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ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D’ADMISSION 2016 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR) (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. ⋆ ⋆ ⋆ Optomécanique en cavité L’optomécanique se consacre à l’étude du couplage de dispositifs mécaniques à une onde électromagnétique. Ce problème étudie différents aspects d’un système optomécanique modèle, à savoir une cavité résonante linéaire formée de deux miroirs semi-réfléchissants parallèles se faisant face, dont l’un est mobile. Dans la première partie, on établit les équations dynamiques générales d’une cavité de longueur fixée, soumise à un champ électromagnétique incident. Dans la seconde partie, on étudie le couplage optomécanique en supposant que l’un des miroirs est libre de se déplacer sous l’action de la force d’origine électromagnétique imposée par le faisceau incident, et d’une force de rappel élastique appliquée par le support sur lequel ce miroir est monté. Dans tout ce problème, on utilise le signe ” ≡ ” (plutôt que ” = ”) pour définir une grandeur. Dans les applications numériques, on prendra c ≈ 3 × 108 m.s−1 pour la vitesse de la lumière dans le vide, π ≈ 3 et √0,9 ≈ 0,9. 1. Cavité résonante de longueur fixée On considère une cavité linéaire, d’axe (Oz), délimitée par deux miroirs (diélectriques) semi-réfléchissants plans identiques, notés (M1) et (M2). On admettra que les faces « internes » des miroirs (M1) et (M2) – c’est-à-dire les faces dirigées vers l’intérieur de la cavité (représentées en trait plein sur la figure 1), ont même coefficient de réflexion en amplitude (pour le champ électrique) pris égal à (−ρ), où ρ est supposé réel et positif ; le coefficient de réflexion des faces « externes » de (M1) et (M2) – c’est-à-dire les faces dirigées vers l’extérieur de la cavité (représentées par les zones grisées sur la figure 1), est quant à lui pris égal à ρ. On admettra aussi que les deux miroirs (M1) et (M2) possèdent le même coefficient de transmission en amplitude (pour le champ électrique), noté τ, que l’on suppose réel et positif ; ce coefficient est identique pour les deux sens de traversée des miroirs. On admettra enfin que les coefficients (ρ,τ) ne dépendent pas de la pulsation du champ incident, et que la relation τ2 + ρ2 = 1 est vérifiée. On note R ≡ ρ2 et T ≡ τ2. Dans cette partie, on suppose les deux miroirs fixes dans le référentiel du laboratoire et l’on note L la distance qui sépare (M1) et (M2). On envoie vers la cavité formée par (M1) et (M2) une onde incidente plane progressive monochromatique se propageant selon l’axe (Oz) et polarisée selon l’axe (Ox), décrite par son champ électrique : ⃗Ei (z,t) = ℜ[Ei (z,t)]⃗ex (1) Ei (z,t) = Ei exp iω t − z c (2) 1 FIGURE 1 – Cavité résonante linéaire de longueur L, soumise à un champ incident (partie 1). où ℜ désigne la partie réelle, Ei l’amplitude de l’onde incidente à l’origine des temps et des coordonnées, supposée réelle, et i2 = −1. Vous admettrez que cette onde crée une onde réfléchie dans le demi-espace z < 0 de même direction de polarisation que l’onde incidente, de sorte que le champ total en amont de la cavité (dans la zone notée I sur la figure 1) s’écrit ⃗EI (z,t) = ℜ[Ei (z,t)+Er (z,t)]⃗ex (3) Er (z,t) = Er exp iω t + z c (4) où Er désigne l’amplitude de l’onde réfléchie à l’origine des temps et des coordonnées, a priori complexe. De même, le champ créé à l’intérieur de la cavité (zone II) prend la forme générale ⃗EII (z,t) = ℜ[E+ (z,t)+E− (z,t)]⃗ex (5) E+ (z,t) = E+ exp iω t − z c (6) E− (z,t) = E− exp iω t + z c (7) Enfin, le champ au-delà de la cavité (zone III) s’écrit ⃗EIII (z,t) = ℜ[Et (z,t)⃗ex] (8) Et (z,t) = Et exp iω t − z c (9) Ces différents champs sont représentés sur la figure 1 ainsi que les vecteurs d’ondes associés ⃗ki =⃗k+ =⃗kt = ω c⃗ez (10) ⃗kr =⃗k− = −ω c⃗ez (11) 1) Que représentent les coefficients R et T ? Que signifie physiquement la relation R+T = 1 ? 2) Justifiez la nature progressive choisie pour le champ ⃗EIII (z,t). 2 3) Au moyen des coefficients de réflexion et transmission, écrivez trois relations entre les amplitudes Ei,E+,E− et Et traduisant la transmission/réflexion en z = 0 et z = L. 4) Déduisez les amplitudes E+, E− et Et en fonction de Ei, ω, L, c, R et T. Vous mettrez le résultat sous la forme E+ = Θ(ω) √ T Ei (12) E− = −Θ(ω) R T exp −2iωL c Ei (13) Et = Θ(ω)Ei (14) et vérifierez que la fonction Θ(ω) prend la forme Θ(ω) ≡ T 1−Rexp −2iωL c (15) 5) Exprimez la fonction |Θ(ω)|2 et tracez sa représentation graphique pour R = 0,9 en fonction de la variable réduite ωL c . 6) Montrez l’existence d’une famille discrète de pulsations ωn∈N du champ incident pour lesquelles |Θ|2 est maximale. À quoi ces pulsations correspondent-elles physiquement pour l’intensité transmise ? 7) Montrez que l’intensité (moyennée sur une période) III (z) à l’intérieur de la cavité se met sous la forme III (z) = 1 T |Θ(ω)|2 L (ω,z)Ii où Ii désigne l’intensité incidente et L (ω,z) un terme que vous exprimerez en fonc- tion de R et ω (z−L)/c. 8) Tracez les courbes représentatives de L (ωn,z) pour R = 0,9 et n = 1, 2 et 3 en fonction de la variable réduite (z/L). Même question pour R = 1 ; quelle est la nature de l’onde observée à l’intérieur de la cavité dans ce cas ? 9) On revient au cas général (R < 1). En vous plaçant au voisinage d’une pulsation ωn déterminez une expres- sion approchée de la fonction Θ(ω) puis mettez la fonction |Θ(ω)|2 sous la forme |Θ(ω)|2 ≈ 1 1+4 ω −ωn ∆ω 1 2 2 (16) où ∆ω 1 2 est un paramètre dont vous préciserez l’expression et la signification physique. Donnez l’expression ap- prochée de ∆ω 1 2 dans la limite T ≪ 1. 10) En vous servant des résultats précédents, établissez une analogie entre la cavité étudiée et des dispositifs rencontrés dans un (d’) autre(s) domaine(s) de la physique. À partir de cette analogie, définissez un facteur de qualité pour la cavité considérée et indiquez sa signification physique. Dans les questions 11 à 15, on cherche à relier le paramètre ∆ω 1 2 au taux de perte en énergie de la cavité. Pour ce faire, on va suivre une approche particulaire. On rappelle qu’une onde électromagnétique est composée de photons, particules sans masse, dont la quantité de mouvement p et l’énergie E sont données par les formules p = ¯hω/c et E = ¯hω, où ω est la pulsation du rayonnement électromagnétique considéré. On admet que, lorsqu’il atteint l’un des miroirs (M1) ou (M2), un photon est transmis, sans modification de son énergie ni de sa quantité de mouvement, avec la probabilité T, tandis qu’il « rebondit », sans modification de son énergie mais avec une quantité de mouvement opposée, avec la probabilité R. 11) Exprimez le temps ∆t mis par un photon pour parcourir une longueur de cavité. 12) Durant cet intervalle de temps, combien un photon subit-il de rebonds sur les parois de la cavité ? 3 13) Quelle est la probabilité pour ce photon de quitter la cavité pendant la durée ∆t ? 14) Si la cavité contient, à l’instant t, nph (t) photons, combien de photons auront quitté la cavité à l’instant (t +∆t) (on suppose nph ≫ 1) ? 15) Reliez l’énergie électromagnétique Eem (t) contenue dans la cavité au nombre de photons nph (t). En sup- posant nph ≫ 1, exprimez la variation d’énergie électromagnétique (∆Eem)pertes entre t et t +∆t due aux pertes au niveau des miroirs. En assimilant (∆Eem)pertes et ∆t à des éléments infinitésimaux exprimez le taux de perte de la cavité γ ≡ − 1 Eem dEem dt pertes . Finalement, reliez γ au paramètre ∆ω 1 2 introduit à la question 9. On suppose maintenant que les champs sont quasi-monochromatiques, c’est-à-dire qu’ils peuvent se mettre sous la forme de paquets d’ondes E+ (z,t) = 1 σ ˆ E+ (ω)exp iω t − z c dω (17) Ei (z,t) = 1 σ ˆ Ei (ω)exp iω t − z c dω, (18) où les fonctions E+ (ω) et Ei (ω) ne prennent de valeurs significatives que sur l’intervalle ωc − σ 2 ,ωc + σ 2 autour d’une pulsation ωc = ωn où n ∈ N∗ et σ ≪ πc L . 16) Rappelez brièvement pourquoi un paquet d’ondes de la forme précédente constitue une solution des équa- tions de MAXWELL. 17) En utilisant la forme approchée pour Θ(ω) obtenue à la question 9, établissez la relation linéaire entre les composantes E+ (ω) et Ei (ω) dans le régime R ≈ 1. 18) Déduisez du résultat précédent l’équation différentielle vérifiée par la fonction E+ ∂ ∂t E+ ≈ − γ 2 −iωc E+ + γc 4LEi. (19) 19) On considère une cavité de longueur L = 0,9 mm, constituée de deux miroirs de même coefficient R = 0,99. Calculez ω3000 ainsi que la longueur d’onde associée λ3000. À quel type d’onde électromagnétique a-t-on affaire ? Calculez ∆ω 1 2 ainsi que le facteur de qualité Q3000. Commenter la comparaison aux ordres de grandeur caractéris- tiques rencontrés dans d’autres domaines de la physique. 2. Cavité résonante à miroir mobile Dans cette partie, on suppose que le miroir (M2) est libre de se déplacer selon la direction z. Il est soumis à la force imposée par le champ électromagnétique à l’intérieur de la cavité ainsi qu’à une force de rappel élastique linéaire modélisée par un ressort de raideur K et de masse négligeable devant celle du miroir (M2) qu’on notera m. Expérimentalement, cette configuration peut être réalisée en suspendant le miroir comme un pendule. On repère la position de (M2) par son écart, noté ξ (t), à sa position d’équilibre à champ incident nul, correspondant à une longueur de cavité L (cf Figure 2). On supposera que le mouvement de (M2) reste de faible amplitude devant la longueur initiale L de la cavité. 20) Exprimez la longueur de la cavité à la date t. 21) Donnez la nouvelle expression ωc (t) de la pulsation introduite dans la première partie. Calculez sa forme approchée au premier ordre en ξ/L. Vous ferez intervenir les grandeurs ¯ωc ≡ nπc L et Gc ≡ ¯ωc L (appelée « constante de couplage électromécanique »). 22) À quelle condition (intuitive) l’équation dynamique (19) reste-t-elle valable ? Pour répondre à cette ques- tion, vous pourrez introduire l’échelle des variations temporelles de la fonction ξ (t). 4 FIGURE 2 – Cavité résonante à miroir mobile (partie 2). On suppose que le champ incident est monochromatique, de pulsation ωL = ¯ωc +∆, Ei (z,t) = Ei exp iωL t − z c (20) où Ei est une constante réelle, et l’on écrit la composante E+ du champ à l’intérieur de la cavité sous la forme E+ (z,t) = E+ (t)exp iωL t − z c (21) 23) Pourquoi suppose-t-on, a priori, que E+ (t) dépend du temps ? Justifiez qualitativement que E+ (t) ne varie pas de manière significative sur une période du champ incident. 24) Montrez que E+ (t) vérifie d dt E+ (t) ≈ − i(∆+Gcξ)+ γ 2 E+ (t)+ γc 4LEi (22) Dans les questions 25 à 34, on souhaite déterminer l’expression de la force imposée au miroir (M2) par le champ électromagnétique en cavité, appelée « force de pression de radiation », en fonction des paramètres du problème et notamment du déplacement ξ (t). Pour ce faire, on va suivre le même type d’approche particulaire que dans les questions 11 à 15. 25) Exprimez la quantité de mouvement fournie au miroir (M2) par un photon de pulsation ωL lors d’un re- bond. Comme dans la première partie, on supposera que ce rebond ne modifie pas l’énergie du photon de manière significative mais change sa quantité de mouvement en son opposée. 26) En notant dNph = πph (t)dt le nombre de photons qui frappent le miroir (M2) entre t et t + dt, donnez l’expression de la force de pression de radiation due au champ à l’intérieur de la cavité. 27) Reliez πph (t) à la puissance électromagnétique, moyennée sur une période du champ incident, qui est réfléchie par le miroir (M2) à l’instant t. 28) Montrez que, dans la limite R ≈ 1, la force de pression de radiation instantanée prend alors la forme Fpr (t) ≈ ε0S |E+ (t)|2 (23) On introduit les nouvelles grandeurs a et ai définies par E+ = a ¯hωL ε0S L (24) Ei = ai 2¯hωL ε0cS (25) 5 29) Précisez les dimensions respectives de a et ai et explicitez la signification physique des quantités |a|2 et |ai|2. 30) Établissez l’équation régissant l’évolution de a. 31) Établissez l’équation mécanique sur ξ (t) régissant le mouvement du miroir. Vous introduirez la pulsation propre de l’oscillateur Ω que vous relierez à la raideur K du ressort et la masse m de (M2). 32) On se propose d’étudier le système dans le cas γ ≫ Ω. Que signifie cette condition physiquement ? 33) Montrez que, pour des temps t ≫ 1/γ, on peut alors écrire a(t) ≈ γ 2 i[∆+Gcξ (t)]+ γ 2 ai. (26) 34) Dans le régime considéré à la question précédente, établissez l’expression de la force de pression de radia- tion. Dans la suite du problème, on supposera toujours être dans les conditions d’application de la formule (26). Le but des questions 35 à 40 est d’étudier les positions d’équilibre mécanique du miroir mobile (M2), ainsi que leur stabilité. 35) Établissez la condition d’équilibre mécanique du miroir mobile (M2) reliant ξ à |ai|2 . 36) En l’absence de champ incident, déterminez le nombre et la nature (stable ou instable) de points d’équilibre du miroir mobile (M2). On considère maintenant le cas d’un champ incident non nul. 37) Mettez la condition d’équilibre identifiée à la question 35 sous la forme Aξ = F (ξ), où F est une fonction sans dimension de maximum unité et A une constante qui s’exprime en fonction des paramètres du problème, puis montrez comment déterminer graphiquement le(s) point(s) d’équilibre du miroir (M2). 38) À l’aide de la représentation graphique de la question précédente, montrez que le miroir (M2) possède au plus trois points d’équilibre et étudiez leur stabilité respective. Justifiez le nom de bistabilité donné au phénomène observé. Pt Pi Pt (sup) Pt (inf) Pi (inf) Pi (inf) FIGURE 3 – Relevé expérimental de la puissance Pt (représentée en ordonnée) transmise par une cavité (L = 0,9 mm, m = 60 mg, R = 0,99) obtenu en faisant passer très lentement la puissance du champ incident Pi (représentée en abscisse) de P(inf) i = 1,1 W à P(sup) i = 2,2 W et inversement. Lors du passage P(inf) i → P(sup) i , on suit la partie inférieure du cycle d’hystérésis (le niveau moyen du plateau inférieur est P(inf) t ≈ 0,2 mW) ; au cours du passage P(sup) i → P(inf) i , on suit la partie supérieure du cycle (le niveau moyen du plateau supérieur est P(sup) t ≈ 5 mW). La figure est extraite de A. DORSEL et al, Phys. Rev. Lett. 51, 1550 (1983). 6 39) À partir de la condition d’équilibre de la question 35, montrez qu’il est nécessaire de choisir ∆ < −γ √ 3 2 pour obtenir plus d’un point d’équilibre pour le miroir (M2). 40) En supposant ∆ < −γ √ 3 2 , identifiez l’intervalle dans lequel |ai|2 doit se situer pour qu’il existe plus d’un point d’équilibre pour le miroir mobile (M2). Dans les questions suivantes, on considère une cavité de longueur initiale L = 0,9 mm, constituée d’un miroir massif (immobile) et d’un miroir mobile de masse 60 mg, tous deux possédant le même coefficient R = 0,99. La figure 3 présente un relevé expérimental de la puissance transmise par la cavité, notée Pt et représentée en ordonnée, obtenu lorsque l’on fait passer très lentement la puissance incidente Pi (représentée en abscisse) de la valeur inférieure P(inf) i vers la valeur supérieure P(sup) i , puis inversement. La courbe obtenue, appelée cycle d’hystérésis, présente deux branches dont le sens de parcours est indiqué par des flèches : durant la première phase, c’est-à-dire lorsque l’on augmente Pi de P(inf) i à P(sup) i , on suit la partie inférieure du cycle ; au cours de la deuxième phase, c’est-à-dire lorsque l’on diminue Pi de P(sup) i à P(inf) i , on suit la partie supérieure du cycle. 41) Établissez la relation entre puissances transmise et incidente faisant intervenir la quantité ξ. 42) En vous appuyant sur les résultats des questions 37 et 38, donnez une interprétation qualitative des résultats obtenus. Expliquez notamment l’existence de deux plateaux pour la puissance transmise et le « passage » de l’un à l’autre de ces plateaux. Vous pourrez vous aider de représentations graphiques de votre choix pour illustrer votre réponse. ⋆ ⋆ ⋆ 7

Si vous décelez une erreur ou une imprécision dans ce corrigé, n’hésitez pas à m’en faire part à paulbou@orange.fr. X-E.N.S.  2016 Physique  MP Optomécanique en cavité 1. Cavité résonante de longueur fixée 1) Quand les indices des deux milieux séparés par un miroir sont identiques, les coefficients R et T sont les coefficients de réflexion et transmission en énergie. Ils représentent les portions de l’intensité de l’onde incidente (puissance rayonnée ou module du vecteur de Poynting) qui sont respectivement réfléchie et transmise. Dès lors, la relation R + T = 1 exprime la conservation de l’énergie. 2) L’onde transmise ne se réfléchit sur aucun obstacle à droite du second miroir de sorte qu’aucune onde, issue de l’onde incidente, ne se propagera dans le milieu III vers les z décroissants. 3) Au niveau du miroir (M2), en z = L, les champs Et et E− sont dus à la transmission et à la réflexion de E+ de sorte que Et e−iωL/c = τE+ e−iωL/c et E− eiωL/c = −ρE+ e−iωL/c. (1) Au niveau de (M1), E+ est dû à la fois à la réflexion de E− et à la transmission de Ei donc E+ = −ρE− + τEi. (2) 4) Puisque (1) donne E− = −ρE+ e−2iωL/c, (2) devient E+ − ρ2 e−2iωL/c E+ = τEi soit en utilisant ρ2 = R et τ = √ T, E+ = Θ(ω) √ T Ei où Θ(ω) = T 1 − R e−2iωL/c · (3) En portant cette relation dans (1), on obtient Et = Θ(ω)Ei et E− = −Θ(ω) R T e−2iωL/c Ei. 5) On calcule |Θ(ω)|2 = T 2 (1 − R e−2iωL/c)(1 − R e+2iωL/c) = T 2 1 + R2 − 2R cos(2ωL/c) = T 2 (1 − R)2 + 4R sin2(ωL/c) 15/04/2017 Paul BOURDET — 1 X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP ωL/c |Θ(ω)|2 0 π 2 π 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ∆ω 1 2 Fig. 1 : R = 0,9 et 4R/T 2 = 360 et, avec 1 − R = T, |Θ(ω)|2 = 1 1 + 4R T 2 sin2 ωL c · (4) 6) La fonction |Θ(ω)|2 est maximale à chaque fois que son dénominateur est minimal, donc pour ω = ωn = nπc L · Pour ces pulsations particulières, le champ transmis est égal au champ incident en module et toute l’intensité incidente est transmise. 7) L’intensité moyenne d’un faisceau lumineux est I = K E2 = 1 2KEE∗. L’intensité incidente est donc1 Ii = 1 2KE 2 i et III(z) = K 2 (E+ + E−)(E∗ + + E∗ −) = K 2 E+E ∗ + + E+E ∗ − e−2iωz/c +E−E ∗ + e2iωz/c +E−E ∗ − = Ii |Θ(ω)|2 T − √ R|Θ(ω)|2 T e2iω(L−z)/c − √ R|Θ(ω)|2 T e2iω(z−L)/c +R|Θ(ω)|2 T = Ii |Θ(ω)|2 T 1 − √ R e2iω(L−z)/c − √ R e2iω(z−L)/c +R d’où III(z) = Ii |Θ(ω)|2 T L (ω, z) où L (ω, z) = 1 + R − 2 √ R cos 2ω(L − z) c ou encore L (ω, z) = 1 − √ R 2 + 4 √ R sin2 ω(L − z) c Ainsi L (ω, z) varie-t-il sinusoïdalement entre 1 − √ R 2 et 1 + √ R 2 . 8) Pour R = 0,9, L (ω, z) varie de 2,6×10−3 à 3,8 et, pour n = 1, 2, 3, son allure est indiquée sur la Fig. 2. Pour R = 1, L (ω, z) varie de 0 à 4 et, pour n = 1, 2, 3, son allure est indiquée sur la Fig. 3. Dans ce dernier cas, le flux d’énergie est nul en certains points de la cavité (les nœuds de III) : l’onde est stationnaire. 1 L’amplitude Ei peut toujours être prise réelle par choix de l’origine des temps ; une fois ce choix fait, les autres amplitudes doivent être considérées comme complexes. 2 — 15/04/2017 Paul BOURDET X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP z/L L(ω1, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 z/L L(ω2, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 z/L L(ω3, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 Fig. 2 : R = 0,9 z/L L(ω1, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 z/L L(ω2, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 z/L L(ω3, z) 0 0,5 1 0 1 2 3 4 Fig. 3 : R = 1 9) Dans (3), on pose ω = ωn + δω et on obtient Θ(ω) = T 1 − R e−2inπ−2iδωL/c ≈ T 1 − R 1 − 2iδωL c − 2δω2L2 c2 = T 1 − R + 2iRδωL c + 2Rδω2L2 c2 et, avec 1 − R = T, Θ(ω) = 1 1 + 2iRδωL cT + 2Rδω2L2 c2T · (5) Le carré du module du dénominateur est 1 + 2Rδω2L2 c2T 2 + 4R2δω2L2 c2T 2 ≈ 1 + 4Rδω2L2 c2T + 4R2δω2L2 c2T 2 = 1 + 4Rδω2L2 c2T 2 (T + R) d’où |Θ(ω)|2 = 1 1 + 4 ω − ωn ∆ω 1 2 2 où ∆ω 1 2 = cT L √ R · (6) Lorsque |ω − ωn| = 1 2∆ω 1 2 , on a |Θ(ω)|2 = 1 2, de sorte que ∆ω 1 2 représente la largeur à mi-hauteur des pics de la Fig. 1. Dans le cas d’une transmission faible (R ≈ 1 et T ≪ 1), on aura ∆ω 1 2 ≈ cT L · (7) 15/04/2017 Paul BOURDET — 3 X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP 10) La physique offre de nombreux exemples de résonateurs en mécanique ou en électricité par exemple. On traite usuellement de la fonction de transfert H(iω) dont le rôle est ici joué par Θ(ω) ; on doit par conséquent faire une analogie entre |H(ω)|2 et la forme lorentzienne de la résonance optique donnée par (6). Pour un passe-bande, la forme canonique de la fonction de transfert donne |H(ω)|2 = 1 1 + Q2 ω ω0 − ω0 ω 2 ≈ 1 1 + 4Q2 δω ω0 2 lorsque ω = ω0 + δω ≈ ω0. On pourra donc poser, par analogie, Qn = ωn ∆ω 1 2 soit Qn = nπ √ R T · Ce facteur de qualité est grand lorsque R est proche de 1, c’est-à-dire lorsque l’énergie perdue par transmission à chaque réflexion est faible devant l’énergie réfléchie par le miroir. On se retrouve en accord avec la définition Q = E ∆E , rapport de l’énergie de l’oscillateur à l’énergie perdue par période. On a notamment, dans le cas R ≈ 1 Qn = nπ T · (8) 11) La vitesse du photon étant c, il mettra un temps ∆t = L/c pour parcourir la longueur L. 12) Sur cet intervalle de temps, il ne peut subir qu’un seul rebond. 13) La probabilité de sortie du photon sur une durée ∆t est donc égale à T. 14) Le nombre de photons sortant entre t et t + ∆t sera ∆nph = Tnph(t). 15) L’énergie de la cavité est Eem(t) = nph(t)ℏω et l’énergie perdue en ∆t est ∆Eem = TEem. Le taux de perte de la cavité est alors γ = 1 Eem dEem dt ≈ 1 Eem ∆Eem ∆t = T ∆t soit, avec (7), γ = cT L = ∆ω 1 2 dans le cas où R ≈ 1. 16) Les équations de Maxwell sont linéaires ; toute superposition de solutions en constitue aussi une solution. 17) En utilisant (5) au premier ordre et avec R ≈ 1 dans (3), on pourra écrire Ei = √ T Θ(ω)E+ ≈ √ T 1 + 2i(ω − ωc)L cT E+ ou encore Ei = √ T 1 − 2iωcL cT E+ + 2L c √ T iωE+. 18) On peut réécrire la relation précédente sous la forme iωE+ = c √ T 2L Ei − cT 2L 1 − 2iωcL cT E+ = cγ 4LEi − γ 2 − iωc E+. 4 — 15/04/2017 Paul BOURDET X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP Mais iωE+ n’est autre que la composante de Fourier de ∂E+ ∂t , d’où, par transformation inverse, ∂E+ ∂t = − γ 2 − iωc E+ + cγ 4LEi. (9) 19) Pour la cavité étudiée, ω3000 = 3,1×1015 s−1 et λ3000 = 600 nm ; La raie est visible dans le jaune. La largeur de la raie est ∆ω 1 2 = 3,3×109 s−1 et (8) donne Qn = 9,4×105. On est bien au-delà du facteur de qualité d’un quartz (Q ≈ 104 − 105) ou d’un diapason mécanique (Q ≈ 104). 2. Cavité résonante à miroir mobile 20) À tout instant la longueur de la cavité est ℓ(t) = L + ξ(t). 21) Les oscillations du miroir se font avec des pulsations très petites devant la pulsation résonante de la cavité, de sorte que la longueur de la cavité peut être considérée comme constante sur de grandes portions des trains d’onde émis par le laser. Dans ce cas ωc(t) = nπc ℓ(t) = ¯ωc 1 + ξ(t) L −1 soit ωc(t) = ¯ωc − Gcξ(t). (10) 22) Le champ dans la cavité sera essentiellement un champ oscillant à une pulsation proche de ¯ωc mais qui se trouve modulé par les mouvements du miroir ; il s’écrit donc sous la forme d’un paquet d’onde dont la largeur σ est de l’ordre de la pulsation du mouvement du miroir. Le champ E+ obéit donc à une équation du type (9) mais où maintenant la longueur L est variable. L’équation (9) fait intervenir trois constantes de temps que l’on a évalué en 19) 1 τ1 = ωc ≈ 3×1015 s−1 ≫ 1 τ2 = γc 4L ≈ 2×1010 s−1 > 1 τ3 = γ ≈ 3×109 s−1 Tant que les variations de ℓ(t) se font à des pulsations très petites devant γ, On peut considérer que (9) est valable en y remplaçant L par ℓ(t). 23) La longueur de la cavité variant dans le temps, on a vu que le champ E+ ne peut pas être purement sinusoïdal, même si le paquet d’onde correspondant est fortement centré sur la pulsation du champ incident (ou sur toute autre pulsation proche de celle-ci, par exemple ¯ωc). Il est donc naturel de chercher à écrire le champ sous la forme d’une sinusoïde de pulsation donnée, dont l’amplitude est modulée au cours du temps. 24) Avec la forme proposée pour les champs, ∂E+ ∂t = dE+ dt eiωL(t−z/c) +iωLE+, ce qui, porté dans (9) avec (10), donne dE+ dt + iωLE+ = −γ 2 + i¯ωc − iGcξ E+ + cγ 4ℓ(t)Ei. Dans le dernier terme, on peut remplacer ℓ(t) par L puisque le terme négligé est d’ordre (ξ/L)√γ, bien plus petit que les autres termes. On obtient donc bien dE+ dt = − γ 2 + i(∆ + Gcξ) E+ + cγ 4LEi. (11) 15/04/2017 Paul BOURDET — 5 X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP 25) Puisque la vitesse du miroir est petite devant celle de la lumière, l’effet Doppler est négligeable et le rebond du photon se fait sans changement notable de fréquence. Si p = (ℏωL/c)uz est la quantité de mouvement du photon incident, il repart donc avec une quantité de mouvement −p et cède au miroir (M2) une quantité de mouvement δp = 2ℏωL c uz. 26) La quantité de mouvement reçue par le miroir entre t et t + dt est dNphδp donc la force exercée par le faisceau sur le miroir est Fpr(t) = 2πph(t)ℏωL c uz. (12) Ceci suppose que presque tous les photons incidents se sont réfléchis, donc que R ≈ 1. 27) L’énergie du faisceau traversant une surface S égale à celle du miroir entre t et t+dt est dNphℏωL ; la puissance rayonnée par le faisceau est alors P(t) = πph(t)ℏωL. 28) Cette puissance est égale au flux du vecteur de Poynting à travers la section S , c’est-à-dire que P(t) = R · dS = R(t)S où, le vecteur de Poynting moyen R dans le vide s’écrit R = 1 µ0 E+ × B+ = 1 2µ0 E+ E∗ + c uz = ε0c 2 |E+|2uz et ε0cS 2 |E+|2 = πph(t)ℏωL. Avec (12), on obtient alors Fpr(t) = ε0S |E+|2uz. (13) 29) ℏωL/L est le rapport d’une énergie (travail) à une longueur : c’est donc une force. D’après (13), le rapport d’une force à ε0S est champ électrique au carré. On en déduit que a est adimensionné. Il en résulte aussi que ai c/2L est sans dimension, ce qui impose [ai] = T−1/2. On a, par (13) et (12), |a|2 = ε0S |E+|2L ℏωL = FprL ℏωL = 2L c πph Cette quantité est le produit de πph, nombre de photons heurtant (M2) par unité de temps, par le temps 2L/c nécessaire à l’un de ces photons pour faire un aller-retour dans la cavité. |a|2 représente donc le nombre total de photons dans la cavité. De même, |ai|2 = πph,i et c’est le nombre de photons incidents par unité de temps. 30) En multipliant (11) par ε0S L/ℏωL, on obtient immédiatement da dt = − γ 2 + i(∆ + Gcξ) a + γ 2 ai. (14) 31) Le miroir (M2) est soumis à la force de rappel du ressort et à la pression de radiation (toujours dirigée vers les z positifs), de sorte que md2ξ dt2 = −Kξ + Fpr soit ¨ξ(t) + Ω2ξ(t) = 1 m Fpr(t) (15) 6 — 15/04/2017 Paul BOURDET X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP où Ω = K m. 32) D’après (14), γ mesure la vitesse de convergence de a(t) vers sa solution permanente. Si γ ≫ Ω, les variations de ξ sont très lentes devant celles de a(t) (donc de E+(t)) et l’on pourra considérer que Fpr(t) est toujours donnée par la solution « permanente » de (14). 33) ai étant une constante, la solution générale de (14) est a(t) = a0 exp − γ 2 + i(∆ + Gcξ) t + γ/2 γ/2 + i(∆ + Gcξ) ai. Le régime « transitoire » disparaît dès que γt ≫ 1 (donc après quelques nanosecondes) et ne demeure que le terme « permanent » a(t) = γ 2 γ 2 + i(∆ + Gcξ(t)) ai (16) qui est en fait lentement variable (à la pulsation Ω caractéristique des variation de ξ(t)). 34) La force de pression s’écrit Fpr(t) = ℏωL L |a(t)|2 soit, ici, Fpr(t) = 2ℏωL γL 1 1 + 4 ∆ + Gcξ(t) γ 2 |ai|2 35) Lorsque le miroir est à l’équilibre (ξ = cste), la force de pression contrebalance exactement la force de rappel et Kξ = 2ℏωL γL 1 1 + 4 ∆ + Gcξ γ 2 |ai|2. (17) 36) Si ai = 0, la solution de (17) est ξ = 0 et la seule force appliquée au miroir est la force de rappel du ressort ; cette position est donc stable. 37) En notant A = γKL 2ℏωL|ai|2 , (18) facteur qui décroît lorsque le champ incident augmente, et F(ξ) = 1 1 + 4 ∆ + Gcξ(t) γ 2 , (19) la fonction lorentzienne centrée en ξc = −∆/Gc et de largeur γ/Gc, la condition (17) s’écrit simplement Aξ = F(ξ). ξ F(ξ) ∆ > 0 ξ F(ξ) ∆ < 0 Fig. 4 : Positions d’équilibre 15/04/2017 Paul BOURDET — 7 X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP On voit graphiquement (Fig. 4) qu’il peut y avoir, selon les valeurs de ∆ et de A, une ou trois positions d’équilibre. 38) Partons d’une position d’équilibre ξe et imaginons une perturbation qui amène ξ à une valeur ξ = ξe + ε. Alors l’équation (15) devient d2ξ dt2 = d2ε dt2 = K A [−A(ξe + ε) + F(ξe) + F ′(ξe)ε] soit d2ε dt2 = K A [−A + F ′(ξe)] ε puisque Aξe = F(ξe). La position ξe est stable si F ′(ξe) < A, c’est-à-dire si la courbe F(ξ) passe « sous » la droite Aξ au moment où elles se croisent. Il apparaît donc que – si on a une seule positions d’équilibre, elle est stable ; – si on a trois positions d’équilibre, la position centrale est instable et les deux autres sont stables. Il est possible que deux des points d’intersections des schémas précédents se confondent pour certaines valeurs de A (cf. Fig. 5) ξ F(ξ) A2ξ A1ξ ξ2 ξ1 Fig. 5 : Cas limites Dans ce cas, le point d’intersection avec la tangente est instable (en ξ1 et ξ2 sur la Fig. 5) et l’autre point est stable. Il apparaît donc qu’il existe, lorsque ∆ est « suffisamment » négatif (cf. 39)), deux valeurs de A, soit A1 et A2 > A1 telles que – si A /∈ [A1, A2], il n’existe qu’une position d’équilibre stable ; – si A ∈ [A1, A2], il existe trois positions d’équilibre en x1 < x2 < x3, x1 et x3 étant stables et x2 étant instable. C’est l’existence de ces deux positions stables distinctes qui donne le nom de bistable à ce système. 39) Pour que la tangente à la courbe représentative de F(ξ) passe par l’origine, il faut que ξF ′(ξ) = F(ξ) ou encore −8Gcξ γ ∆ + Gcξ γ 1 + 4 ∆ + Gcξ γ 2 2 = 1 1 + 4 ∆ + Gcξ γ 2 qui se réécrit −8 u − ∆ γ u = 1 + 4u2 ⇐⇒ 1 − 8∆ γ u + 12u2 = 0 (20) où u = (∆ + Gcξ)/γ. Cette équation admet un couple de solutions distinctes si son discriminant est positif, donc si 16∆2 γ2 − 12 > 0 ⇐⇒ ∆2 γ2 > 3 4· 8 — 15/04/2017 Paul BOURDET X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP Puisqu’il est nécessaire d’avoir ∆ < 0 pour obtenir les trois positions d’équilibre, cela impose2 ∆ < − √ 3 2 γ. 40) Soient u1 et u2 > u1 les deux racines distinctes de (20). Les valeurs de ξ correspondantes sont ξ1 = γu1 − ∆ Gc et ξ2 = γu2 − ∆ Gc > ξ1 comme indiqué en Fig. 5. Alors A1 = F ′(ξ1) = F(ξ1) ξ1 et A2 = F ′(ξ2) = F(ξ2) ξ2 > A1 sont les deux pentes des droites limites. Dès lors le champ incident doit vérifier γKL 2ℏωLA2 < |ai|2 < γKL 2ℏωLA1 · 41) D’après (1), Pt = K|Et|2 = τ 2K|E+|2 = TP+ et P+ Pi = |E+|2 |Ei|2 = c 2L |a|2 |ai|2 , soit, avec (16), P+ Pi = c 2L γ 2 γ2 4 + (∆ + Gcξ)2 , et, par (19), Pt Pi = cT γLF(ξ). ξ F(ξ) A(inf)ξ 1 Aξ 2 A2ξ 3 3’ ξ2 Aξ 4 4’ A1ξ 5 ξ1 5’ Aξ 6 A(sup)ξ 7 Fig. 6 : Cycle d’hystérésis 2 Le cas ∆ = −γ √ 3 2 correspond au cas où la droite Aξ passe par le point d’inflexion de la courbe F(ξ). 15/04/2017 Paul BOURDET — 9 X-E.N.S. – 2016 – Physique – MP 42) Lorsque la puissance incidente est faible, par (18), la pente A est grande et inversement pour une puissance incidente forte. La pente A(inf) est donc « grande » et la pente A(sup) plus « faible ». La position d’équilibre correspondant à P (inf) i est donc proche de l’origine (point 1 sur la Fig. 6). Lorsque Pi augmente, la pente A diminue et les points d’équilibre changent de proche en proche en suivant la série 1 − 2 − 3 − 4 − 5 ; la puissance transmise est alors P (inf) t . Mais dès que Pi passe au-dessus la valeur P1 qui fixe la pente A1, la pente passe « sous » A1 et les points d’équilibre suivent la branche droite de la courbe et passent successivement par 5′ − 6 − 7, jusqu’au point d’équilibre correspondant à P (sup) i ; la puissance transmise vaut alors P (sup) t . Il y a donc une discontinuité de Pt qui « saute » de P (inf) t à P (sup) t lors de la transition 5 → 5′. La puissance transmise reste sur la branche P (sup) t lorsque la puissance Pi diminue et reste sur cette branche jusqu’à ce que Pi = P2 correspondant à la pente A2, en suivant 7 − 6 − 5′ − 4′ − 3′. Dès que Pi < P2, la puissance transmise retombe à P (inf) t et les points d’équilibre sont, successivement, 3 − 2 − 1. Il y a encore une discontinuité de Pt lors de la transition 3′ → 3. Par conséquent, lorsque Pi oscille entre P (inf) i et P (sup) i : – la branche 1 ↔ 2 ↔ 3 est parcourue dans les deux sens (trait épais sur la Fig. 6) pour Pi < P2, que Pi soit croissante ou décroissante ; – la branche 3 → 4 → 5 n’est parcourue que si la puissance incidente est croissante et vérifie P2 < Pi < P1 (trait fin) ; – la branche 5′ ↔ 6 ↔ 7 est parcourue dans les deux sens (trait épais) pour Pi > P1, que Pi soit croissante ou décroissante ; – la branche 5′ → 4′ → 3′ n’est parcourue que si la puissance incidente est décroissante et vérifie P2 < Pi < P1 (trait fin). Ceci explique le cycle d’hystérésis observé sur le relevé expérimental. 10 — 15/04/2017 Paul BOURDET