proposés) qui vont minimiser le courant requis pour atteindre une vitesse donnée. On suppose dans toute la suite que l et a sont fixées à ces valeurs. 16. Déterminer un ordre de grandeur du courant i0 (toujours supposé constant) nécessaire pour catapul- ter un ballon de football, de masse M = 450 g à 50 m/s avec une catapulte de longueur xmax = 1 m, pour les paramètres géométriques de conducteur mobile les plus favorables déterminés à la question précédente. La masse volumique de l’aluminium est ρAl ∼ 2700 kg m−3. Dans toute la suite, la lon- gueur xmax de la catapulte est fixée à 1 m. 17. En déduire une ordre de grandeur de la charge nécessaire à la production d’un tel courant pendant le catapultage. 18. Dans ce qui précède, on a supposé que le courant était constant pour l’estimation des ordres de grandeur. En réalité, le courant est initialement nul avant la fermeture de l’interrupteur, et ne peut donc ˆetre constant lors du fonctionnement de la catapulte. Le groupe de condensateur de capacité équivalente C est initialement chargé avec une charge notée Q0. Rappeler l’équation différentielle qui régit le courant i(t). On suppose l’inégalité suivante vérifiée : L(x) R(x) ≪ R(x)C Interpréter cette inégalité en précisant le sens de chacun des termes, et déduire une description en deux phases du fonctionnement de la catapulte une fois l’interrupteur fermé. 5 19. Dans le cadre de l’inégalité précédente, établir l’équation approchée décrivant l’évolution temporelle du courant dans le circuit pendant la phase de catapultage correspondant à la décharge du groupe de condensateurs, en supposant constante la résistance totale R du circuit. Figure 6 – Association de n × m condensateurs formant le générateur G de la catapulte électromagnétique. 20. On peut trouver sur le marché des condensateurs de très forte valeur de capacité C0 (plusieurs mil- liers de Farads), mais limités à des tensions de charge ∆V0 relativement basses (quelques Volts). Ces condensateurs présentent en général également des pertes, modélisables par une résistance de perte R0 associée en série avec la partie capacitive. On considère un groupement de m×n condensateurs associés comme sur la figure 6. Etablir les valeurs de capacité et de résistance équivalentes à un tel groupe de condensateurs dans une représentation (R,C) en série, ainsi que la charge maximale que peut fournir le groupe de condensateurs et la tension correspondante à laquelle on doit le soumettre pour le charger. 21. En supposant négligeable la résistance liée aux rails en aluminium, établir en fonction de C0, ∆V0, R0, n et m l’expression du courant de décharge dans le circuit. Avec C0 = 3000 F, ∆V0 = 3 V et R0 = 0, 3 mΩ, montrer que m = 3 et n = 10 permet de fournir un courant d’intensité et de temps caractéristique de décharge compatibles avec toutes les hypothèses effectuées et les valeurs numériques trouvées dans les questions précédentes. La conductivité électrique de l’aluminium vaut γAl ≃ 38 × 106 S m−1. 22. Estimer un ordre de grandeur de l’élévation de température dans les rails d’aluminium pendant la durée utile de la projection. La capacité thermique de l’Aluminium vaut cAl ∼ 900 J K−1 kg−1. 23. Estimer l’efficacité de la catapulte en comparant l’énergie “utile” aux autres formes d’énergie mises en jeu. Quel peut ˆetre alors l’intérˆet de ce genre de dispositif de projection en pratique ? ∗ ∗ ∗ 6

Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 1 sur 8 Proposition de corrigé – Composition de Physique A (X-ESPCI) – Filière PC – 2017 « Catapultes » 1 Catapultes capillaires 1. Avant la coalescence : deux gouttes de rayon R d’où 𝐸 = 2 × 4𝜋𝑅2𝛾 = 8𝜋𝑅2𝛾. Après la coalescence : une seule goutte de rayon R’ (notation introduite à la question 6.) d’où 𝐸′ = 4𝜋𝑅′2𝛾. La conservation du volume d’eau (liquide incompressible) donne 𝑅′ = 21/3𝑅. D’où au final 𝛿𝐸∗ = 4𝜋𝑅2𝛾(22/3 − 2) ≈ −1,6 𝜋𝑅2𝛾 (négative). 2. L’énergie de surface « perdue » est intégralement convertie en énergie cinétique d’où 1 2 𝜌 4 3 𝜋𝑅′3𝑉0 2 = −𝛿𝐸∗. On en déduit 𝑉0 = √ 3𝛾 𝜌𝑅 (2 − 22/3) ≈ √ 1,2 𝛾 𝜌𝑅 . A.N. V0  3.10-1 m.s-1 pour une goutte de rayon R = 1 mm. 3. L’énergie mécanique se conserve d’où l’on tire ℎ = 𝑉02 2𝑔 = 3𝛾 2𝜌𝑅𝑔 (2 − 22/3) ≈ 0,6 𝛾 𝜌𝑅𝑔 . A.N. h  4.10-3 m pour une goutte de rayon R = 1 mm. 4. L’énergie de surface de la goutte est en 𝑅2𝛾 (que ce soit avant coalescence ou après…, ou même s’il s’agit en fait de 𝛿𝐸∗, puisque c’est elle qui va être convertie partiellement en énergie cinétique liée aux mouvement internes du liquide). L’énergie cinétique liée aux mouvement internes du liquide est en 𝑚 𝑅2 𝜏2, donc en 𝜌 𝑅5 𝜏2 . En comparant ces deux expressions, on déduit donc que  est bien en √𝜌 𝑅3 𝛾 . Ordre de grandeur pour une goutte d’eau de rayon R = 1 mm : 4.10-3 s. 5. L’énergie dissipée par viscosité à l’intérieur de la goutte pendant sa déformation est de l’ordre de 𝑃𝑣𝑜𝑙 × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 × 𝑑𝑢𝑟é𝑒 . La puissance volumique est en 𝜂 𝜏2 , d’après son expression. Le volume est en 𝑅3 , et la durée  en √𝜌 𝑅3 𝛾 . On en déduit que l’énergie dissipée est bien en 𝜂√ 𝛾𝑅3 𝜌 . 6. Même raisonnement qu’à la question 2., sauf que maintenant une partie de l’énergie −𝛿𝐸∗ est dissipée par viscosité. Le bilan donne donc −𝛿𝐸∗ = 1 2 𝜌 4 3 𝜋𝑅′3𝑉0 2 + 36𝜋𝜂√ 𝛾𝑅′3 𝜌 . Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 2 sur 8 Les calculs mènent à 𝑉0 2 = 6(21/3 − 1) 𝛾 𝜌𝑅′ − 54𝜂√ 𝛾 𝜌3𝑅′3 , que l’on va écrire pour alléger les calculs 𝑉0 2 = 𝑓(𝑅′) = 𝐴 𝑅′ − 𝐵 (𝑅′)3/2 , en posant 𝐴 = 6(21/3 − 1) 𝛾 𝜌 ≈ 1,5 𝛾 𝜌 et 𝐵 = 54𝜂√ 𝛾 𝜌3 . Une étude rapide de 𝑓(𝑅′) donne le tableau de variation suivant : La vitesse d’éjection maximale est donc obtenue pour 𝑅𝑚𝑎𝑥 ′ = 9𝐵2 4𝐴2 ≈ 9 × 182 × 𝜂2 𝜌𝛾 , soit 4.10-5 m. En très bon accord avec la figure 2, dans laquelle la vitesse maximale est obtenue pour un diamètre de la goutte éjectée d’environ 80 microns. Et la vitesse maximale vaut donc 𝑉𝑚𝑎𝑥 = √ 4𝐴3 27𝐵2 ≈ 𝛾 54√2𝜂 , soit 9.10-1 m.s-1. L’ordre de grandeur est correct avec la figure 2, mais à un facteur 3-4 près. 2 Application à l’éjection des spores de champignons 7. Notons e l’épaisseur de la couche d’eau qui recouvre la spore. La conservation du volume d’eau lors de la fusion donne (en supposant 𝑒 ≪ 𝑅𝑠) : 4𝜋𝑅𝑠 2𝑒 = 4 3 𝜋𝑅𝑔 3 . D’où 𝑒 = 𝑅𝑔3 3𝑅𝑠2 et, compte tenu de 𝑅𝑔 = 𝑅𝑠 2 , on aboutit à 𝑒 = 𝑅𝑠 24 = 𝑅𝑔 12 (cela confirme l’hypothèse faite juste au-dessus). L’aire interfaciale avant la fusion vaut 𝐴 = 4𝜋𝑅𝑠 2 + 4𝜋𝑅𝑔 2 . L’aire interfaciale après la fusion vaut 𝐴′ = 4𝜋(𝑅𝑠 + 𝑒)2 . D’où une variation de l’aire interfaciale 𝑑𝐴 = 𝐴′ − 𝐴 = 4𝜋(𝑅𝑠 + 𝑒)2 − 4𝜋𝑅𝑠 2 − 4𝜋𝑅𝑔 2 ≈ 4𝜋 2𝑅𝑠𝑒 − 𝜋𝑅𝑠 2 ≈ − 2 3 𝜋𝑅𝑠 2 . Variation d’énergie interfaciale associée : 𝑑𝐸 = 𝛾 𝑑𝐴 ≈ − 2 3 𝜋𝑅𝑠 2𝛾 (négative). Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 3 sur 8 8. La masse de la goutte éjectée est 𝑚 = 𝑚𝑠 + 𝑚𝑔 ; l’énoncé nous donne 𝑚𝑠 ≈ 4. 10−13 kg. Par ailleurs 𝑚𝑠 = 4 3 𝜋𝑅𝑔 3𝜌 ≈ 3. 10−14 kg. On peut donc garder pour ordre de grandeur 𝑚 ≈ 𝑚𝑠 ≈ 4. 10−13 kg. Alors 1 2 𝑚𝑉2 ≈ 2 3 𝜋𝑅𝑠 2𝛾 ; d’où 𝑉 = 2𝑅𝑠√ 𝜋𝛾 3𝑚 . A.N. : V  3 m.s-1 Expérimentalement, on observe une vitesse initiale d’éjection de l’ordre de 0,1 mm en 100 µs, soit 1 m.s-1. Comme précédemment (question 6.), notre modèle surestime la vitesse d’éjection d’un facteur de l’ordre de 3. 9. 𝑅𝑒 = 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑉 2 𝑅𝑠 𝜂𝑎𝑖𝑟 ≈ 6. 10−1 (on a pris 1 m.s-1 pour ordre de grandeur de la vitesse). 10. On peut en déduire que l’écoulement de l’air induit par le mouvement de la spore est laminaire. La traînée est alors donnée par la loi de Stokes ‖𝑇⃗ ‖ = 6𝜋𝜂𝑎𝑖𝑟𝑅𝑠𝑉 ; elle est proportionnelle au rayon de la spore et à sa vitesse. 11. Poids de la spore de l’ordre de 4. 10−12 N. L’ordre de grandeur de la traînée est de 1. 10−9 N. On en déduit que la gravité n’a qu’un rôle négligeable dans le mouvement, ce qui est confirmé par la photo de la figure 3 : la trajectoire est bien rectiligne. On a donc un mouvement rectiligne régi par l’équation différentielle 𝑚𝑥̈ = −6𝜋𝜂𝑅𝑠𝑥̇ (théorème de la quantité de mouvement en projection sur la trajectoire). D’où 𝑥̇(𝑡) = 𝑥̇(0)𝑒−𝑡/𝜏 , où l’on a posé 𝜏 = 𝑚 6𝜋𝜂𝑎𝑖𝑟𝑅𝑠 ; 𝑥̇(0) est la vitesse initiale de la spore, que l’on prendra égale à 1 m.s-1. Et 𝑥(𝑡) = 𝑥̇(0)𝜏(1 − 𝑒−𝑡/𝜏). Le temps caractéristique du freinage est   3.10-4 s (on peut prendre 3 par exemple pour durée du freinage) ; la longueur de freinage est 𝑥̇(0)𝜏 ≈ 3. 10−4 m. Les ordres de grandeur semblent être en accord avec ce qui est observé figure 3. 3 Catapultes électromagnétiques 12. 𝑊𝐵 = 1 2 𝐿 𝑖2 et à l'aide de la loi de Faraday, 𝑒 = − 𝑑𝜙 𝑑𝑡 avec 𝜙 = 𝐿𝑖 . A noter, l'expression malheureuse du texte : "la force électromagnétique s'exerçant sur un circuit indéformable". Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 4 sur 8 Le circuit déformable est modélisé par (R, e), schéma ci-contre. La puissance reçue par celui-ci est : G e i R 𝑃𝑟𝑒ç𝑢𝑒 = 𝑅𝑖2 − 𝑒𝑖 = 𝑅𝑖2 + 𝑖 𝑑(𝐿𝑖) 𝑑𝑡 d'une part, et 𝑃𝑟𝑒ç𝑢𝑒 = 𝑅𝑖2 + 𝑑 𝑑𝑡 ( 1 2 𝐿𝑖2 + 𝐸𝐶) d'autre part Or, 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 = 𝐹𝑉 est la puissance de la force exercée sur la partie mobile du rail. En développant, 𝑃𝑟𝑒ç𝑢𝑒 = 𝑅𝑖2 + 𝑖 𝑑(𝐿𝑖) 𝑑𝑡 = 𝑅𝑖2 + 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑖2 𝑑𝐿 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑅𝑖2 + 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑖2𝑉 𝑑𝐿 𝑑𝑥 et, 𝑃𝑟𝑒ç𝑢𝑒 = 𝑅𝑖2 + 𝑑 𝑑𝑡 ( 1 2 𝐿𝑖2 + 𝐸𝐶) = 𝑅𝑖2 + 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 1 2 𝑖2𝑉 𝑑𝐿 𝑑𝑥 + 𝐹𝑉 d'où 𝐹 = 1 2 𝑑𝐿 𝑑𝑥 𝑖2 C'est une force de Laplace, que l'on oriente à l'aide de l'expression 𝑑𝐹 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 = 𝑖𝑑𝑙 ⃗⃗⃗ ⋀𝐵⃗ B ur i L F ur i L F ur B ur Le plan des rails est un plan de symétrie pour la distribution de courants : en tout point de ce plan, le champ B est vertical. Le plan « situé à égale distance des deux conducteurs parallèles » est vertical et est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants : en tout point de ce plan, le champ B est contenu dans ce plan et ne possède donc pas de composante selon ux. En se limitant au champ B(M) pour M appartenant au plan des rails, on a les schémas ci-dessus. 13. Puisque x>> l, on peut considérer le champ magnétique créé par le circuit comme celui créé par deux fils infinis parallèles, parcourus par des courant opposés. Dans le plan des rails, le champ 𝐵⃗ est alors perpendiculaire à ce plan, et quasi-indépendant de la coordonnée x. Le flux magnétique 𝜙 = 𝐿(𝑥)𝑖 = ∬ 𝐵⃗ . d2𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est en conséquence proportionnel à x et donc L(x) varie approximativement linéairement en fonction de x, ce que confirme la figure 5. 14. La position de la barre est repérée par x, tel qu'à t = 0, x = 0 et v(x = 0) = 0. Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au système {barre mobile, projectile} entre l'instant initial et l'instant t, où la barre est en x à la vitesse v(x) : 1 2 (𝑀 + 𝑚)𝑣(𝑥)2 = 𝑊𝑃⃗ + 𝑊𝐹 = −(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 1 2 𝐿𝑥𝑖𝑜 2𝑥 d'où l'on déduit 𝑣(𝑥)2 = (−2𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐿𝑥𝑖𝑜 2 𝑀+𝑚) 𝑥 Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 5 sur 8 15. La vitesse finale atteinte vaut 𝑣𝑑 = √(−2𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐿𝑥𝑖𝑜 2 𝑀+𝑚) 𝑥𝑚𝑎𝑥 . Pour atteindre vd et minimiser io , il faut choisir 𝐿𝑥 le plus grand possible. Sur la figure 5, c'est donc la courbe (XXX) qui convient, ce qui correspond au choix des paramètres l = 20 cm et a = 1cm. On relève alors 𝐿𝑥 = 4,3 10−6 3 = 1,4. 10−6H. m−1. 16. De 14., on tire 𝑖𝑜 = √ 𝑀+𝑚 𝐿𝑥 (2𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑣𝑑2 𝑥𝑚𝑎𝑥) On évalue la masse du barreau mobile, 𝑚 = 𝑙𝑎2𝜌𝐴𝑙𝑢 = 5 . 10−2 kg , alors 𝑀 + 𝑚 = 5. 10−1 kg et 𝑖𝑜 = 3. 104 A. 17. On évalue Δ𝑡 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑜 = 1 50 = 2. 10−2 s, puis la charge nécessaire à la production d'un tel courant, 𝑄 = ∆𝑡. 𝑖𝑜 = 6. 102C . 18. On suppose 𝐿(𝑥) 𝑅(𝑥) << 𝑅(𝑥)𝐶 Pour un circuit (R,L,C) série, on obtient en supposant L fixé (voir justification à la question 19) : avec 𝑖 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 , 𝑢𝐿 = −𝑒 = 𝑑(𝐿𝑖) 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 et 𝑢𝑅 = 𝑅𝑖 , 𝑑2𝑄 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 1 𝐿𝐶 𝑄 = 0 , avec les conditions initiales 𝑖(0) = 𝑑𝑄(0) 𝑑𝑡 = 0 et 𝑄(0) = 𝑄𝑜 . L'équation différentielle satisfaite par le courant est la même : 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 1 𝐿𝐶 𝑖 = 0 . Le temps caractéristique d'établissement du courant dans le circuit (R,L), à savoir 𝐿 𝑅 est beaucoup plus faible que le temps de charge (en l'occurrence de décharge) du condensateur dans le circuit (R,C), à savoir RC : après un temps très bref (de l'ordre de 𝜏𝑅𝐿 = 𝐿 𝑅 ) d'établissement du courant dans le circuit, on observera exclusivement la décharge du condensateur dans la résistance totale du circuit. 19. Pour l'équation caractéristique, ∆= ( 𝑅 𝐿) 2 − 4 𝐿𝐶 > 0 puisque 𝜏𝑅𝐿 = 𝐿 𝑅 << 𝜏𝑅𝐶 = 𝑅𝐶 . On écrit ∆= ( 𝑅 𝐿) 2 (1 − 4 𝐿 𝑅2𝐶) , où 𝐿 𝑅2𝐶 ≪ 1, soit r = 𝑅 2𝐿 (−1 ± √1 − 4 𝐿 𝑅2𝐶) ≈ 𝑅 2𝐿 (−1 ± (1 − 2 𝐿 𝑅2𝐶)) Les deux racines réelles sont r1 ≈ − 𝑅 𝐿 = − 1 𝜏𝑅𝐿 et r2 ≈ − 1 𝑅𝐶 = − 1 𝜏𝑅𝐶 , et la solution Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 6 sur 8 Q(t) = 𝐴𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐿 + 𝐵𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐶 avec 𝜏𝑅𝐿 ≪ 𝜏𝑅𝐶 Les conditions initiales donnent : Qo = 𝐴 + 𝐵 et 𝑖(0) = 0 = − 𝐴 𝜏𝑅𝐿 − 𝐵 𝜏𝑅𝐶 d'où l'on déduit 𝐴 = − 𝜏𝑅𝐿 𝜏𝑅𝐶 𝐵 soit |𝐴| = 𝜏𝑅𝐿 𝜏𝑅𝐶 |𝐵| ≪ |𝐵| ce qui donne 𝐵 = Qo . Finalement, Q(t) = 𝑄𝑜 (− 𝐿 𝑅2𝐶 𝑒−𝑅𝑡/𝐿 + 𝑒−𝑡/(𝑅𝐶)) et i(t) = 𝑄𝑜 𝑅𝐶 (𝑒−𝑅𝑡/𝐿 − 𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐶) On constate que dans l'hypothèse où 𝜏𝑅𝐿 = 𝐿 𝑅 << 𝑅𝐶 = 𝜏𝑅𝐶 , les condensateurs se déchargent dans la résistance totale du circuit et ni L ni sa variation n'interviennent (ce qui valide l'hypothèse L fixée). Les figures ci-dessous ont été tracées avec les valeurs numériques suivantes : 𝜏𝑅𝐿 = 2 𝑚𝑠 , ∆𝑡 = 20 𝑚𝑠 , 𝜏𝑅𝐶 = 60 𝑚𝑠 et 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑚𝑠 , Variation temporelle de la charge Q(t) = 𝑄𝑜 (− 𝐿 𝑅2𝐶 𝑒−𝑅𝑡/𝐿 + 𝑒−𝑡/(𝑅𝐶)) Courant dans le rail i(t) = 𝑄𝑜 𝑅𝐶 (𝑒−𝑅𝑡/𝐿 − 𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐶) pour t < ∆𝑡 . Sur ces courbes, on constate que dans une première phase de durée ∆𝑡 ≪ 𝜏𝑅𝐶 = 𝑅𝐶 , après un temps très bref (𝜏𝑅𝐿) d'établissement du courant dans le circuit, l'intensité du courant est importante ; c'est durant cette phase qu'est communiquée au projectile son énergie cinétique. ∆𝑡 est de l'ordre de la durée du catapultage, durée pendant laquelle la charge Q(t) est également importante. Seconde phase : l'éjection du barreau s'accompagne d'une étincelle, puis le circuit est ouvert et i(t > ∆𝑡) = 0 . Remarque : recherche du maximum de |𝑖(𝑡)| 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝑄𝑜 𝑅𝐶 (− 1 𝜏𝑅𝐿 𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐿 + 1 𝜏𝑅𝐶 𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐶) , qui s'annule à tm pour 𝑒−𝑡𝑚/𝜏𝑅𝐿 = 𝐿 𝑅2𝐶 ≪ 1 Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 7 sur 8 et puisque 𝑡𝑚 ≪ 𝑅𝐶, 𝑖𝑚𝑎𝑥 = 𝑖(𝑡𝑚) = 𝑄𝑜 𝑅𝐶 (𝑒 − 𝑡𝑚 𝜏𝑅𝐿 − 𝑒 − 𝑡𝑚 𝜏𝑅𝐶) ≈ − 𝑄𝑜 𝑅𝐶 𝑒 − 𝑡𝑚 𝜏𝑅𝐶 ≈ − 𝑄𝑜 𝑅𝐶 20. Pour une cellule (𝑅𝑜, 𝐶𝑜), 𝑍𝑜 = 𝑅𝑜 + 1 𝑗𝐶𝑜𝜔 Pour n cellules (𝑅𝑜, 𝐶𝑜) associées en série, 𝑍𝑛 = 𝑛𝑍𝑜 = 𝑛 1+𝑗𝑅𝑜𝐶𝑜𝜔 𝑗𝐶𝑜𝜔 Pour m lignes des n cellules précédentes, associées en parallèle, 1 𝑍𝑚 = 𝑚 1 𝑍𝑛 = 𝑚 𝑛 𝑗𝐶𝑜𝜔 1+𝑗𝑅𝑜𝐶𝑜𝜔 , d'où l'on déduit 𝑍𝑚 = 𝑛 𝑚 1+𝑗𝑅𝑜𝐶𝑜𝜔 𝑗𝐶𝑜𝜔 = 𝑛 𝑚 𝑅𝑜 + 𝑛 𝑚 1 𝑗𝐶𝑜𝜔 = 𝑅𝑒𝑞 + 1 𝑗𝐶𝑒𝑞𝜔 avec 𝑅𝑒𝑞 = 𝑛 𝑚 𝑅𝑜 et 𝐶𝑒𝑞 = 𝑚 𝑛 𝐶𝑜 Pour cette association on peut appliquer : 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑛Δ𝑉𝑜 , ce qui correspond à une charge maximale disponible de 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑒𝑞𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑚 C𝑜Δ𝑉𝑜 , c'est m fois la charge qu'un condensateur seul peut supporter. 21. La résistance du rail en aluminium est au plus 𝑅𝐴𝑙𝑢,𝑚𝑎𝑥 = 1 𝛾 2𝑥𝑚𝑎𝑥+𝑙 𝑎2 = 5. 10−4Ω : on la négligera devant 𝑛 𝑚 𝑅𝑜 = 10−3Ω , comme le suggère l'énoncé. Le courant de décharge est : i(t) ≈ − 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑅𝐶 𝑒−𝑡/𝜏𝑅𝐶 = −𝑚 Δ𝑉𝑜 𝑅𝑜 𝑒−𝑡/(𝑅𝑜𝐶𝑜) à l'aide des relations de 19. et 20. ; on a 𝜏𝑅𝐶 = 𝑅𝐶 = 𝑅𝑜𝐶𝑜 . A l'aide des résultats du 16., avec 𝑖𝑜 ≈ 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑅𝐶 = 𝑚 Δ𝑉𝑜 𝑅𝑜 on obtient 𝑚 = 𝑅𝑜𝑖𝑜 Δ𝑉𝑜 = 3 On doit avoir 𝜏𝑅𝐿 ≪ Δ𝑡 ≪ 𝜏𝑅𝐶 , ce qui impose 𝜏𝑅𝐶 = 1 s ≫ Δ𝑡 = 2 10−2 𝑠 𝜏𝑅𝐿 = 𝐿 𝑅 qui vaut au maximum 𝜏𝑅𝐿,𝑚𝑎𝑥 = 𝐿𝑚𝑎𝑥 𝑅 = 𝐿𝑥𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑛 𝑚𝑅0 ≪ ∆𝑡 , ce qui donne 𝑛 ≫ 𝑚𝐿𝑥𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑅 ∆𝑡 = 0,7 la valeur 𝑛 = 10 proposée par le texte convient 22. La puissance dissipée par effet Joule échauffe les pièces en aluminium, soit, pendant la durée t où le courant varie peu : 𝜌𝐴𝑙 𝑉𝐴𝑙 𝑐𝐴𝑙Δ𝑇 = 𝑅𝐴𝑙𝑢𝑖2Δ𝑡 avec 𝑉𝐴𝑙 = 𝑎2(2𝑥𝑚𝑎𝑥 + 𝑙) alors Δ𝑇 = 𝑅𝐴𝑙𝑢𝑖2Δ𝑡 𝜌𝐴𝑙 𝑉𝐴𝑙 𝑐𝐴𝑙 = 𝑖𝑜 2Δ𝑡 𝛾𝐴𝑙 𝜌𝐴𝑙 𝑐𝐴𝑙 𝑎4 ≈ 20 K pour t = 0,02 s 23. Evaluons les différentes énergies mises en jeu, avec les données du 16. Proposition de corrigé par A. Blelly et P. Colin X-ESPCI Physique A PC 2017 page 8 sur 8 Energie utile, énergie cinétique : 𝐸𝐶 = 1 2 (𝑀 + 𝑚)𝑣2 = 625 J Energie initiale du générateur : 𝑊𝑔é𝑛é = 1 2 𝑄2 𝐶 = 405 . 103 J Energie dissipée par effet Joule : 𝐸𝐽 = 𝑅𝑖2∆𝑡 = 18. 103 J Le rendement du système 𝑟 = 𝐸𝐶 𝑊𝑔é𝑛é = 1,5 10−3 est très faible. Après le catapultage, les condensateurs ne sont pas déchargés et conservent une part importante de leur énergie initiale ; les frottements solides ainsi que les frottements de l'air sont certainement importants. L'intérêt d'un tel système est une mise en œuvre moins contraignante, un contrôle plus précis de la vitesse d'éjection, et un rechargement plus rapide que les catapultes à vapeur par exemple.