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2017-02-22 15:10:30 Page 1/7 2017 Physique 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées Interférométrie atomique Les ondes de matière permettent de réaliser des expériences d’interférométrie tout à fait analogues à celles rencontrées en optique. On s’intéresse ici à un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière (figure 1). Un tel interféromètre a été construit par des chercheurs du Laboratoire Collisions, Agrégats, et Réactivité (LCAR) à Toulouse. La source est un jet supersonique collimaté d’atomes de lithium 7, les miroirs et lames séparatrices sont réalisés à l’aide d’ondes lumineuses sur lesquelles les atomes sont diffractés ; enfin, sur l’une des sorties de l’interféromètre, un détecteur mesure l’intensité du faisceau atomique résultant de l’interférence entre les ondes de matière qui se propagent dans les deux bras de l’interféromètre. (M1) (M2) (M3) Source 𝐵𝑏 𝐶 𝐴 𝐵ℎ 𝐷 𝐹0 𝐹1 𝐹𝐷 Détecteur 𝐿 𝐿 𝑧 𝑥 𝑦 Figure 1 Schéma de principe de l’interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière (M1), (M2) et (M3) sont des miroirs plans ; 𝐹0 et 𝐹1 sont les fentes de collimation du jet supersonique ; 𝐹𝐷 est la fente de détection ; la distance entre deux ondes stationnaires est 𝐿 = 605 mm Les constantes physiques utiles au problème ainsi qu’un formulaire sont donnés en fin d’énoncé. Les vecteurs unitaires selon 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 sont notés ⃗𝑢𝑥, ⃗𝑢𝑦, ⃗𝑢𝑧. I Caractérisation de la source atomique La production d’une vapeur atomique s’effectue en chauffant l’élément chimique pour atteindre une pression de vapeur saturante suffisante. Le lithium ayant une pression de vapeur saturante faible aux températures expérimentalement accessibles, on le vaporise dans un gaz d’argon sous haute pression, afin d’obtenir une surpression plus importante dans le four. Le mélange gazeux ainsi obtenu contient majoritairement de l’argon et une faible proportion de lithium. Ce gaz est ensuite accéléré à travers une tuyère de longueur nettement supérieure à sa section (figure 2) afin de former un jet atomique. On souhaite dans cette partie caractériser le jet atomique ainsi créé. ) z ( A z 0 0 , T 0 P Four Chambre e d i v a` Figure 2 Schéma de la tuyère. On a représenté quelques lignes de l’écoulement ainsi que la surface 𝒜(𝑧) perpendiculaire aux lignes de l’écoulement. 2017-02-22 15:10:30 Page 2/7 On considérera les hypothèses suivantes : − dans le four, le gaz est à la pression 𝑃0 et la température 𝑇0 ; − on suppose que le libre parcours moyen dans le four et dans la tuyère est très inférieur au diamètre de la tuyère. Cette hypothèse permet de décrire le fluide comme un milieu continu et d’utiliser les lois de la dynamique des fluides ; − les différentes quantités physiques qui décrivent l’écoulement (pression 𝑃(𝑧), température 𝑇(𝑧), masse volu- mique 𝜌(𝑧), enthalpie massique ℎ(𝑧), vitesse 𝑣(𝑧)) ont même valeur en tout point de la surface 𝒜(𝑧) qu’occupe le fluide, perpendiculairement aux lignes de l’écoulement (figure 2). Dans la mesure où le diamètre de la tuyère varie lentement avec 𝑧, on assimile la surface 𝒜(𝑧0) au plan 𝑧 = 𝑧0. Cette approximation entraine que les composantes transversales de ⃗𝑣 sont partout négligeables devant la composante de ⃗𝑣 selon l’axe 𝑂𝑧 ; − l’écoulement est supposé unidimensionnel le long de l’axe 𝑧, stationnaire et parfait ; − le gaz est supposé parfait, monoatomique, de masse molaire 𝑀 = 0,040kg⋅mol–1 et de coefficient adiabatique 𝛾 = 5/3 supposé indépendant de la température ; − la vitesse moyenne 𝑣0 des atomes dans le four est négligée devant la vitesse des atomes dans le jet. On notera 𝑟 = 𝑅 𝑀, où 𝑅 est la constante des gaz parfaits. On donne les paramètres de l’expérience suivants : − diamètre de col de la tuyère 𝜙col = 100 µm ; − température du gaz dans le four 𝑇0 = 1080 K ; − pression du gaz dans le four 𝑃0 = 250 mbar. I.A – Réalisation d’un jet supersonique I.A.1) Que peut-on dire du débit massique 𝒟𝑚 de cet écoulement ? Comment s’exprime-t-il en fonction de 𝜌(𝑧), 𝑣(𝑧) et 𝒜(𝑧). I.A.2) Écrire la relation reliant 𝑃(𝑧), 𝜌(𝑧) et 𝑇(𝑧). Exprimer la variation dℎ de l’enthalpie massique du gaz en fonction de 𝛾, 𝑟 et de la variation d𝑇 de sa température. I.A.3) Les transferts thermiques entre le gaz et les parois de la tuyère sont négligeables, de sorte que le gaz s’écoule selon une transformation adiabatique et réversible. En déduire une relation entre 𝑃(𝑧) et 𝜌(𝑧) ainsi qu’une relation entre dℎ, 𝜌(𝑧) et d𝑃. I.A.4) Les forces de pesanteur étant négligées devant les forces pressantes exercées sur le fluide, relier la vitesse 𝑣(𝑧) à l’enthalpie massique ℎ(𝑧) à la position 𝑧 et à l’enthalpie massique ℎ0 dans le four. I.A.5) On rappelle que la célérité du son 𝑐𝑠 dans un gaz est reliée à sa masse volumique 𝜌 et sa compressibilité isentropique 𝜒𝑆 = 1 𝜌 ∂𝜌 ∂𝑃∣ 𝑆 par 𝑐𝑠 = 1 √𝜌𝜒𝑆 . Donner l’expression de la célérité du son dans la tuyère 𝑐𝑠(𝑧) à l’abscisse 𝑧 en fonction de 𝛾, 𝑟 et 𝑇(𝑧). Dans la suite, on notera ℳ(𝑧) le rapport de la vitesse des atomes du jet 𝑣(𝑧) sur la célérité du son à l’abscisse 𝑧, appelé le nombre de Mach ℳ(𝑧) = 𝑣(𝑧) 𝑐𝑠(𝑧) I.A.6) À partir de l’ensemble des relations précédentes, établir la relation suivante, connue sous le nom de relation de Hugoniot : d𝒜 𝒜(𝑧) + d𝑣 𝑣(𝑧)(1 − ℳ2(𝑧)) = 0 I.A.7) L’écoulement est appelé subsonique, ou supersonique, selon que 𝑣 < 𝑐𝑠, ou 𝑣 > 𝑐𝑠. Déduire de la relation de Hugoniot que, pour passer d’un écoulement subsonique à un écoulement supersonique, la section de la tuyère doit nécessairement comporter un minimum. Que vaut le nombre de Mach à cet endroit ? I.B – Estimation des grandeurs thermodynamiques à l’issue de l’expansion I.B.1) Exprimer la température 𝑇(𝑧) du gaz en fonction de 𝑇0, 𝛾 et du nombre de Mach ℳ(𝑧). Comment la température évolue-t-elle dans la direction 𝑧 du jet ? I.B.2) Exprimer la densité atomique du jet 𝜌(𝑧) en fonction de 𝜌0, 𝛾 et du nombre de Mach ℳ(𝑧). Pourquoi peut-on considérer qu’à l’issue de la phase d’expansion, lorsque 𝑧 est suffisamment grand, la température et la vitesse des atomes du jet n’évoluent plus. Le nombre de Mach atteint à l’issue de la phase d’expansion sera noté par la suite ℳ∞. I.B.3) Exprimer de même la vitesse du jet 𝑣(𝑧) en fonction de 𝑇0, 𝛾, 𝑟 et du nombre de Mach ℳ(𝑧). En supposant que ℳ∞ est grand devant une quantité que l’on précisera, montrer que la vitesse atteinte en sortie de la tuyère 𝑣∞ ne dépend pas de ℳ∞ et donner son expression en fonction de 𝑇0, 𝛾 et 𝑟. L’évaluer numériquement. 2017-02-22 15:10:30 Page 3/7 I.B.4) On donne sur la figure 3 les résultats de mesures du nombre de Mach terminal ℳ∞ obtenus par une expérience similaire, mais pour des paramètres expérimentaux différents. En déduire une estimation de la valeur de ℳ∞ pour les paramètres de l’expérience étudiée, puis de la valeur de la température 𝑇∞ atteinte à l’issue de l’expansion. L’hypothèse faite à la question précédente est-elle vérifiée ? 10−4 10−3 10−2 10 20 30 𝜙col𝑃0𝑇 −4/3 0 (m ⋅ Pa ⋅ K−4/3) ℳ∞ Figure 3 Nombre de Mach atteint à l’issue de l’expansion en fonction des paramètres de la source II Diffraction du jet atomique par une onde stationnaire À l’aide d’un laser de longueur d’onde 𝜆L = 671 nm, on crée une onde plane et progressive, polarisée rectiligne- ment selon ⃗𝑢𝑦, de vecteur d’onde ⃗𝑘L et de pulsation 𝜔L, qui se propage dans la direction ⃗𝑢𝑥. Le champ électrique de cette onde s’écrit : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸+(𝑥, 𝑡) = ⃗𝑢𝑦𝐸+(𝑥, 𝑡) = ⃗𝑢𝑦𝐸0 cos(𝜔L𝑡 − 𝑘L𝑥) II.A – Onde stationnaire L’onde laser se réfléchit en incidence normale sur un miroir plan assimilé à un miroir métallique parfaitement conducteur, situé dans le plan 𝑥 = 𝑥M. Montrer que le champ électrique de l’onde stationnaire résultante s’écrit ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸(𝑥, 𝑡) = ⃗𝑢𝑦𝐸(𝑥) sin(𝜔L𝑡 − 𝑘L𝑥M). Préciser l’expression de 𝐸(𝑥) en fonction de 𝐸0, 𝑘L, et 𝑥M. II.B – Notion de potentiel lumineux On s’intéresse d’abord à l’interaction de cette onde stationnaire avec les atomes de lithium. Lorsqu’ils pénètrent dans la zone où règne le champ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸, les atomes se polarisent. Lorsque la pulsation 𝜔L est très éloignée des résonances atomiques, les dipôles induits oscillent à la pulsation 𝜔L du laser excitateur et en phase avec lui : le dipôle atomique induit s’écrit alors ⃗𝑝 = 𝜀0𝛼⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸, où 𝛼 est la polarisabilité de l’atome de lithium. Dans les conditions de l’expérience (laser hors de résonance), on a 𝛼 = − 1 𝜀0 𝑑2 ℏ𝛿L où 𝑑 = 3,45 × 10–29 C⋅m est une constante caractérisant le dipôle de l’atome de lithium et où 𝛿L = 𝜔L − 𝜔0 est l’écart entre la pulsation laser 𝜔L et la pulsation 𝜔0 de la transition atomique la plus proche. Le champ lumineux interagit avec le dipôle atomique ⃗𝑝 qu’il induit via une énergie potentielle 𝑉 = −1 2 ⃗𝑝 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸, appelée potentiel lumineux. II.B.1) Montrer que la moyenne temporelle de ce potentiel lumineux s’écrit sous la forme 𝑊(𝑥) = −1 2𝑉0(1 − cos(𝑘r(𝑥 − 𝑥M))) II.B.2) Exprimer 𝑉0 et 𝑘r en fonction des paramètres du problème. II.C – Équation de propagation de l’onde de matière Un jet supersonique de lithium se propage dans le plan (𝑂𝑥𝑧) à une vitesse 𝑣 = 1060 m⋅s–1 et traverse l’onde lumineuse stationnaire générée par un miroir (M) (figure 4). Un atome de lithium est assimilé à un paquet d’ondes de matière décrit par sa fonction d’onde 𝜓(𝑥, 𝑧, 𝑡) dont le module au carré donne la densité de probabilité de présence de l’atome dans l’espace à trois dimensions. On s’intéresse ici exclusivement au processus élastique de diffusion des atomes par l’onde lumineuse stationnaire, de sorte que l’énergie de l’atome peut être considérée comme fixée et égale à son énergie cinétique incidente 𝐸𝑖. La partie spatiale 𝜑(𝑥, 𝑧) de sa fonction d’onde obéit alors à l’équation de Schrödinger 2017-02-22 15:10:30 Page 4/7 − ℏ2 2𝑚 (∂2𝜑 ∂𝑥2 + ∂2𝜑 ∂𝑧2 ) + 𝑊(𝑥)𝜑 = 𝐸𝑖𝜑 à l’intérieur de l’onde stationnaire (0 < 𝑧 < 𝐷) − ℏ2 2𝑚 (∂2𝜑 ∂𝑥2 + ∂2𝜑 ∂𝑧2 ) = 𝐸𝑖𝜑 à l’extérieur de l’onde stationnaire (𝑧 < 0 ou 𝑧 > 𝐷) où 𝑚 = 1,16×10–26 kg est la masse de l’atome de lithium 7 et 𝐸𝑖 son énergie totale, égale à son énergie cinétique incidente. II.C.1) Rappeler l’expression de la longueur d’onde de de Broglie 𝜆dB de l’atome incident et l’évaluer numé- riquement dans le cas présent. II.C.2) On assimile le paquet d’onde atomique incident à une onde plane de vecteur d’onde ⃗𝑘𝑖. Relier ⃗𝑘𝑖 à la quantité de mouvement de l’atome 𝑚 ⃗𝑣 et en déduire l’expression de son énergie 𝐸𝑖. L’évaluer numériquement. On supposera dans la suite que la profondeur 𝑉0 du potentiel lumineux est beaucoup plus faible que l’énergie 𝐸𝑖 de l’atome. II.C.3) Écrire l’équation de propagation, dans un milieu d’indice 𝑛(𝑥), d’une onde lumineuse ⃗ℰ(𝑥, 𝑧, 𝑡) de vecteur d’onde dans le vide ⃗𝑘 et de pulsation 𝜔. II.C.4) En déduire que la propagation de l’onde de matière à l’intérieur de l’onde stationnaire est régie par une équation similaire à celle d’une onde lumineuse dans un milieu d’indice 𝑛(𝑥) modulé périodiquement. Quel est le pas Λ de ce réseau d’indice ? L’évaluer numériquement. Donner l’expression de l’amplitude 𝑛1 de modulation de l’indice en fonction de 𝑉0 et 𝐸𝑖. II.C.5) On écrit l’équation de propagation de l’onde de matière à l’intérieur de l’onde stationnaire sous la forme suivante ∂2𝜑 ∂𝑥2 + ∂2𝜑 ∂𝑧2 + 𝑘2 𝑖 𝜑 = 4𝑘𝑖𝐾 cos(𝑘r(𝑥 − 𝑥M))𝜑 (II.1) Exprimer 𝐾 en fonction de 𝑛1 et 𝜆dB. ⃗𝑘𝑟 (M) ⃗𝑘𝑖 𝜃𝑖 𝐷 Λ 𝑧 𝑥 𝑦 Figure 4 Réseau lumineux de pas Λ et d’épaisseur 𝐷 II.D – Résolution de l’équation de propagation Le faisceau lumineux qui crée l’onde stationnaire est limité transversalement par un diaphragme de rayon 𝑅 = 5 mm. Le réseau lumineux sur lequel vont se diffracter les ondes atomiques a donc une épaisseur 𝐷 = 2𝑅 (figure 4). Deux fentes très fines, de largeur ∼ 10 µm, sont placées le long du jet supersonique, de manière à sélectionner très précisément l’angle d’incidence 𝜃𝑖 des atomes sur le réseau lumineux (l’orientation de l’angle 𝜃𝑖 est précisée sur la figure 4). Dans ces conditions, on montre que seules deux ondes planes se propagent simultanément dans le réseau lumineux : l’onde incidente 𝜑𝑖( ⃗𝑟) d’amplitude 𝛽𝑖(𝑧) et de vecteur d’onde ⃗𝑘𝑖, et l’onde diffractée 𝜑𝑑( ⃗𝑟) d’amplitude 𝛽𝑑(𝑧) et de vecteur d’onde ⃗𝑘𝑑 = ⃗𝑘𝑖 + 𝑞 ⃗𝑘r où 𝑞 = ±1 et où ⃗𝑘r = 𝑘r ⃗𝑢𝑥 caractérise la périodicité du réseau lumineux et est choisi ici de même sens que le vecteur d’onde ⃗𝑘𝐿 de l’onde laser incidente sur le miroir (M). On considère dans la suite le cas 𝑞 = −1. II.D.1) Montrer que la conservation de l’énergie cinétique de l’atome, entre son entrée dans le réseau et sa sortie dans l’ordre 𝑞 = −1 de diffraction, implique une certaine relation que l’on explicitera entre l’angle d’incidence 𝜃𝑖, le pas Λ du réseau et la longueur d’onde de de Broglie 𝜆dB de l’atome. II.D.2) Évaluer numériquement l’angle d’incidence, noté 𝜃B, qui satisfait cette relation. II.D.3) Quel angle fait le faisceau diffracté avec l’axe ⃗𝑢𝑧 dans ces conditions ? Faire un schéma illustrant la disposition relative des traits du réseau et des vecteurs d’onde ⃗𝑘𝑖, ⃗𝑘r et ⃗𝑘𝑑. II.D.4) On cherche les solutions de l’équation de propagation (II.1) sous la forme 𝛽𝑖(𝑧)ei ⃗𝑘𝑖⋅ ⃗𝑟 + 𝛽𝑑(𝑧)ei ⃗𝑘𝑑⋅ ⃗𝑟 a) Que représente physiquement chacun des termes de cette solution ? 2017-02-22 15:10:30 Page 5/7 b) En utilisant cette expression, identifier dans l’équation de propagation les termes qui se propagent avec les vecteurs d’onde ⃗𝑘𝑖 et ⃗𝑘𝑑. On pensera pour cela à développer le terme en cos(𝑘r(𝑥 − 𝑥M)) sous la forme de deux ondes planes de vecteurs d’onde ⃗𝑘r et − ⃗𝑘r. En déduire que les amplitudes 𝛽𝑖(𝑧) et 𝛽𝑑(𝑧) satisfont aux deux équations différentielles couplées suivantes, où 𝑘𝑖𝑧 = ⃗𝑘𝑖 ⋅ ⃗𝑢𝑧 : ⎧ { ⎨ { ⎩ d2𝛽𝑖 d𝑧2 + 2i𝑘𝑖𝑧 d𝛽𝑖 d𝑧 = 2𝑘𝑖𝐾e−i𝑘r𝑥M𝛽𝑑 d2𝛽𝑑 d𝑧2 + 2i𝑘𝑖𝑧 d𝛽𝑑 d𝑧 = 2𝑘𝑖𝐾ei𝑘r𝑥M𝛽𝑖 II.D.5) On impose les conditions aux limites 𝛽𝑖(𝑧 = 0) = 𝛽0 et 𝛽𝑑(𝑧 = 0) = 0. En préciser la signification physique. Que représente 𝛽0 ? II.D.6) On suppose que les amplitudes des deux ondes sont lentement variables à l’échelle de 𝜆dB. Justifier que cela permet de négliger les dérivées secondes dans le système d’équations couplées ci-dessus. II.D.7) En déduire que l’amplitude 𝛽𝑖(𝑧) satisfait à une équation différentielle de la forme d2𝑓 d𝑧2 + 𝜈2𝑓 = 0. Expliciter la constante positive 𝜈 en fonction de 𝐾 et cos 𝜃𝑖. II.D.8) Résoudre cette équation différentielle en utilisant les conditions aux limites précisées en II.D.5). II.D.9) En déduire l’expression de 𝛽𝑑(𝑧) et celles des ondes planes 𝜑𝑖( ⃗𝑟) et 𝜑𝑑( ⃗𝑟) en sortie d’onde stationnaire, c’est-à-dire pour 𝑧 = 𝐷. Commenter ces solutions. L’approximation des amplitudes lentement variables vous semble-t-elle justifiée ici ? II.D.10) On introduit les coefficients de transmission 𝛼(𝑞 = 0) et de diffraction à l’ordre 𝑞 = −1, 𝛼(𝑞 = −1), tels que les ondes 𝜑𝑖( ⃗𝑟) et 𝜑𝑑( ⃗𝑟) s’écrivent dans la zone 𝑧 > 𝐷 𝜑𝑖( ⃗𝑟) = 𝛽0𝛼(0)ei ⃗𝑘𝑖⋅ ⃗𝑟 et 𝜑𝑑( ⃗𝑟) = 𝛽0𝛼(−1)ei ⃗𝑘𝑑⋅ ⃗𝑟 Montrer que 𝛼(0) = cos(𝜈𝐷) et 𝛼(−1) = −i sin(𝜈𝐷)ei ⃗𝑘𝑟⋅ ⃗𝑟M où ⃗𝑟M désigne la position du miroir (M). II.D.11) En déduire l’expression de l’efficacité de diffraction 𝜂. Quelle valeur maximale peut-elle atteindre en théorie ? II.D.12) Puissance laser a) Rappeler l’expression de l’éclairement (flux du vecteur de Poynting à travers une surface unité) associé à une onde lumineuse dont le champ électrique s’écrit 𝐸0 cos(𝜔L𝑡 − 𝑘L𝑥) ⃗𝑢𝑦. b) En déduire l’expression de la valeur la plus faible de la puissance 𝑃 du laser qui permet d’atteindre l’efficacité de diffraction maximale dans l’ordre 𝑞 = −1. Évaluer cette puissance numériquement pour un laser décalé en fréquence par rapport à la raie atomique la plus proche de la quantité 𝛿L = −2𝜋×2,8GHz. L’hypothèse 𝑉0 ≪ 𝐸𝑖 vous semble-t-elle valable ? c) Quelle est la puissance laser minimum nécessaire pour atteindre une efficacité de diffraction de 50% ? II.D.13) Sur quel(s) autre(s) paramètre(s) peut-on jouer en pratique pour atteindre l’efficacité de diffraction maximale ? ⃗𝑘𝑟 ⃗𝑘𝑖 𝜃𝑖 𝐷 Λ 𝑧 𝑥 𝑦 Figure 5 Réseau lumineux dans lequel 𝜃𝑖 < 0 On montrerait de la même façon que, dans la situation symétrique décrite par la figure 5 (dans laquelle la composante de ⃗𝑘𝑖 selon ⃗𝑢𝑥 est négative : 𝑘𝑖𝑥 = ⃗𝑘𝑖 ⋅ ⃗𝑢𝑥 = 𝑘𝑖 sin 𝜃𝑖), les ondes transmise 𝜑𝑖 (correspondant à 𝑞 = 0) et diffractée 𝜑𝑑 (correspondant alors à 𝑞 = 1) s’écrivent dans la zone 𝑧 > 𝐷 𝜑𝑖( ⃗𝑟) = 𝛽0𝛼(0)ei ⃗𝑘𝑖⋅ ⃗𝑟 et 𝜑𝑑( ⃗𝑟) = 𝛽0𝛼(1)ei ⃗𝑘𝑑⋅ ⃗𝑟 avec 𝛼(1) = −i sin(𝜈𝐷)e−i ⃗𝑘𝑟⋅ ⃗𝑟M. 2017-02-22 15:10:30 Page 6/7 III Interféromètre de Mach-Zehnder On réalise un interféromètre de Mach-Zehnder à ondes de matière en utilisant trois ondes stationnaires distantes entre elles de la distance 𝐿 (figure 1). Ces trois ondes stationnaires sont créées à partir de la même source laser de longueur d’onde 𝜆𝐿 = 671 nm. On a ajusté les paramètres de l’expérience de sorte que les première et troisième ondes stationnaires ont, chacune, une efficacité de diffraction de 50%, tandis que la deuxième onde stationnaire diffracte avec une efficacité de 100%. Le jet monocinétique a pour vecteur d’onde ⃗𝑘𝑖. On note ⃗𝑟M1, ⃗𝑟M2 et ⃗𝑟M3 les positions des trois miroirs permettant de créer les ondes stationnaires. Les trois miroirs sont rigoureusement parallèles entre eux, et perpendiculaires à la direction (𝑂𝑥). On note donc ⃗𝑘r le vecteur d’onde commun aux trois réseaux lumineux, en définissant son sens d’orientation selon la direction de propagation des ondes laser incidentes (voir question II.D). Enfin on note 𝛼𝑗(𝑞) les coefficients de transmission et de diffraction de l’onde atomique incidente à l’ordre 𝑞 = 0, ±1 par l’onde stationnaire 𝑗. Une fente de détection, très fine, est située en 𝐷. Elle permet, en sortie d’interféromètre, de sélectionner la voie de sortie sur laquelle on mesure l’interférence entre les ondes de matière 𝜑h et 𝜑b qui ont parcouru respectivement le bras du haut (trajet 𝐴𝐵ℎ𝐶𝐷) et celui du bas (trajet 𝐴𝐵𝑏𝐶𝐷). La fente, orientée selon ⃗𝑢𝑦, a une largeur de 50 µm selon ⃗𝑢𝑥 et une hauteur ℎD = 2,9 mm selon ⃗𝑢𝑦. On notera ⃗𝑟𝐴, ⃗𝑟𝐵ℎ, …, les positions des points 𝐴, 𝐵ℎ, … III.A – Signal de sortie de l’interféromètre III.A.1) À quels composants optiques les trois ondes stationnaires sont-elles équivalentes, du point de vue de leur action sur les ondes de matière considérées dans ce problème ? Justifier votre réponse. III.A.2) Exprimer 𝜑h et 𝜑b comme des produits d’amplitudes 𝛼𝑗(𝑞), de 𝛽0 (amplitude de l’onde plane incidente en entrée d’interféromètre) et de facteurs de phase qu’on exprimera en fonction de ⃗𝑘r, ⃗𝑘i et des positions des points 𝐴, 𝐵ℎ, 𝐵𝑏, 𝐶 et 𝐷. On pourra noter 𝜑h = 𝑎hei𝜙h et 𝜑b = 𝑎bei𝜙b où 𝑎h et 𝑎b sont les amplitudes réelles et 𝜙h et 𝜙b les phases des deux fonctions d’onde. III.A.3) En déduire que le nombre d’atomes détectés à travers la fente de détection s’écrit sous la forme 𝐼 = 𝐼0(1 + cos(𝜙0)) où on explicitera 𝜙0 en fonction de ⃗𝑘r, ⃗𝑟M1, ⃗𝑟M2 et ⃗𝑟M3. III.A.4) Expliquer précisément ce qu’on observe sur le détecteur lorsqu’on déplace le miroir (M3) le long de l’axe ⃗𝑢𝑥 ? III.A.5) Observe-t-on exactement la même chose si c’est le miroir (M2) que l’on déplace le long de l’axe ⃗𝑢𝑥 ? Expliquer votre réponse. III.B – Application à la mesure d’une vitesse de rotation On prend désormais en compte la rotation de la Terre sur elle-même. L’interféromètre, situé à Toulouse (latitude 43,6°), est horizontal de sorte que la verticale ascendante locale est orientée selon ⃗𝑢𝑦. On note ℛ𝑓 le référentiel fixe (dont les axes ne tournent pas avec la Terre) qui coïncide avec celui du laboratoire (figure 1) à l’instant 𝑡1 où l’atome entre dans l’interféromètre, au point A. Les miroirs sont fixes dans le référentiel du laboratoire, ils sont donc en mouvement dans ℛ𝑓. On peut négliger leur rotation pendant le temps de passage d’un atome dans l’interféromètre, de sorte qu’on admet que le déplacement des miroirs dans le référentiel ℛ𝑓 se limite à une translation. On note 𝑥𝑗(𝑡) la position du miroir 𝑗 (𝑗 ∈ {1, 2, 3}) dans le référentiel ℛ𝑓 selon l’axe 𝑥 à l’instant 𝑡 et 𝑣𝑗𝑥(𝑡) la composante de sa vitesse selon ce même axe. On suppose toujours que les trois ondes stationnaires sont rigoureusement parallèles. III.B.1) Exprimer la phase 𝜙0 en fonction des abscisses 𝑥𝑗 des miroirs aux différents instants 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 où l’atome traverse les ondes stationnaires. III.B.2) On notera 𝑇 = 𝐿/𝑣, où 𝑣 = 1060 m⋅s–1 est la vitesse du jet et 𝐿 = 605 mm est la distance entre les ondes stationnaires. Montrer par un développement limité au premier ordre en 𝑇 que 𝜙0 = 𝑘r𝛿𝑥(𝑡2) + 𝑘𝑟𝑇(𝑣3𝑥(𝑡2) − 𝑣1𝑥(𝑡2)) (III.1) où on explicitera la quantité 𝛿𝑥(𝑡2). Que représente physiquement le premier terme de ce développement ? On supposera dans la suite que 𝛿𝑥(𝑡2) = 0. III.B.3) Exprimer la séparation Δ𝑥 = ∥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑏𝐵ℎ∥ entre les deux bras de l’interféromètre, au niveau de la deuxième onde stationnaire, en fonction de 𝐿 et 𝜃B, et en déduire l’aire 𝒜 de l’interféromètre. Évaluer numériquement ces deux quantités. 2017-02-22 15:10:30 Page 7/7 III.B.4) Montrer que 𝜙0 s’exprime sous la forme 𝜙0 = 2𝑚 ℏ Ω𝑦𝒜 où Ω𝑦 est la vitesse de rotation du référentiel du laboratoire autour de l’axe 𝑦. Cette sensibilité à la vitesse de rotation du référentiel est ce qu’on appelle l’effet Sagnac. III.B.5) En plus de la rotation de la Terre, la plate-forme sur laquelle sont accrochés les miroirs peut tourner, par exemple à cause de vibrations en rotation. Le signal de l’interféromètre est sensible à ces fluctuations de la vitesse de rotation. On positionne le miroir (M3) de sorte que ces fluctuations induisent une variation maximale du signal normalisé ℐ = 𝐼 2𝐼0 = 1 2(1 + cos 𝜙0) en sortie de l’interféromètre. Exprimer la sensibilité ∣ dℐ dΩ𝑦 ∣ de l’interféromètre dans ces conditions et l’évaluer numériquement. III.B.6) Évaluer numériquement Ω𝑦 à la latitude de Toulouse. Si on suppose que le détecteur est capable de mesurer une variation de 1% du signal normalisé, le dispositif étudié permet-il de mesurer la vitesse de rotation de la Terre ? III.B.7) Quel serait l’intérêt de ralentir les atomes du jet ? Données Perméabilité magnétique du vide 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 H⋅m–1 Permittivité du vide 𝜀0 = 1/(36𝜋) × 10−9 F⋅m–1 Charge élémentaire 𝑒 = 1,60 × 10–19 C Constante d’Avogadro 𝒩𝐴 = 6,02 × 1023 mol–1 Constante de Boltzmann 𝑘𝐵 = 1,38 × 10–23 J⋅K–1 Constante des gaz parfaits 𝑅 = 𝑘𝐵𝒩𝐴 = 8,31 J⋅K–1⋅mol–1 Constante de Planck ℎ = 6,62 × 10–34 J⋅s Constante de Planck réduite ℏ = ℎ 2𝜋 Vitesse de la lumière dans le vide 𝑐 = 3,00 × 108 m⋅s–1 Formulaire cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 cos 𝑝 + 𝑞 2 cos 𝑝 − 𝑞 2 cos 𝑝 − cos 𝑞 = −2 sin 𝑝 + 𝑞 2 sin 𝑝 − 𝑞 2 • • • FIN • • •

Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 1 Concours Centrale-Supélec PC 2017 Epreuve écrite PHYSIQUE 2 Corrigé proposé par Gwénaël Raillet : raillet.gwenael@neuf.fr Avec l’aide précieuse de Delphine Palacio Interférométrie atomique I.A.1) L’équation locale de conservation de la masse s’écrit : + 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣⃗) = 0. On se place en régime stationnaire ce que suppose la dépendance exclusive en z des grandeurs :𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣⃗) = 0 Donc le flux du vecteur densité de courant de masse 𝜌𝑣⃗ est conservatif. Ainsi, son flux à travers une section de tube de courant donc le débit massique Dm, est indépendant de z : 𝐷 = 𝜌. 𝑣⃗. 𝑑𝑆 ⃗ = 𝜌(𝑧). 𝑣(𝑧). 𝐴(𝑧) = 𝐶𝑡𝑒 I.A.2) Equation d’état des gaz parfaits : 𝑃(𝑧) = 𝜌(𝑧). 𝑟. 𝑇(𝑧) La deuxième loi de Joule vérifiée par le gaz parfait s’écrit sous forme différentielle : 𝑑ℎ = 𝑟. 𝑑𝑇 I.A.3) Le gaz parfait subit une transformation isentropique. Il suit donc la loi de Laplace : 𝑃(𝑧). 𝑢 (𝑧) = 𝐶𝑡𝑒 où on a posé 𝑢(𝑧) = ( )le volume massique du gaz. Ainsi 𝑃(𝑧). 𝜌 (𝑧) = 𝐶𝑡𝑒 L’identité thermodynamique relative à l’enthalpie massique h(z) s’écrit : dh = T.ds + u.dP La transformation étant isentropique, il vient : 𝑑ℎ = ( ) 𝑑𝑃 I.A.4) L’écoulement étant stationnaire unidimensionnel et parfait, on y applique le premier principe industriel (ou équation des machines) entre la section d’entrée de la tuyère et la section de cote z : ℎ(𝑧) − ℎ + 1 2 (𝑣 (𝑧) − 𝑣 ) + 𝑔(𝑧 − 𝑧 ) = 𝑤 + 𝑞 Or l’énoncé demande de négliger v0 et la pesanteur. De plus, la tuyère est exempte de parties mobiles donc wu = 0 et le gaz y subit une transformation adiabatique donc q = 0. Ainsi : ℎ(𝑧) − ℎ + 1 2 𝑣 (𝑧) = 0 I.A.5) La différentielle logarithmique de la loi de Laplace exprimée au I.A.3) donne : − 𝛾 = 0 Ainsi 𝜌 = = . Soit à l’aide de l’équation d’état exprimée au I.A.2) : 𝑐 (𝑧) = 𝛾𝑟𝑇(𝑧) I.A.6) Effectuons un bilan de quantité de mouvement sur une tranche élémentaire de gaz dans la tuyère (tuyère exclue du système), comprise entre les sections z et z + dz : Instant t : système fermé constitué de la tranche de gaz indiquée sur la figure 0 ∪ le gaz entrant pendant dt (e) : 𝑑𝑝⃗(𝑡) = 𝑑𝑝 ⃗(𝑡) + 𝜌(𝑧). 𝑣(𝑧). 𝐴(𝑧). 𝑣(𝑧)𝑑𝑡 Instant t+dt : système fermé constitué de la tranche de gaz indiquée sur la figure 0 ∪ le gaz sortant pendant dt (s)) : 𝑑𝑝⃗(𝑡 + 𝑑𝑡) = 𝑑𝑝 ⃗(𝑡 + 𝑑𝑡) + 𝜌(𝑧 + 𝑑𝑧). 𝑣 (𝑧 + 𝑑𝑧). 𝐴(𝑧 + 𝑑𝑧). 𝑑𝑡. 𝑢 ⃗ D’où ⃗ =  ⃗ + 𝑑(𝜌𝑣 𝐴)𝑢 ⃗ où  ⃗ = 0 ⃗ en régime stationnaire. Les forces extérieures à ce système se limitent aux forces pressantes puisqu’on doit négliger la pesanteur. 𝑑𝐹⃗ = (𝑃(𝑧)𝐴(𝑧) − 𝑃(𝑧 + 𝑑𝑧)𝐴(𝑧 + 𝑑𝑧) + (𝑃(𝑧). 𝐴 . 𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑢 ⃗  O Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 2 Où le terme P(z).Alat.sin𝛼 𝑢 ⃗ est la résultante des forces pressantes exercées sur 0 par la tuyère d’aire Alat, obtenue par application de la 3ème loi de Newton. On remarque que Alat.sin=A(z+dz)-A(z)=dA. Ainsi : 𝑑𝐹⃗ = (−𝑑(𝑃𝐴) + 𝑃. 𝑑𝐴)𝑢 ⃗ = −𝐴(𝑧)𝑑𝑃𝑢 ⃗ D’où le bilan projeté selon 𝑢 ⃗ : 𝑑(𝜌𝑣 𝐴) = −𝐴(𝑧)𝑑𝑃 Les équations à disposition : Bilan de quantité de mouvement : 𝑑(𝜌𝑣 𝐴) = 𝜌𝑣 𝑑𝐴 + 2𝜌𝑣𝐴𝑑𝑣 + 𝑣 𝐴𝑑𝜌 = −𝐴𝑑𝑃 (a) Conservation du débit (après différenciation) : 𝜌𝑣𝑑𝐴 + 𝜌𝐴𝑑𝑣 + 𝐴𝑣𝑑𝜌 = 0 (b) Définition de cs : 𝜌 = =  𝑑𝑃 = 𝑐 . 𝑑𝜌 (c) (b).v  𝜌𝑣 𝑑𝐴 + 𝜌𝐴𝑣𝑑𝑣 + 𝐴𝑣 𝑑𝜌 = 0 (b’) (a)-(b’)  𝜌𝐴𝑣𝑑𝑣 = −𝐴𝑑𝑃  𝜌𝑣𝑑𝑣 = −𝑑𝑃 (d) Soit en égalisant (d) et (c)  𝜌𝑣𝑑𝑣 = −𝑐 𝑑𝜌 (d’) (b)  + + = 0 qui donne en y injectant (d’) : + 1 − = 0 Equation de Hugoniot. I.A.7) Etude de l’évolution de la section de la tuyère en admettant en entrée un gaz subsonique (M<1) pour obtenir en sortie un gaz supersonique (M>1), et donc une accélération positive monotone tout au long de la traversée de la tuyère (dv>0) : M v A I.B.1) A l’aide des résultats du I.A.2) et du I.A.4) on obtient : 𝑟(𝑇(𝑧) − 𝑇 ) = − 𝑣 Et en utilisant les définitions du nombre de Mach et de la célérité des ondes sonores : 𝑟(𝑇(𝑧) − 𝑇 ) = − 𝑀 . 𝛾𝑟𝑇(𝑧) 𝑇(𝑧) = Le nombre de Mach étant croissant dans la tuyère, la température, elle, décroît. I.B.2) La transformation du gaz (parfait) dans la tuyère étant isentropique, on réutilise ici la loi de Laplace, cette fois, liant T et  (que l’on comprend ici comme la masse volumique définie en haut de la page 2 et nommée ici densité atomique !) : 𝑇. 𝜌 = 𝐶𝑡𝑒  𝜌(𝑧) = A(z) étant croissante dans le divergent, pour z suffisamment grand, ( ) ≈ 0  (1 − 𝑀 ) ≈ 0 d’après la relation de Hugoniot. Or M  1 dans le divergent (voir I.A.7) )  dv  0  dh  0 d’après I.A.4)  dT  0 d’après I.A.2)  cs = Cte d’après I.A.5) d’où M(z) = Cte = M. I.B.3) D’après I.B.1) 𝑟(𝑇(𝑧) − 𝑇 ) = − 𝑣  𝑣(𝑧) = 𝑟𝑇 . 1 − v(z) est indépendant de z si 𝑀 ≫ 1  𝑀 ≫ √3  𝑣 = 𝑟𝑇 A.N. v = 1,06 km.s-1 I.B.4) On calcule à l’aide des données : col.P0.T0-4/3 = 2,26.10-4 et on lit sur le diagramme M. = 10 qui vérifie bien la condition 𝑀 ≫ √3. 1 cs Amin Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 3 II.A Conformément au programme, il aurait fallu que l’énoncé fournisse la relation de passage du champ électrique, ou du moins affirmer sa continuité dans cette configuration. La relation de passage du champ électrique sur le miroir d’abscisse xM s’écrit : 𝐸 ⃗(𝑥 ) − 𝐸 ⃗(𝑥 ) = 𝑢 ⃗ t Dans un conducteur parfait éclairé par une onde électromagnétique en incidence normale, l’épaisseur de peau est nulle. Ainsi, le champ électrique interne au conducteur est nul : 𝐸 ⃗(𝑥 ) = 0 ⃗ De plus, l’onde incidente étant polarisée selon 𝑢 ⃗, la relation de passage s’écrit finalement : 𝐸 ⃗(𝑥 ) = 0 ⃗ t Finalement le champ résultant doit être continu au passage du miroir. Ceci ne peut être réalisé qu’en postulant une onde réfléchie synchrone, de même polarisation et de même amplitude : 𝐸 ⃗(𝑥, 𝑡) = 𝐸 . 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥 + 𝜑)𝑢 ⃗. Par superposition, le champ résultant doit respecter la relation de passage en xM : 𝐸 ⃗(𝑥 , 𝑡) + 𝐸 ⃗(𝑥 , 𝑡) = 𝐸 . 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝑘 𝑥 + 𝜑) 𝑢 ⃗ = 2𝐸 . cos 𝜔 𝑡 + cos −𝑘 𝑥 − 𝑢 ⃗ = 0 ⃗  = −𝑘 𝑥 − par exemple. D’où 𝐸 ⃗(𝑥, 𝑡) = 2𝐸 . sin(𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥 ) sin 𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) 𝑢 ⃗ Où on pose 𝐸(𝑥) = 2𝐸 sin 𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) II.B.1) 𝑉(𝑥, 𝑡) = − . 𝑝⃗. 𝐸 ⃗ = − 𝜀 𝛼𝐸 = −2𝜀 𝛼𝐸 . sin (𝜔 𝑡 − 𝑘 𝑥 ) sin 𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) D’où 𝑊(𝑥) = 〈𝑉(𝑥, 𝑡)〉 = −𝜀 𝛼𝐸 sin 𝑘 (𝑥 − 𝑥 )  𝑊(𝑥) = − 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) II.B.2) Où on pose 𝑘 = 2𝑘 et 𝑉 = 𝜀 𝛼𝐸 II.C L’énergie étant fixée, on considère un état stationnaire de l’atome de Lithium ce qui permettra de ne travailler que sur la partie spatiale de sa fonction d’onde. II.C.1) Relation de De Broglie :  = ; DB = 53,8 pm. Où la vitesse fournie dans l’énoncé coïncide avec la vitesse calculée au I.B.3. II.C.2) De même à l’aide de la relation de De Broglie : 𝑘 ⃗ =  . 𝑢 ⃗ = ⃗ ℏ L’énergie se limite ici à l’énergie cinétique de l’atome : 𝐸 = = ℏ . II.C.3) Equation de D’Alembert de propagation d’une onde électromagnétique : * dans le vide : ⃗ + ⃗ − ⃗ = 0 ⃗ Pour une onde harmonique, l’équation devient : ⃗ + ⃗ + 𝜀⃗ = 0 ⃗ * dans un milieu linéaire transparent d’indice n(x) : ⃗ + ⃗ + ( ) 𝜀⃗ = 0 ⃗ Les milieux diélectriques n’étant plus au programme de PC, cette question a dû dérouter plus d’un candidat… II.C.4) L’analogie entre l’équation de Schrödinger et une équation de propagation est ici troublante puisque l’équation de S. n’agit ici que sur la partie spatiale. Donc on ne retrouve pas d’équivalent de la dérivée temporelle dans l’équation de S. Je suppose donc la solution suivante : Equation de Schrödinger * à l’extérieur de l’onde stationnaire : + + ℏ 𝜑 = 0 où on remarque que ℏ = 𝑘 joue le rôle de . * à l’intérieur de l’onde stationnaire : + + ( ( )) ℏ 𝜑 = 0 soit + − ( ) ℏ 𝜑 = − ℏ 𝜑  + + 𝑘 1 + 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) 𝜑 = 0 Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 4 où par analogie avec les ondes électromagnétiques on peut poser 𝑛 (𝑥) = 1 + − 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) Or l’énoncé du II.C.3) indique que V0 << Ei donc on obtient n(x) par développement limité au premier ordre : 𝑛(𝑥) = 1 + 𝑉 4𝐸 − 𝑉 4𝐸 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) Indice modulé sinusoïdalement avec l’amplitude 𝑛 = et la période spatiale  =  . II.C.5) + + 𝑘 1 − 𝜑 = 𝑘 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) 𝜑 Or V0 << Ei donc on simplifie la relation : + + 𝑘 𝜑 = 4𝑘 . 𝐾𝑐𝑜𝑠 𝑘 (𝑥 − 𝑥 ) 𝜑 où 𝐾 = 𝑘 . =  𝑛 II.D.1) Conservation de l’énergie cinétique des atomes de Li : ℏ = ℏ Or 𝑘 = 𝑘 ⃗ − 𝑘 ⃗ = 𝑘 + 𝑘 − 2𝑘 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜃  𝑘 = 2𝑘 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜃  𝑘 = 2𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜃 Or II.C.4) 𝑘 = 2𝑘 =    = 2𝑠𝑖𝑛𝜃 II.D.2) L’angle i prend le nom B : 𝑠𝑖𝑛𝜃 =   =   . Application numérique : 𝑠𝑖𝑛𝜃  𝜃 = 8,02. 10 𝑟𝑎𝑑 II.D.3) 𝑘 ⃗ et 𝑘 ⃗ ont même module à cause de la conservation de l’énergie cinétique (diffusion élastique). Les vecteurs 𝑘 ⃗ , 𝑘 ⃗ et 𝑘 ⃗ forment un triangle isocèle. Ainsi 𝑘 ⃗ fait un angle -B avec l’axe Oz. II.D.4.a) En définissant la pulsation  associée à l’onde plane de matière décrivant l’atome de lithium par la relation de Planck-Einstein : Ei = ℏ, on reconstruit la fonction d’onde de l’état stationnaire : (𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝑥, 𝑧)𝑒 = 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ + 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ Qui a la forme de la superposition de deux ondes planes progressives de vecteurs d’ondes respectifs 𝑘 ⃗ (onde incidente) et 𝑘 ⃗ onde diffusée, qui coexistent dans le faisceau laser. II.D.4.b) Reprenons l’équation du II.C.5) : + + 𝑘 𝜑 = 2𝑘 . 𝐾 𝑒 ( ) + 𝑒 ( ) 𝜑 Etude du premier membre 𝜕 𝜕𝑧 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ = 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 − 𝛽 𝑘 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 𝑒 ⃗ ⃗ De même 𝜕 𝜕𝑧 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ = 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 − 𝛽 𝑘 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 𝑒 ⃗ ⃗ Et 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ = −𝛽 𝑘 𝑒 ⃗ ⃗ et 𝛽 (𝑧)𝑒 ⃗ ⃗ = −𝛽 𝑘 𝑒 ⃗ ⃗ On note que 𝑘 = 𝑘 + 𝑘 et 𝑘 = 𝑘 + 𝑘 Etude du Second membre 𝑆 = 𝑒 ( ) + 𝑒 ( ) 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ = 𝑒 ⃗ ⃗ + 𝑒 ⃗ ⃗ 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ Car 𝑘 ⃗ = 𝑘 𝑢 ⃗ D’où 𝑆 = 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 Or 𝑘 ⃗ = 𝑘 ⃗ − 𝑘 ⃗  𝑆 = 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝑒 ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗𝑒 + 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 Soit en égalisant les deux membres : B=i 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ −𝑘 ⃗ Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 5 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 𝑒 ⃗ ⃗ + 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 𝑒 ⃗ ⃗ = 2𝑘 𝐾 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 Où kdz = kiz par construction (cf II.D.3.) La fonction d’onde de l’atome de lithium est solution de cette équation de Schrödinger, si chacun des termes en onde plane de ce paquet d’onde est solution de 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 = 2𝑘 𝐾𝛽 𝑒 2𝑖𝑘 𝑑𝛽 𝑑𝑧 + 𝑑 𝛽 𝑑𝑧 = 2𝑘 𝐾𝛽 𝑒 Je n’arrive pas à éliminer ce reste : +𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 + 𝛽 𝑒 ⃗ ⃗ ⃗𝑒 qui semble correspondre à d’autres directions de diffusion non prises en compte dans ce sujet. II.D.5) Les conditions initiales traduisent qu’à l’entrée du lithium dans l’onde laser stationnaire, la fonction d’onde est celle d’une particule libre en onde plane homogène progressive sans onde diffractée. II.D.6) Posons a la distance typique de variations des  : En ordre de grandeur ≈  𝑘 ≈  et ≈ or DB << a d’après l’énoncé de la question, ce qui permet de négliger la dérivée seconde devant le terme à dérivée première : 𝑖𝑘 = 𝑘 𝐾𝛽 𝑒 (a) 𝑖𝑘 = 𝑘 𝐾𝛽 𝑒 (b) II.D.7) Il s’agit de découpler ces équations : (𝑎) : 𝑖𝑘 = 𝑘 𝐾 𝑒 que l’on combine avec (b) pour éliminer : + 𝛽 = 0 où on pose  = =  II.D.8) L’équation est celle d’un oscillateur harmonique de solution : 𝛽 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(. 𝑧) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(. 𝑧) Conditions limites : ∗ 𝛽 (0) = 𝛽  A = 0. * D’après (a), 𝛽 est proportionnel à =  −𝛽 𝑠𝑖𝑛(. 𝑧) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(. 𝑧) qui ne s’annule en z = 0 que si B = 0. Ainsi 𝛽 = 𝛽 𝑐𝑜𝑠(. 𝑧) II.D.9) D’après (a) : 𝑒 = 𝛽  𝛽 = −𝑖𝛽 𝑠𝑖𝑛(. 𝑧)𝑒 D’où  (𝑥, 𝐷) = 𝛽 𝑐𝑜𝑠(𝐷)𝑒 ⃗ ⃗  (𝑥, 𝐷) = −𝑖𝛽 𝑠𝑖𝑛(𝐷)𝑒 ⃗ ⃗𝑒 ⃗ ⃗ On obtient en sortie d’onde stationnaire, une superposition d’ondes planes homogènes se propageant selon 𝑘 ⃗ et 𝑘 ⃗. L’approximation d’une amplitude lentement variable tient si D << 1.   =  =   ≪  Car V0 << Ei. Donc 𝐷 ≪  10 ce qui semble très contraignant sur la valeur de n1 et donc de V0. II.D.10) On relève sur les expressions du II.D.9) 𝛼(0) = 𝑐𝑜𝑠(𝐷) Et 𝛼(−1) = −𝑖𝑠𝑖𝑛(𝐷)𝑒 ⃗ ⃗ II.D.11) On définit l’efficacité de la diffraction comme le rapport défini positif de l’amplitude réelle de l’onde diffractée sur celle de l’onde incidente   = |(−1)| = |𝑠𝑖𝑛(𝐷)| Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 6 II.D.12.a) On prendra la valeur moyenne du vecteur de Poynting associée à l’onde plane homogène dans le vide  ⃗ = ⃗^ ⃗ = ⃗^ ⃗^ ⃗ . = ⃗  . 𝐸 ⃗  〈 ⃗〉 = ⃗ . 𝐸 soit son flux à travers une surface unité  = II.D.12.b) *  = 1 pour 𝐷 =   =   = . où 𝑉 = 𝜀 𝛼𝐸 et 𝛼 = − ℏ  = − ℏ .  − ℏ . = 𝐸 La puissance du laser vaut 𝑃 = . = 𝜋𝑅  𝑃 = − ℏ .  𝑃 = − ℏ . P1 = 1,8 mW *  = 0,5 pour 𝐷 =  𝑃 , = 𝑃 P0,5 = 0,6 mW On pourrait aussi ajuster la largeur D de l’onde stationnaire. III.A.1) D’après la figure 1, A et C jouent le rôle de lames semi-réfléchissantes. Bh et Bb jouent le rôle de miroirs. III.A.2) Où on écrit les différences de marche subies par les ondes de matière comme des produits scalaires : 𝜑 = 𝛽 𝛼 (1)𝛼 (−1)𝛼 (0)𝑒 ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ = −𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝐷)𝑐𝑜𝑠(𝐷)𝑒 ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ 𝜑 = 𝛽 𝛼 (0)𝛼 (1)𝛼 (−1)𝑒 ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ = −𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝐷)𝑐𝑜𝑠(𝐷)𝑒 ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ 𝜑 = −𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝐷)𝑐𝑜𝑠(𝐷)𝑒 ⃗ ⃗ . ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ 𝜑 = −𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝐷)𝑐𝑜𝑠(𝐷)𝑒 ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗ En remarquant que 𝐴𝐵 ⃗ = 𝐵 𝐶 ⃗ et 𝐴𝐵 ⃗ = 𝐵 𝐶 ⃗on simplifie l’expression de 0 = h - b  = 𝑘 ⃗(𝑟 ⃗ − 2. 𝑟 ⃗ + 𝑟 ⃗) III.A.3) Le nombre d’atomes détectés en D est proportionnel à la densité de probabilité de présence en D, donc 𝐼 = (𝜑 + 𝜑 )(𝜑 ∗ +𝜑 ∗) = 2𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝐷)𝑐𝑜𝑠 (𝐷) 1 + 𝑐𝑜𝑠 III.A.4) Lorsque M3 se déplace, 0 varie et donc l’intensité I aussi, de façon sinusoïdale. III.A.5) Compte tenu de l’expression de 0 , I varie également sinusoïdalement mais avec une période moitié. III.B.1)  = 𝑘 (𝑥 (𝑡 ) − 2. 𝑥 (𝑡 ) + 𝑥 (𝑡 )) III.B.2) 𝑥 (𝑡 ) = 𝑥 (𝑡 + 𝑇) ≈ 𝑥 (𝑡 ) + 𝑇. 𝑣 (𝑡 ) par développement limité au premier ordre en T et de même 𝑥 (𝑡 ) = 𝑥 (𝑡 − 𝑇) ≈ 𝑥 (𝑡 ) − 𝑇. 𝑣 (𝑡 ) D’où  = 𝑘 𝑥(𝑡 ) + 𝑘 𝑇(𝑣 (𝑡 ) − 𝑣 (𝑡 )) où 𝛿𝑥(𝑡 ) = 𝑥 (𝑡 ) + 𝑥 (𝑡 ) − 2𝑥 (𝑡 ) III.B.3) Géométriquement ∆𝑥 = 2𝐿𝑡𝑎𝑛𝜃 ∆𝑥 = 97,0 μ𝑚 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ 𝑘 ⃗ Centrale-Supélec PC 2017 – Physique 2 7 𝐴 = 𝐿∆𝑥 A = 58,7.10-6 m2 = 58,7 mm2. III.B.4) En tenant compte de x(t2) = 0   = 𝑘 𝑇(𝑣 (𝑡 ) − 𝑣 (𝑡 )) Appliquons la loi de composition des vitesses au miroir Mj : 𝑣 / ⃗ = 𝑣 / ⃗ +  ⃗^𝑟 ⃗ soit en projection selon 𝑢 ⃗ : 𝑣 =  𝑧 car les miroirs sont fixes dans le laboratoire.   = 2𝑘 𝑇 𝐿 = 4𝑘 𝑇 𝐿 = 4    𝐿 = 4   𝑚  𝐿 = 4   𝑚 𝑠𝑖𝑛𝜃  𝐿 Où sini  tani   = 2 ℏ 𝑚∆𝑥   = 2 ℏ 𝑚𝐴 III.B.5)  =    = 𝑠𝑖𝑛 . ℏ III.B.6)       =  , . = 2,54. 10 <  donc le dispositif est sensible à la rotation de la terre. y = .sin = 5,02.10-5 rad.s-1   = 3,93. 10 S.I. III.B.7) Travailler avec des atomes plus lents permet d’augmenter leur longueur d’onde de De Broglie et donc d’augmenter A (d’après II.D.2) et donc la sensibilité du dispositif.