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ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 2017 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE – B – (XEULC) (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. ⋆ ⋆ ⋆ Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé Ce problème est consacré à l’étude de la propagation d’ondes électromagnétiques dans un plasma froid magné- tisé. Il s’intéresse plus spécifiquement au phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel la présence d’une onde intense, dite pompe, rend possible la propagation au sein du plasma d’une autre onde de faible amplitude, dite sonde, dont la pulsation appartient pourtant à une bande interdite. Dans tout ce problème, on utilise le signe ” ≡ ” (plutôt que ” = ”) pour définir une grandeur. On note ⃗a ∧⃗b le produit vectoriel des vecteurs⃗a et⃗b et⃗a·⃗b leur produit scalaire. Les symboles ℜ et ℑ désignent respectivement les parties réelle et imaginaire d’une grandeur complexe et l’on définit l’imaginaire pur i par ℜ(i) = 0 et ℑ(i) = 1. On rappelle que : — l’opérateur gradient, noté ⃗ grad, agit sur une fonction scalaire f des coordonnées cartésiennes (x,y,z) selon ⃗ grad f = ∂ f ∂x⃗ex + ∂ f ∂y⃗ey + ∂ f ∂z⃗ez, où (⃗ex,⃗ey,⃗ez) désignent les vecteurs unitaires du repère orthonormé (Oxyz) considéré ; — l’opérateur divergence, noté div, agit sur une fonction vectorielle ⃗f des coordonnées cartésiennes (x,y,z) se- lon div⃗f = ∂ fx ∂x + ∂ fy ∂y + ∂ fz ∂z , où (fx, fy, fz) désignent les composantes respectives de la fonction vectorielle ⃗f suivant les axes (Ox), (Oy) et (Oz) du repère orthonormé considéré, soit ⃗f = fx⃗ex + fy⃗ey + fz⃗ez = fx fy fz ; — l’opérateur rotationnel, noté ⃗rot, agit sur une fonction vectorielle ⃗f des coordonnées cartésiennes (x,y,z) selon ⃗rot⃗f = ∂ fz ∂y − ∂ fy ∂z ⃗ex + ∂ fx ∂z − ∂ fz ∂x ⃗ey + ∂ fy ∂x − ∂ fx ∂y ⃗ez ; — l’opérateur Laplacien, noté ∆, agit sur une fonction f (scalaire ou vectorielle) des coordonnées cartésiennes (x,y,z) selon ∆ f = ∂ 2 f ∂x2 + ∂ 2 f ∂y2 + ∂ 2 f ∂z2 . On rappelle en outre la formule suivante, valable pour une fonction vectorielle ⃗f : ⃗rot ⃗rot⃗f = ⃗ grad div⃗f −∆⃗f. On rappelle également que, dans un gaz parfait à la température T, de coefficient adiabatique γ, composé de particules de masse m, la vitesse du son est cs = γkBT m . Pour les applications numériques, on prendra : 1 — charge élémentaire e ≈ 2×10−19 C — masse de l’électron m ≈ 9×10−31 kg — constante de BOLTZMANN : kB ≈ 10−23 J.K−1 — constante de PLANCK : h ≈ 7×10−34 J.s — constante diélectrique ε0 ≈ 9×10−12 F.m−1 — vitesse de la lumière dans le vide c ≈ 3×108 m.s−1 — coefficient adiabatique d’un gaz parfait monoatomique γ ≡ CP CV ≈ 1 — masse d’un atome d’argon M ≈ 7×10−26 kg On utilisera en outre : e2 4πε0 ≈ 2×10−28 J.m, 1 √ 3 ≈ 0,6, √ 10 ≈ 3 et 10 −1/3 ≈ 0,5. 1 Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé Dans cette partie, on étudie la propagation d’une onde électromagnétique plane dans un plasma à l’équilibre thermique à la température T, constitué d’électrons et d’ions positifs Ar+. Ce plasma est préparé au laboratoire en imposant une décharge à un gaz neutre d’argon contenu dans une cellule cylindrique d’axe (Oz). En l’absence de champ appliqué, le plasma est localement neutre, les densités volumiques électronique et ionique sont toutes deux égales à n0 en tout point. Pour les applications numériques, vous prendrez T = 104 K et n0 ≈ 1016 m−3. On suppose en outre que le gaz est totalement ionisé, c’est-à-dire qu’il ne reste aucun atome d’argon non ionisé dans la cellule. 1.1 Hypothèses du modèle Dans les questions 1 à 6, on commence par introduire et justifier les hypothèses simplificatrices du modèle de plasma utilisé. 1) Justifiez que l’on puisse a priori négliger le mouvement des ions devant celui des électrons au sein du plasma. 2) Établissez l’expression de la longueur de LANDAU, notée rL, définie comme la distance entre deux parti- cules chargées du plasma pour laquelle leur énergie d’interaction électrostatique devient comparable à leur énergie cinétique moyenne d’agitation thermique. Calculez l’ordre de grandeur de rL. 3) En comparant rL à la distance moyenne l entre charges au sein du plasma dont vous donnerez un ordre de grandeur, expliquez qualitativement pourquoi l’on peut négliger l’effet des collisions entre particules chargées au sein du plasma. 4) Calculez l’ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des électrons au sein du plasma, notée u. En l’absence de champ appliqué, l’hypothèse non relativiste vous paraît-elle justifiée pour le mouvement électronique ? 5) Calculez un ordre de grandeur de la longueur d’onde de DE BROGLIE des électrons. Justifiez l’utilisation du cadre classique (plutôt que quantique) pour décrire leur mouvement. Dans la suite du problème, on étudie la propagation d’ondes électromagnétiques en supposant le plasma « froid ». Cette hypothèse consiste à supposer que la vitesse de phase vϕ des ondes est bien supérieure à la vi- tesse quadratique moyenne des électrons, de sorte que le mouvement d’agitation thermique des électrons peut être négligé à l’échelle de temps des phénomènes étudiés. Un champ électromagnétique variable peut a priori engendrer une perturbation de la densité électronique au sein du plasma, et donc une perturbation locale de pression qui peut elle-même donner naissance à des ondes sonores au sein du gaz d’électrons. 6) Calculez l’ordre de grandeur de la vitesse du son cs dans le gaz d’électrons que vous comparerez à la vitesse quadratique moyenne u. Expliquez qualitativement pourquoi, dans l’hypothèse de plasma froid, il est légitime de négliger les ondes acoustiques engendrées au sein du plasma. 2 1.2 Réponse d’un plasma froid magnétisé à une onde électromagnétique Dans les questions 7 à 16, on étudie le mouvement des électrons au sein du plasma décrit ci-dessus que l’on soumet à une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant selon l’axe (Oz), dont le champ électrique s’écrit dans le repère (Oxyz) ⃗E (z,t) = ℜ E0 1 −i 0 exp[i(ωt −kz)] (1) Vous supposerez E0 > 0. Pour les applications numériques, vous considérerez que l’onde modélise un faisceau LASER de section 1 cm2, de pulsation de l’ordre de 1011 rad·s−1 et de puissance 3 kW. 7) Exprimez le champ magnétique ⃗B(z,t) de l’onde, associé au champ électrique (1). 8) Quelle est la polarisation de l’onde (1) ? Vous justifierez soigneusement votre réponse en vous aidant d’un schéma, sur lequel vous indiquerez clairement les axes du repère (Oxyz). 9) A priori, la propagation d’une onde de type (1) au sein du plasma serait-elle différente (en termes d’absorp- tion et de dispersion) si la composante (−iE0) de son amplitude complexe suivant (Oy) était changée en iE0 ? (La réponse à cette question ne nécessite aucun calcul.) À partir de maintenant, on suppose en outre que le plasma est « magnétisé » par l’application d’un champ magnétique supplémentaire, constant et uniforme, noté ⃗B1 = B1⃗ez, dirigé suivant l’axe de propagation de l’onde (avec B1 > 0). Pour les applications numériques, vous prendrez B1 = 1 T. 10) La réponse à la question précédente est-elle différente dans ces nouvelles conditions ? Si oui, pourquoi ? 11) En vous plaçant dans le cadre des hypothèses explicitées aux questions précédentes, montrez que le mou- vement, supposé non relativiste, des électrons est correctement décrit par l’équation ∂⃗v ∂t + ⃗v· ⃗ grad ⃗v = − e m ⃗E +⃗v∧ ⃗B+⃗B1 (2) où ⃗v(⃗r,t) désigne la vitesse du fluide électronique au point M de vecteur position⃗r et à la date t. Vous justifierez notamment que l’on puisse décrire les électrons comme un fluide et expliquerez l’absence de terme de pression dans l’équation (2). Dans toute la suite, on suppose que la vitesse⃗v et la densité volumique d’électrons, notée n, ne dépendent que de la coordonnée spatiale z et du temps t. On rappelle que n0 désigne la valeur (constante) de n(z,t) en l’absence de champ LASER appliqué. On s’intéresse au mouvement forcé du fluide électronique en présence de l’onde électromagnétique (1), décrit par la vitesse⃗v(z,t) = ℜ ⃗V exp[i(ωt −kz)] . 12) À quelle condition sur ⃗V et la vitesse de phase vϕ de l’onde peut-on négliger les termes ⃗v· ⃗ grad ⃗v et − e m ⃗v∧⃗B dans l’équation (2) ? Vous supposerez cette condition vérifiée dans la suite de cette partie. 13) En projetant l’équation (2) simplifiée sur les axes (Ox) et (Oy), déterminez les amplitudes Vx et Vy. Dans les expressions trouvées, vous ferez apparaître la pulsation cyclotron électronique, définie par Ω ≡ −eB1 m < 0 ainsi que le paramètre a ≡ eE0 m . 14) Calculez les ordres de grandeur de Ω et a. 15) Les électrons sont-ils animés d’un mouvement longitudinal, c’est-à-dire suivant l’axe (Oz) ? Montrez que la densité n reste constante, égale à n0. 16) Qu’observe-t-on lorsque ω s’approche de |Ω| ? Pourquoi le mouvement électronique n’est-il plus correcte- ment décrit par l’équation (2) si la pulsation ω est trop proche de |Ω| ? Déterminez un ordre de grandeur de la plus petite valeur admissible de |ω +Ω| pour que le traitement précédent reste valable. 3 1.3 Relation de dispersion et bande interdite Dans les questions 17 à 22, on étudie l’effet du plasma sur la propagation de l’onde électromagnétique (1). 17) Montrez que le champ électrique dans le plasma vérifie la relation ∆⃗E = −n0eµ0 ∂⃗v ∂t + 1 c2 ∂ 2⃗E ∂t2 18) Déduisez la relation de dispersion k(ω) entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω de l’onde (1) que vous mettrez sous la forme adimensionnée suivante ¯k2 = ¯ω2 − ¯ω ¯ω −2α . Vous exprimerez la pulsation réduite ¯ω en fonction de la pulsation ω et de la « pulsation plasma électronique » ωpe ≡ n0e2 mε0 . Vous expliciterez de même la relation entre le vecteur d’onde réduit ¯k et le vecteur d’onde k, et préciserez l’expression du paramètre α. 19) Calculez un ordre de grandeur de ωpe que vous comparerez à |Ω|, puis de α. 2000 1000 -1000 31,8 32,2 32,4 32 FIGURE 1 – Fonction g(x) = x2 − x x−2α représentée pour α = 16. 20) En vous aidant de la figure 1, justifiez l’existence d’une bande de pulsations « interdites » dans laquelle la propagation de l’onde (1) est impossible. Calculez analytiquement les bornes inférieure et supérieure de cette bande, dont vous donnerez les formes réduites notées respectivement ¯ωinf et ¯ωsup. Quel résultat connu de la physique des plasmas retrouve-t-on à la limite B1 → 0 ? On revient au cas B1 ̸= 0. 21) Sans faire aucun calcul, précisez les phénomènes observés de part et d’autre de l’interface vide/plasma lorsque l’on envoie sur la cellule contenant le plasma une onde de type (1) de pulsation interdite. Vous introdui- rez notamment une longueur caractéristique du processus physique à l’intérieur du plasma dont vous donnerez l’expression. Quel autre système présente le même type de comportement ? 22) Déterminez la valeur de la vitesse de phase de l’onde vϕ lorsque ¯ω tend vers ¯ωinf par valeurs inférieures. Quelle(s) hypothèse(s) de notre modèle devien(nen)t alors incorrecte(s) ? 2 Transparence électromagnétiquement induite Le but de cette partie est l’étude du phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel une onde de faible amplitude et de pulsation « interdite » (au sens de la première partie) peut se propager au sein 4 du plasma froid magnétisé (par le champ ⃗B1, introduit dans la première partie) en présence d’une onde intense de pulsation permise. Pour étudier ce processus, on considérera : — l’onde intense dite pompe dont le champ électrique s’écrit sous la forme ⃗EP (z,t) = ℜ EP 1 −i 0 exp[i(ωPt −kPz)] (3) où EP > 0, ωP = −(Ω+ωpe) (on rappelle que Ω < 0) et kP désigne le vecteur d’onde pompe ; — l’onde dite sonde dont le champ électrique s’écrit sous la forme ⃗ES (z,t) = ℜ ES 1 −i 0 exp[i(ωSt −kSz)] (4) où ES > 0 est supposé faible devant EP, ωS est proche de |Ω| et kS désigne le vecteur d’onde sonde. On introduit les notations suivantes ∆ω ≡ ωS −ωP ∆k ≡ kS −kP δω ≡ ωS +Ω = ωS −|Ω| Vous supposerez que l’onde pompe se propage dans le plasma magnétisé comme si elle était seule, c’est-à-dire qu’elle n’est nullement perturbée par la présence de l’onde sonde. Pour les applications numériques, vous suppo- serez que les ondes pompe et sonde modélisent des faisceaux LASER de même section 1 cm2 et de puissances respectives 3 kW et 0,3 W. Comme dans la partie précédente, on commence par étudier la réponse du plasma à l’excitation électromagné- tique pour ensuite déterminer l’effet du plasma sur la propagation de l’onde sonde. 2.1 Réponse du plasma Dans la suite, on décompose n et⃗v en deux contributions : une contribution, notée nP pour la densité et⃗vP (z,t) pour la vitesse, engendrée par l’onde pompe seule (toujours en présence du champ magnétique ⃗B1), et une petite composante, notée nS (z,t) pour la densité et⃗vS (z,t) pour la vitesse, causée par l’ajout de l’onde sonde, soit n = nP +nS ⃗v =⃗vP +⃗vS avec |nS| ≪ nP et ∥⃗vS∥ ≪ ∥⃗vP∥. On s’intéresse tout d’abord au mouvement électronique « d’ordre 0 », engendré par l’onde pompe seule. 23) En vous servant de la partie précédente, montrez que nP = n0 et que ⃗vP = aP ωpe sin(ωPt −kPz) −cos(ωPt −kPz) 0 où l’on a introduit le paramètre aP ≡ eEP m . On rappelle que Ω+ωP = −ωpe. On passe maintenant à la description des effets « d’ordre 1 », engendrés par l’ajout de l’onde sonde. 5 24) En linéarisant l’équation locale de conservation du nombre d’électrons, montrez qu’un petit mouvement longitudinal – c’est-à-dire suivant (Oz) – des électrons (créé par exemple ici par l’ajout de l’onde sonde) engendre nécessairement un petit excédent de densité électronique nS (z,t) et reliez ∂nS ∂t à la dérivée spatiale ∂vS,z ∂z de la vitesse de ce mouvement. 25) Montrez qu’un (petit) excédent local de densité électronique nS (z,t) engendre un champ longitudinal addi- tionnel EL (z,t)⃗ez et reliez la dérivée spatiale ∂EL ∂z de ce champ à nS. 26) En vous servant des deux questions précédentes, montrez que ∂EL ∂t = n0e ε0 vS,z On donne l’équation d’EULER, écrite au « premier ordre » en champ sonde ∂⃗vS ∂t +vS,z ∂⃗vP ∂z = − e m⃗vS ∧ ⃗B1 +⃗BP − e m⃗vP ∧⃗BS − e m ⃗ES +EL⃗ez (5) où ⃗BP et ⃗BS désignent les champs magnétiques respectifs des ondes pompe et sonde et où l’on a introduit le champ longitudinal additionnel EL, conformément aux conclusions de la question 25, pour tenir compte de l’existence éventuelle d’un excédent local de densité électronique créé par l’ajout de l’onde sonde. En dérivant par rapport au temps la projection de l’équation (5) sur l’axe (Oz) on obtient alors l’équation du mouvement longitudinal ∂ 2vS,z ∂t2 +ω2 pevS,z = kSaPaS ωS ∆ω ωpe cos(∆ωt −∆kz)− 1 2 kPaP ωP ∂ ∂t {v+ exp[−i(ωPt −kPz)]+v− exp[i(ωPt −kPz)]} (6) où l’on a introduit les variables v+ ≡ vS,x +ivS,y v− ≡ vS,x −ivS,y = v∗ + ainsi que le paramètre aS ≡ eES m . 27) De quel système modèle pouvez-vous rapprocher l’équation (6) à laquelle satisfait vS,z ? Quel rôle joue la pulsation ωpe dans ce modèle ? 28) En utilisant les résultats des questions 24 à 26, expliquez qualitativement le processus physique à l’origine du terme de rappel ω2 pevS,z. 29) Identifiez, dans le membre de droite de l’équation (6), un terme de forçage, induit par le battement entre ondes pompe et sonde, et un terme de couplage avec le mouvement transverse. Calculez l’ordre de grandeur de aS. En projetant l’équation (5) sur les axes (Ox) et (Oy) on obtient l’équation du mouvement transverse (que vous ne chercherez pas à démontrer) ∂v+ ∂t +iΩv+ = −aS exp[i(ωSt −kSz)]− kPaP ωP Ω ωpe exp[i(ωPt −kPz)]vS,z (7) 30) En vous inspirant de la question 29, discutez les deux termes du membre de droite de l’équation (7). 6 a) 31,90 31,95 32 32,05 32,10 20 40 60 80 100 120 b) 40 60 80 100 120 31,99 32 32,01 32,02 32,03 32,04 FIGURE 2 – a) En trait gras : relation de dispersion (8) représentée à l’aide des variables adimensionnées ¯ωS et ¯kS analogues aux variables ¯ω et ¯k introduites à la première partie, dans l’intervalle ¯ωS ∈ ¯ωinf, ¯ωsup , pour α = 16 et aP = 10−2ωpec. Les bornes de l’intervalle de représentation sont matérialisées par les lignes verticales ¯ωS = ¯ωinf et ¯ωS = ¯ωsup . En trait fin : fonction ¯ω2 S − ¯ωS ¯ωS −2α pour α = 16 . En trait tireté : fonction ¯kS = ¯ωS. b) Relation de dispersion (8) représentée à l’aide des variables adimensionnées ¯ωS et ¯kS dans l’intervalle ¯ωS ∈ ¯ωinf, ¯ωsup pour α = 16 et pour différentes valeurs de aP ωpec = 10−2; 1,2 × 10−2; 1,4 × 10−2; 1,6 × 10−2; 1,8 × 10−2 (les valeurs sont placées à droite des courbes correspondantes). 7 2.2 Relation de dispersion et transparence électromagnétiquement induite En se plaçant dans les hypothèses |δω| ≪ ωpe,|Ω| et ωPkS ωSkP δω ωpe ≪ 1, on établit, par une étude analogue à celle de la partie 1.3, la relation de dispersion suivante pour l’onde sonde k2 Sc2 = ω2 S −ωSω2 pe δω +δω0 (kS) (δω)2 −Ω2 R (8) où l’on a introduit δω0 (kS) ≡ 2Ω2 RωP ωpe |Ω| kS kP − 1 2 et ΩR ≡ aPkP 2ωP |Ω| ωpe . 31) Vérifiez que l’équation (8) permet de retrouver la relation de dispersion obtenue à la question 18, dans le cas limite où l’intensité de l’onde pompe est nulle. La figure 2 représente la relation de dispersion (8), exprimée à l’aide des variables adimensionnées ¯ωS (pulsation sonde réduite) et ¯kS (vecteur d’onde sonde réduit) analogues aux variables ¯ω et ¯k introduites à la première partie. 32) En vous appuyant sur la figure 2 a), montrez que la présence de l’onde pompe permet à une onde sonde de pulsation « interdite » (au sens de la première partie) de se propager au sein du plasma. On parle d’un phénomène de transparence électromagnétiquement induite. 33) Tracez l’allure des variations de la vitesse de phase vϕ,S et de la vitesse de groupe vg,S de l’onde sonde en fonction de ¯ωS sur l’intervalle ¯ωinf, ¯ωsup . 34) Décrivez qualitativement l’évolution de la forme d’un paquet d’onde sonde se propageant au sein du plasma, en supposant son spectre tout entier contenu dans la bande interdite. 35) En vous appuyant sur la figure 2 b), discutez l’effet d’une variation de l’intensité de l’onde pompe. ⋆ ⋆ ⋆ 8

Physique B - XEULC - Filière PC Transparence électromagnétique induite dans un plasma froid magnétisé 1 Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé 1.1 Hypothèses du modèle 1. La masse des ions argon est environ 105 fois plus grande que celle des électrons. Or les forces subies par les ions et les électrons sont du même ordre de grandeur. Donc, d’après la loi de la quantité de mouvement, on peut négliger a priori le mouvement des ions devant celui des électrons. 2. L’énergie potentielle d’interaction électrostatique entre deux électrons est : Ep = e2 4πε0r , l’éner- gie cinétique d’agitation thermique est : Ec = 3 2kBT . La longueur de LANDAU vérifie donc : rL = e2 4πε0 × 2 3kBT . Numériquement : rL ≈ 2×10−28 × 2 3 × 1 10−23 ×104 ≈ 4 3 ×10−9 m, soit : rL ≈ 1 nm. 3. On estime la distance moyenne entre deux charges à : l ≈ n−1/3 0 , soit : l ≈ 10−16/3 = 10−1/3 × 10−5 = 0,5×10−5 m, ou encore : l ≈ 5 µm. rL ≪ l donc l’énergie d’interaction électrostatique entre deux électrons est négligeable l’énergie cinétique des électrons, les électrons ne sont quasiment pas déviés par le champ électrique des autres particules et on peut alors négliger l’effet des collisions entre particules chargées. Il ne me semble pas évident que pour les candidats les collisions dont parle le texte soit bien les interactions électrostatiques. 4. La vitesse quadratique moyenne est : u = 3kBT m ≈ 3×1023 ×104 9×10−31 = 1 3 ×106 ≈ 6×105 m.s−1. La rapport u c est de l’ordre de 2×10−3 : l’hypothèse non relativiste est parfaitement justifiée. 5. La longueur d’onde de DE BROGLIE des électrons est : λDB = h mu ≈ 7×10−34 (9×10−31)(6×105) ≈ 1 54 × 10−8 ≈ 0,2 nm. Elle est très inférieure à l : le cadre classique convient. 6. La célérité du son dans le plasma (et non dans le gaz d’électrons comme le suggère le texte) est : cs = γkBT M ≈ 10−23 ×104 7×10−26 ≈ 103 m.s−1. cs u ≈ 2 × 10−3 donc cs ≪ u ≪ vϕ : il est légitime de négliger les ondes acoustiques au sein du plasma. Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 1 1.2 Réponse d’un plasma froid magnétisé à une onde électromagnétique 7. L’équation de Maxwell-Faraday : −→ rot #» E = −∂#» B ∂t donne : #» B = − 1 iω −→ rot #» E = ℜ    kE0 ω   −i 1 0  exp[i(ωt −kz)]    . 8. En notations réelles : #» E = E0cos(ωt −kz)#»e x +E0 sin(ωt −kz)#»e y. L’onde est polarisée circulai- rement. On représente l’évolution de l’extrémité du vecteur #» E dans un plan d’onde, en regardant l’onde arriver vers nous : z x y A B Pour ωt −kz = 0, l’extrémité du vecteur #» E est en A, pour ωt −kz = π/2, elle est en B : l’onde est circulaire gauche. 9. Si on change le signe de la composante sur #»e y, l’onde est polarisée circulairement droite. Si on néglige l’action du champ magnétique de l’onde (hypothèse liée au caractère non relativiste des électrons, avec également une condition sur pulsation de l’onde, comme on le verra plus tard), la propagation est isotrope et le fait de changer le signe de la composante selon #»e y ne change rien à la propagation de l’onde. 10. Si on rajoute un champ magnétique statique, la force de Lorentz associée rompt la symétrie autour de l’axe Oz et la propagation d’une onde circulaire droite ne sera pas la même que celle d’une onde circulaire gauche. Difficile de savoir exactement quels arguments sont attendus. 11. Modèle fluide : la longueur d’onde de l’onde électromagnétique est λ = 2πc ω ≈ 2π×3×108 1011 ≈ 2 cm. La distance moyenne entre deux particules est de l’ordre de 5 µm, on peut donc définir une échelle mésoscopique, grande devant l et petite devant λ. On peut donc appliquer l’équation d’Euler. Terme de pression : on a vu à la question 6 qu’on peut négliger les ondes acoustiques au sein du plasma. Par ailleurs le poids des électrons est négligeable devant la force de Lorentz. Il n’y a pas de terme de pression dans l’équation d’Euler. La seule force qui intervient est donc la force électromagnétique. On obtient donc : nm ∂#»v ∂t + #»v ·−−−→ grad #»v = −ne #» E + #»v ∧ #» B + # » B1 . En simplifiant par n et en divisant de chaque côté par m, on obtient l’équation demandée. 12. #»v ·−−−→ grad #»v ∂#»v ∂t ∼ k∥#» V ∥2 ω∥#» V ∥ ∼ k ω∥#» V ∥ = ∥#» V ∥ vϕ . Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 2 De même : #»v ∧ #» B ∥#» E ∥ ∼ ∥#» V ∥B E . Or d’après l’équation de Maxwell-Faraday (donc d’après la ques- tion 7), B ∼ kE ω = E vϕ . Donc : #»v ∧ #» B ∥#» E ∥ ∼ ∥#» V ∥ vϕ . L’accélération convective est négligeable devant l’accélération locale et le terme magnétique de la force de Lorentz devant le terme électrique à condition que ∥#» V ∥ soit très inférieur à vϕ. 13. L’équation simplifiée est donc : ∂#»v ∂t = − e m #» E + #»v ∧ # » B1. En projection sur #»e x et #»e y, on obtient : iωVx = −a +ΩVy iωVy = ia −ΩVx , en posant : a = eE0/m et Ω = −eB1/m. La résolution de ce système donne : Vx = ia ω+Ω et Vy = a ω+Ω . 14. |Ω| ≃ 2×10−19 ×1 9×10−31 ≃ 2×1011 rad.s−1. Pour calculer l’ordre de grandeur de a, il faut connaître celui du champ électrique. Pour cela, on utilise la donnée de la puissance du faisceau laser. La puissance surfacique moyenne d’une onde plane progressive harmonique est le module du vecteur de Poynting moyen, c’est-à-dire : 1 2ε0cE 2 0. Donc : P = 1 2ε0cE 2 0s soit : E0 = 2P ε0cs ≈ 6×103 (9×10−12)(3×108)10−4 ≈ 20 9 ×105 ≈ 1×105 V.m−1. Donc : a ≈ (2×10−19)(1×105) 9×10−31 ≈ 2×1016 m.s−2. 15. On projette l’équation (2) sur #»e z. Il vient : iωVz = 0. Il n’y a donc pas de mouvement selon (Oz). L’équation de conservation du nombre d’électrons (ou de la charge) est : ∂n ∂t + div n #»v = 0, ce qui donne ici : ∂n ∂t = 0. La densité n reste constante égale à n0. Remarque : on peut aussi utiliser l’équation de Maxwell-Gauss. Le champ proposé est à divergence nulle donc la densité de charge dans le plasma est nulle. La densité d’électrons est alors égale à celle d’ions argon, elle reste égale à n0. 16. Si ω s’approche de |Ω| = −Ω, alors le dénominateur dans l’expression de Vx et de Vy tend vers zéro. Les vitesses Vx et Vy deviennent donc très grandes. Les hypothèses de plasma froid (question 12 - on ne peut plus linéariser l’équation d’Euler) et non relativiste (question 4) ne sont plus valables. On veut que a |ω+Ω| reste, par exemple, inférieure à 0,1vϕ et à 0,1c. Si on suppose vϕ ≈ c, on veut donc que : |ω+Ω| < 10a c ≈ 2 3 ×108 rad.s−1 ≈ 7×107 rad.s−1. Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 3 1.3 Relation de dispersion et bande interdite 17. L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit : −→ rot #» B µ0 = −n0e #»v +ε0 div #» E . D’après l’expression du champ électrique donnée, div #» E = 0. La méthode habituelle (on prend le rotationnel de l’équation de M.F, puis on utilise la définition du laplacien vectoriel) donne bien l’équation demandée. 18. On projette l’équation de la question précédente sur #»e x ou sur #»e y (on obtient la même chose). Sur #»e x par exemple : −k2 = −n0µ0eiωVx − ω2 c2 . En remplaçant Vx par l’expression obtenue à la question 13, on obtient : k2 = ω2 c2 − ωω2 pe c2(ω+Ω) . On adimensionne cette équation en posant : ω = ω ωpe et k = ck ωpe . On obtient l’équation sous la forme demandée : k 2 = ω2 − ω ω−2α , en posant : α = −Ω 2ωpe . 19. ωpe ≈ 108 ×2×10−19 (9×10−31)(9×10−12) ≈ 2×10−11 9×10−43/2 ≈ 2 9 10×1010 ≈ 6×109 rad.s−1. ωpe |Ω| ≈ 6×109 2×1011 ≈ 3×10−2. On peut donc dire que ωpe ≪ |Ω|. α ≈ 1011 6×109 ≈ 100 6 ≈ 17. On est proche du α = 16 choisi pour les courbes : ouf ! 20. Si k2 est réel négatif, k est imaginaire pur et il n’y a pas propagation. Ca correspond sur la figure 1 à x ∈]32;32,03[ environ. Il y a propagation pour k 2 > 0 donc pour ω solution de : ω2 > ω ω−2α, ou encore : ω2 −2αω−1 > 0 avec ω > 2α. Tous calculs faits, on obtient : ω ∈ 2α;α+ α2 +1 . Si B1 → 0, α → 0 d’où ωsup → ωpe. On retrouve le résultat du cours : une onde électromagnétique de pulsation inférieure à la pulsation plasma ne peut pas se propager dans le plasma. 21. Si on envoie une onde de pulsation interdite sur la cellule, elle donne naissance à une onde réfléchie qui emporte toute l’énergie de l’onde incidente et à une onde stationnaire évanescente dans le plasma, dont l’amplitude s’atténue avec la distance caractéristique δ = 1 |k|. On observe le même type de comportement par exemple quand on envoie une onde dans do- maine visible sur un métal comme le cuivre. 22. La vitesse de phase est définie par : vϕ = ω k = c ω k . Quand ω tend vers ωinf = 2α par valeur inférieure, k tend vers l’infini donc vϕ tend vers zéro. Les hypothèses de plasma froid (question 12) et non relativiste (question 4) ne sont plus valables. Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 4 2 Transparence électromagnétique induite 2.1 Réponse du plasma 23. Les hypothèses pour l’onde pompe sont exactement les mêmes que dans la première partie. Comme div #» E P = 0, on a bien nP = n0 puis : #»v p = ℜ    aP ωP +Ω   i 1 0  exp[i(ωt −kz)].    Donc, avec ωP +Ω = −ωpe, il vient : #»v p = aP ωpe   sin(ωP t −kP z) −cos(ωP t −kPz) 0   24. L’équation locale de conservation du nombre d’électrons s’écrit : ∂n ∂t +div n #»v = 0. Avec n(z,t) = nP +nS(z,t) = n0 +nS(z,t) et #»v = #»v P + #»v S, il vient : ∂n ∂t = ∂nS ∂t et div n #»v = ∂nv ∂z donc : ∂nS ∂t + ∂(nvz) ∂z = 0, avec vz(z,t) = vS(z,t) d’après l’expression de #»v P obtenue à la question 23. Donc en présence d’un petit mouvement longitudinal, le terme ∂(nvS) ∂z ̸= 0, ce qui entraîne que ∂nS ∂t ̸= 0 : ce petit mouvement longitudinal entraîne un petit excédent de densité électronique. Au premier ordre, l’équation précédente s’écrit : ∂nS ∂t +n0 ∂vs ∂z = 0. 25. L’équation de Maxwell-Gauss : div #» E = n0e ε0 − (nP +nS)e ε0 devient : div #» E = −nSe ε0 , soit : ∂EL ∂z = −nSe ε0 . 26. On dérive l’équation précédente par rapport à t, on intervertit les dérivées partielles par rap- port à t et à z, on utilise l’équation de la question 24 puis on intègre l’équation obtenue par rapport à z. Il vient : ∂EL ∂z = en0 ε0 vSz . La constante d’intégration, fonction du temps, est nulle car en l’absence de mouvement longitudinal, il n’y a a pas de champ additionnel. 27. L’équation (6) ressemble à celle d’un oscillateur harmonique en présence d’une excitation comportant plusieurs pulsations. La pulsation plasma ωpe joue le rôle de la pulsation propre de l’os- cillateur. Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 5 28. Si on intègre l’équation de la question 26 par rapport au temps, on voit que le champ élec- trique additionnel EL est proportionnel au déplacement des électrons ξ(z,t) selon l’expression : EL = n0e ε0 ξ(z,t). La force de Lorentz est une force rappel élastique : #» F L = −e m n0e ε0 ξ(z,t)#»e z = −ω2 peξ(z,t)#»e z. C’est donc le champ créé par le déplacement des électrons, proportionnel à ce déplacement, qui est à l’origine de ce terme de rappel élastique. 29. Terme de forçage induit par le battement entre l’onde sonde et l’onde pompe : kSaP aS ωS ∆ω ωpe cos ∆ωt −∆kz . Terme de couplage avec le mouvement transverse : l’autre terme dans le membre de droite. Pout calculer l’ordre de grandeur de as, il faut celui de ES. La puissance de l’onde sonde est 104 fois plus faible que celle de l’onde pompe donc ES = 10−2EP ≈ 103 V.m−1, puis aS ≈ aP/100 ≈ 2 × 1016 m.s−2. 30. Pour l’équation traduisant le mouvement transverse : le terme de pulsation ωS s’interprète comme un forçage à la pulsation de l’onde sonde, le terme de pulsation ωp comme un couplage avec le mouvement longitudinal (il fait intervenir la vitesse vsz). 2.2 Relation de dispersion et transparence électromagnétique induite 31. Si l’intensité de l’onde pompe est nulle, EP = 0 donc aP et donc ΩR sont nuls. Dans ce cas, δω0(ks) = 0. L’équation (8) se simplife en : k2 Sc2 = ω2 S − ωSω2 pe ωS +Ω . C’est bien l’équation que nous avions obtenu à la question 18 avant de passer en grandeurs adimen- sionnées. 32. Dans la zone interdite précédemment, kS est réel, la propagation est possible. kS réel 33. vϕ,S = ωS kS = c ωS kS et vg,S = dωS dkS = c dωS dkS . Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 6 kS0 ωS0 dkS dωS (ωS0) Pour une pulsation ωS0 donnée, la vitesse de groupe est l’inverse de la pente (voir figure ci-dessus). La pente est toujours plus grande que kS ωS comme on le voit sur la figure. La vitesse de groupe est donc inférieure à la vitesse de phase. De plus, kS est toujours supérieur ou égal à ωS donc la vitesse de phase est inférieure ou égale à c. La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont des fonctions décroissantes de ωS puisque kS est une fonction croissante de la pulsation réduite. Pour ωS → ωsup, kS tend vers l’infini, tout comme la pente de la courbe. Donc la vitesse de phase et la vitesse de groupe tendent vers zéro. Pour ωS → ωinf, la vitesse de phase est égale à c puisque la courbe démarre au niveau de la courbe en tiretés. On évalue la pente de la courbe en ce point-là à 600 environ donc vg,S(ωinf) ≈ c 600. L’allure des courbes est la suivante : Remarque : dvϕ,S dωS = 1 k 1− vϕ,S vg,S donc en ωinf, la pente est non nulle. 34. La vitesse de groupe dépend de la pulsation : le paquet d’onde se déforme au fur et à mesure de sa propagation (il s’étale). 35. Si l’intensité de l’onde pompe augmente, la dépendance de kS en fonction de ωS est moins forte : la dispersion est moins importante, le paquet d’onde s’étale moins. La dernière courbe est presque rectiligne : dans ce cas, la vitesse de groupe ne dépend plus de la pulsation. Le paquet d’onde se propage à la vitesse de groupe sans se déformer. Corrigé proposé par ÉMILIE FRÉMONT & MARIE-NOËLLE SANZ Concours X-ENS 2017 - Physique B (XEULC) - Filière PC 7