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2017-03-15 08:47:58 Page 1/8 2017 Physique 1 PC 4 heures Calculatrices autorisées Éléments de communication par fibre optique La technologie wdm (Wavelength Division Multiplexing) utilise le multiplexage en longueur d’onde, ce qui revient à injecter dans une même fibre optique plusieurs signaux de longueurs d’ondes distinctes, qui constituent autant de canaux de transmission de l’information. Une liaison wdm fonctionne selon le schéma synoptique décrit figure 1. Signal 1 Émetteur 1 Signal 2 Émetteur 2 Signal 𝑛 Émetteur 𝑛 Multiplexage Amplificateur optique Fibre optique Amplificateur optique Démultiplexage Récepteur Figure 1 Schéma synoptique d’une liaison wdm Les conventions internationales fixent la bande wdm aux longueurs d’onde comprises entre 1530 nm et 1565 nm. L’espacement entre deux longueurs d’ondes voisines de ces signaux porteurs est environ égal à 1,6 nm. La technologie wdm est dite dense (dwdm) lorsque l’espacement entre deux longueurs d’onde de la bande de transmission est environ égal à 0,8 nm. Ce problème étudie dans trois parties indépendantes la transmission du signal par la fibre optique, son amplifi- cation et des éléments de démultiplexage. Lorsqu’une longueur d’onde 𝜆 est évoquée dans l’énoncé, il s’agit de la longueur d’onde dans le vide associée à la fréquence 𝑓 de ce signal. On trouvera en fin d’énoncé, les valeurs numériques des constantes physiques utiles, un formulaire et une annexe sur les polarisations circulaires droite et gauche. 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Longueur d’onde 𝜆 (µm) 0,01 0,1 1 10 100 Atténuation (dB⋅km−1) absorption infrarouge diffusion Rayleigh absorption OH− Mesures Limites théoriques Figure 2 Atténuation dans une fibre de silice en fonction de 𝜆 2017-03-15 08:47:58 Page 2/8 I Étude de la transmission par fibre optique L’onde lumineuse se propage dans la fibre optique, considérée comme un guide de section 𝑆 et d’axe de révolution 𝑂𝑧. On note ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅 le vecteur de Poynting de l’onde lumineuse, Π(𝑧) la valeur de la composante utile de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅, moyennée sur le temps et sur la section à l’abscisse 𝑧 et enfin 𝒫(𝑧) la puissance moyenne véhiculée à travers cette section. La communication par fibre permet des débits très élevés. Simultanément, la propagation sur de longues dis- tances pose un problème d’atténuation. Cette atténuation, mesurée en décibel par kilomètre, s’écrit, pour une propagation entre les abscisses 𝑧 = 0 et 𝑧 = 𝑑 : 𝐴(dB⋅km–1) = 10 𝑑(km) log (𝒫(0) 𝒫(𝑑)) Elle dépend de la longueur d’onde utilisée, selon le schéma donné figure 2. Pour les applications numériques, on envisagera une fibre à température ordinaire, parcourue par un signal de longueur d’onde 𝜆 = 1550 nm, pour laquelle 𝐴 ≃ 0,2 dB⋅km–1. La puissance lumineuse injectée dans la fibre est typiquement 𝒫(0) = 300 µW et la puissance minimale détectée par un récepteur vaut 𝒫min = 10 µW. I.A – Longueurs d’onde et canaux utiles I.A.1) Dans quel domaine optique se situent les ondes propagées par la fibre ? Donner l’ordre de grandeur des fréquences associées, exprimées en THz. I.A.2) Justifier le choix de longueur d’onde effectué pour propager le signal dans la fibre. I.A.3) La technologie wdm permet de véhiculer 16 canaux multiplexés. Rapprocher ce nombre des données associées aux normes techniques définies en introduction. Qu’en est-il de la technologie dwdm ? I.B – Nécessité d’une amplification I.B.1) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅( ⃗𝑟, 𝑡), en fonction du champ électromagnétique de l’onde lumineuse. Préciser les relations liant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅( ⃗𝑟, 𝑡), Π(𝑧) et 𝒫(𝑧). I.B.2) Justifier par des arguments numériques précis la nécessité d’une amplification du signal, par exemple pour des liaisons entre continents. I.B.3) Quelle distance maximale faut-il envisager entre deux amplificateurs de signal placés sur la fibre ? II Amplification du signal par une fibre dopée à l’erbium II.A – Interaction matière rayonnement L’amplification du signal est réalisée dans une portion, de longueur 𝐿, de fibre dopée avec des ions erbium Er3+. Cet ion est modélisé comme un système à deux niveaux, le niveau fondamental 1, d’énergie ℰ1, et un niveau excité 2, d’énergie ℰ2. Il y a 𝑛0 ions Er3+ par unité de volume, dont 𝑛1 dans le niveau 1 et 𝑛2 dans le niveau 2. L’interaction entre ces ions Er3+ et le rayonnement se fait suivant les trois processus quantiques illustrés par la figure 3 : − l’absorption d’un photon du faisceau lumineux incident par un ion Er3+ dans le niveau fondamental 1 qui produit un ion excité dans le niveau 2. La puissance par unité de volume absorbée par les ions au cours de ce processus est 𝜎𝑎𝑛1(𝑧)Π(𝑧) où 𝜎𝑎 est une constante caractéristique de l’ion Er3+, appelée section efficace d’absorption ; − l’émission spontanée d’un photon par les ions dans le niveau excité 2. Si 𝜏 désigne la durée de vie du niveau excité 2, le nombre de photons émis selon ce processus par unité de volume et de temps est d𝑛𝑒 d𝑡 = 𝑛2 𝜏 . La direction d’émission des photons ainsi produits est complètement aléatoire ; − l’émission stimulée d’un photon par interaction résonnante avec le faisceau incident. Ce processus trans- fère au faisceau incident une puissance par unité de volume égale à 𝜎𝑒𝑛2(𝑧)Π(𝑧), où 𝜎𝑒 est une constante caractéristique de l’ion Er3+, appelée section efficace d’émission. ℰ1 ℰ2 photon Absorption ℰ1 ℰ2 photon Émission spontanée ℰ1 ℰ2 photon photon photon Émission stimulée Figure 3 Interaction matière rayonnement II.A.1) Rappeler la relation entre l’énergie ℰ𝛾 du photon, la constante de Planck, la vitesse de la lumière dans le vide et la longueur d’onde du photon. 2017-03-15 08:47:58 Page 3/8 II.A.2) Quelle est la condition sur l’énergie du photon pour qu’il y ait absorption ? II.A.3) Quelle est la longueur d’onde du photon émis par émission spontanée ? II.A.4) En effectuant un bilan d’énergie de l’onde électromagnétique dans la tranche de fibre comprise entre 𝑧 et 𝑧 + d𝑧, montrer que dΠ(𝑧) d𝑧 = (𝜎𝑒𝑛2 − 𝜎𝑎𝑛1)Π(𝑧) (II.1) II.A.5) Justifier qu’il n’y a pas lieu de prendre en compte l’émission spontanée dans ce bilan d’énergie. II.A.6) Déduire de l’équation (II.1) la condition d’amplification du faisceau. II.A.7) Quelle est la dimension de 𝜎𝑎 et 𝜎𝑒 ? II.A.8) Les sections efficaces sont du même ordre de grandeur : 𝜎𝑎 ≈ 𝜎𝑒. Compte-tenu de la loi de Boltz- mann, qui indique qu’à l’équilibre thermodynamique, la probabilité d’occupation d’un état d’énergie ℰ est proportionnelle à exp (− ℰ 𝑘𝐵𝑇), montrer que la condition d’amplification ne peut être satisfaite à l’équilibre thermodynamique et que l’amplification nécessite d’exciter une fraction importante des ions Er3+ dans le niveau 2, voire de réaliser une inversion de population entre les niveaux 1 et 2 (𝑛2 > 𝑛1). II.B – Amplification par pompage optique Le pompage optique des ions Er3+ est réalisé par une diode laser (cf figure 4). 𝑧 𝒫𝑠 fibre 0 𝐿 Fibre dopée à l’erbium Diode laser « pompage » 𝒫𝑝(0) Figure 4 Amplification par pompage optique Le faisceau pompe, produit par la diode laser, excite les ions Er3+ du niveau 1 vers un niveau 3. Ces ions se désexcitent très rapidement vers le niveau excité 2 par un processus de relaxation non radiatif de durée de vie 𝜏′ très courte. Comme précédemment, le faisceau portant le signal induit des transitions entre les niveaux 1 et 2 des ions Er3+. ℰ1 ℰ2 ℰ3 pompage absorption/émission stimulée induites par Π𝑠 𝜏 désexcitations non radiatives (𝜏′ ≈ 0) Figure 5 Schéma à 3 niveaux de l’ion Er3+ Les grandeurs associées à l’onde électromagnétique pompe issue de la diode laser seront indicées « 𝑝 » et celles associées à l’onde électromagnétique représentant le signal seront indicées « 𝑠 ». Les sections efficaces d’absorp- tion et d’émission stimulée de l’ion Er3+ dépendent de la longueur d’onde et seront donc également indicées 𝑠 ou 𝑝. L’équation (II.1) devient ainsi dΠ𝑠(𝑧) d𝑧 = (𝜎𝑒 𝑠𝑛2 − 𝜎𝑎 𝑠𝑛1)Π𝑠(𝑧) De même dΠ𝑝(𝑧) d𝑧 = (𝜎𝑒 𝑝𝑛3 − 𝜎𝑎 𝑝𝑛1)Π𝑝(𝑧) II.B.1) L’onde pompe issue de la diode laser a une longueur d’onde 𝜆𝑝 = 1,48 µm. Déterminer la différence ℰ3 − ℰ2 et montrer qu’elle est négligeable devant ℰ2 − ℰ1. Dans la suite on considèrera ℰ3 − ℰ1 = ℰ2 − ℰ1. II.B.2) Sachant que la désexcitation non radiative du niveau 3 vers le niveau 2 est extrêmement rapide, que vaut 𝑛3 ? 2017-03-15 08:47:58 Page 4/8 II.B.3) On s’intéresse dans cette question à l’équation gouvernant l’évolution temporelle de 𝑛2 (qui dépend ici à priori de 𝑧 et de 𝑡). a) Calculer le nombre d’ions Er3+ produits par unité de temps et de volume dans le niveau 2 par l’absorption du faisceau pompe (par Π𝑝) suivie de la relaxation non radiative de 3 vers 2. b) Sachant que la puissance du faisceau pompe est partout très supérieure à celle du faisceau porteur du signal, soit Π𝑝(𝑧) ≫ Π𝑠(𝑧), quels sont les processus contribuant de façon significative à la formation ou à la disparition des ions Er3+ dans le niveau 2 ? c) En déduire que ∂𝑛2 ∂𝑡 = − 1 ℰ𝛾 ∂Π𝑝 ∂𝑧 − 𝑛2𝜏 (II.2) II.B.4) On se place désormais en régime permanent. Exprimer 𝑛2(𝑧) et 𝑛1(𝑧) en fonction de 𝜎𝑎 𝑝, Π𝑝(𝑧), ℰ𝛾, 𝜏 et 𝑛0. Montrer que pour qu’il y ait inversion de population il faut que Π𝑝(𝑧) dépasse un seuil Π∗ 𝑝 que l’on déterminera. II.B.5) En déduire une relation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l’onde pompe dans la fibre dopée à l’erbium et montrer, en notant 𝑊(𝑧) = Π𝑝(𝑧) Π∗ 𝑝 , que 𝑊(𝑧) e𝑊(𝑧) = 𝑊(0) e𝑊(0) e−𝑧/𝐷 où 𝐷 est une longueur caractéristique que l’on déterminera. II.B.6) Amplification du signal a) Déduire des relations II.1 et II.2 une équation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l’onde portant le signal (Π𝑠) et montrer que ln (Π𝑠(𝑧) Π𝑠(0)) = −𝜎𝑎 𝑠𝑛0𝑧 + Π𝑝(0) − Π𝑝(𝑧) Π∗ en précisant l’expression de la constante Π∗. b) La dépendance spatiale du gain en puissance du signal utile, défini en dB par 𝐺(𝑧) = 10 log Π𝑠(𝑧) Π𝑠(0) est représentée sur la figure 6. Justifier qualitativement l’évolution observée pour 𝐺(𝑧). 𝑧 (m) 5 10 15 20 25 30 𝐺 (dB) −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 Figure 6 Représentation du gain en fonction de la position 𝑧 c) Quelle longueur a-t-on intérêt à donner à la portion amplificatrice ? Comparer alors son gain à l’effet de l’atténuation naturelle de la fibre non dopée sur une telle longueur. III Filtre optique accordable L’opération de démultiplexage consiste à séparer l’onde issue de la fibre contenant toutes les longueurs d’onde en une ou plusieurs ondes ne comportant qu’une seule longueur d’onde. Chacune de ces ondes est ensuite soit directement démodulée par le récepteur, soit véhiculée par d’autres fibres vers plusieurs récepteurs différents. Le démultiplexage est souvent confié à un élément dispersif passif, en l’occurrence un réseau, qui sépare les 𝑛 longueurs d’onde en autant de signaux optiques distincts. Mais d’autres configurations de démultiplexage existent. Nous allons étudier ici un filtre accordable en longueur d’onde qui permet de n’extraire qu’une seule onde dont la longueur d’onde peut être choisie par une commande externe. 2017-03-15 08:47:58 Page 5/8 Les cristaux liquides sont des matériaux biréfringents dont le comportement dépend de la tension appliquée aux bornes de deux électrodes contrôlant le comportement d’une cellule de géométrie appropriée. Cette propriété est utilisée lors de la conception du filtre qui est constitué d’une association de cellules formées d’une lame de calcite biréfringente suivie d’une lame à cristaux liquides. Dans toute la suite, l’espace est repéré par le système de coordonnées cartésiennes (𝑂, ⃗𝑢𝑥, ⃗𝑢𝑦, ⃗𝑢𝑧). III.A – Propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique III.A.1) On considère un milieu diélectrique, linéaire, homogène, isotrope, magnétiquement parfait, de permit- tivité diélectrique relative 𝜀𝑟 réelle. On rappelle que les équation de l’électromagnétisme dans un tel milieu sont analogues à celles écrites dans le vide en remplaçant la permittivité du vide 𝜀0 par 𝜀𝑟𝜀0. Écrire les équations de Maxwell dans un tel milieu, dépourvu de charges et de courants libres. En déduire l’équation différentielle de propagation satisfaite par le champ électrique ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑀, 𝑡). III.A.2) On s’intéresse à la propagation dans un tel milieu d’une onde plane sinusoïdale, dont la représentation complexe du champ électrique s’écrit ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸0 exp (𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)). Établir la relation de dispersion de cette onde. Quelle est sa vitesse de propagation ? Définir l’indice optique 𝑛 du milieu et le relier à la permittivité diélectrique relative 𝜀𝑟. III.A.3) Pourquoi le champ électrique de l’onde plane est-il transverse ? Discuter de l’état général de polarisa- tion de cette onde. III.B – Lame biréfringente Un matériau biréfringent est un matériau anisotrope dont la permittivité diélectrique relative dépend de la direction du champ électrique. Les matériaux biréfringents utilisés ici sont tels que la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique se propageant selon ⃗𝑢𝑧 diffère selon la direction du champ électrique et donc selon la polarisation de l’onde. Les lames biréfringentes utilisées ici sont telles que les ondes lumineuses polarisées linéairement selon deux directions orthogonales, appelées axes neutres de la lame, se propagent selon ⃗𝑢𝑧 comme elles le feraient dans un milieu isotrope (cf III.A), mais avec des indices optiques différents. Les deux axes neutres de la lame sont notés (𝑂𝑥) et (𝑂𝑦) et on désigne par 𝑛𝑥 (respectivement 𝑛𝑦) l’indice optique de la lame pour l’onde électromagnétique se propageant selon ⃗𝑢𝑧 et polarisée selon ⃗𝑢𝑥 (respectivement selon ⃗𝑢𝑦). On néglige tout phénomène d’absorption dans le milieu biréfringent et on choisit 𝑛𝑥 > 𝑛𝑦. III.B.1) L’axe neutre de la lame biréfringente pour lequel la vitesse de propagation de l’onde est plus élevée est appelé axe rapide. L’autre axe neutre est appelé axe lent. Dans le cas où 𝑛𝑥 > 𝑛𝑦, déterminer l’axe rapide. III.B.2) La lame d’épaisseur 𝑒 occupe l’espace 0 ⩽ 𝑧 ⩽ 𝑒. L’onde traverse la lame perpendiculairement, à 𝑧 croissant. On représente son champ électrique à l’entrée de la lame par : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧 = 0+, 𝑡) = (𝐸0𝑥 ⃗𝑢𝑥 + 𝐸0𝑦e𝑗𝜑 ⃗𝑢𝑦) e𝑗(𝜔𝑡+𝜒) = 𝐸0𝑥 ( ⃗𝑢𝑥 + 𝛼e𝑗𝜑 ⃗𝑢𝑦) e𝑗(𝜔𝑡+𝜒) avec 𝐸0𝑥 et 𝛼 réels positifs a) Donner l’état de polarisation de l’onde en 𝑧 = 0+ pour chacune des valeurs 𝜑 = 0, 𝜑 = 𝜋/2, 𝜑 = 𝜋 et 𝜑 = 3𝜋/2. b) Préciser, lorsque cela est possible, la condition sur 𝛼 pour observer une polarisation circulaire. c) Représenter pour chaque valeur de 𝜑, dans le cas où 𝛼 < 1, la trajectoire dans le plan (𝑂, ⃗𝑢𝑥, ⃗𝑢𝑦) du point 𝑀 défini par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀(𝑡) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧 = 0+, 𝑡). Indiquer le sens de parcours de la trajectoire. Identifier, le cas échéant, le caractère droit ou gauche de la polarisation correspondante. III.B.3) Mettre la représentation complexe du vecteur champ électrique en un point d’abscisse 𝑧 de la lame sous la forme : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑥 ( ⃗𝑢𝑥 + 𝛼e𝑗𝜑′ ⃗𝑢𝑦) e𝑗(𝜔𝑡+𝜒′), en précisant les expressions de 𝜑′ et 𝜒′. Comparer l’état de polarisation de l’onde en 𝑧 > 0 et en 𝑧 = 0+. Pourquoi parle-t-on de « lame à retard » ? III.B.4) Dans toute la suite, on admet que la transmission sous incidence normale d’une onde plane progressive sinusoïdale entre deux diélectriques transparents, d’indices réels différents, n’affecte pas les valeurs de 𝜑 et de 𝛼 : la transmission n’affecte pas l’état de polarisation. Exprimer 𝜑′ à la sortie de la lame biréfringente sous la forme 𝜑′ = 𝜑 + 2𝜋𝛿 𝜆 , où 𝛿 est à exprimer en fonction de 𝑛𝑥, 𝑛𝑦 et 𝑒. III.B.5) On prend ici 𝜑 = 0 et 𝛼 = 1. Identifier l’état de polarisation de l’onde en 𝑧 = 0 et les plus petites valeurs non nulles 𝛿𝐶 et 𝛿𝑅 de 𝛿 qui génèrent respectivement, en 𝑧 = 𝑒, une onde de polarisation circulaire droite et une onde polarisée rectilignement. À quels types de lames correspondent-elles ? III.C – Production et sélection d’ondes polarisées circulairement Cette question n’est pas guidée et demande de l’initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées ; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement. III.C.1) Vous disposez d’une source lumineuse émettant un faisceau parallèle de lumière non polarisée à la longueur d’onde 𝜆0. Comment produire une lumière polarisée, de polarisation circulaire droite ? Même question pour une lumière de polarisation circulaire gauche. 2017-03-15 08:47:58 Page 6/8 III.C.2) Concevoir un sélecteur de polarisation circulaire droite (respectivement gauche), c’est-à-dire un filtre de polarisation qui, à partir d’une onde polarisée quelconque transmet (sans pertes) la composante de l’onde de polarisation circulaire droite (respectivement gauche), tout en supprimant totalement la composante de polarisation circulaire gauche (respectivement droite). Pour concevoir ces deux dispositifs, on n’utilisera que des polariseurs parfaits, des lames quart d’onde et demi onde, sans pertes à la longueur d’onde 𝜆0. III.D – Association de lames biréfringentes III.D.1) Lame de calcite Le filtre optique utilise une lame de calcite d’épaisseur 𝑒𝑐 = 447 µm et telle que Δ𝑛 = 𝑛𝑥 − 𝑛𝑦 = 0,156 pour la longueur d’onde 𝜆0 = 1550 nm. a) Calculer pour cette longueur d’onde la valeur de 𝛿 notée 𝛿𝑐. b) On supposera pour la suite que 𝛿𝑐 est indépendant de 𝜆 ; quel est alors le phénomène négligé ? III.D.2) Lame à cristaux liquides Le film de cristaux liquides se comporte comme une lame à retard d’épaisseur 𝑒𝐶𝐿 = 7,5 µm, de valeur 𝛿𝐶𝐿 contrôlée par la différence de potentiel 𝑈 appliquée aux bornes des électrodes de la cellule. Les variations de 𝛿𝐶𝐿 avec 𝑈 sont indiquées par la courbe de la figure 7, supposée indépendante de 𝜆 dans la gamme de longueurs d’onde utilisée dans la technologie wdm. On cherche à réaliser, pour toutes les longueurs d’onde comprises entre 1565 nm et 1535 nm, la condition 𝛿𝐶𝐿 = 𝛿𝑅 (où 𝛿𝑅 est défini en III.B.5). Que dire de la plage des valeurs de 𝑈 permettant de répondre à ce besoin ? 𝑈 (V) 0 1 2 3 4 5 6 𝛿𝐶𝐿 (µm) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 𝑈 (V) 𝛿𝐶𝐿 (nm) 1,35 1475 2,68 793 5,30 110 Figure 7 Variations de 𝛿𝐶𝐿 avec la tension 𝑈 III.D.3) Lame complète Pour corriger cet inconvénient, on accole la lame de calcite du III.D.1 à la lame à cristaux liquides du III.D.2 de telle sorte que leurs axes rapides soient confondus, ce qui donne une lame biréfringente 𝐿 équivalente d’épaisseur 𝑒𝑐 + 𝑒𝐶𝐿. a) Justifier l’obtention en sortie de 𝐿 d’une onde polarisée rectilignement différente de l’état de polarisation de l’onde incidente, comme en III.B.5, à condition de satisfaire la relation : 𝛿𝑐 + 𝛿𝐶𝐿 = (2𝑝 + 1)𝛿𝑅 avec 𝑝 entier b) Parmi les valeurs 𝑝 = 44, 𝑝 = 45, 𝑝 = 46, déterminer celle permettant de réaliser la condition recherchée, pour toutes les longueurs d’onde souhaitées, lorsque 𝑈 varie entre 0 et 6 V. c) En déduire la nouvelle plage des valeurs de 𝑈 permettant d’obtenir la polarisation rectiligne recherchée en sortie de 𝐿′, pour toutes les longueurs d’onde souhaitées. Quel est l’intérêt de la lame de calcite ? d) Préciser la valeur 𝑈0 de 𝑈 réalisant la condition souhaitée pour 𝜆0 = 1550 nm. III.E – Cellule du filtre Une cellule du filtre (figure 8) est constituée par deux lames 𝐿, notées 𝐿1 et 𝐿2 : − chaque lame 𝐿 réunit une lame de calcite et une lame à cristaux liquides (cf. III.D.3) ; − la condition 𝛿𝑐 + 𝛿𝐶𝐿 = (2𝑝 + 1)𝛿𝑅 est satisfaite, 𝜆 = 𝜆0 et 𝑈 = 𝑈0 (cf. III.D.3d) ; 2017-03-15 08:47:58 Page 7/8 − les axes neutres des lames 𝐿1 et 𝐿2 sont respectivement (𝑋1, 𝑌1) et (𝑋2, 𝑌2) ; − les axes 𝑋1 et 𝑋2 sont inclinés respectivement de ±𝜃 par rapport à l’axe 𝑂𝑦. À l’entrée de la cellule, le champ électrique est : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧 = 0, 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸0e𝑗𝜔0𝑡. L’état de polarisation de cette onde incidente est obtenu grâce à un polariseur parfait 𝑃 dont l’axe de transmission fait un angle 𝛽 avec (𝑂𝑥). 𝑥 𝑦 𝑧 𝑋1 +𝜃 𝑋2 −𝜃 Deuxième lame 𝐿 de la cellule Première lame 𝐿 de la cellule Association formant la cellule Cellule formée de deux lames 𝐿 d’axes neutres alternés 𝑥 𝑦 𝑋2 𝑌2 𝑋1 𝑌1 +𝜃 −𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴1 𝛽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴2 Représentation de la polarisation Figure 8 III.E.1) Le champ électrique de l’onde est noté : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1e𝑗𝜔0𝑡 à la sortie de la lame 𝐿1, puis ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2e𝑗𝜔0𝑡 à la sortie de la lame 𝐿2, donc à la sortie de la cellule. Sur la figure 8, trois vecteurs représentent les directions de polarisation prises par le champ électrique de l’onde avant 𝐿1, entre 𝐿1 et 𝐿2, et après 𝐿2. a) Attribuer à chacun de ces trois vecteurs nommés ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴1, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴2 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴3 le champ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸0 ou ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 ou ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2. Justifier à l’aide du schéma de la figure 8 et des angles utiles. b) Justifier que, par rapport à la direction du champ électrique incident de l’onde en 𝑧 = 0, la direction à la sortie de la cellule a tourné d’un angle 𝜓. Relier cet angle 𝜓 à l’angle 𝜃. III.F – Filtre complet Le filtre complet empile un polariseur 𝑃, 𝑁𝐶 cellules identiques à celle de III.E, et un analyseur 𝐴 : − le polariseur 𝑃 a son axe de transmission orienté selon (𝑂𝑥) (𝛽 = 0) et impose le champ électrique d’entrée : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧 = 0, 𝑡) = 𝐸0e𝑗𝜔0𝑡 ⃗𝑢𝑥 ; − les 𝑁𝐶 cellules traitent successivement la polarisation de l’onde transmise ; − l’analyseur 𝐴 est identique à 𝑃, mais aligné selon l’axe 𝑂𝑦 ; − l’éclairement issu du polariseur est noté ℰ0. On néglige toute absorption autre que le filtrage imposé par l’analyseur 𝐴. La figure 9 superpose les profils d’éclairement ℰ observés pour plusieurs valeurs de 𝑈 en fonction de 𝜆. Profils d’éclairement pour plusieurs valeurs de 𝑈 𝜆 ℰ Figure 9 Influence de la tension 𝑈 sur l’éclairement transmis 2017-03-15 08:47:58 Page 8/8 III.F.1) La tension d’alimentation des cellules à cristaux liquides est 𝑈 = 𝑈0. a) Quelle est, pour un angle 𝜃 donné, la valeur minimale de 𝑁𝐶 permettant d’obtenir à la sortie de l’analyseur (𝐴) un éclairement maximal pour 𝜆 = 𝜆0 ? b) Expliquer qualitativement l’obtention d’un éclairement plus faible à la sortie du filtre, si 𝜆 s’éloigne de 𝜆0. c) Quel est, pour 𝑈 = 𝑈0, l’état de polarisation à la sortie des 𝑁𝐶 cellules, pour les deux longueurs d’onde entourant 𝜆0 correspondant à un éclairement nul ? III.F.2) La tension 𝑈 est modifiée. a) Expliquer pourquoi la variation de 𝑈 permet de générer toutes ces courbes. b) Représenter sur la même courbe l’allure des variations de l’éclairement en fonction de 𝜆 pour 𝑈 = 5 V et 𝑈 = 1,8 V. Constantes physiques Célérité de la lumière dans le vide 𝑐 = 3,00 × 108 m⋅s–1 Masse de l’électron 𝑚 = 9,11 × 10–31 kg Charge élémentaire 𝑒 = 1,60 × 10–19 C Perméabilité magnétique du vide 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 H⋅m–1 Permittivité diélectrique du vide 𝜀0 = 8,85 × 10–12 F⋅m–1 Constante des gaz parfaits 𝑅 = 8,31 J⋅K–1⋅mol–1 Constante d’Avogadro 𝒩𝐴 = 6,02 × 1023 mol–1 Constante de Boltzmann 𝑘𝐵 = 1,38 × 10–23 J⋅K–1 Constante de Planck ℎ = 6,63 × 10–34 J⋅s Formulaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad(div ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴) − Δ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 Annexe : Polarisations circulaires (ou elliptiques) droite et gauche Une onde plane monochromatique qui se propage selon l’axe (𝑂𝑧) est dite avoir une polarisation circulaire (ou elliptique) gauche si, en un point donné de l’espace (𝑧 = 𝑧0), le champ électrique ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧0, 𝑡) de cette onde tourne dans le sens trigonométrique direct (figure 10). Si le champ électrique ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧0, 𝑡) tourne dans le sens opposé, l’onde a une polarisation circulaire (ou elliptique) droite. 𝑥 𝑦 𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑧0, 𝑡) sens de propagation de l’onde Figure 10 • • • FIN • • •

CORRIGE CENTRALE PC 2017 - ELEMENTS DE COMMUNICATION PAR FIBRE OPTIQUE Corrigéé réédigéé par Marc STRUBEL (marc.strubél@wanadoo.fr), rélu par Nicolé ADLOFF (nicolé.adloff0212@orangé.fr ). Mérci a Antonin MARCHAND pour sés rémarqués. Mérci dé mé fairé part dé vos rémarqués ét comméntairés ! Cé corrigéé péut éêtré diffuséé aà vos ééléàvés déàs 2017. I . Etude la transmission par fibre optique : I.A.1. Lés ondés sont dans l’infrarougé proché. On calculé f = c/λ = 3.108/1,5.10-6 = 1014 Hz = 100 THz én ordré dé grandéur. A.2. D’apréàs la figuré 2, l’attéénuation ést minimalé au voisinagé dé λ = 1,6 μm. A.3. L’éspacémént ést dé 1,6 nm pour uné bandé dé 35 nm, soit un maximum dé 21 canaux. Avéc la téchnologié DWDM cé nombré péut éêtré doubléé. B.1. ⃗R= 1 μ0 .⃗E∧⃗B;π (z )= 1 T∫( 1 S∬⃗R.dS.⃗uz).dt ; P (z )=π (z ).S ; B.2. Pour uné distancé dé L = 7000 km ( Francé USA ), on calculé : P(d) = P(0).10-140 qui n’ést plus déétéctablé. B.3. On calculé dmax = 70 km. II. Amplification du signal par une fibre dopée à l’erbium : A.1. ℰγ = h.c/λ. A.2. La condition ést : ℰγ = ℰ2 - ℰ1 A3. La longuéur d’ondé du photon éémis par éémission spontanééé ést : λ = h.c /(ℰ2 - ℰ1) A.4. Entré z ét z+dz, uné partié dé la puissancé ést absorbééé par lé procéssus d’absorption, tandis qué dé la puissancé ést éémisé par lés déux procéssus d’éémission. On a, én néégligéant l’éémission spontanééé : π(z+dz).S = π(z).S – σa.n1.π(z).S.dz + σé.n2.π(z).S.dz ⟺ dπ dz =σ e.n2.π (z )−σ a.n1.π(z) A.5. L’éémission spontanééé ést néégligéablé pour lé faiscéau sé propagéant sélon Oz, car lés photons éémis par cé procéssus lé sont dans dés diréctions alééatoirés, alors qué céux qui sont éémis par éémission stimulééé ont méêmé diréction dé propagation qué lés photons inductéurs. A.6. Lé faiscéau ést amplifiéé si : σ e .n2>σ a.n1. A.7. σ ést én m2, cé qui justifié lé vocablé dé séction éfficacé. A.8. La condition : n2>n1 ést incompatiblé aà l’ééquilibré avéc la condition : ℰ2 > ℰ1 B.1. (ℰ3 - ℰ1)=h.c/ λp, d’ouà : ℰ3 - ℰ2= (ℰ3 - ℰ1)-(ℰ2 - ℰ1) = h.c/ λp -h.c/ λ avéc λp ≈ λ, d’ouà : ℰ3 - ℰ2 << ℰ2 - ℰ1 B.2. n3 ≈ 0. B.3. a) L’éénérgié du faiscéau pompé absorbééé péndant dt par unitéé dé volumé ést : dE=σ p a n1π pdt Lé nombré d’ions Er3+ produits par unitéé dé témps ét dé volumé dans lé nivéau 2 ést donc : ∂n2 ∂t = σ p an1π p hν =σ p a n1π p Eγ b) La formation dés ions Er3+ dans lé nivéau 2 ést dué ésséntiéllémént au faiscéau pompé, tandis qué la disparition ést dué au procéssus d’éémission spontanééé ( l’éémission stimulééé par lé faiscéau signal ést néégligéablé). c) On én dééduit : ∂n2 ∂t =σ p an1π p Eγ −n2 τ Or avéc n3 = 0, on a : ∂π p ∂z =−σ p a n1π p d’ouà lé réésultat. B.4. On a én réégimé pérmanént : 0=σ p an1π p Eγ − n2 τ avéc : n1+n2=n0 On én dééduit : n1 (z)= 1 1+ σ p a τ π p(z) Eγ n0;n2 (z )= σ p a τ π p(z) Eγ 1+ σ p a τ π p(z) Eγ n0 L’invérsion dé population sé produit si : n2>n1 ⟺π p(z )> Eγ σ p a τ =π p ¿ B.5.On a : d π p dz =−σ p a n1π p= −σ p a π p 1+ σ p aτ π p (z) Eγ n0= π p 1+ π p (z ) π p ¿ σ p an0 ⟺ dW (z ) dz (1+W (z))=−W (z ).σ p an0 ⟺ dW (z ) dz (1+W (z))eW (z)=−σ p an0W (z ).e W (z) ⟺ d[W (z)e W ( z )] dz =−σ p a n0.W (z ).e W( z) dont la solution ést : W (z )e W (z)=W (0)e W (0).e −z/Davec D=σ p a n0 B.6. a) L’ééquation II.1 appliquééé au faiscéau pompé donné : 1 π s d πs dz =σ s en2−σs an1 ¿σ s e n2−σ s a(n0−n2) σ n2(¿¿ s a+σs e) ¿−σs an0+¿ σ n2(¿¿ s a+σs e) ¿−σs an0+¿ avéc : n2 (z)= σ p a τ π p (z ) Eγ 1+ σ p a τ π p (z ) Eγ n0= W (z ) 1+W (z ) n0=D. dW (z) dz .n0d'après laquestion B.5 On obtiént donc finalémént : σ D.n0. dW (z ) dz (¿¿s a+σ s e) 1 π s d πs dz =−σ s an0+¿ dont l’intéégration éntré z=0 ét z donné : σ D.n0. (W (z )−W (0)).(¿¿ s a+σ s e) ln( π s(z) π s(0))=−σ s an0.z+¿ σ D.n0.( π p(z )−π p (0) π p ¿ ).(¿¿ s a+σs e) ⟺ln( π s(z) πs (0))=−σs an0. z+¿ On én dééduit : π ¿=π p ¿ 1 D.n0 1 σ s a+σs e =π p ¿ σ p a σ s a+σs e b) Pour lés faiblés valéurs dé z, l’amplification par lé faiscéau pompé ést préépondééranté par rapport aà l’absorption ; lé signal croit avéc z ; lorsqué z augménté, l’éénérgié du faiscéau pompé diminué, aà partir dé 15 m énviron, éllé n’ést plus suffisanté pour compénsér l’absorption ét lé faiscéau signal déécroit. c) L’amplification ést maximalé pour z = 15 m ; lé gain ést alors dé 31 dB. L’attéénuation naturéllé sérait dé 0,2.15.10-3 = 3.10-3 dB sur cétté distancé ; l’amplification ést donc tout aà fait éfficacé. III. Filtre optique accordable : A.1. ¿⃗E=0;÷⃗B=0;⃗ rot ⃗E=−∂ ⃗B ∂t ;⃗ rot ⃗B=μ0ε0εr ∂⃗E ∂t Rémarqué : lés notions dé chargés liééés né sont pas au programmé dé PC, aussi la quéstion pourrait éêtré formulééé autrémént. On obtiént sans péiné : ∆ ⃗E−ε0ε rμ0 ∂ 2⃗E ∂t 2 =⃗0 A.2. La rélation dé dispérsion s’obtiént sans péiné : k 2=ε0εr μ0.ω 2 Sa vitéssé dé propagation ést : vφ=ω k = 1 √ε0ε rμ0 L’indicé optiqué du miliéu ést : n= c vφ =√ε r A.3. Lé champ ést transvérsé car d iv⃗E=0 ; lé champ né péut avoir dé composanté sélon la diréction dé propagation. Dans un miliéu isotropé homogéàné, la polarisation dé l’ondé ést dans lé cas lé plus géénééral élliptiqué. ( quéllé discussion ést atténdué ? ) B.1. L’axé rapidé ést célui pour léquél l’indicé ést lé plus faiblé ; c’ést Oy. B.2.a) Pour φ = 0, lés déux composantés sont én phasé ét l’ondé ést polarisééé réctilignémént. Pour φ = π, lés déux composantés sont én opposition dé phasé ; l’ondé ést éégalémént polarisééé réctilignémént. Pour φ = π/2 ou 3π/2, lés déux composantés sont én quadraturé ét l’ondé ést polarisééé dé maniéàré élliptiqué. b) On obsérvé uné polarisation circulairé pour φ = π/2 ou 3π/2, ét avéc α = ±1. c) y = 0 x = = 3/2 : gauche y x = /2 : droité B.3. ⃗E (z,t )=E0 x[⃗ ux.exp(−jnx. ω c z)+α .⃗ uy.exp(−j ny. ω c z).exp ( jφ)]exp j (ωt+ χ ) ¿ E0 x[⃗ ux.+α .⃗ uy .exp(−j (ny−nx). ω c z).exp ( jφ)]exp(−j nx. ω c z)exp j (ωt+ χ ) soit : φ '=φ−(ny−nx). ω c z; χ '=χ−nx. ω c z Lé dééphasagé dé la composanté y par rapport aà la composanté x éévolué au cours dé la propagation ; la polarisation varié, sauf si initialémént α = 0. On parlé dé lamé aà rétard car l’uné dés composantés ést én rétard sur l’autré én sortié dé lamé. B.4. φ '=φ−(ny−nx). ω c e=(n y−nx). 2 π λ e ,soit δ=(nx−n y).e B.5. En éntrééé dé lamé, l’ondé ést polarisééé réctilignémént, aà 45° dés axés dé la lamé. En sortié :  l’ondé ést polarisééé circulairé droité si φ=π 2 , soit δ c= λ 4 . La lamé ést alors uné lamé quart d’ondé ;  l’ondé ést polarisééé réctiligné si φ=π , soit δ c=λ 2 . La lamé ést alors uné lamé démi-ondé. C.1. On placé un polariséur aà 45° dés axés néutrés d’uné lamé quart d’ondé. Dans la configuration a, la polarisation én sortié dé la lamé séra circulairé droité, dans la configuration b, éllé séra circulairé gauché. C.2. On comprénd qué l’ondé initialé ést composééé d’uné ondé polarisééé circulairé droité ét d’uné ondé polarisééé circulairé gauché. On placé uné lamé quart d’ondé dans la méêmé configuration qu’aà la quéstion préécéédénté . L’ondé polarisééé circulairé droité sort polarisééé réctiligné, sélon la diréction ⃗ex−⃗ey , tandis qué l’ondé polarisééé circulairé gauché sort polarisééé réctiligné, sélon la diréction ⃗ex+⃗e y . On placé alors un polariséur réctiligné dans la diréction ⃗ex−⃗ey , qui né laisséra donc passér qué l’ondé ayant cétté polarisation. x y /4 x y -/4 b a Il suffit énsuité dé réplacér dérriéàré cé polariséur uné sécondé lamé quart d’ondé, sés axés néutrés éétant invérséés par rapport aà la prémiéàré lamé quart d’ondé ; l’ondé én sortié dé cétté lamé séra polarisééé circulairé droité. Si lé polariséur réctiligné ést placéé dans la diréction ⃗ex+⃗e y , la sécondé lamé quart d’ondé donné uné polarisation circulairé gauché. D.1. a) δc = λ/4 = 387,5 nm. b) On néégligé la dispérsion dé la lamé. D.2. On a δR = λ/2, donc 0,767 < δCL< 0,782 μm ; on constaté qué la plagé dé ténsion ést éxtréêmémént éétroité. D.3. a) L’ondé incidénté ést polarisééé réctiligné aà 45 ° dés axés néutrés dé la lamé L. Lé dééphasagé én sortié dé la lamé L ést δc+δCL ; pour avoir uné polarisation réctiligné difféérénté dé la polarisation initialé, on doit rééalisér : δc+δCL = λ/2 [λ], soit : δc+δCL = (2p+1).δR. b) δc = Δn.éc = 69,732 μm. Pour : 0 < U < 6 V 0,1 < δCL < 1,6 μm. On én dééduit : 44,12 < p < 45, 97 La valéur convénablé ést donc p = 45. c) Pour δR = 1535 nm (résp. 1565 nm), on calculé δCL = 0,1105 μm (résp. 1,475 μm). La plagé dés valéurs dé U ést alors dé l’ordré dé 5,30 – 1,35 = 4,0 V. La lamé dé calcité a pérmis dé réndré la lamé L moins sénsiblé aux variations dé U. d) On calculé δCL = 0,793 μm, d’ouà U0 = 2,68 V. Rémarqué : il faut consérvér 5 chiffrés significatifs aà δc pour rétrouvér lés valéurs donnééés dans lé pétit tabléau. E. 1. a) Chacuné dés lamés sé comporté commé uné lamé démi-ondé. D’apréàs l’éénoncéé, lé véctéur ⃗ A1 corréspond aà ⃗ E0 ; lé véctéur ⃗ A3 , syméétriqué dé ⃗ A1 par rapport aà l’axé X1, corréspond aà ⃗ E1 , ét lé véctéur ⃗ A2 , syméétriqué dé ⃗ A3 par rapport aà l’axé X2, corréspond aà ⃗ E2 . b) On calculé : φ = -4θ F. 1) a) On doit obténir : Ncφ = -π/2 [π] La valéur minimalé dé Nc ést donc : Nc = π/(8.θ) Il ést péu probablé qué cétté valéur soit éntiéàré… b) Si la longuéur d’ondé changé, aà U constant, la condition : Nc ( δc+δCL ) = (2p+1).δR n’ést plus véérifiééé, ét lé dééphasagé varié. La polarisation én sortié dés Nc céllulés séra élliptiqué, ét donc l’ééclairémént én sortié dé filtré séra plus faiblé qué pour uné polarisation réctiligné. c) Cés longuéurs d’ondé donnént un éétat dé polarisation réctiligné sélon Ox. F.2) a) Lorsqué U varié, lé dééphasagé varié ; la ou lés longuéurs d’ondé véérifiant la condition : Nc( δc+δCL ) = (2p+1).δR corréspondént aà un maximum. b) Jé né vois pas trop commént réépondré aà cétté quéstion, qui sémblé quantitativé, sans la donnééé dé Nc. Choisissons Nc = 2. Pour U = 5,0 V δCL = 0,15 μm ; on a toujours δc = 69,732 μm ét δR = λ/2. Pour 1535 < λ < 1565 nm, on obtiént (apréàs calculs ) déux maximas pour λ = 1544 μm ét λ = 1561 μm. Pour U = 1,8 V δCL = 1,3 μm ; on a toujours δc = 69,732 μm ét δR = λ/2. Pour 1535 < λ < 1565 nm, on obtiént (apréàs calculs ) déux maximas pour λ = 1536 μm ét λ = 1553 μm. C’ést l’alluré dés courbés qui sont donnééés én pagé 5 : déux maximas (« principaux ») pour chaqué valéur dé ténsion.