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CX7612 Banque commune École Polytechnique – interENS PSI Session 2017 Épreuve de Modélisation Durée : 5 heures Au u do u e t ’est auto is Au u e al ulat i e ’est auto is e Si, au ou s de l’ p euve, u a didat ep e e ui lui se le t e u e e eu d’ o , il le sig ale su sa opie et pou suit sa o positio e expli ua t les aiso s des i itiatives u’il et amené à prendre. Etude du fo ctio e e t d’u e centrale osmotique 1 Etude du fonctionnement d’une centrale osmotique Après la mise en situation, le sujet est composé de quatre parties que l’on peut traiter indépendamment. A.MISE EN SITUATION Depuis le protocole de Kyoto (1990), les efforts de réduction d’émission de carbone se sont intensifiés. Entre autres mesures, l’Union Européenne a adopté en 2014 un plan climat ayant comme objectifs pour 2030 : - 40% de réduction des émissions de gaz à effet de serre par rapport à 1990 ; - 27% d'énergies renouvelables dans le mix énergétique ; - 27 % d'économies d'énergie. En souhaitant maintenir le réchauffement climatique en dessous de 2°C, la conférence des Nations Unies sur les changements climatiques, qui s’est déroulée en décembre 2015 à Paris (COP21), a mis une nouvelle fois en évidence la nécessité de développer de toute urgence les énergies propres (non ou peu polluantes). Dans ce contexte, de nombreuses recherches s’orientent vers un nouveau domaine : l’énergie osmotique. En effet, le mélange d’eau douce et d’eau salée, par exemple un fleuve se jetant dans l’océan, libère de l’énergie. Le défi est de pouvoir exploiter cette énergie pour la convertir en énergie électrique. Le potentiel de cette énergie est important puisqu’il est estimé à 1,7.1012 Wh par an au niveau mondial, ce qui représente environ la moitié de la consommation européenne. 2 I. Osmose et puissance osmotique L'osmose est le passage de molécules de solvant, en général de l'eau, à travers une membrane semi-perméable, depuis le milieu le moins concentré en solutés (hypotonique) vers celui le plus concentré (hypertonique). Cette membrane laisse passer les petites molécules du solvant mais pas les grosses du soluté. Ce phénomène s'arrête lorsque les deux liquides séparés par la membrane ont atteint la même concentration. On parle alors de milieux isotoniques. La pression hydrostatique due à la différence de hauteur d'eau entre ces deux milieux compense alors la pression osmotique (cf. figure 1). Milieu hypotonique Milieu hypertonique Milieu isotonique Figure 1 : Schéma de l’illustration expérimentale de l’osmose L’expression de la pression osmotique, notée , est : = 𝑖. . . (1) avec : pression osmotique (kPa) 𝑖 nombre de particules formées par dissociation du soluté (2 pour le NaCl) concentration molaire totale en ions (molL-1) constante des gaz parfaits (8,3 Nmmol-1K-1) température (K) Une des technologies permettant d’obtenir une énergie hydraulique à partir de ce phénomène physique se nomme PRO (Pressure Retarded Osmosis), également connue sous le nom d’énergie osmotique. Figure 2 : Représentation schématique du processus PRO Le principe est d’appliquer un différentiel de pression hydraulique ∆ sur le milieu hypertonique tel que ∆ < ∆ , ∆ étant le différentiel de pression osmotique. Déplacement de l’eau de l’hypotonique vers l’hypertonique Membrane semi perméable h1 P 0 < P <  h2<h1 J 3 On obtient alors un débit par unité de surface (ou flux), noté , tel que : = ∆ − ∆ (2) avec : débit volumique par unité de surface (Lm-2h-1) coefficient de la perméabilité de la membrane (Lm-2h-1bar-1) ∆ différentiel de pression hydraulique (bar) ∆ différentiel de pression osmotique (bar) On en déduit la densité de puissance (puissance par unité de surface) : = . ∆ (3) II. La centrale osmotique de Tofte La Centrale osmotique de Tofte est le premier prototype de centrale osmotique au monde. Elle a été construite par Statkraft en 2009, dans la commune d'Hurum en Norvège. Figure 3 : Centrale osmotique de Tofte  Statkraft Une centrale osmotique a pour objectif d’exploiter la différence de salinité là où l’eau salée et l’eau douce se rencontrent naturellement, c'est-à-dire aux embouchures des fleuves. Les principaux éléments composant cette centrale sont : - 2000 m² de membrane semi-perméable séparant les réservoirs d’eau salée et d’eau douce. La membrane utilisée par le prototype norvégien est fabriquée en acétate de cellulose et présente un coefficient de perméabilité de 0,5 Lm-2h-1bar-1 ; - les pompes et les conduites acheminant l’eau dans les réservoirs ; - un échangeur de pression pressurisant l’eau salée en amont ; - une station d’épuration et des équipements de lavage des membranes ; - la turbine productrice d’électricité. Deux types d’eau arrivent dans la centrale : de l’eau douce pompée dans le fleuve et de l’eau salée prélevée dans la mer, filtrée puis pressurisée dans un échangeur de pression. La pression osmotique de l’eau douce est négligeable. Une grande partie de l’eau douce puisée traverse la membrane de la centrale osmotique. Ce débit provoque une surpression dans le réservoir d’eau salée et augmente le débit d’eau. Une partie de cette eau est acheminée vers la turbine pour produire de l’électricité tandis que l’autre partie est réacheminée vers l’échangeur de pression pour pressuriser l’eau de mer entrante. 4 Figure 4 : Modèle de fonctionnement simplifié d’une centrale osmotique  Statkraft Eau douce Eau salée 5 À partir de ce modèle de fonctionnement, on peut établir un schéma de principe simplifié suivant : p essio os oti ue de l’eau salée p essio hyd auli ue de l’eau salée dé it de l’eau salée 𝐷 p essio os oti ue de l’eau dou e 𝐷 p essio hyd auli ue de l’eau dou e 𝐷 dé it de l’eau dou e Figure 5 : Schéma simplifié d’une centrale osmotique Figure adaptée de : S. Loeb, Large-scale power production by pressure-retarded osmosis, using river water and sea water passing through spiral modules, Desalination 143 (2002) 115–122 Question 1 : Citer 3 types d’énergies propres autres que les énergies osmotique, éolienne et solaire. = ; + ∆ 𝐷 = 𝐷 = 𝐷 ; ∆ ; 6 B.DETERMINATION DE LA PUISSANCE HYDRAULIQUE L’objectif de cette partie est de déterminer la puissance hydraulique obtenue par le phénomène d’osmose. Les sels dissous dans l’eau de mer sont majoritairement du sodium et du chlorure que l’on retrouve dans l’eau sous forme ionique Na+ et Cl-. Ils sont responsables du phénomène d’osmose. La masse molaire de la molécule de NaCl est de 60 g/mol. L’eau de mer a un taux de concentration en NaCl de 3 %. Question 2 : Déterminer la pression osmotique de l’eau salée à une température de 27°C. Question 3 : Exprimer en fonction de , ∆ et ∆ . En déduire la relation entre ∆ et ∆ pour que la puissance surfacique de la membrane soit maximale. Déterminer alors la valeur de la pression à la sortie de l’échangeur de pression. Question 4 : En déduire l’expression littérale de la puissance surfacique maximale 𝑥 de la membrane en fonction de et ∆ uniquement. Déterminer sa valeur numérique. Question 5 : Déterminer l’augmentation du débit obtenu à la sortie de la membrane. Question 6 : Sachant que 80% de la puissance maximale obtenue par le phénomène d’osmose en sortie de membrane est transmise à la turbine, déterminer la puissance hydraulique maximale en entrée de turbine. La turbine a pour fonction de convertir l’énergie hydraulique en énergie mécanique. C.DETERMINATION DE LA PUISSANCE MECANIQUE L’objectif de cette partie est de déterminer la puissance fournie par la turbine à l’alternateur. Figure 6 : Principe schématique de la roue Pelton Vbuse vitesse du fluide en sortie de buse Sbuse section du fluide en sortie de buse Vroue vitesse périphérique de la roue Ωroue vitesse de rotation de la roue Rpelton rayon moyen d'un auget Vauget vitesse du fluide en sortie d'auget Qfluide débit du fluide ρfluide masse volumique du fluide auget 7 Dans la suite, on fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de pertes au niveau de l'auget. Ainsi, la vitesse d'entrée dans l'auget est équivalente à la vitesse de sortie de l'auget (i.e. Vauget = V'auget = V''auget cf. figure 7). Figure 7 : Veine d'eau au niveau de l'auget Figure 8 : Evolution de la veine d'eau au niveau de l'auget entre T et T+dt Question 7 : À partir du théorème de la quantité de mouvement, exprimer la force 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans le repère de l'auget entre les temps T et T+dt en fonction des vitesses de fluide dans l'auget et des débits correspondants (cf. figure 8). Question 8 : En projection sur l'axe X et en utilisant la conservation du débit dans l'auget, montrer que la force exercée sur l'auget par le fluide 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s'écrit : 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖 𝑖 − cos 𝛼 ⃗⃗⃗ Question 9 : Justifier la relation liant Vbuse, Vroue et Vauget : = − Ω o e En déduire la valeur de la puissance fournie par la turbine. Déterminer la valeur de α pour laquelle la puissance est maximale. Question 10 : Déterminer la valeur de Ωroue pour laquelle la puissance est maximale. Exprimer littéralement cette puissance. 8 Question 11 : En déduire la valeur du couple maximum fourni par la turbine Cméca à l’arbre de l’alternateur. La turbine transmet la puissance mécanique Cméca.Ωroue à l’alternateur. Ce dernier a pour fonction de la transformer en puissance électrique. D.ETUDE DE LA GENERATRICE DE PRODUCTION D’ENERGIE L’objectif de cette partie est d’établir puis de résoudre numériquement le modèle de l'alternateur synchrone. On détermine ensuite expérimentalement les paramètres d’une machine donnée. I. Transformée de Park : présentation Dans la suite, le sujet traite d'un convertisseur électromécanique (alternateur synchrone, cf. figure 9). Aucune connaissance spécifique à l'alternateur synchrone n'est requise pour traiter le sujet. Les équations de l'alternateur synchrone sont précisées et ne résultent que des lois d'Ohm et de de Lenz-Faraday. Figure 9 : Représentation schématique de la turbine et de l’alternateur Soit un système de 3 tensions, courants ou flux, de somme nulle, représenté par : 𝑥 = ( ) = ( X cos θe X cos(θe − π ) X cos(θe + π )) où Xm est l'amplitude maximale, θe l'angle électrique et ω la pulsation électrique définie selon : 𝜔 = 𝜃 Au système triphasé précédent, nous pouvons lui associer des projections sur une seconde base (nommée base « dq ») telles que les grandeurs soient indépendantes de 𝜃 : 𝑥 = ( ) 9 La matrice de changement de base θe (matrice de Park) est définie suivant la relation : 𝑥 = √ cos θe cos (θe − π ) cos (θe + π ) −sin θe −sin (θe − π ) −sin (θe + π ) ) 𝑥 = θe 𝑥 La transformation inverse s'écrit : 𝑥 = √ ( cos θe −sin θe cos (θe − π ) −sin (θe − π ) cos (θe + π ) −sin (θe + π )) 𝑥 = θe 𝑥 La matrice de changement de base possède la propriété suivante : θe θe = avec la matrice identité dans la base dq et la transposée de . Par définition, nous définissons deux matrices à partir de la matrice de Park inverse : θe = C. R θe où C est la matrice de Clarke et R(θe) la matrice de rotation : = √ cos π sin π cos π sin π ) R θe = (cos θe −sin θe sin θe cos θe ) Question 12 : Montrer que R θe = R −θe . Montrer que θe = 𝜔. θe + 𝜋 La propriété ci-dessus va maintenant être exploitée dans le traitement du modèle de l’alternateur synchrone. II. Modèle de l'alternateur synchrone Figure 10 : Schéma équivalent de l'alternateur synchrone L'équation aux tensions de l'alternateur synchrone peut être écrite comme : 𝑣 = − 𝑖 − 𝑖 + φ 10 avec : 𝑖 courant dans les phases a, b et c 𝑣 tension des phases a, b et c φ flux magnétique des phases a, b et c e force contre-électromotrice des phases a, b et c avec e = φ matrice des résistances des phases a, b et c matrice des inductances et des mutuelles inductances des phases a, b et c. La matrice des résistances et la matrice des inductances sont définies par : = ( ) et = ( ) R est exprimée en Ohm et L et M sont exprimées en Henry. Le flux magnétique à vide des phases est défini par : φ = ( Φ cos θe Φ cos (θe − π ) Φ cos (θe + π )) Question 13 : Montrer que le vecteur φ peut s'écrire : φ = √ Φ ) On peut montrer que : = L − M L − M Question 14 : Montrer que l'équation aux tensions peut s'écrire dans la base "dq" sous la forme : 𝑣 = − 𝑖 − L − M L − M 𝑖 − ( − L − M 𝜔 L − M 𝜔 ) 𝑖 + −𝜔 𝜔 φ Question 15 : La variation d'énergie électrique est définie par 𝛿 = 𝑣 . 𝑖 . . Expliciter les termes de cette variation d'énergie. Question 16 : Montrer que le premier principe de la thermodynamique appliqué au système constitué par l'alternateur s'écrit : 𝑖 é 𝑖 + é 𝑖 = 𝛿 é − 𝛿 + 𝛿 Donner l'interprétation de tous les termes intervenants dans le premier principe. Dans la suite nous considérons que la pulsation électrique ω et la vitesse de rotation Ω sont égales. On nomme Jeq l'inertie totale de l'alternateur, Cméca le couple externe exercé sur le rotor de l'alternateur et Cm le couple électromagnétique de l'alternateur. Question 17 : Donner l'expression de l'énergie interne cinétique 𝑖 é 𝑖 en fonction de Jeq et Ω. 11 Question 18 : Donner l'expression de l'énergie due aux pertes par effet Joule 𝛿 en fonction de R, 𝑖 et dt. Question 19 : Donner l'expression de la variation d'énergie mécanique entrante sur l'alternateur 𝛿 en fonction de Cméca, Ω et dt. Ecrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'alternateur en fonction de Cméca, Cm et Ω. Réécrire, avec cette dernière équation, l'expression de la variation d'énergie mécanique entrante. Question 20 : Déterminer 𝑖 ( L − M 𝜔 − L − M 𝜔 )𝑖 . La variation d'énergie magnétique interne dans un circuit d'inductance Lx s'écrit : é 𝑖 = 𝑥𝑖𝑥 𝑖𝑥. Question 21 : Écrire la variation d'énergie magnétique interne dans le cas de l'alternateur en fonction de 𝑖 . Question 22 : Montrer que le couple électromagnétique s'écrit : Cm = √ Φ 𝑖 Les résultats précédents permettent d’établir les équations caractérisant le comportement de l’alternateur. On va maintenant les résoudre par une approche numérique. III. Modélisation numérique des équations de l'alternateur On rassemble ici les équations électriques et mécaniques de l'alternateur synchrone : { 𝑣 = − 𝑖 − L − M L − M 𝑖 − ( − L − M 𝜔 L − M 𝜔 ) 𝑖 + −𝜔 𝜔 φ Je 𝜔 = Cméca − √ Φ 𝑖 L'alternateur est chargé par trois résistances identiques. Figure 11 : Alternateur synchrone chargé par des résistances de charge Après changement de base, cela se traduit par la relation suivante entre les tensions 𝑣 de l'alternateur et ses courants 𝑖 : 𝑣 = ( ) 𝑖 12 Question 23 : Écrire les équations de l'alternateur et de sa charge sous la forme : { 𝑖 = 𝑖 + 𝑖 𝜔 + 𝜔𝜔 + 𝑖 = 𝑖 𝜔 + 𝑖 + 𝜔𝜔 + 𝜔 = 𝜔 𝑖 + 𝜔 𝑖 + 𝜔𝜔𝜔 + τCméca Afin de résoudre ces équations différentielles couplées entre les instants 0 et Te, nous proposons d'utiliser la méthode d'Euler explicite. Soit Te la période d'échantillonnage. Question 24 : Quelle est l'influence de Te sur la qualité de l'approximation de la dérivée. Quelle est l'influence de Te sur le rejet du bruit ? Le couple électromagnétique ne dépendant pas de la valeur de 𝑖 , nous prendrons dans la suite : 𝑖 = ∀ .  On s’intéresse dans un premier temps à la seconde équation : 𝑖𝑞 = 𝑖 𝜔 + 𝑖 + 𝜔𝜔 Comme la constante de temps mécanique est bien plus importante que la constante de temps électrique, on considère en première approximation 𝜔 constant : 𝜔 = 𝜔 ∀ . On obtient alors l’équation : 𝑖𝑞 = 𝑖 + 𝜔𝜔 avec 𝑖 = . On suppose Kqq, Kq, Kq, K, Te, T, 0, I0, Cmeca et Hd définis comme variables globales. Question 25 : En Python ou Scilab, écrire une fonction Intensite() qui renvoie la liste des temps et celle des iq correspondants. Question 26 : Déterminer, en fonction de Te et , la limite de stabilité de la méthode.  On s’intéresse dans un second temps à la troisième équation : 𝜔 = 𝜔 𝑖 + 𝜔𝜔𝜔 + τCméca  =  . L’hypothèse 𝜔 constant n’est évidemment plus valable. Question 27 : En Python ou Scilab, écrire une fonction Vitesse() qui renvoie la liste des vitesses . Avec l’obtention de l’intensité et de la vitesse, il est alors possible de déterminer la puissance électrique transmise. Néanmoins, pour pouvoir simuler le comportement de la machine, il est nécessaire d’identifier auparavant ses paramètres. 13 IV. Identification des paramètres de la machine Dans cette partie, nous proposons d'identifier les différents éléments électriques de la machine R, L, M et Φ . Pour cela, différents essais sont réalisés sur une turbine Pelton. Figure 12 : Turbine Pelton avec l'alternateur synchrone Figure 13 : Fonctionnement de la turbine Pelton On rappelle que les équations de l’alternateur ont été définies au début de la partie D-II. Afin d'identifier les différents éléments, nous proposons de réaliser quatre essais (voir résultats tableau 1) : Question 28 : Essai à vide (ia=ib=ic=0) : l'alternateur tourne à la vitesse Ω22. La tension sinusoïdale 𝑣 est mesurée et son amplitude maximale vaut V22. Dessiner le schéma de cablage avec les appareils de mesure. En déduire le paramètre Φ . Question 29 : Essai en courant continu : l'alternateur ne tourne pas, Ω = 0 (rd/s). La tension 𝑣 est une tension constante d'amplitude V23 et le courant 𝑖 est un courant constant d'amplitude I23. Dessiner le schéma de cablage avec les appareils de mesure. En déduire le paramètre . Question 30 : Essai en alternatif : l'alternateur ne tourne pas, Ω = 0 (rd/s). La tension 𝑣 est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et d'amplitude maximale V24. Le courant 𝑖 est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et d'amplitude maximale I24. Dessiner le schéma de cablage avec les appareils de mesure. En déduire le paramètre . Question 31 : Essai en alternatif couplé : l'alternateur ne tourne pas, Ω = 0 (rd/s). Le courant 𝑖 est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et d'amplitude maximale I25. La tension aux bornes de la phase b est mesurée. La tension 𝑣 est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et d'amplitude maximale V25. Dessiner le schéma de cablage avec les appareils de mesure. En déduire le paramètre . Ω22 314 rad/s V22 330 V V23 20 V I23 1 A V24 120 V I24 0.5 A I25 0.5 A V25 50 V Rappel : Schéma équivalent de l'alternateur synchrone Tableau 1 : Résultats des mesures Turbine Alternateur synchrone 14 V. Bilan L'amplitude et la fréquence des courants de l'alternateur synchrone permettent d'asservir la vitesse de rotation de la turbine pour maximiser la puissance transmise de la turbine à l'alternateur. La vitesse du fluide étant variable, la vitesse de rotation de la turbine doit s'ajuster en conséquence. Le raccordement de l'alternateur synchrone au réseau d'énergie (RTE-EDF pour la France) dont la fréquence et l'amplitude des tensions sont fixes nécessite deux convertisseurs en cascade qui permettent de réaliser une conversion alternatif de fréquence variable vers alternatif de fréquence fixe. Figure 14 : Schéma de fonctionnement de la connexion de l'alternateur synchrone au réseau de transport Du point de vue du dimensionnement de l'asservissement, l'ensemble alternateur synchrone et convertisseur de fréquence est équivalent au dimensionnement de l'asservissement en vitesse d'un système machine à courant continu et hacheur utilisé en moteur. Dans la suite, c'est sous cette forme que la régulation en vitesse sera étudiée. 15 E. REGULATION DE L’ALTERNATEUR La régulation de vitesse de l’alternateur est nécessaire afin de répondre aux exigences du réseau électrique. L’objectif de cette partie est de corriger le comportement de l’alternateur. I. Modélisation de la machine à courant continu Le cahier des charges est le suivant : Précision Erreur statique nulle pour une entrée en échelon Rejet d’une perturbation en échelon Rapidité tr5% = 3 s Stabilité Marge de gain : 10 dB Marge de phase : 45° Courant Inférieur à 5 A La synthèse des correcteurs est la même que la machine soit en génératrice (mode alternateur) ou moteur (mode moteur à courant continu). Pour plus de facilité, on se place dans le mode moteur à courant continu. Dans ce cas, les équations caractérisant le fonctionnement de la machine sont les suivantes : Equation mécanique : − − . 𝜔 = . 𝜔 Equation électrique : 𝑣 − = . 𝑖 + . 𝑖 Equations de couplage : = 𝑘 . 𝜔 et = 𝑘 . 𝑖 où : couple moteur 𝑖 courant traversant le rotor couple résistant extérieur 𝑣 tension d’alimentation 𝜔 fréquence de rotation du rotor résistance de l’induit inertie de l’ensemble ramené sur l’arbre moteur inductance de l’induit facteur de frottement visqueux force contre-électromotrice 𝑘 constante de force contre-électromotrice 𝑘 constante de couple On suppose les conditions de Heaviside vérifiées. On peut en déduire le schéma-bloc suivant : Figure 15 : Schéma-bloc de la machine à courant continu Question 32 : La chaîne de retour signifie-t-elle que le système est asservi ? Justifier. + - + . 𝑝 𝑘 I(p) + - Cm(p) + . 𝑝 Cr(p) V(p) (p) 𝑘 e(p) 16 L’identification des paramètres de la machine, effectuée dans la partie D.IV, participent à la détermination des constantes de temps électrique et mécanique du moteur, respectivement  et  :  = .  = . En supposant Cr(p) = 0 et  ≫  , on peut alors montrer que :  ≈ +𝑚 +𝑒 , avec K constant. La fonction de transfert du variateur qui pilote la machine s’écrit sous la forme : 𝑝 = 𝑣 +𝜏𝑣. . La constante de temps de l’appareil est de 50 µs et son gain est de 20. Question 33 : Justifier pourquoi 𝑝 peut être assimilée au gain pur kv. II. Régulation en vitesse Pour réguler la machine en vitesse, il est nécessaire de mesurer la fréquence de rotation de l’arbre. Question 34 : Donner un exemple de capteur analogique permettant d’obtenir directement une image de la fréquence de rotation de l’arbre de la machine. La fonction de transfert du capteur est assimilée à un simple gain kc. On propose le schéma-bloc suivant : Figure 16 : Schéma-bloc de la machine à courant continu régulée en vitesse ka représente le gain d’un adaptateur. C(p) est un correcteur. Question 35 : Déterminer ka pour obtenir un écart nul avec un système précis. Question 36 : Exprimer (p) sous la forme : (p) = H1(p).ref(p) + H2(p).Cr(p). Donner les expressions de H1(p) et H2(p). Le correcteur choisi est de type proportionnel – intégral : 𝑝 = . + 𝑖. . Question 37 : Les critères de précision exigés par le cahier des charges sont-ils vérifiés ? + - + . 𝑝 𝑘 I(p) + - Cm(p) + . 𝑝 V(p) Cr(p) 𝑘 (p) 𝑘 + - 𝑘 𝑝 𝑘 ref(p) (p) e(p) U(p) 17 Les diagrammes de Bode de la FTBO non corrigée  , avec une perturbation nulle, sont fournis ci- dessous : Figure 17 : Diagrammes de Bode de la FTBO non corrigée Pour des raisons de rapidité, on impose une pulsation de coupure du système corrigé en boucle ouverte de 40 rad/s. Question 38 : Déterminer graphiquement les valeurs de CO et Ti en s’assurant que la marge de phase est respectée. -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0,1 1 10 100 1000 Gain (dB) -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0,1 1 10 100 1000 Phase (°) rad/s rad/s 18 Avec ce nouveau correcteur, en boucle fermée, les allures des réponses temporelles de la vitesse de sortie et du courant moteur sont les suivantes : Figure 18 : Réponses temporelles de la vitesse et de l’intensité en FTBF Si le critère de rapidité est respecté, on constate que le pic de courant est trop important par rapport au critère du cahier des charges. III. Correction du phénomène de surintensité Pour remédier à ce problème, une solution consiste à mettre en place une boucle de courant à l’intérieur de la boucle de vitesse. Question 39 : Proposer un schéma-bloc de cet asservissement. Question 40 : Préciser le critère de performance que doit remplir la boucle de courant par rapport à la boucle de vitesse pour que ce nouvel asservissement soit efficace. Question 41 : Cette boucle aura-t-elle un impact sur le temps de réponse ? Justifier. IV. Protection du matériel en cas de surtension Afin de protéger le matériel d’une surtension, on peut introduire une saturation entre le correcteur et le variateur, afin que la tension de sortie du bloc saturation uS soit comprise entre  Vmax (cf. figure 16). Figure 19 : insertion du bloc Saturation Comme le correcteur, cette saturation peut être définie de manière numérique. Question 42 : En Python ou Scilab, écrire une fonction Saturation(u,Vmax) prenant comme arguments d’entrée les flottants u et Vmax qui renvoie la tension us sous forme de flottant. 0 50 100 150 200 250 300 350 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 Vitesse (rad/s) 0 2 4 6 8 10 12 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Intensite (A) s s u(p) uS(p) 𝑝 (p) V(p) 𝑘 19 F. EQUILIBRAGE DE LA TURBINE L’objectif de cette partie est d’étudier l’équilibrage dynamique de la turbine. Il est nécessaire d’équilibrer statiquement puis dynamiquement la roue Pelton ainsi que son arbre. Cette étape est indispensable afin d’éviter toute vibration au cours du fonctionnement. Les vibrations ont deux conséquences néfastes : elles entraînent des nuisances sonores et participent à l’usure prématurée des roulements. La technologie d’équilibrage s’approche de celle utilisée pour équilibrer les roues de voiture mais au lieu de rajouter des masselottes (petites masses), on enlève de la matière par usinage. I. Conditions d’équilibrage de la turbine On assimile la turbine et son arbre à un solide (S) de masse m en rotation autour d’un axe fixe, à vitesse de rotation constante, le centre d’inertie G du solide ne se trouvant pas sur cet axe. Figure 20 : Schématisation de la turbine et du guidage en rotation Le centre d’inertie de (S) est situé en G tel que OG = a. S X  . La matrice d’inertie du solide (S) au point O dans le repère S R est : [ 𝑂, ] = [ − − − − − − ] ( 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ Le torseur des actions mécaniques du bâti exercées sur (S) par l’intermédiaire de la liaison pivot est : { â 𝑖→ } = { } ( 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂 On regroupe le reste des actions mécaniques extérieures exercées sur S, supposées connues, sous la forme : { ̅→ } = { } ( 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂 (les composantes de ce torseur peuvent éventuellement dépendre de ) Notations : R0(O, 0 X  , 0 Y  , 0 Z  ) : repère galiléen lié au bâti. RS(O, S X  , S Y  , S Z  ) : repère lié au solide (S) ( 0 X  , S X  ) = ( 0 Y  , S Y  ) =  O = ⃗ ⃗  20 Question 43 : Déterminer l’accélération du point G appartenant à S par rapport à RO : 𝐺∈ / 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Question 44 : Déterminer le moment dynamique du point O appartenant à S par rapport à RO : 𝛿𝑂∈ / 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Question 45 : Déterminer { â 𝑖→ } = { } ( 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂 La turbine est équilibrée si les composantes de { â 𝑖→ } sont indépendantes des effets dynamiques. Question 46 : En déduire les conditions, propres à la répartition des masses de la turbine, nécessaires à l’équilibrage. Équilibrer la turbine consiste, par enlèvement de matière (soit une masselotte de masse négative), à réaliser les conditions précédentes. II. Equilibrage avec une masselotte On retranche une masse ponctuelle (S1) au solide (S). On obtient ainsi un nouveau système (S’) = (S)  (S1). Soit G’ le centre d’inertie de (S’) et D’ et E’ ses produits d’inertie. La masse de (S1) est m1, les coordonnées de (S1) sont M1 (x1,y1,z1) dans RS. Question 47 : Montrer que l’équilibrage à 1 masselotte n’est possible que si D = 0. Cette solution n’étant pas satisfaisante, on se propose d’utiliser deux masselottes. III. Equilibrage avec deux masselottes On retranche deux masses ponctuelles (S1) et (S2) au solide (S). On obtient ainsi un nouveau système (S’) = (S)  (S1)  (S2). Soit G’ le centre d’inertie de (S’) et D’ et E’ ses produits d’inertie. Les masses de (S1) et (S2) sont m1 et m2, les coordonnées de (S1) sont M1 (x1,y1,z1) et celles de (S2) sont M2 (x2,y2,z2) dans RS. Les deux usinages (masselottes négatives) sont nécessairement situés à des emplacements spécifiques sur la turbine, ce qui signifie que les paramètres r1, r2, z1, z2 sont imposés tels que : r1 = r2 = r et z2 = 0 et z1 = e. Figure 21 : Paramétrage du positionnement des masselottes ⃗ 𝑚 𝑚 𝜃 𝜃 ⃗ 𝑚 𝑚 21 Question 48 : Déterminer m1, m2, 1 et 2 pour que l’ensemble turbine + masselottes soit équilibré dynamiquement. G. Conclusion La centrale expérimentale de Tofte ne développe pour l’instant que quelques kW. Le frein technologique se situe essentiellement au niveau du coefficient de perméabilité de la membrane. Des équipes de recherche ont développé des nanotubes qui permettent d’obtenir en laboratoire une puissance électrique par unité de surface 100 fois supérieure à celle que l’on obtient avec des membranes traditionnelles. Il reste à juxtaposer des millions de ces nanotubes pour créer une membrane plus performante à notre échelle et peut-être trouver le moyen de rendre économiquement viable cette énergie propre.

Proposition de corrigé Polytechnique - ENS 2017 PSI 1 Mise en situation Question 1 Énergie hydraulique, énergie marémotrice, énergie géothermique, biomasse... 2 Détermination de la puissance hydraulique Question 2 : π = i.c.R.T avec : · i = 2 d’après l’énoncé · c = cmassique MNaCl = 30 g L−1 60 g mol−1 = 0,5 mol L−1 · T = 300K Finalement : πS ≃ 2,49 × 103 kPa = 24,9 bar ∆π = πS − πD = πS Question 3 : W = J∆P = A(∆π − ∆P)∆P. Une rapide étude de fonction montre que : W maximal si ∆P = ∆π/2 PS = PD + ∆P = 0 + ∆P = ∆π/2 ≃ 12,5 bar Question 4 : Wmax = A(∆π)2 4 ≃ 2,2 W m−2 Question 5 : ∆QS = JS = AS ∆π 2 ≃ 3,5 L s−1 avec S = 2000 m2. Question 6 : Pmax = 0, 8WmaxS ≃ 3,4 kW Cette faible valeur semble cohérente avec : http ://news.nationalgeographic.com/news/energy/2013/01/130107-osmotic-energy-norway/ 1 3 Détermination de la puissance mécanique Question 7 : Remarque : je considère dans la suite que les vitesses indicées "auget" sont données dans le référentiel de l’auget (ce qui n’est pas clair il me semble avec la figure 7). Par ailleurs, Qfluide est-il défini dans le référentiel de l’auget ou de la buse ? Je noterai dans la suite Q le débit volumique dans le référentiel de l’auget. On effectue un bilan de quantité de mouvement (dans le référentiel lié à l’auget, et non le "repère de l’auget"...) entre t et t + dt sur le système fermé contenant le fluide suggéré en figure 8 ainsi que l’auget. Sur ce système, la résultante des forces de pression est supposée nulle (pression uniforme sur une surface fermée), et on néglige l’action de la pesanteur. Considérant de plus le régime stationnaire dans ce référentiel, la quantité de mouvement dans le volume de contrôle est une constante. Finalement : ρQdt 2 # » V ′auget + ρQdt 2 # » V ′′auget − ρQdt#» V auget dt = #» F ext Soit finalement : #»F ext = ρQ   # » V ′auget + # » V ′′auget 2 − #» V auget   Question 8 : · # » V ′auget.#» X = # » V ′′auget.#» X = −Vauget cos(α) #» V auget.#» X = Vauget · # » V ′auget.#» Y = −# » V ′′auget.#» Y = Vauget sin(α) #» V auget.#» Y = 0 D’où le résultat attendu : #»F fluide = #» F ext = ρQVauget(1 − cos(α))#» X Question 9 : Changement de référentiel : Vauget = Vbuse − Vroue = Vbuse − RpeltonΩroue Alors : P = #»F fluide.#» V roue = ρQ(RpeltonΩroue)(Vbuse − RpeltonΩroue)(1 − cos(α)) Cette puissance est maximale pour cos(α) = −1, ie α = π (l’eau fait "demi-tour"). Question 10 : En ce cas : P = 2ρQ(Vbuse − RpeltonΩroue)(RpeltonΩroue) Soit avec Q = S(Vbuse − RpeltonΩroue) : P = 2ρS(Vbuse − RpeltonΩroue)2(RpeltonΩroue) Une étude de fonction montre que cette puissance est maximale pour RpeltonΩroue = Vbuse/3 et donc : Pmax = 16 27 1 2ρSv3 buse Soit un rendement maximal de 16/27. Question 11 : Le couple maximal ne correspond pas à la puissance maximale. Dans le cas de la puissance maximale, on a alors Pmax = CmécaΩroue = Cméca Vbuse 3RP elton. Donc : Cméca = 8 9ρSRpeltonV 2 buse Remarque : si on considère un grand nombre d’augets, tout se passe comme si Q = Qfluide. Alors : Pmax = 1 2ρSV 3 buse pour RpeltonΩroue = Vbuse/2. Soit un rendement de 1. On a alors Cméca = ρSRpeltonV 2 buse. Était-ce attendu ? 4 Étude de la génératrice de production d’énergie Remarque : il me semble y avoir confusion entre fem et fcem dans le sujet (figure 10). Je respecte dans la suite les expressions fournies par l’énoncé. Question 12 : Considérant que sin(−x) = − sin(x) et cos(−x) = cos(x), on a bien Rt(θe) = R(−θe). Avec sin(x + π/2) = cos(x) et cos(x + π/2) = − sin(x), on a bien dR(θe) dt = ω.R(θe + π/2). Question 13 : On calcule ϕdq = P(θe)ϕabc. En utilisant les identités cos2(x) = 1 + cos(2x) 2 et sin(a) + sin(b) = 2 sin a + b 2 cos a − b 2 , on obtient sur la première ligne : Φm 2 3 cos2(θe) + cos2(θe − 2π/3) + cos2(θe + 2π/3) =Φm 2 3 3 + sin(2θe) + sin(2θe − 4π/3) + sin(2θe + 4π/3) 2 =Φm 2 3 3 + sin(2θe) + 2 sin(2θe) cos(−8π/3) 2 =Φm 3 2 En utilisant aussi 2 sin(a) cos(a) = sin(2a), on obtient pour la deuxième ligne : − Φm 2 3 sin(θe) cos(θe) + sin(θe − 2π/3) cos(θe − 2π/3) + sin(θe + 2π/3) cos(θe + 2π/3) = − Φm 2 3 sin(2θe) + sin(2θe − 4π/3) + sin(2θe + 4π/3) 2 =0 Ainsi, on a bien ϕdq = P(θe)ϕabc = 3 2Φm 0 . Question 14 : En multipliant à gauche par la matrice P(θe) l’équation aux tensions de l’alternateur synchrone, et on notant que iabc = CR(θe)idq et que ϕabc = CR(θe)ϕdq on obtient : vdq = − RIdqidq − P(θe)LabcC dR(θe) dt idq + R(θe)didq dt − P(θe)C dR(θe) dt ϕdq + R(θe)dϕdq dt On utilise alors les calculs des questions 12 et 13 ainsi que les indications de l’énoncé pour obtenir : vdq = − R 0 0 R idq − Rt(θe)CtLabcC ωR(θe + π/2)idq + R(θe)didq dt − P(θe)CωR(θe + π/2)ϕdq = − R 0 0 R idq − L − M 0 0 L − M ωR(π/2)idq + didq dt − ωR(π/2)ϕdq = − R 0 0 R idq − L − M 0 0 L − M didq dt − 0 −(L − M)ω (L − M)ω 0 idq − 0 −ω ω 0 ϕdq Question 15 : Après développement : δWélec =  −(Ri2 d + Ri2 q) − d dt 1 2(L − M)(i2 d + i2 q) + 0 + ω 3 2Φmiq   dt On interprète : · Ri2 d + Ri2 q est la puissance joule · 1 2(L − M)(i2 d + i2 q) est l’énergie magnétique · ω 3 2Φmiq est la puissance fournie par les fem. Question 16 : Les formes d’énergie emmagasinées dans l’alternateur sont : · Ucinétique l’énergie cinétique · Umagnétique l’énergie magnétique Il échange de l’énergie avec l’extérieur sous forme : · électrique ; il fournit à l’extérieur, durant dt : δWélec · mécanique ; il reçoit de l’extérieur, durant dt : δWméca · de chaleur ; il fournit à l’extérieur, durant dt : δQjoule (toute la chaleur produite par effet joule est évacuée) On a donc le résultat attendu, avec les signes correspondants : dUcinétique + dUmagnétique = δWméca − δWélec − δQjoule Question 17 : Ucinétique = 1 2JeqΩ2 donc : dUcinétique = JΩdΩ Question 18 : δQjoule = (Ri2 d + Ri2 q)dt = Rit dqidqdt Question 19 : δWméca = CmécaΩdt. On a donc le principe fondamental de la dynamique (TMC sur l’axe), en supposant Cm > 0 non algébrique (ce que confirme la question 22) : J dΩ dt = Cméca − Cm En multipliant par Ωdt, on obtient : δWméca = dUcinétique + CmΩdt Question 20 : Ce terme a été calculé à la question 15 : il est nul. Question 21 : On se ramène à deux circuits équivalents non couplés de courants id et iq, et d’inductances (L − M) soit donc : dUmagnétique = (L − M)iddid + (L − M)iqdiq = d 1 2(L − M)(i2 d + i2 q) = d 1 2(L − M)it dqidq Je ne sais pas comment le justifier, si il faut le justifier... Question 22 : On part de la question 16 : dUcinétique + dUmagnétique = δWméca − (δWélec + δQjoule) Alors : · dUmagnétique = d 1 2(L − M)(i2 d + i2 q) avec la question 21 · δWméca = dUcinétique + CmΩdt avec la question 19 · δWélec = −(Ri2 d + Ri2 q)dt − d 1 2(L − M)(i2 d + i2 q) + Ω 3 2Φmiqdt avec la question 15 · δQjoule = (Ri2 d + Ri2 q)dt avec la question 18 Soit donc après simplification : Cm = 3 2Φmiq Question 23 : On trouve : Kdd = −R+Rc L−M Kdq = 1 Kdω = 0 0 Kqd = −1 Kqq = −R+Rc L−M Kqω = √ 3/2Φm L−M 0 Kωd = 0 Kωq = − √ 3/2Φm Jeq Kωω = 0 Hdτ = 1 Jeq Question 24 : Probablement une coquille dans l’énoncé au dessus de la question 24 : je considère que nous souhaitons résoudre entre 0 et T avec Te période d’échantillonnage. Plus Te est petite, meilleure est l’approximation de la dérivée. De même, la diminution de Te améliore le rejet du bruit. Question 25 : On peut proposer : ✞ ☎ 1 import numpy as np 2 3 def Intensite(): 4 t=np.arange(0,T+Te,Te) 5 iq=[I0] 6 for k in range(len(t) -1): 7 newiq=iq[ -1]+Te*( Kqq*iq [ -1]+Kqw*w0) 8 iq.append(newiq) 9 return t,iq ✌ ✝ ✆ Question 26 : La notion de stabilité d’une méthode numérique n’est pas au programme. Je ne comprends pas ce qui est attendu ici. Question 27 : On poursuit ce qui a été commencé dans la question 25. ✞ ☎ 1 2 def Vitesse (): 3 w=[w0] 4 for k in range(len(t) -1): 5 neww=w[k]+Te*( Qwq*iq[k]+ Kww*w[k]+HdT*Cmeca) 6 w.append(neww) 7 return w ✌ ✝ ✆ Question 28 : On laisse les phases en circuit ouvert et : Alors va = ea = −ΦmΩ22 sin(θe) soit donc V22 = ΦmΩ22. On en déduit : Φm = V22 Ω22 = 1,05 Wb Question 29 : Alors va = −Ria soit donc V23 = RI23. On en déduit : R = V23 I23 = 20 Ω Question 30 : Alors va = −Ria − Ldia dt soit donc V24 = (R2 + L2ω2)I24 avec ω = 2πf et f = 50 Hz. On en déduit : L = 1 2πf V 2 24 I2 24 − R2 = 0,76 H Question 31 : Alors vb = −M dia dt soit donc V25 = ω|M|I25 avec ω = 2πf et f = 50 Hz. On en déduit : |M| = V25 2πfI25 = 0,32 H Correction sujet X-ENS Modélisation 2017 E. REGULATION DE L’ALTERNATEUR Q32. La chaîne de retour signifie-t-elle que le système est asservi ? Justifier. Le système n’est pas asservi car il n’y a pas de capteur de vitesse dans la chaine de retour permettant de connaitre à chaque instant la vitesse de rotation du rotor. Q33. Justifier pourquoi v( ) peut être assimilée au gain pur kv. La fonction de transfert du variateur qui pilote la machine s’écrit sous la forme : p K p H v v v    1 ) ( La constante de temps de l’appareil est de 50 μs = 0,05 ms et son gain est de 20. Les constantes de temps électrique et mécanique du moteur sont respectivement  =0,02  =0,2 donc e v    et m v    alors on peut négliger le régime transitoire du variateur et assimiler sa FT à un gain pur. Q34. Donner un exemple de capteur analogique permettant d’obtenir directement une image de la fréquence de rotation de l’arbre de la machine. Une génératrice tachymétrique est un capteur analogique de vitesse de rotation. La tension en régime permanent délivrée par ce capteur est l’image de la fréquence de rotation de l’arbre sur lequel est monté le capteur. Q35. Déterminer ka pour obtenir un écart nul avec un système précis. La FT de l’adaptateur est définie pour qu’en régime permanent, l’écart ) ( ) ( ) ( p K p K p c ref a      soit nul lorsque que ref    ) ( . Donc il faut c a K K  . Q36. Exprimer (p) sous la forme : (p) = H1(p).ref(p) + H2(p).Cr(p). Donner les expressions de H1(p) et H2(p). Le schéma bloc est le suivant : A partir du schéma bloc, on obtient : kc                          ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( p p K p C K p K p L R K p C p J f p ref v c e c t r eq Ou                               t v c r ref c eq c c t v eq c e t eq c t v K K p C p L R p C p K p J f p L R K K K p C p J f p L R K K p J f p L R K K p C p ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( Et         ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p C K K K p C K K p J f p L R p L R p K K K p C K K p J f p L R K K p C K p r c t v e t eq c c ref c t v e t eq c t v c              Sachant que ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 p C p H p p H p r ref     , alors par identification on trouve :    c t v e t eq c t v c K K K p C K K p J f p L R K K p C K p H ) ( ) ( ) ( 1           c t v e t eq c c K K K p C K K p J f p L R p L R p H ) ( ) ( 2        Q37. Les critères de précision exigés par le cahier des charges sont-ils vérifiés ? Critères de précision du CdCF : Critère 1 : « Erreur statique nulle pour une entrée en échelon » Critère 2 : « Rejet d’une perturbation en échelon » La FT du correcteur est :  1 1 1 ) ( 0 0           p T p T C p T C p C i i i . C’est un correcteur PI (Proportionnel –Intégral), il permet d’augmenter la classe de la FTBO de 1 donc le premier critère de précision « Erreur statique nulle pour une entrée en échelon » est vérifié. De plus la position du correcteur PI est en amont de la perturbation donc le second critère de précision « Rejet d’une perturbation en échelon » est aussi vérifié. Q38. Déterminer graphiquement les valeurs de C0 et Ti en s’assurant que la marge de phase est respectée. Pour des raisons de rapidité, on impose une pulsation de coupure du système corrigé en boucle ouverte de 40 rad/s donc on a : 1 0 . 40   s rad dB  . Graphiquement on trouve : dB j H G dB BOnc dBnc 5 ) ( log 20 0    soit 78 ,1 10 ) ( 20 5 0   dB BOnc j H  et     125 )) ( arg( ) ( 0 0 dB BOnc dB j H    . La FTBO du système corrigé s’écrit :   ) ( 1 ) ( 0 p H p T p T C p H BOnc i i BO   . La marge de phase est définie par : )) ( arg( 180 0dB BO j H M      Donc                  125 0 0 )) ( arg( ) arctan( 90 180 dB BOnc dB i j H T M    Soit   dB i M T 0 35 tan      Le CdCF donne   45  M alors   s M T dB i 14 ,0 35 tan 0       . On doit vérifier que : dB j H s rad G dB BO dB dB 0 ) ( log 20 ) . 40 ( 0 1 0       soit 1 ) ( 0  dB BO j H  . Alors   1 ) ( 1 0 2 0 0 0   dB BOnc dB i dB i j H T T C    et   55 ,0 ) ( 1 0 2 0 0 0    dB BOnc dB i dB i j H T T C    . 0dB 0dB 0dB=40 rad/s 5dB 125° Q39. Proposer un schéma-bloc de cet asservissement. Pour la boucle de courant :  la mesure du courant est effectuée à l’aide d’un capteur à effet Hall.  on peut aussi placer un correcteur CI(p) dans la boucle de courant. Q40. Préciser le critère de performance que doit remplir la boucle de courant par rapport à la boucle de vitesse pour que ce nouvel asservissement soit efficace. Il faut que la boucle de courant ait un temps de réponse inférieur au temps de réponse de la boucle de vitesse. Q41. Cette boucle aura-t-elle un impact sur le temps de réponse ? Justifier. A partir de la courbe d’intensité de la figure 18, on constate que le pic de courant a lieu à l’instant t1= 0,05 s donc si le critère de performance de la question précédente est vérifié alors l’impact sur le temps de réponse du système sera négligeable (CdCF : t5% =3s). Q42. En Python ou Scilab, écrire une fonction Saturation(u,Vmax) prenant comme arguments d’entrée les flottants u et Vmax qui renvoie la tension us sous forme de flottant. (p) p J f eq  1 +  I(p) V(p) +  t K ek p L R c  1 vk +  ) (p CI cI k ) (p C +  ck ck U(p) Cr(p) ref(p) t5%=1,4 s t1=0,05 s F. EQUILIBRAGE DE LA TURBINE Q43. Déterminer l’accélération du point G appartenant à S par rapport à RO ) 0 S/R (G Γ   : On a : S X a OG   Donc S /R Y θ a dt OG d ) (G, S/R V            0 0 Et S S R X θ a Y θ a dt ) (G, S/R V d ) (G, S/R Γ       2 / 0 0 0          Or constante  θ donc S X θ a ) (G, S/R Γ    2 0   Q44. Déterminer le moment dynamique du point O appartenant à S par rapport à RO :   0 S/R G δ   . La vitesse de rotation du solide (S) par rapport à R0 est constante. Le point O est un point fixe par rapport à R0 donc :  Le moment cinétique de S par rapport à R0 en O s’écrit :   0 0 S/R Ω I(O, S) O, S/R σ    Soit         0 0 0 Z , , Z , , Z , , 0 C D E 0 0 C D E D B F E F A               S S S S S S Y X Y X Y X O, S/R σ                                              Et le moment dynamique de S par rapport à R0 en O s’écrit :   0 0 0 /R dt ) (O, S/R σ d O, S/R δ          Soit     S S /R S S X Y dt Y X d O, S/R δ            D E Z C D E 2 2 0 0 0                   Q45. Déterminer     S Z , , 0 M L    S S Y X O S bâti Z Y X Τ         On isole S Bilan des actions mécaniques extérieures exercées sur S :  Action du bâti sur S en O (liaison pivot d’axe   0 S Z Z ,    O ) :     S Z , , 0 M L    S S Y X O S bâti Z Y X Τ          Action de S (le reste des actions mécaniques extérieures) sur S en O :     S Z , , 1 1 1 1 1 1 M L    S S Y X O S S N Z Y X Τ         On applique le PFD à S en O :       O S S S bâti O, S/R δ ) (G, S/R Γ m Τ Τ           0 0   Et on obtient le système d’équations suivant :              0 0 1 1 2 1 Z Z Y Y θ m a X X Z (TRD) Y (TRD) X (TRD) S S S                 0 N E M M D L L 1 2 1 2 1        S S S Z O) en (TMD Y O) en (TMD X O) en (TMD Q46. En déduire les conditions, propres à la répartition des masses de la turbine, nécessaires à l’équilibrage. La turbine est équilibrée si les composantes de   S bâti Τ  sont indépendantes des effets dynamiques. Les conditions d’équilibrage sont donc :  0  a (le centre d’inertie de S est sur l’axe de rotation)  0   D E (l’axe de rotation   0 S Z Z ,    O est un axe principal d’inertie). Q47. Montrer que l’équilibrage à 1 masselotte n’est possible que si D = 0. Le centre de masse de S’ est défini par :   1 1 1 OM m OG =m OG' m m       S S S S Z z Y y X x m X =m a OG' m m     1 1 1 1 1     Les produits d’inertie de S’ s’écrivent : 1 1 1 z y m D D'   1 1 1 z x m E E'   Pour garantir l’équilibrage il faut que :    S Z , '  O G  donc 0 = X OG' S   et 0 = Y OG' S   .  0 ' '   D E . On obtient alors le système suivant :               0 0 0 y 0 x a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z x m E z y m D m m m et on trouve :             1 1 1 1 1 1 0 0 y a x z x m E D m m Donc 0  D est bien une condition nécessaire pour que l’équilibrage soit possible. Q48. Déterminer m1, m2, 1 et 2 pour que l’ensemble turbine + masselottes soit équilibré dynamiquement. Le centre de masse de S’ est défini par :   2 2 1 1 1 OM m OM m OG =m OG' m m      0 2 1  m et m avec       S S S S S S S Z z Y y X x m Z z Y y X x m X =m a OG' m m m        2 2 2 2 1 1 1 1 2 1         Les produits d’inertie de S’ s’écrivent : 2 2 2 1 1 1 z y m z y m D D'    2 2 2 1 1 1 z x m z x m E E'    Les conditions d’équilibrage donnent le système suivant :                   0 0 0 y y 0 x x a 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 z x m z x m E z y m z y m D m m m m m Les deux usinages (masselottes négatives) sont situés à des emplacements spécifiques sur la turbine, on a alors : 1 1 cos r x  , 1 1 sin r y  , 2 2 cos r x  , 2 2 sin r y  , e z  1 et 0 2  z . Alors                 0 cos 0 sin 0 sin sin 0 cos cos a 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 e r m E e r m D r m r m r m r m m       Après résolution on trouve :                                  e r m D r r a m m r m a m m r e E D m E D arcsin cos 2 arctan 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1   