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A2017 – PHYSIQUE II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II - PSI L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Physique II, année 2017 — filière PSI La mission spatiale Rosetta Ce sujet propose de revenir sur l’exploit réalisé par l’Agence Spatiale Européenne lors de l’accom- plissement de la mission Rosetta. Cette mission consistait à rejoindre la comète 67P Churyomov – Gerasimenko (rebaptisée Churry à cette occasion) sur son orbite à plusieurs centaines de millions de kilomètres de la Terre. Une fois sur place la sonde devait étudier l’environnement de Churry en se satellisant autour d’elle. Une fois ce premier exploit réalisé le 6 aoˆut 2014, la sonde Rosetta devait envoyer un robot, nommé Philæ, pour qu’il se pose sur la comète et réalise une étude in situ. Ce robot a réussi à se poser sur la comète le 12 novembre 2014, il a ensuite réalisé sa mission de fa¸con quasi- nominale pendant 3 jours dans des conditions physiques extrˆemes. Il a ensuite transmis les données recueillies vers Rosetta toujours en orbite autour de Churry. Rosetta les a ensuite envoyées vers la Terre ou nous les avons re¸cues quelques dizaines de minutes plus tard. La réalisation complète de cette mission aurait pu ˆetre présentée comme un exploit retentissant de la conquˆete spatiale, n’ayant rien à envier aux premiers pas de l’homme sur la Lune. Cependant, le fait que Philæ se soit posé de fa¸con peu stable, le traitement médiatique de ce genre d’évènement, et bien d’autres facteurs plus complexes, n’ont pas permis de se rendre compte de l’incroyable performance scientifique réalisée à l’occasion de cette mission. Ce sujet revient sur différents aspects de la problématique associé à cette mission. La première partie consiste en l’étude des propriétés orbitales de Churry, la seconde partie consiste en une étude de l’environnement des comètes du type de Churry et notamment de sa chevelure et de sa queue. La dernière partie est une étude technique de la motorisation de la foreuse de Philæ. Ces trois parties sont totalement indépendantes. Les résultats numériques des calculs seront des ordres de grandeurs ne possédant au plus qu’un seul chiffre significatif. Les valeurs numériques utiles sont rassemblées en fin d’énoncé. Hormis le nombre j tel que j2 = −1, les grandeurs complexes sont soulignées. Une quantité surmontée d’un point désigne la dérivée temporelle de cette quantité : ˙r = dr dt . I. — Etude de la comète 67P Churyomov – Gerasimenko La comète étudiée s’appelle Churyomov – Gerasimenko, du nom des scientifiques ukrainiens M. Chu- ryumov, l’utilisateur du télescope, et Mme Gerasimenko, la comparatrice d’images, qui l’ont co- découverte en 1969. Cette comète mesure entre 3 et 5 km de diamètre et tourne sur elle-mˆeme en une douzaine d’heures. Voilà à peu près tout ce que l’on savait sur la comète objet de Rosetta et Philae. Les estimations sur sa masse, varient, quant à elles, d’un facteur 10 et sa forme exacte restera un mystère jusqu’en juillet 2014 date de la première photo envoyée par Rosetta. Le noyau de la comète n’a pu ˆetre observé que depuis la Terre (le Very Large Telescope au Chili en lumière visible ou proche infrarouge) ou les satellites tournant autour de la Terre (Hubble en lumière visible, Spitzer en moyen infrarouge). De ces observations ont été tirées des courbes de lumière qui, elles-mˆemes, ont permis de déterminer quelques unes de ses caractéristiques. Centre de l’ellipse (Soleil) (Comète) Périhélie Aphélie Figure 1 – Orbite elliptique d’ex- centricité e et de demi-grand axe a. 1 — En appliquant le principe fondamental de la mécanique à une comète de masse m en orbite circulaire de rayon R autour du Soleil, retrouver la 3e loi de Kepler. Dans le cas d’une orbite elliptique, on peut démontrer que cette relation se généralise en rempla¸cant le rayon R par le demi grand axe a de l’ellipse (voir figure 1). En déduire la relation entre le demi-grand axe a de l’ellipse parcourue par la comète, la période T de la comète, la masse du Soleil M⊙ et la constante de gravitation G. Déterminer la valeur numérique de la période Tc de la comète Churry. On donne 2πac = 33 · 1011 si et on prendra 1 an ≃ 1 3 · 108 secondes. 2 — On ne suppose plus la trajectoire circulaire, et on note ⃗r le vecteur position de la comète dans le référentiel héliocentrique et r = ∥⃗r∥. Donner l’expression du moment cinétique ⃗σs de la comète par rapport au Soleil. Montrer que la trajectoire de la comète est contenue dans un plan que l’on précisera. Déterminer l’expression de C = ∥⃗σs∥ m en fonction des coordonnées polaires (r,θ) de la comète dans ce plan. Page 1/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta 3 — Etablir la relation 1 2m ˙r2 = Em − Eeff(r) ou Em est l’énergie mécanique supposée négative de la comète et Eeff(r) son énergie potentielle effective que l’on exprimera en fonction de C, G, m, M⊙ et r. Tracer la représentation graphique de Eeff(r), et positionner sur ce graphique Em, l’aphélie rmax et le périphélie rmin (voir figure 1). 4 — Montrer qu’il existe une trajectoire circulaire correspondant à r = rmin = rmax = r0 et Em = E0. Déterminer l’expression de r0 en fonction de C, G et M⊙ puis en déduire celle de E0 en fonction de C, G, M⊙ et m. On note respectivement Ec (r) et Ep (r) les énergies cinétique et potentielle de la comète à la distance r du Soleil, déterminer la relation entre Ec (r0) et Ep (r0). 5 — Etablir l’équation du second degré en r dont rmin et rmax sont solutions, qui permet de déduire l’expression de Em en fonction de G, m, M⊙ et a. On donnera cette expression. Après avoir montré que son discriminant est bien positif, résoudre l’équation et déterminer la relation liant e à Em, C, a et m. 6 — Quelle est la propriété de la vitesse aréolaire de la comète, rapport de la surface balayée par le rayon vecteur de la comète sur le temps mis par la parcourir ? Quel est l’astronome qui a identifié cette propriété qui porte son nom ? Sachant que l’aire d’une ellipse d’excentricité e et de demi-grand axe a est S = πa2√ 1 − e2, déterminer la relation entre la période de la comète et le demi-grand axe de l’ellipse. Commenter le résultat obtenu. Rosetta a bénéficié de 4 assistances gravitationnelles afin d’acquérir l’énergie nécessaire pour rejoindre la comète sur son orbite. La précision requise pour l’accomplissement de cet exploit est absolument insensée : fenˆetre de quelques kilomètres entre des objets sur des orbites gravitationnelles à des vitesses de l’ordre du kilomètre par seconde, à plusieurs centaines de millions de kilomètres de la Terre. Peu de gens ont pris conscience de l’exploit réalisé par les ingénieurs de l’Agence Spatiale Européenne. 7 — Qu’entend-on par assistance gravitationnelle ? On étaiera sa réponse par un schéma explicatif. FIN DE LA PARTIE I II. — Etude de la chevelure et de la queue de la comète Le noyau des comètes est essentiellement composé d’une neige sale (un mélange de glace et de grains de toutes tailles) d’environ 10 km de rayon. En se rapprochant du Soleil sur une orbite elliptique, la glace située sur la surface de ce noyau se sublime et il s’entoure d’une sorte d’atmosphère de gaz et de poussière : la chevelure. La taille caractéristique de cette chevelure est de l’ordre de 105 km. Le matériel de cette chevelure interagit avec d’une part la lumière du Soleil et d’autre part le plasma émis par notre étoile : le vent solaire. Le produit de cette interaction est la partie la plus souvent visible d’une comète depuis la Terre : la queue. Elle est environ dix fois plus étendue que la chevelure, mais dans une seule direction. Une fois la chevelure et la queue formées, le télescope Subaru installé à plus de 4000 mètres d’altitude sur l’ˆıle d’Hawaï a pu prendre une photo de Churry mettant en évidence de nombreux détails. Taille de la Terre Queue de poussière Traînée de poussière Chevelure Photo 2 – Photo de la comète Churry prise avec le télescope Subaru prise le 8 mars 2016 alors que la comète se trouvait entre les orbites de Mars et de Jupiter. Le temps de pose de la photo est de 6 minutes. Page 2/7 Physique II, année 2017 — filière PSI II.A. — Taille critique d’un grain dans la chevelure On considère un grain de poussière sphérique de la chevelure de la comète et on assimile la densité volumique de ces grains à celle de la chevelure notée ρ et supposée constante. On note R le rayon du grain et r sa distance au Soleil. Les ondes électromagnétiques associées au rayonnement du Soleil exercent une pression Pr sur toute surface sur laquelle elles s’appliquent. On montre que cette pression s’écrit sous la forme Pr = ⟨Π⟩α cβ ou ⟨Π⟩ est la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à ces ondes, α et β sont deux nombres entiers et c la vitesse de la lumière. 8 — Après avoir rappelé la définition du vecteur de Poynting et de son flux à travers une surface orientée, préciser les valeurs de α et β. Comment peut-on interpréter la pression de radiation ? Dans le cas du rayonnement d’une étoile, le flux total d’énergie est appelé luminosité. Elle est supposée isotrope et notée L ou L⊙ pour le Soleil dont la valeur est précisée en fin d’énoncé. On définit également la brillance B(r), ou flux radiant, d’une étoile comme la puissance disponible par unité de surface à une distance r de l’étoile. 9 — En utilisant par exemple des arguments dimensionnels déterminer la relation entre B(r) et ⟨Π⟩ dans le cas du Soleil. En déduire l’intensité Fr de la force exercée par la pression de radiation sur un grain de section σ = πR2. 10 — En considérant que la répartition de la masse du Soleil est à symétrie sphérique, déterminer l’expression du champ gravitationnel créé par le Soleil à l’extérieur de celui-ci. En déduire l’intensité Fg de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le grain considéré. Exprimer le rapport ν = Fg Fr en fonction de G, M⊙, R, ρ, c et L⊙. Commenter ce résultat. 11 — En prenant ρ = 3 g · cm−3, déterminer l’ordre de grandeur d’un rayon critique de grain Rc permettant d’expliquer, sur la photo 2, la présence d’une part d’une queue et d’autre part d’une traˆınée de poussière tra¸cant l’orbite de la comète. Comment peut-on repérer la direction du Soleil sur la photo 2 ? On indiquera la composition de ces deux structures en fonction de Rc. Pour le calcul on prendra πG = 21 × 10−11 m3 · kg−1 · s−2. II.B. — Effet Poynting-Robertson Les grains laissés sur son orbite par une comète finissent par tomber vers le Soleil, c’est l’effet Poynting- Robertson. Soit un grain de poussière sphérique de rayon R en orbite circulaire de rayon r dans le système solaire. Il absorbe et réémet en totalité la radiation qu’il re¸coit du Soleil. Le fait que ce grain soit en mouvement rend cette réémission non isotrope et principalement selon l’axe dirigé par la direction de sa vitesse : c’est un effet relativiste appelé aberration. Cette non isotropie induit une perte de moment cinétique qui conduit au fait que le grain tombe vers le Soleil selon une trajectoire spirale. 12 — En supposant que toute la puissance absorbée par le grain est réémise, quelle serait la luminosité d’un grain de section σ à une distance r du Soleil. Faire l’application numérique pour un grain de 1 centimètre de rayon se situant entre Mars et Jupiter à une distance r = 5 × 108 km du Soleil. 13 — En supposant que les photons réémis emportent une masse effective mγ = Eγ/c2 et en faisant par exemple un bilan de moment cinétique entre t et t+dt, montrer que l’intensité du moment cinétique orbital des grains L = mvr vérifie l’équation différentielle ˙L = − R rc 2 L⊙ 4mL 14 — En supposant la décroissance du moment cinétique très faible, on peut considérer que le grain est constamment sur une orbite circulaire dont le rayon diminue très doucement. En séparant les variables pour résoudre l’équation de la question précédente, déterminer dans ces conditions le temps t⊙ mis par un grain sphérique de rayon R et de densité volumique de masse constante ρ pour tomber sur le Soleil à partir d’une distance initiale r très grande devant le rayon du Soleil r⊙. On exprimera t⊙ en fonction de ρ, c, R, r et L⊙. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta 15 — Déterminer la taille du plus gros grain sphérique qui a pu ≪ spiraler ≫ jusqu’au Soleil en partant de l’orbite de Mars depuis la formation du système solaire il y a 4,5 milliards d’années (soit 1017 secondes). Afin de simplifier ce calcul, on prendra pour Mars un distance moyenne de √ 5 millions de km et on donne 1 45π = 7 × 10−3. FIN DE LA PARTIE II III. — Etude de la motorisation de la foreuse du robot Philæ Le robot Philæ avait notamment pour mission de forer le sol de la comète sur une profondeur de 40 cm. Il n’a pu réaliser pleinement cette partie de sa mission car le site sur lequel il s’est finalement posé après trois rebonds était trop incliné. Il a cependant pu faire de très nombreuses mesures dont l’analyse permettra de mieux comprendre la formation du système solaire. Dans cette partie nous allons étudier les caractéristiques techniques du moteur de sa foreuse. Il s’agit d’un moteur synchrone associé à un onduleur de tension. Cette structure permet de concevoir un dispositif robuste de forte puissance, délivrant un fort couple et présentant une bonne durée de vie, toutes ses qualités étant ici nécessaires. Afin de simplifier l’étude, les pertes mécaniques ainsi que les pertes fer de ce moteur synchrone seront négligées. Finalement, le moteur sera assimilé à une machine synchrone diphasée dont les deux enroulements statoriques sont identiques. III.A. — Essais préalables + Fig. 3 – Schéma électrique et diagramme vectoriel d’une phase du moteur. L’inducteur du moteur synchrone de la foreuse de Philæ est à aimants permanents et possède 8 pˆoles, soit 4 paires de pˆoles. Chaque bobinage du stator possède une résis- tance de 0,03 Ω. L’intensité nominale du courant dans un enrou- lement du stator est IN = 155 A. Pendant une durée limitée, elle peut atteindre la valeur maxi- male IM = 185 A. La machine est étudiée en convention récepteur. Le modèle équivalent à une phase de l’induit est représenté sur la figure 3. Les tensions et courants sont supposés sinusoïdaux de pulsation ω = 2πf. Afin de déterminer les paramètres du modèle, divers essais ont été effectués : — Essai n◦1 : sur un banc d’essais, on a entraˆıné la machine synchrone à vide par l’intermédiaire d’un moteur auxiliaire à la vitesse n = 1500 tr · min−1. Aux bornes d’une phase, on a mesuré une tension simple de 57 V. — Essai n◦2 : avec une alimentation électrique appropriée, on a effectué un essai de la machine en moteur à 1500 tr · min−1 pour lequel ψ = 0, I = IM = 185 A, et V = 72 V. 16 — On admet qu’en régime permanent de vitesse, la condition de synchronisme pour un moteur possédant p paires de pˆoles s’écrit ω = pΩ, ou Ω désigne la vitesse de rotation du rotor en rad · s−1. Déterminer la fréquence des tensions statoriques quand n = 1500 tr · min−1. 17 — Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n◦2. La résistance R n’étant pas négligée, en déduire la valeur de L. 18 — La valeur efficace de la force contre-électromotrice E a pour expression E = Φ0ω. Quelle est l’unité de la constante Φ0 ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que E = AΩ, ou A est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique. Dans toute la suite on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. 19 — Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas ou 0 < ψ < π 2 . En déduire une relation entre V , E, ϕ et ψ. 20 — Déterminer l’expression de la puissance électrique absorbée par le moteur Pa en fonction de V , I et ϕ puis en fonction de E, I et ψ. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique Pa et la puissance mécanique électromagnétique Pm re¸cue par le rotor ? Page 4/7 Physique II, année 2017 — filière PSI 21 — Exprimer le couple électromagnétique C développé par le moteur en fonction de A, I et ψ. Pour une intensité efficace I donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? A quel autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ? 22 — On se placera sur un point de fonctionnement à ψ = 0, I = IN, et n = 1500 tr · min−1. Que vaut le moment du couple C développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes E, V , I. En déduire les expressions de V et ϕ. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes. On pourra considérer que 1 √ 3 ≃ 1 2. III.B. — Etude simplifiée de la logique de commande mli Le moteur est alimenté par un onduleur à commande mli (Modulation de Largeur d’Impulsion). Nous simplifierons l’étude de l’onduleur par le schéma monophasé de la partie gauche de la figure 4. 1 ch ch Charge 1 2 2 3 3 4 4 Vers la commande de et 1 3 Vers la commande de et 2 4 0 volt 0 volt Comp. Comp. + cc ¡ cc + cc ¡ cc T C 13 24 ¡ cc Fig. 4 – Schéma de l’onduleur (à gauche) et de son circuit de commande (à droite) Les deux comparateurs à base d’ali supposés idéaux sont alimentés entre +Vcc et −Vcc. La tension de sortie de ces deux comparateurs commute entre +Vcc et −Vcc. Lorsque la tension de sortie d’un comparateur est au niveau +Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à la fermeture ; quand cette tension est au niveau −Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à l’ouverture. Les tensions VT et VC sont définies sur la partie droite de la figure 4 représentant le circuit de commande de l’onduleur. Leurs chronogrammmes sont représentés sur la figure 5. + T,m ¡ T,m 1 0 T C Fig. 5 – Chronogrammmes des tensions VT et VC. 23 — Représenter sur la copie en concor- dance des temps les signaux VT, VC ainsi que les chronogrammes de V13 et V24. Calculer la date t1 en fonction de T, VC et VT,m. 24 — En déduire l’allure de la tension vch(t). Déterminer l’expression du rapport cyclique α de la tension vch(t) en fonction de VC et VT,m. Quel inconvénient présente ce type de com- mande ? La commande réelle permet d’alimenter le mo- teur avec une tension dont la forme est représentée sur la figure 6. Les angles α1, α2, α3, α4, α5, α6 compris dans l’intervalle 0, π 2 et représentés sur la figure 6 sont fixés, les suivants, situés dans les intervalles π 2 ,π , π, 3π 2 et 3π 2 , 2π s’en déduisent par symétrie. 25 — Exprimer la valeur efficace V eff ch de la tension vch(t) en fonction des angles αi=1,...,6 et de la tension E. Si l’on note f la fréquence du fondamental de vch(t), la commande mli permet de faire en sorte que V eff ch f = cte et d’éliminer les harmoniques de tension les plus gˆenants. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. La mission spatiale Rosetta 1 2 3 5 6 2 3 2 2 ¡ = ch 4 0 Fig. 6 – Commande réelle d’alimentation 26 — Les symétries du signal vch permettent d’établir que seuls les harmoniques de rangs impairs figurent dans son spectre. Donner l’allure de ce spectre en précisant les positions des quatre premiers harmoniques. Montrer qualitativement que les 6 paramètres αi=1,...,6 de la commande mli permettent d’ajuster d’une part la valeur efficace de V eff ch et d’autre part de faire en sorte que le premier harmonique d’amplitude non nulle ne soit que d’ordre 13. III.C. — Etude d’une commande mli numérique, précalculée 2 2 3 2 ¡ ¡ + 2 ¡ ( ) = 4 +1 X =0 cos[(2 + 1) ] sin[(2 + 1) ] 2 + 1 ¡ ¡ Fig. 7 – Signal de base. Pour chaque angle αi=1,··· ,6 prédéterminé par un calculateur, on fabrique un signal de base noté mi(t) dont le chronogramme et la décomposition de Fou- rier sont donnés sur la figure 7. Ces signaux de base permettent de reconstruire la tension d’alimenta- tion du moteur. 27 — Représenter sur un mˆeme graphe les si- gnaux m1 et m2 en fonction de θ puis en déduire le graphe de m1 − m2 en fonction de θ. En déduire l’expression de la tension vch(t) de la figure 6 en fonction des signaux de base mi=1,··· ,6(t). 28 — Déterminer la relation que doivent vérifier les angles αi afin que l’on puisse éliminer l’harmo- nique d’ordre 5 dans le spectre de vch. III.D. — Utilisation de la technique de surmodulation On réalise un découpage de la commande mli à fréquence élevée fd devant la fréquence f de cette commande : fd ≫ f. Par exemple, pour une fréquence f = 50 Hz, on prendra fd = 1 kHz. On note η le rapport cyclique de la tension de découpage D(t) et l’on donne sa décomposition de Fourier D (t) = A0 + ∞ k=1 Ak sin [kωdt + φk]. Les signaux découpé et de découpe sont représentés sur la figure 8. 29 — Exprimer A0 en fonction de η. 30 — Déterminer l’expression de la valeur instantanée v∗ ch,F(t) du fondamental de v∗ ch(t) = vch(t)× D(t). En déduire l’expression de sa valeur efficace V ∗,eff ch,F en fonction de E, η et des angles αi=1,··· ,6. 31 — Quel est l’intérˆet d’utiliser cette technique de surmodulation ? Page 6/7 Physique II, année 2017 — filière PSI Zoom ch ¡ ch 1 ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Fig. 8 – Découpage de la commande mli (à gauche) et signal de découpe (à droite) 32 — Représenter l’allure du spectre du signal v∗ ch(t) correspondant à la tension d’alimentation du moteur de la foreuse. Conclure. FIN DE LA PARTIE III Données numériques • Constante de la gravitation : G = 6,7 × 10−11 m3 · kg−1 · s−2 • Vitesse de la lumière : c = 3 × 108 m · s−1. • Masse du Soleil : M⊙ = 2 × 1030 kg. • Luminosité du Soleil : L⊙ = 4 × 1026 W • Unité astronomique : 1 ua = 1,5 × 1011 m Caractéristiques de la comète Churry • rmax : aphélie, distance au plus loin du Soleil : 5,70 ua • rmin : périhélie, distance au plus près du Soleil : 1,30 ua • Taille caractéristique : 2000 m (albédo de 4%) • Période de rotation autour de son axe principal : 12,6 h FIN DE L’ÉPREUVE Page 7/7

La mission spatiale Rosetta Mines 2017 PSI - II I. — Étude de la comète 67P Churyomov - Gerasimenko K 1 – # » OM = r #»u r avec r = C te ; #»v = d#»r dt = r ˙θ#»u θ ; #»a = d#»v dt = r ¨θ#» u θ − r ˙θ2#»u r. Le principe fonda- mental de la dynamique s’écrit : m r ¨θ#»u θ −r ˙θ2#»u r = −GmM⊙ r 2 #» u r , soit ¨θ = 0 et ˙θ2r = GM⊙ r 2 . Or ˙θ = 2π T , soit T = 2π r 3 GM⊙ . Pour Chury, en remplaçant r par a, T = 6,5ans. Remarque Intérêt de donner 2πa plutôt que a ? K 2 – #» σS = #»r ∧ m #»v . d#» σS dt = #»v ∧ m #»v + #»r ∧ −GmM⊙ r 3 #»r = 0 (produits vectoriels entre vecteurs paralèlles). #» σS est donc constant et #»r est perpendiculaire à ce vecteur constant, la trajectoire est donc plane dans un plan perpendiculaire à #» σS. #» σS =   r 0 0  ∧m   ˙r r ˙θ 0   =   0 0 mr 2 ˙θ   de norme mr 2 ˙θ et donc C = r 2 ˙θ K 3 – Em = Ec +Ep = 1 2m ˙r 2 +r 2 ˙θ2 − GmM⊙ r = 1 2m ˙r 2 + mC 2 2r 2 − GmM⊙ r soit Eeff(r) = mC 2 2r 2 − GmM⊙ r r Eeff Em rmin rmax r0 E0 K 4 – La trajectoire circulaire correspond à r = C te, le minimum de la courbe Eeff(r). dEeff dr = −mC 2 r 3 + GmM⊙ r 2 = 0, soit r0 = C 2 M⊙G . Ec(r0) = mC 2 2r 2 0 = GmM⊙ 2r0 = −1 2Ep(r0) (le terme en ˙r disparait puisque r = C te), et E0 = −GmM⊙ 2r0 . K 5 – D’après la figure 1, rmin = a(1−e) et rmax = a(1+e). Pour ces deux valeurs de r, le terme en 1 2m ˙r 2 est nul et Em = mC 2 2r 2 − GmM⊙ r , ce qui donne l’équation du second degré en r Emr 2 +GmM⊙r − 1 2mC 2 = 0 de discriminant ∆ = (GmM⊙)2+2EmmC 2. Ce discriminant est positif si Em > − 1 2m GmM⊙ C 2 . En remplaçant C 2 par r0M⊙G (d’après la question précédente), on obtient Em > −1 2 GmM⊙ r0 = E0, ce qui est cohérent avec la courbe. Les racines sont r = −GmM⊙ ±∆ 2Em . En identifiant avec les expressions de rmin et rmax, cela donne a = −mM⊙ 2Em (on retrouve la même relation que pour la trajectoire circulaire en remplaçant le rayon par le demi grand axe) et e2 −1 = 2EmC 2 mM2⊙G2 soit e2 −1 = C 2 2Ema2 K 6 – La surface balayée pendant dt est de 1 2 ×r ×(r dθ), S C r r dθ dθ soit une vitesse aréolaire de dS dt = C 2 = C te. Cette loi est la deuxième loi de Kepler. On intègre l’équa- tion précédente sur une période πa2 1−e2 = CT 2 . On utilise le résultat de la question précédente pour 1−e2, ce qui donne T 2 = 4π2a3 M⊙G soit une nouvelle fois la même relation que pour la trajectoire circulaire en remplaçant le rayon par le demi grand axe. K 7 – L’assistance gravitationnelle est l’utilisation de l’attraction d’une planète pour modifier la trajectoire d’un engin spatial. Voir l’animation de Geneviève Tulloue : www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/assist_grav.php L’objectif est d’utiliser ce phénomène pour économiser le carburant. Dans le schéma ci-dessous, le cercle représentant la planète est celui de la zone d’action gravitationnelle de celle-ci, zone dans laquelle on peut négliger l’influence du soleil. On suppose que la durée du transit dans cette zone est faible de sorte que la vitesse de la planète est inchangée durant le transit. La loi de composition des vitesses donne : #»v C/⊙ = #»v C/P + #»v P/⊙. On dessine ce qui se passe avant l’entrée dans la zone, puis après la sortie de cette zone. Mines PSI II 2017 - Page 2/8 direction du soleil Planète Comète #»v C/⊙ #»v P/⊙ #»v P/⊙ #»v C/⊙ #»v C/P #»v C/P #»v C/P,après #»v P/⊙ #»v C/⊙ #»v C/P,après Référentiel soleil Réf. soleil → Déviation Réf. planète → avant Réf. planète dans réf. planète Réf. soleil #»v C/P n’a pas changé par conservation de l’énergie, l’angle (#»v P/⊙, #»v C/P) s’est refermé, #»v C/⊙ a donc augmenté. II. — Étude de la chevelure et de la queue de la comète II.A. — Taille critique d’un grain dans la chevelure K 8 – Par définition le flux du vecteur de Poynting à travers une surface est la puissance traversant cette surface. On effectue une analyse dimensionnelle (la pression est une énergie volumique : cf. δW = −P dV ), [P] = [énergie] L3 = [Π]α [c]β = [énergie]αT β LβL2α , soit α = 1 et β = 1. On peut interpréter cette pression par analogie avec celle d’un gaz comme résultant du transfert de quantité de mouvement des photons. Remarque On peut envisager plusieurs interprétations ... K 9 – Question non comprise : pour moi la définition de B est celle du vecteur de Poynting (au problème vectoriel près). Fr = πR2 B c , avec L⊙ = 4πr 2B. K 10 – D’après le théorème de Gauss, une répartition de masse à symétrie sphérique se comporte à l’extérieur comme une masse ponctuelle placée au centre. #»g = −GM⊙ r 2 #» u r , soit Fg = GmM⊙ r 2 . ν = Fg Fr = GmM⊙4πc πR2L⊙ = 16πGM⊙Rρc 3L⊙ . Ce rapport est indépendant de la distance au soleil. K 11 – On prend pour valeur critique ν = 1, soit Rc = 3L⊙ 16πGM⊙ρc = 0,2µm. Pour R ≫ Rc, c’est la force de gravitation qui prédomine, les particules ayant quittées la comète avec une vitesse relative quasi nulle vont donc suivre la même trajectoire. Pour R < Rc, la force de radiation repousse les particules vers l’extérieur de la trajectoire. En absence de queue ionique (à l’opposé de la direction du soleil), on ne peut être très précis : le soleil est en haut de la photo. La traînée de poussière à droite provient d’un précédent passage. Mines PSI II 2017 - Page 3/8 II.B. — Effet Poynting-Robertson K 12 – Lgrain = BπR2 = L⊙πR2 4πr 2 = L⊙ R 2r 2 = 0,04W. K 13 – À t, on considère un grain qui, à t +dt, a perdu la masse effective. #» σ(t) = #» σgrain(t); #» σ(t +dt) = #» σgrain(t +dt)+ #»r ∧ dmγ#»v , d#» σ dt = 0 (cf. question 2) soit d#» σgrain dt = #»r ∧ −dmγ · #»v . dmγ = Lgraindt c2 = L⊙ R 2rc 2 . En reportant dans la dérivé de #» σ = L#» u z, on retrouve bien ˙L = − R 2rc 2 L⊙ m L Remarque Je ne comprend pas ce qu’est cette masse effective mais comme le résultat est donné, je suis ca- pable de le trouver! mγ ressemble à la « masse » d’un photon de quantité de mouvement Eγ/c et non mγv. K 14 – Pour un mouvement circulaire v = r ˙θ = GM⊙ r d’après la question 1. Soit L = mvr = m M⊙Gr, soit dL L = 1 2 dr r = − R 2rc 2 L⊙ m dt ou encore 1 2r dr = − R 2c 2 L⊙ m dt qui s’intègre, entre {r,t = 0} et {r = 0,t = t⊙}, en 1 4r 2 = R 2c 2 L⊙ m t⊙, soit t⊙ = 4πρr 2c2R 3L⊙ K 15 – R ≈ 100m Remarque Il y a une erreur d’un facteur 100 sur la distance de Mars. III. — Étude de la motorisation de la foreuse du robot Philæ III.A. — Essais préalables K 16 – f = 4×1500÷60 = 100Hz K 17 – E +RI = 62,5V; LωI = V 2 −(E +RI)2 = 35V, soit L = 0,3mH. E RI LωI V K 18 – Φ0 s’exprime en Wb et est la valeur efficace du flux du rotor dans un bobinage du stator. Elle dépend du bobinage du stator (section, nombre de spires), du champ créé par le rotor donc celui de l’aimant permanent. E = Φ0ω = Φ0pΩ soit A = pΦ0. Dans l’essai 1 à vide, E = V , A = 0,36Wb. K 19 – Les projections de V et E sur I sont identiques : V cosϕ = E cosψ. Mines PSI II 2017 - Page 4/8 V LωI I ϕ ψ E K 20 – P = V I cosϕ = EI cosψ. Il y a deux bobinages (introduction partie III, « assimilé à une machine synchrone diphasée ») et donc Pm = 2P. K 21 – Pm = CΩ soit C = 2AI cosψ. Pour maximiser le couple, on peut jouer sur l’angle ψ. Le couple est maxi pour ψ = 0 et vaut Cmax = 2AI. Le couple ne dépend que du courant comme dans le cas du moteur à courant continu. K 22 – C = 111Nm. E LωI V Par lecture du diagramme : V = E 2 +(LωI)2 = 64V; tanϕ = LωI E , soit ϕ = 27°. Mines PSI II 2017 - Page 5/8 III.B. — Étude simplifiée de la commande MLI K 23 – Pente de la droite VT : VT,M T /4 = VC t1 . t1 = T 4 VC VT,M t v VC VT t1 T +VT,m −VT,m t V13 +Vcc −Vcc t V24 +Vcc −Vcc K 24 – Quand V13 = +Vcc, le chemin passant est { E, inter 1, charge, inter3, masse }; on a alors vch = E. Quand V13 = −Vcc, le chemin passant est { E, inter 4, charge « à l’envers », inter2, masse }; on a alors vch = −E. La durée de l’état bas, vch = −E, est le double de l’intervalle de temps entre t1 et T /4 soit T 4 − T 4 VC VT,M = T 2 1− VC VT,M , soit un rapport cyclique de α = 1 2 1+ VC VT,M qui varie entre 0 (VC = −VT,M) et 1 (VC = +VT,M). La valeur moyenne de la tension vch est non nulle, c’est un hacheur quatre quadrants pas un onduleur. vc V24 +E −E T K 25 – V eff ch = E α2 −α1 +α4 −α3 +α6 −α5 2π K 26 – On a 6 paramètres ce qui permet, a priori, de fixer la valeur de 5 harmoniques et de la valeur efficace. Les cinq harmoniques considérés sont ceux à 3,5,7,9,11 f que l’on fixe à 0. Mines PSI II 2017 - Page 6/8 fH vch f 3f 5f 7f 9f III.C. — Étude d’une commande MLI numérique précalculée K 27 – vch = m1 −m2 +m3 −m4 +m5 −m6 θ m1 m2 +E −E θ m1 −m2 +E −E K 28 – cos(5α1)−cos(5α2)+cos(5α3)−cos(5α4)+cos(5α5)−cos(5α6) = 0 III.D. — Utilisation de la technique de surmodulation K 29 – A0 = η K 30 – v∗ ch = vch si t est dans l’intervalle [nTD,(n+η)TD] avec n entier. v∗ ch = 0 sinon. La fréquence de découpage étant très élevée, vch est quasi constant sur TD, on a donc V ∗,eff ch,F = ηV eff ch K 31 – La surmodulation permet de régler la valeur efficace du signal. K 32 – Rapidement, une multiplication dans l’espace temporel conduit à une convolution dans l’espace fréquentiel. Sinon on développe chacun des termes et on voit apparaitre des produits de sinus, qui d’après la trigonométrie ou le cours sur la modulation d’amplitude conduit à des fréquences p fD ±n fch. Mines PSI II 2017 - Page 7/8 f v∗ ch f 3f 5f fd fd +3f fd −5f 2fd 2fd +5f 2fd −3f Mines PSI II 2017 - Page 8/8