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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D’ADMISSION 2016 FILIÈRE MP COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L’INGÉNIEUR – (X) (Durée : 4 heures) Les calculatrices ne sont pas autorisées pour cette épreuve. ⋆ ⋆ ⋆ Les deux parties de l’épreuve sont indépendantes et elles-même composées de parties largement indépendantes ; on les traitera dans l’ordre de son choix. Il n’est pas demandé de démontrer les relations données dans l’énoncé. ⋆ ⋆ ⋆ 1 Partie I : Propagation dans les milieux non homogènes Préambule Cette partie concerne la propagation d’ondes électromagnétiques lumineuses dans des milieux non chargés d’indice n = n (x, y, z) non uniforme spatialement. On admettra dans ce cas la relation div n2−→ E = 0 = n2div −→ E + −→ E · −−−−→ grad n2 ; cette relation montre que, en raison du terme dit de dispersion spatiale (en bleu) div −→ E n’est pas, en général, nul. En régime harmonique de pulsation ω, la dépendance temporelle du champ électrique −→ E est en exp (−i ωt). L’équation de propagation du champ −→ E d’une onde électromagnétique monochromatique prend alors l’une ou l’autre des formes équivalentes (les termes de dispersion spatiale sont sur l’accolade, en bleu) △ −→ E + n2 ω2 c2 −→ E − −−−−→ grad div −→ E = − →0 , (1) △ −→ E + n2 ω2 c2 −→ E + −−−−→ grad −→ E · −−−−→ grad ln n2 = − →0 . (2) Une pratique courante est cependant de poser que l’équation de propagation de −→ E se déduit en force brute de l’équation de propagation dans un milieu homogène - équation de Helmholtz -, en y remplaçant l’indice constant par l’indice variable n (x, y, z) et en ignorant les termes de dispersion spatiale. On établit alors l’équation de propagation, définissant k0 = ω c = 2π λ , △ −→ E + n2 ω2 c2 −→ E = △ −→ E + n2k2 0 −→ E = − →0 , (3) où c est la célérité de l’onde. On peut se demander si cette manière de faire est légitime. Tel n’est pas toujours le cas. Les deux cas traités ci-après sont cependant des exemples de réponse positive à cette question. 1 1.1 Fibre optique à profil parabolique d’indice et oscillateur quantique Une onde électromagnétique monochromatique se propage dans une fibre optique modélisée par un cylindre de rayon R, illimité dans la direction z et à l’intérieur duquel le profil radial d’indice est n2 (r) = n2 0 1 − x2 + y2 a2 , avec a ≫ R R ⪆ λ et λ ≪ 2πn0a. (4) Ci-dessus, a est une longueur qui définit la largeur du profil d’indice selon une section droite du cylindre ; cet indice varie donc peu sur une distance de l’ordre quelques longueurs d’onde : l’inégalité de la relation (4) signifie en effet Rayon du cylindre ≈ λ ≪ (un nombre de l’ordre de 10 - 20) × échelle de variation spatiale de l’indice. Dans la suite, on ne se préoccupera pas de conditions aux limites et l’on se restreindra à la forme suivante du champ −→ E , où la constante de propagation κ est réelle et strictement positive et ˆy est le vecteur unitaire selon la direction y du repère de référence : −→ E = E (x, y) ˆy exp [j (κz − ωt)] . (5) On néglige provisoirement le terme de dispersion spatiale et l’on accepte l’équation de propagation △ −→ E + n2 0 1 − x2 + y2 a2 ω2 c2 −→ E = − →0 . (6) 1. Établir l’équation (scalaire) de propagation de E (x, y) ; posant q0 = n0k0 puis µ = q2 0 − κ2 q0 a, exprimer cette équation en termes des variables réduites (ξ, η) = q0 a 1 2 (x, y). L’équation de propagation du champ ressemble à l’équation de Schrödinger stationnaire d’un oscillateur harmonique 2D, de masse m et d’énergie propre EN − ℏ2 2m∆ψ (x, y) + 1 2mω2 x2 + y2 ψ (x, y) = ENψ(x, y). (7) On admet que EN = (N + 1) ℏω, où N ∈ N. L’énergie de l’état de plus basse énergie est ainsi E0 = ℏω ; il lui correspond la fonction d’onde normalisée ψ0 = m ω π ℏ 1 2 exp −m ω 2ℏ x2 + y2 . 2. Vérifier la dimension de mω ℏ puis exprimer l’équation (7) en termes des variables réduites (u, v) = mω ℏ (x, y). 3. On impose à la solution de l’équation (6) la condition R2 ∥ −→ E ∥2 dx dy = V 2, où V est un réel positif, dont on donnera l’unité. Quel est le sens physique de cette normalisation ? 4. Quelles sont les valeurs possibles de µ = q2 0 − κ2 q0 a, introduit à la question 1 ? Montrer que le mode fondamental de propagation est gaussien, avec µ = µmin = 2. 5. Montrer que, pour une valeur donnée de µ, seuls les modes de pulsation supérieure à une certaine pulsation critique ωc pourront se propager. Quelle valeur de µ peut-on choisir pour la longueur d’onde λc = 0, 6 × 10−6 m, lorsque n0 = 3 et a = 5 × 10−6 m c = 3 × 108 m · s−1 ? 2 6. On considère les modes d’ordre peu élevé (µ de l’ordre de quelques unités) et une longueur d’onde de l’ordre de 0, 6 × 10−6 m. Par définitions, la vitesse de phase de l’onde est vϕ = ω κ et la vitesse de groupe vg = dω dκ . Montrer que vϕ > c n0 et que vg ne dépend pas de µ. 7. A-t-il été-il légitime de négliger dans l’équation de propagation le terme de dispersion spatiale −−−−→ grad −→ E · −−−−→ grad ln n2 devant le terme de dispersion temporelle n2 ω2 c2 −→ E ? On pourra utiliser les coordonnées cylindriques et la relation −−−−→ grad f = ∂f ∂r ˆr + 1 r ∂f ∂θ ˆθ + ∂f ∂z ˆz, ˆy = ˆr sin θ + ˆθ cos θ . 1.2 Mode TE dans un milieu stratifié Dans un milieu stratifié l’indice optique n varie selon une direction notée z, portant le vecteur unitaire ˆz. On note (xz) le plan de propagation (voir Figure 1) et l’on convient que les diverses Figure 1 – Propagation dans un milieu stratifié, où l’indice varie selon la direction z. grandeurs associées à l’onde, représentées de manière complexe, ne dépendent pas de y ; par suite de l’homogénéité de l’espace selon x, elles varient comme exp (iκx), où κ est la constante de propagation, réelle et strictement positive. Pour le reste, nous reprenons les considérations et les notations du préambule. Dans le mode Transverse Électrique (TE) −→ E est dirigé selon y ; ses composantes sont notées Ex = Ez = 0, Ey = E (z) exp [i (κx − ωt)] (8) de sorte que l’équation de propagation (3) se ramène à l’équation scalaire, définissant kz d2E dz2 + n2k2 0 − κ2 E = d2E dz2 + k2 zE. (9) On introduit alors, formellement, d’une part le vecteur d’onde local, ⃗k (z) = [κ, 0, kz (z)], avec k2 (z) = n2 ω2 c2 = κ2 + k2 z (z), d’autre part la longueur d’onde locale , λ (z) = 2π kz (z). 8. Montrer que, dans un mode TE, −→ B est entièrement contenu dans le plan de propagation (xz). 9. La relation E (z) = A (z) exp [ik0S (z)] exprime l’inconnue E en termes du couple, non unique, des fonctions réelles A et S. Que devient l’équation (9), en termes du couple (A, S) ? On ordonnera le résultat selon les puissances décroissantes de k0. Ce sera l’équation [B]. 10. Estimer la valeur de k0 dans le domaine optique. Dans quel sens peut-on dire que « k0 est grand » ? Une manière approchée de résoudre [B] est de supposer que aucun des coefficients de 3 k0 n’est exceptionnellement grand et d’en annuler séparément chaque terme, à commencer par le terme de plus haut degré en k0. Quelle équation obtient-on ? Donner alors la relation entre n(z) et dS dz , ce dernier étant choisi positif. 11. Comment se simplifient les résultats ci-dessus lorsque n est constant ? Vérifier que l’on retrouve les résultats habituels. L’approximation de l’optique géométrique, étudiée ici, pose que le couple (A, S) effectif est celui où les variations de A sont petites à l’échelle de λ0 = 2π k0 et négligeables devant celles de S. 12. Montrer alors que, dans un voisinage de quelques λ0 autour d’un point P (xp, zp) où l’indice est n (xp, zp) = np, c’est-à-dire pour x = xp + χ et z = zp + ξ avec ξ de l’ordre de λ0, l’onde est localement plane et progressive : toute composante X d’un vecteur du champ s’exprime sous la forme X (x, z, t) ≃ X0 (xp, zp) exp [i (k0npξ + κχ − ωt)]. 13. Préciser le lien entre les vecteurs −→ E , −→ B et ⃗K de composantes [κ, 0, k0np]. 1.3 L’approximation semi classique en mécanique quantique ; une analogie Les fonctions d’onde ψ des états stationnaires d’une particule de masse m et d’énergie E dans le « potentiel » unidimensionnel U (x) sont solutions de l’équation de Schrödinger − ℏ2 2m d2ψ dx2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x). (10) Dans les régions dites quasi classiques, U(x) ≤ E ; l’impulsion classique de la particule étant p2(x) = 2m [E − U(x)], on définit, par analogie avec la relation de de Broglie, la longueur d’onde locale par λ (x) = h p (x) = 2π k (x) ℏ = h 2π et l’équation (10 ) se réécrit d2ψ dx2 + k2 (x) ψ (x) = 0. (11) L’optique géométrique se déduit de l’optique ondulatoire en considérant la limite λ → 0 ; de la même manière, le régime quantique semi-classique est la solution limite de (10) lorsque, par la pensée, on considère la limite ℏ → 0. On pose alors ψ (x) = exp i ℏ σ0 (x) + ℏ i σ1 (x) , où σ0 et σ1 ∈ R. 14. L’approximation d’ordre zéro consiste à ne garder que σ0 dans l’expression de ψ ; déterminer la solution de l’équation (10) à l’ordre 0. Vérifier que, si p est constant (p = p0 > 0), alors ψ (x) ∝ exp ±2iπp0 x h (on ne se préoccupera pas de normalisation). 15. Établir que, C+ et C− étant des constantes complexes dont on ne se préoccupera pas, la solution d’ordre 1 est ψ (x) = C+ |p (x)| exp i ℏ x p (u) du + C− |p (x)| exp − i ℏ x p (u) du (12) 16. Il ressort de (12) que |ψ (x)|2 ∝ 1 |p (x)|. Ce résultat est-il cohérent avec ce que, intuitivement, l’on peut dire de l’occupation de l’espace par l’oscillateur harmonique classique 1D ? 4 2 Partie II : Simulateur de conduite de véhicule à deux roues Introduction aux simulateurs de conduite Les simulateurs de conduite à base mobile pour véhicules à deux roues fournissent des indices de mouvement en cohérence avec les mouvements réels du véhicule. Ils sont souvent constitués d’un bâti fixe et d’une partie mobile comprenant le châssis de la moto et des chaînes cinématiques mues par des actionneurs. Leur but est de restituer les mouvements transitoires, d’incliner la plateforme pour les mouvements lents et, lorsque la vitesse du véhicule virtuel est constante, de retourner à une position calibrée, dite position neutre. Les limitations de ces dispositifs sont partiellement compensées au moyen d’algorithmes qui réalisent des compromis entre fidélité de restitution du mouvement et limites physiques de la plateforme. La plateforme à structure parallèle étudiée ici est représentée dans les Figures 2, 3 et 4 1. Figure 2 – Moto et plate forme. La rotation d’angle ψ autour de Z, dite de lacet, détermine la trajectoire ; la rotation d’angle ϕ autour de X, dite de roulis, définit l’inclinaison de la caisse lors d’un virage ; la rotation d’angle θ autour de Y (θmax ≈ 10°) décrit le tangage, rencontré notamment dans les phases d’accélération et de freinage. Le triplet (ϕ, θ, ψ) est un exemple d’angles d’Euler. Figure 3 – Arrière de la plate forme : pour avoir une hauteur réglable, le châssis de la moto est lié à la glissière via une barre métallique rigide et une liaison rotule fixée à cette dernière. La translation de la glissière crée le mouvement de lacet et reproduit l’effet d’un dérapage de la roue arrière. Une glissière de type chariot mobile est fixée à l’arrière, sur la structure verticale du bâti (Figure 3). 1. La plupart des figures de cette partie est reproduite ou adaptée du mémoire doctoral de M. Lamri Nehaoua, avec son aimable autorisation. 5 La Fig. 4 montre comment on impose un déplacement symétrique des deux pivots mobiles liant les deux vérins au bâti (points B1 et B2 de la Fig. 5). Les notations étant celles de la Fig. 5, les Figure 4 – À gauche : vérins de tangage et de roulis. À droite : fixation et liaisons. Figure 5 – Description cinématique. Les points P1, P2 et P3 sont respectivement les points d’attaches supérieurs des deux vérins avant et de la glissière arrière (non représentée dans la Figure) avec la plateforme. Les points B1, B2 et B3 sont les points d’attaches correspondants avec le bâti. distances OmP1 = OmP2 = ℓ sont constantes, alors que B1O = B2O = d (t), où d (t), représenté à gauche dans la Fig. 5, est variable ; par exemple, le cartouche en haut à droite de cette figure montre que, pour un roulis pur d’angle ϕ, d = ℓ cos ϕ. Le déplacement des points B permet de conserver approximativement le parallélisme des deux vérins. Les angle ϕ et θ sont indépendants ; par contraste, l’angle de lacet ψ génère un tangage et un roulis résiduels, car la plateforme ne possède pas d’axe de rotation propre autour d’un axe porté par ⃗k. Pour des raisons de coût, les déplacements longitudinal et latéral sont ignorés, seule la grandeur articulaire verticale h3 (t) est variable. Définitions et modèle Outre les mouvements de translation selon trois axes orthogonaux, le véhicule est soumis aux trois rotations décrites Figure 2. Un espace articulaire est un espace qui 6 a pour référence le repère lié à chaque articulation motorisée. Les coordonnées associées sont les coordonnées articulaires. L’espace opérationnel a pour référence le repère lié à l’organe terminal de la plateforme. Nous nous intéresserons successivement aux — modèle géométrique, reliant les coordonnées articulaires et opérationnelles, — modèle cinématique, reliant les vitesses articulaires et opérationnelles — et à une esquisse de description de la commande de la plate forme. La géométrie inverse définit les coordonnées articulaires des différents actionneurs en fonction des coordonnées et de l’orientation de la plateforme. On introduit pour ce but un repère R(O,⃗ı,⃗,⃗k) lié au bâti et un repère mobile Rm(Om,⃗ım,⃗m,⃗km) lié à la moto de la manière suivante (Figure 6) : — La rotation de lacet (ψ) autour de ⃗k donne le repère R1 O,⃗ı1,⃗1, ⃗k1 , avec ⃗k1 = ⃗k. — La rotation de tangage (θ) autour de ⃗1 donne le repère R2 O,⃗ı2,⃗2,⃗k2 , avec ⃗2 = ⃗1. — La rotation de roulis (ϕ) autour de ⃗ı2 donne le repère Rm Om,⃗ım,⃗m,⃗km , avec ⃗ım =⃗ı2. Figure 6 – Repères pour lacet, tangage et roulis. Les axes de rotation sont représentés en rouge. Les rotations font passer des « vecteurs noirs » aux « vecteurs bleus ». Dans le repère mobile Rm, les coordonnées des divers points P sont définies par −−−−−−→ OmP1 = ℓ − → m = [0 ℓ 0]T −−−−−−→ OmP2 = −ℓ − → m = [0 − ℓ 0]T −−−−−−→ OmP3 = −ℓ3 − →ı m − h3 (t) − →k m = [−ℓ3 0 − h3]T La matrice de rotation définissant l’orientation du repère mobile Rm par rapport au repère fixe R est notée R = (˜rij). L’axe de roulis est dans le plan de symétrie vertical de la moto et le déplacement de Om selon l’axe ⃗ est nul (ym = 0). La partie supérieure mobile du simulateur est repérée dans R par les coordonnées cartésiennes (xm, ym, zm) de Om dans R et les angles d’Euler (ϕ, θ, ψ). Dans toute la suite, le triplet des composantes du vecteur ⃗X dans le repère Rα sera noté ⃗X Rα ; ainsi, la relation intrinsèque −−−−→ OP3 = −−−−−→ OOm + −−−−−−→ OmP3 entraîne-t-elle la relation algébrique entre les coordonnées cartésiennes de l’origine Om et les angles d’orientation de la plate forme mobile (dans ce cas particulier, ym = 0) : −−−→ OP 3 R = −−−−−→ OOm R + ˜R −−−−−−→ OmP3 Rm , (13) soit    −L ρ3 h    =    xm ym zm    + ˜R    −ℓ3 0 −h3   , de sorte que      xm = −L + r11ℓ3 + r13h3 ρ3 = −r21ℓ3 − r23h3 zm = h + r31ℓ3 + r33h3. Les variables articulaires xm, ym, zm et ρ3 ainsi déterminées, reste à trouver les variables articulaires des deux vérins avant, notées respectivement ρ1 et ρ2, qui définissent la longueur de chaque vérin en fonction de l’orientation de la partie supérieure mobile : ρ2 i = −−−−→ BiPi · −−−−→ BiPi . 7 2.1 Modèle géométrique et cinématique inverses de la plateforme du simulateur 17. On se propose de déterminer la course de chacun des trois vérins, permettant de respecter les caractéristiques géométriques de chaque degré de liberté, telles que données dans le tableau ci-après (le débattement est le double de la valeur maximale). Degré de liberté Lacet ψ Tangage θ Roulis ϕ Valeur maximale (degrés) 10 10 72 Vitesse angulaire maximale degrés · s−1 90 30 360 Pour ce but, on adopte les valeurs numériques L = lm = 1, 2 m, l = d = 0, 2 m, l3 = 1, 1 m, h = 0, 5 m et h3 = 0, 4 m. En s’appuyant sur des schémas et en utilisant la courbe de la Fig. 7, déterminer la course de chacun des trois vérins, d’abord dans le cas du roulis, ensuite dans le cas du lacet. Vérifier enfin que les valeurs trouvées sont compatibles avec la valeur maximale de l’angle de tangage. Figure 7 – Sinusoïde. 18. Exprimer −−−−→ BiPi R (i = 1, 2) en fonction de −−−−→ BiO R , −−−−−→ OOm R , −−−−−−→ OmPi Rm et ˜R. Considérant que la composante sur y des −−−−→ BiPi R est nulle, montrer que d = r22ℓ. Introduisant les vecteurs unitaires −→ ui = −−−−→ BiPi ρi , montrer que la vitesse articulaire des vérins avant est ˙ρi = ˙ −−−−→ BiPi · −→ ui . (14) La cinématique inverse, qui consiste à déterminer les positions et rotations d’articulations permettant d’atteindre un objectif donné, se fait à partir des paramètres des articulations. Conformément à la Figure 6, on note, respectivement, ⃗Ω = ˙ψ⃗k + ˙θ⃗1 + ˙ϕ⃗ı2 le vecteur rotation de la plateforme (aussi nommé vecteur de la vitesse angulaire), ⃗˙q = ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ et l’on admet que, dans R(O,⃗ı,⃗,⃗k) lié au bâti, ⃗Ω = E ˙⃗q =    0 − sin ψ cos θ cos ψ 0 cos ψ cos θ sin ψ 1 0 − sin θ    ˙⃗q. (15) 8 Le torseur cinématique de la plateforme par rapport au bâti, exprimé en Om est W = ⃗Ω ˙ −−−−−→ OOm . 19. Indiquer soigneusement, mais sans effectuer les calculs, la méthode conduisant à la relation 15 ; on précisera, notamment, le paramétrage des angles. 20. En considérant un résultat obtenu à la question 18, exprimer ˙ −−−−→ BiPi (i = 1, 2) dans R en fonction de ˙ −−−−→ BiO, ˙ −−−−−→ OOm dans R et de −→ Ω ∧ R −−−−−−→ OmPi Rm. 21. Établir la relation ˙ρ3 = ˙ −−−−−→ OOm · − →j + R −−−−−−→ OmP3 Rm ∧ − →j · −→ Ω = R −−−−−−→ OmP3 Rm ∧ − →j · −→ Ω. (16) 22. Le résultat établi à la question 20 conduit aux deux relations ˙ρi = ˙ −−−−→ BiO · −→ ui + ˙ −−−−−→ OOm · −→ ui + −→ Ω ∧ R −−−−−−→ OmPi Rm · −→ ui , (17) ˙ρi = ˙ −−−−−→ OOm · −→ ui + R −−−−−−→ OmPi Rm ∧ −→ ui · −→ Ω. (18) On définit −−→ Ai T = R −−−−−−→ OmPi Rm ∧ −→ ui T ( ⃗u3 = ⃗). Vérifier que [ ˙ρ1, ˙ρ2, ˙ρ3] =       −−→ A1 T −−→ u1 T −−→ A2 T −−→ u2 T −−→ Ai T − →j T       W. (19) 2.2 Introduction à la perception Les accélérations du véhicule ne pouvant être reproduites à l’identique, une commande est nécessaire, transformant la trajectoire du véhicule simulé en un mouvement réalisable par la plate- forme, tout en prenant en compte les caractéristiques de la perception. 2.2.1 Modélisation des capteurs ; algorithme du pire cas Le principe de la cinématique inverse est représenté dans la Figure 8. Comme le montre la Figure 9, page 10, les grandeurs de référence sont d’abord calibrées, ce qui permet de réduire d’autant les déplacements du simulateur. La composante transitoire de l’accélération est détectée derrière le filtre passe-haut FPH1. La composante basse fréquence de l’accélération ne pouvant être restituée par un déplacement de la plateforme, la technique dite de tilt (inclinaison de la plate forme) est utilisée pour récupérer une composante de la gravité qui sera perçue comme étant une accélération linéaire par le système de capteurs d’accélérations, situé dans l’oreille interne ; en effet, ce système, incapable dans ces conditions de distinguer une rotation d’une translation, est leurré. La sortie du filtre passe-bas FPB contribue ainsi à définir l’angle d’inclinaison de la plateforme par rapport à la verticale. Ci-après on notera ˜X(p) la transformée de Laplace de la grandeur x(t). 9 Figure 8 – Correspondance entre le mouvement d’un véhicule réel et le mouvement du simulateur. MCA signifie Motion Cueing Algorithm - Algorithme de Restitution du Mouvement. Figure 9 – Élément de l’algorithme de restitution du mouvement. Tilt = inclinaison. Noter la contribution du canal BF d’accélération à la position angulaire du simulateur. 23. Expliquer comment l’on peut, à partir de données d’accélération et de vitesse angulaire, accéder algorithmiquement à la position désirée du simulateur. Les différents filtres passe haut utilisés pour déterminer la position de la plateforme à partir de la partie transitoire de l’accélération sont d’une importance décisive pour la qualité du simulateur. En particulier, il est nécessaire que le simulateur soit ramené en position neutre lorsque le signal d’entrée est un créneau de vitesse. On note av l’accélération longitudinale du véhicule réel, as l’accélération à produire sur le simulateur et l’on considère que av est l’échelon d’amplitude Avm. 24. Avec un filtre passe-haut du deuxième ordre, la position ˜P(p) de la plateforme est liée à l’accélération du véhicule par une relation du type ˜P(p) ˜Av(p) = K p2 + 2ζωnp + ω2n (ζ > 1, K > 0) . (20) En déduire que l’effet de ce filtre est de déplacer la plateforme vers la position P∞, dont on 10 donnera l’expression en fonction de K, Am et ωn. Conclure en expliquant pourquoi des filtres du premier ou du deuxième ordre sont inadaptés. 25. Soit Pm le déplacement linéaire maximal disponible sur le simulateur ; comment choisir ωn ? 26. Un filtre du troisième ordre assure le retour en position neutre. On identifie, dans sa fonction de transfert (21), la partie Filtrage de la relation (20) et la partie Retour à la position neutre. FPH(s) = ˜As(p) ˜Av(p) = K p2 p2 + 2ζωnp + ω2n · p p + ωf . (21) Comment choisir ωf de manière à avoir un retour rapide en position neutre ? On pourra s’appuyer sur une analyse de la Figure 10. Les données de déplacement dans cette Figure sont-elles en accord qualitatif avec vos réponses sur la course des vérins (question 17) ? Figure 10 – Position de la plateforme (en m) en fonction du temps (en s), lorsque l’entrée est un échelon d’accélération, pour K = 1, ζ = 2 et ωn = 1 rad · s−1. La courbe en pointillés correspond à ωf = 0 ; pour une meilleure lisibilité, son amplitude a été divisée par 2. Par amplitude maximale décroissante, les courbes correspondent respectivement à ωf = 1, ωf = 2 et ωf = 4. 2.2.2 Vers un réglage pratique des paramètres, dans le pire des cas Dans des conditions modérées de conduite, un filtre du deuxième ordre suffit (c’est la situation dite du pire cas). La réponse impulsionnelle du filtre intervenant dans la relation (20) est considérée représenter la position de la plate forme et c’est h(t) = K p1 − p2 [exp (p1t) − exp (p2t)] , (22) où p1 et p2 sont les zéros du polynôme p2 + 2ζωnp + ω2 n, avec p2 < p1 < 0. On posera ζ = cosh a. 27. Quelle est, dans l’équation (22), la dimension de K ? Déterminer l’expression de l’instant T où h atteint sa valeur maximale, H. Admettant la relation H = K ωn exp − a tanh a , donner et commenter l’allure graphique de h(t) et celle de T(a). 28. Le canal tilt de la Figure 9 est-il utile pour ce simulateur ? ∗ ∗ ∗ 11

École Polytechnique, Physique et Sciences de l’Ingénieur MP Concours Milieux non homogènes - Simulateur de conduite Solution proposée par JR Seigne MP, avec la collaboration de M Libourel Sciences Industrielles pour l’Ingénieur MP*, Clemenceau Nantes 1 Propagation dans les milieux non homogènes 1.1 Fibre optique à profil parabolique d’indice et oscillateur quantique 1. L’équation de propagation est ∆⃗E + k2 0n2 0 1 − x2+y2 a2 ⃗E = ⃗0 puisque l’on néglige le terme de dis- persion spatiale. Le champ électrique est de la forme ⃗E = Ey(x, y, z, t)⃗ey. En coordonnées cartésiennes, le laplacien vecteur correspond au laplacien scalaire sur chacune des composantes. On a donc en sca- laire : ∆Ey + q2 0 1 − x2+y2 a2 Ey = 0. On peut exprimer le laplacien et, puisque ∂2Ey ∂z2 = −κ2Ey, on arrive à ∆Ey = ∂2E(x,y) ∂x2 + ∂2E(x,y) ∂y2 − κ2E(x, y) exp j(κz − ωt). L’équation différentielle à laquelle obéit l’ampli- tude du champ électrique est ∂2E(x,y) ∂x2 + ∂2E(x,y) ∂y2 + q2 0 − κ2 − q2 0 a2 (x2 + y2) E(x, y) = 0. Afin de raisonner sur des quantités adimensionnées, on effectue le changement de variables proposé : ∂E(x,y) ∂x = ∂E(ξ,η) ∂ξ ∂ξ ∂x = ∂E(ξ,η) ∂ξ q0 a . Pour la dérivée seconde, le processus de calcul est le mˆeme : ∂2E(x,y) ∂x2 = q0 a ∂ ∂x ∂E(ξ,η) ∂ξ . On a ∂2E(x,y) ∂x2 = q0 a ∂2E(ξ,η) ∂ξ2 ∂ξ ∂x . Cela permet d’écrire que ∂2E(x,y) ∂x2 = q0 a ∂2E(ξ,η) ∂ξ2 . Le changement de variable y → η est identique, on arrive à : q0 a ∂2E ∂ξ2 + ∂2E ∂η2 + q2 0 − κ2 − q0 a (ξ2 + η2) E = 0. On divise par le rapport q0/a et on arrive à la forme recherchée : ∂2E ∂ξ2 + ∂2E ∂η2 + (µ − (ξ2 + η2))E = 0 . 2. ¯h est en J · s. Or, J correspond à une énergie comme par exemple une énergie cinétique : J ≡ kg · m2 · s−2. On peut donc écrire que ¯h s’exprime en J · s ≡ kg · m2 · s−1. Comme mω s’exprime en kg · s−1, on en déduit que mω ¯h s’exprime en m−1. C’est l’ inverse d’une distance . Cette unité est logique car la condition de normalisation de la probabilité est 1 = |ψ|2dxdy. Comme dxdy est en m2, le carré du module de la fonction d’onde doit ˆetre en m−2 ce qui fait bien une amplitude à l’inverse d’une distance. Le changement de variable est le mˆeme que celui qui précède, on peut écrire que ∂2ψ ∂x2 = mω ¯h ∂2ψ ∂u2 et comme x2 + y2 = ¯h mω(u2 + v2), l’équation de SCHR ¨ODINGER devient − ¯hω 2 ∂2ψ ∂u2 + ∂2ψ ∂v2 + 1 2 ¯hω(u2 + v2)ψ = (N + 1)¯hωψ. Après simplification, on arrive à : ∂2ψ ∂u2 + ∂2ψ ∂v2 + 2(N + 1) − (u2 + v2) ψ = 0. Cette équation est de forme totalement analogue à celle de la propagation du champ électrique dans la question précédente. 3. On sait qu’un champ électrique est en V · m−1, donc son carré est en V2 · m−2 et par conséquent E2dxdy est en V2. Le terme proposé en V2 représente le carré d’un potentiel ou d’une tension : V est en volt . E2 représente l’image de l’énergie associée au champ électromagnétique qui se propage. On affirme donc par cette condition le fait que l’énergie distribuée dans un plan (xy) perpendiculaire à la direction de propagation est bornée. On peut faire observer que dans le cadre d’un modèle onde plane, cela ne serait pas le cas, ceci montrant le caractère non physique du modèle onde plane que l’on utilise pourtant en permanence. Ceci se justifie en indiquant que seul le paquet d’ondes correspondant à la superposition d’ondes planes a du sens physique. 1 4. La situation des deux équations étant parfaitement similaire, on peut proposer une solution pour le champ électrique de la forme E(x, y) = q0 πa exp − q0 2a(x2 + y2). On doit donc avoir µ = 2(N + 1). La plus petite valeur de N pour l’oscillateur quantique 2D est N = 0 et par conséquent : µmin = 2 . 5. On fixe une valeur de µ, on a alors κ2 = q2 0 − q0 µ a = q0(q0 − µ a ). Pour assurer une propagation de l’onde, il faut que κ soit un réel car un complexe ou un imaginaire pur provoquerait dans la solution une exponentielle réelle qui amortirait l’onde. Si κ est réel, alors κ2 > 0. Il faut donc que q0 = n0 ω c > µ a . On a donc une condition ω > ωc avec comme pulsation limite : ωc = µc n0a . On a ωc c = 2π λc , on en déduit que µ = 2π λc an0 = 157, 1. On doit donc avoir 2 ≤ µ < 17, 45. Comme µ = 2N + 2, µ prend les valeurs entières suivantes : µ ∈ {2; 4; 6; 8; . . . ; 154; 156}. 6. On peut réécrire la relation de dispersion selon : κ2 = n2 0ω2 c2 − n0ωµ ac . Il est plus pratique de modifier un peu cette forme : κ2 = n2 0ω2 c2 1 − µc an0ω . On peut prendre la racine puisque l’on suppose implicitement que ω > ωc. Pour une propagation dans le sens z croissant, on a : κ = n0 c ω 1 − µc an0ω. On peut donc en déduire l’expression de la vitesse de phase : vϕ = ω κ = c n0 1 1− µc an0ω . On constate bien que l’on a : vϕ > c n0 . On a λ = 2πc ω , cela nous permet d’évaluer le terme µc an0ω = µλ 2πn0a. On a λ = 6 × 10−7 m et 2πn0a = 9, 4 × 10−5. Comme µ est de l’ordre de quelques unités, le rapport µc an0ω est rapidement de l’ordre de 1/100. On peut donc effectuer un développement limité de la vitesse de phase : vϕ = c n0 1 + µc 2n0aω . La vitesse de phase est supérieure à la vitesse de la lumière dans le milieu mais cela est sans conséquence puisqu’aucune onde réelle ne correspond à une seule onde plane monochromatique. Pour le calcul de la vitesse de groupe, il est sans doute préférable de différentier au niveau de la relation de dispersion que l’on écrit sous la forme : µ a = n0 c ω − c n0 κ2 ω . Le rapport µ/a est fixé, donc en différentiant, on obtient : 0 = n0 c dω − c n0 2κdκ ω−κ2dω ω2 . En rassemblant les termes facteurs de dω et de dκ, on arrive à l’expression n2 0 c2 + κ2 ω2 dω = 2κ ω dκ. On peut calculer la vitesse de groupe vg = dω dκ = 2κ ω 1 n2 0 c2 + κ2 ω2 . On peut, en utilisant l’expression de la vitesse de phase, arriver à l’expression : vg = c n0 2 1− µc n0aω 1+ κ2c2 n2 0ω2 . On réinjecte l’expression due à la relation de dispersion et on arrive à l’expression de la vitesse de groupe : vg = c n0 1− µc n0aω 1− µc 2n0aω . On constate que cette expression ne permet pas de conclure que la vitesse de groupe est indépendante de µ, c’est-à-dire du mode de propagation. Toutefois, si l’on effectue un développement limité à l’ordre 1 comme pour la vitesse de phase, on obtient 1 − µc n0aω = 1 − µc 2n0aω. Ce terme permet de simplifier alors le numérateur et d’écrire que vg = c n0 . Cela est intéressant car au mˆeme niveau d’approximation, on conserve une vitesse de phase qui dépend du mode de propagation et de la fréquence alors que pour la vitesse de groupe, on a une propagation du paquet d’ondes à une vitesse identique quels que soient la fréquence et le mode de propagation. On constate d’une fac¸on générale, ici, que vg ≤ c n0 , c’est-à-dire que la vitesse du paquet d’ondes - qui correspond à la propagation de l’énergie et de l’information - est bien inférieure à la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu. 7. Nous allons discuter de l’approximation qui a consisté à négliger le terme de dispersion spatiale. Il n’est pas indispensable de passer en coordonnées polaires et d’effectuer les calculs avec l’opérateur gra- dient. En effet, la longueur caractéristique d’évolution spatiale de l’indice n(x, y) est a. Dans ces conditions, ⃗ grad ln(n2) est en 1 a. Ensuite, on est concerné par le gradient de E a , ce qui ramène encore une fois le fac- teur 1 a. On peut donc dire que le terme ⃗ grad ⃗E · ⃗ grad ln(n2) s’identifie à ⃗E a2 . Le terme n2 ω2 c2 ⃗E ≃ n2 0 4π2 λ2 ⃗E. Comparer les deux termes revient à comparer 1 a2 et n2 0 4π λ2 . Cette comparaison conduit à établir une rela- tion d’ordre forte entre λ et 2πn0a. D’après les hypothèses de l’énoncé, on a λ ≪ 2πn0a. Il était donc légitime de négliger le terme de dispersion spatiale. Les valeurs numériques conduisent à 2πn0a λ = 157, ce qui montre que l’on pouvait effectivement négliger le terme de dispersion spatiale. Si l’on veut ef- 2 fectuer un calcul précis, c’est plus laborieux. On passe en coordonnées polaires : n(r)2 = n2 0(1 − r2 a2 ) et ⃗E = ⃗ey q0 πa exp − n0k0 2a r2. On a ln n2 = ln n2 0 + ln(1 − r2 a2 ). Par conséquent : ⃗ grad ln n2 = − 2r a2−r2⃗er. On peut donc calculer Ey⃗ey · ⃗ grad ln n2 = − 2rEy a2−r2 sin θ = F(r, θ) avec l’expression de Ey en fonction de r établie avant. On en déduit que ⃗ grad ⃗E · ⃗ grad (n2) = ∂F ∂r⃗er + 1 r ∂F ∂θ⃗eθ. Les calculs donnent ⃗ grad ⃗E · ⃗ grad (n2) = − 2E a2−r2 a2+r2 a2−r2 − 2πn0r2 aλ sin θ⃗er + cos θ⃗eθ . L’autre terme est n2 0 4π2 λ2 E [sin θ⃗er + cos θ⃗eθ]. Dans cette étude, on a r ≪ a. On peut donc aisément dire que a2+r2 a2−r2 − 2πn0r2 aλ ≃ 1. De la mˆeme fac¸on, on peut proposer 2E a2−r2 ≃ 2E a2 . Comparer les deux termes revient à comparer √ 2 a ≪ 2πn0 λ . C’est quasiment la mˆeme comparaison que la précédente à un facteur √ 2 près. 1.2 Mode TE dans un milieu stratifié 8. L’équation de MAXWELL-FARADAY est ⃗rot ⃗E = − ∂⃗B ∂t = iω⃗B. Comme le champ électrique dépend de x et de z, le rotationnel s’écrit ⃗rot ⃗E = − ∂Ey ∂z ⃗ex + ∂Ey ∂x ⃗ez. Ceci suffit à prouver que le champ magnétique est contenu dans le plan (xz) . 9. On commence par calculer la dérivée première dE dz = dA dz exp ik0S + ik0A dS dz exp ik0S. On passe à la dérivée seconde : d2E dz2 = exp ik0S d2A dz2 + 2ik0 dA dz dS dz + ik0A d2S dz2 − k2 0A dS dz 2 . On écrit donc que d2E dz2 + (n2k2 0 − κ2)E = 0. Cela génère l’équation : k2 0 n2(z) − dS dz 2 A(z) + ik0 2dA dz dS dz + d2S dz2 A(z) + d2A dz2 − κ2A(z) = 0. 10. Le domaine optique est celui du visible pour des longueurs d’onde λ = 5 × 10−7 m et par conséquent k0 = 2π λ ≃ 107 m−1 . Si k0 est grand alors 1 k0 , qui est une longueur, est petite. La longueur d’onde est donc petite devant une longueur caractéristique du système. Comme il s’agit de l’évolution spatiale de l’indice de réfraction, on peut noter ℓc cette longueur caractéristique définie par dn dz ≃ n ℓc . On peut donc écrire que λ ≪ ℓc, ce qui revient à écrire que k0ℓc ≫ 1. Si on annule le terme de plus haut degré du polynˆome précédent en k0, on obtient n(z) = dS dz puisque n(z) > 0 dans le cas ou S(z) est une fonction croissante de z. Dans l’hypothèse ou S(z) est une fonction décroissante de z alors n(z) = − dS dz . 11. Si on a n(z) = n0 alors dS dz = n0 et, par conséquent, S(z) = n0z si l’on choisit correctement les conditions aux limites pour annuler la constante d’intégration. On déduit de cette relation le fait que d2S dz2 = 0. Or, d’après l’annulation du terme en ik0 dans le polynˆome, on obtient 2dA dz dS dz = 2n0 dA dz = 0. A(z) est donc une constante que l’on va noter A0. La solution pour le champ électrique est donc : E(z) = A0 exp in0k0z. On peut écrire l’expression complète du champ électrique : ⃗E = ⃗eyA0 exp i(κx + n0k0z − ωt) . On retrouve bien la solution du modèle onde plane progressive sinusoïdale. 12. Dans cette approximation, on suppose que l’influence de z est beaucoup plus importante sur la phase que sur l’amplitude surtout sur un domaine rapporté à quelques longueurs d’onde. On écrit donc que Ey = A0 exp i(κ(xp + χ) + npk0(zp + ξ) − ωt) = A0 exp i(κxp + npk0zp) exp i(κχ + npk0ξ − ωt). La fonction proposée par l’énoncé est : X0(xp, zp) = A0 exp i(κxp + npk0zp) . 13. Comme le modèle - mˆeme s’il n’est valable que localement - est de type onde plane, on peut utiliser la relation de structure qui découle de ⃗rot ⃗E = − ∂⃗B ∂t = iω⃗B pour obtenir : ⃗B = 1 ω(⃗K ∧ ⃗E) ou ⃗K est le vecteur d’onde de la propagation avec ⃗K = κ⃗ex + npk0⃗ez . 1.3 L’approximation semi classique en mécanique quantique ; une analogie 14. À partir de l’équation de SCHR ¨ODINGER indépendante du temps, on peut écrire que la fonction d’onde obéit à l’équation différentielle du second ordre suivante d2ψ dx2 + p(x)2 ¯h2 ψ = 0. On teste une forme de solution ψ(x) = exp i ¯hσ0(x). La situation est très voisine de ce que l’on vient de faire avant : dψ dx = i ¯h dσ0 dx exp i ¯hσ0(x). 3 On passe maintenant à la dérivée seconde : d2ψ dx2 = − 1 ¯h2 dσ0 dx 2 + i ¯h d2σ0 dx2 exp i ¯hσ0(x). En utilisant ce calcul dans l’équation de SCHR ¨ODINGER, on aboutit à l’équation suivante : p(x)2 − dσ0 dx 2 1 ¯h2 + i ¯h d2σ0(x) dx2 = 0. Ce complexe est nul si ses parties réelle et imaginaire sont nulles. On peut donc écrire que d2σ0(x) dx2 = 0 et p(x)2 = dσ0 dx 2 . On constate que dσ0 dx = Cte. La quantité de mouvement est donc constante : p(x) = p0 pour la solution d’ordre 0. On en déduit par intégration que σ0(x) = ±p0x. La fonction d’onde est donc bien de la forme : ψ(x) ∝ exp ±i p0 ¯h x . On retrouve le modèle onde plane. 15. On procède par la méthode de la variation de la constante à partir de la forme de solution exponen- tielle de la primitive de ±i p(x) ¯h . Ceci est la conséquence du fait que si l’on considère la fonction exp v(x), sa dérivée est dv dx exp v(x). On va travailler pour la solution en p(x) ¯h qui correspond à l’amplitude C+ comme noté dans l’énoncé. On pose donc ψ(x) = A(x) exp i ¯h x p(u)du. On procède au calcul de la dérivée première : dψ dx = dA dx + i ¯h p(x)A(x) exp i ¯h x p(u)du. On passe avec attention au calcul de la dérivée se- conde : d2ψ dx2 = d2A dx2 − p(x)2 ¯h2 A(x) + i ¯h 2p(x) dA dx + A(x) dp dx exp i ¯h x p(u)du. Or, d’après l’équation de SCHR ¨ODINGER indépendante du temps, on a d2ψ dx2 = − p(x)2 ¯h2 ψ(x). On en déduit l’équation complexe sui- vante : d2A dx2 + i ¯h 2p(x) dA dx + A(x) dp dx = 0. On s’intéresse à la solution d’ordre 1. On va négliger le terme d’ordre 2 à savoir d2A dx2 . On obtient alors l’équation différentielle suivante : 2p(x) dA dx + A(x) dp dx = 0. On peut diviser par A(x)p(x). Cela donne : 2dA A + dp p = 0. En intégrant - en passant par les logarithmes -, on arrive à A2(x)p(x) = C2+. On en déduit que A(x) = C+ √ |p(x)| . Le calcul de la solution d’ordre 1 correspond bien à la forme proposée à savoir ψ(x) = C+ √ |p(x)| exp i ¯h x p(u)du + C− √ |p(x)| exp − i ¯h x p(u)du puisque la démarche de calcul pour l’autre racine − ip(x) ¯h est similaire. 16. Un oscillateur harmonique obéit à une équation du type x(t) = L exp iω0t. Il explore un domaine de longueur 2L entre −L et L dans le domaine réel. Sa quantité de mouvement est p = imω0L exp iω0t. On voit bien que sa quantité de mouvement est proportionnelle à L, son module est |p| = mω0L. La densité linéique de probabilité est dP dx = |ψ|2, elle sera en 1 |p(x)|. C’est bien proportionnel à 1/L . On a donc aussi cette situation pour l’oscillateur harmonique 1D puisque l’extension du domaine qui est proportionnelle à L va faire que la densité de probabilité sera bien en 1/L et donc aussi en 1/|p(x)|. 2 Simulateur de conduite de véhicule à deux roues 2.1 Modèle géométrique et cinématique inverses de la plateforme du simulateur 17. Pour le roulis, on a ρ3 = 0 et une rotation de ϕ. On a une course de 2ℓ sin ϕmax = 0, 4 sin 72˚ = 0, 38 m . Pour le lacet, il faut jouer sur ψ, la course est alors 2ℓ3 sin ψmax = 0, 38 m . Pour le tangage, on a encore une course 2ℓ3 sin θ = 0, 38 m, ceci est bien compatible avec ce qui a été trouvé avant pour la course possible sur les vérins. 18. Par la relation de CHASLES, on obtient −→ BiPi = −→ BiO + −−→ OOm + −−→ OmPi. Cette relation vectorielle suffit à elle-mˆeme pour mettre en relation les vecteurs positions mais elle n’est réellement utilisable que si tous les vecteurs sont exprimés dans la mˆeme base comme R par exemple. Il faut donc faire un changement de base pour le vecteur −−→ OmPi. Pour matérialiser dans l’écriture le changement de base, on écrit le vecteur selon : ˜R −−→ OmPi Rm. La relation vectorielle est donc : −→ BiPi = −→ BiO + −−→ OOm + ˜R −−→ OmPi Rm. On a −−→ OmPi Rm = ±ℓ⃗jm. Le changement de base passe par le calcul : ˜R −−→ OmPi Rm =   r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33     0 ±ℓ 0   = ±r12ℓ⃗i ± r22ℓ⃗j ± r32ℓ⃗k. 4 On peut donc développer l’expression du vecteur dans la base de R : −→ BiPi = (xm ± r12ℓ)⃗i + (∓d ± r22ℓ)⃗j + (zm ± r32ℓ)⃗k. Comme le vecteur n’a pas de composante sur⃗j, on en déduit bien la relation demandée par l’énoncé : d = r22ℓ . On a ˙ −→ BiPi = d−−→ BiPi dt R = dρi dt ⃗ui + ρi d⃗ui dt . En effectuant le produit scalaire par le vecteur unitaire ⃗ui, on arrive à ˙ −→ BiPi ·⃗ui = dρi dt + ρi⃗ui · d⃗ui dt . Les opérations de dérivation précédentes sont envisagées dans R. De plus ⃗ui · d⃗ui dt = 1 2 d⃗u2 i dt = 0 car le vecteur est unitaire ce qui signifie que ⃗u2 i = 1. On a donc bien la relation : ˙ρi = ˙ −→ BiPi · ⃗ui. 19. Il y a une erreur d’orientation de l’angle θ sur le schéma proposé par l’énoncé. On conservera l’ex- pression de la vitesse de rotation ⃗Ω = ˙ψ⃗k + ˙θ⃗j1 + ˙ϕ⃗i2. Pour comprendre l’expression utilisant la matrice de changement de base, il faut exprimer les vecteurs unitaire dans la base de R. On a⃗j1 = cos ψ⃗j − sin ψ⃗i. Pour le vecteur unitaire⃗i2, il faut procéder en deux temps. Tout d’abord, on a⃗i2 = cos θ⃗i1 − sin θ⃗k, c’est dans cette expression que l’on a défini θ avec une orientation dans le sens contraire de celui du schéma proposé par l’énoncé, cela provoque le − sin θ dans la projection sur⃗k. Ensuite, on écrit⃗i1 = cos ψ⃗i + sin ψ⃗j. Avec ces projections, on a ⃗Ω = ( ˙ϕ cos θ cos ψ − ˙θ sin ψ)⃗i + ( ˙θ cos ψ + ˙ϕ cos θ sin ψ)⃗j + ( ˙ψ − ˙ϕ sin θ)⃗k . On peut donc écrire ce résultat sous forme matricielle : ⃗Ω =   0 − sin ψ cos θ cos ψ 0 cos ψ cos θ sin ψ 1 0 − sin θ     ˙ψ ˙θ ˙ϕ  . 20. On repart de la relation vectorielle −→ BiPi = −→ BiO + −−→ OOm + −−→ OmPi. On dérive dans R. La dérivation par rapport au temps ne pose pas de problème sauf pour le vecteur −−→ OmPi puisqu’il est exprimé dans la base du repère mobile Rm. Pour ce vecteur, on utilise la règle de dérivation : d−−→ OmPi dt R = d−−→ OmPi dt Rm + ⃗Ω ∧ −−→ OmPi. La construction du repère Rm est telle que le vecteur −−→ OmPi est invariable dans ce repère, on a donc d−−→ OmPi dt Rm = ⃗0. La relation demandée est donc : ˙ −→ BiPi = ˙ −→ BiO + ˙ −−→ OOm + ⃗Ω ∧ ˜R −−→ OmPi Rm si on veut continuer de projeter tous les vecteurs dans la base de R. 21. On effectue le produit scalaire de la relation précédente avec ⃗j tout en travaillant pour les points B3 et P3. On a donc ˙ρ3 = ˙ −−→ B3P3 ·⃗j = ˙ −−→ B3O ·⃗j + ˙ −−→ OOm ·⃗j + ⃗Ω ∧ ˜R −−−→ OmP3 Rm ·⃗j. On a ˙ −−→ B3O ·⃗j = 0 car les vecteurs sont perpendiculaires, c’est la mˆeme chose pour ˙ −−→ OOm ·⃗j = ⃗0. Enfin, pour le troisième terme, on peut utiliser le fait que c’est un produit mixte qui autorise toute permutation circulaire des vecteurs. On a donc⃗j · ⃗Ω ∧ ˜R −−−→ OmP3 Rm = ⃗Ω · ˜R −−−→ OmP3 Rm ∧⃗j . Avec la commutativité du produit scalaire que nous avons déjà utilisée, on arrive à l’expression demandée : ˙ρ3 = ˜R −−−→ OmP3 Rm ∧⃗j · ⃗Ω . 22. L’expression demandée n’est qu’ un jeu d’écriture afin de constituer une matrice ligne pour définir les trois vitesses ˙ρi. La transposition consiste à faire passer d’un vecteur colonne à un vecteur ligne par exemple. Le produit scalaire par le torseur cinématique est évident pour obtenir les relations cinématiques établies dans les questions précédentes. On a donc bien : [ ˙ρ1, ˙ρ2, ˙ρ2] =    [⃗A1]T ⃗u T 1 [⃗A2] T ⃗uT 2 [⃗A3]T ⃗j T    ⃗Ω ˙ −−→ OOm . 2.2 Introduction à la perception 2.2.1 Modélisation des capteurs ; algorithme du pire cas 23. À partir de la vitesse angulaire, on effectue un filtrage, une sommation puis il faut intégrer pour obtenir l’angle dont il faut tourner et donc la position angulaire désirée. À partir de l’accélération linéaire, on filtre et, ensuite, il faut une double intégration pour obtenir la position linéaire désirée afin de déplacer le centre d’inertie de la plateforme correctement. 5 24. Le filtre passe-haut utilisé est de la forme FTPH1 = Kp2 p2+2ξωnp+ω2n pour pouvoir obtenir la fonc- tion de transfert proposée puisque, derrière le filtre, on trouve une double intégration qui impose 1 p2 . Pour obtenir la réponse recherchée de K p2+2ξωnp+ω2n, il faut ˆetre en régime permanent, ce qui correspond à p = 0 si on aborde les choses avec p = jω comme fréquemment en physique. Si on voit les choses par l’approche des sciences industrielles, on parlera plutˆot du théorème de la valeur finale qui dit que limt→∞ P(t) = limp→0 p ˜P(p). Rappelons toutefois qu’un échelon correspond à 1 p dans le domaine de LA- PLACE. Quoi qu’il en soit, on obtient aisément P∞ = KAm ω2n . On ne peut pas utiliser un tel filtre car à chaque échelon d’accélération, on ne revient pas à la position neutre. Si on envisage un filtre passe-haut du pre- mier ordre pour cette réalisation, on aura FTPH1′ = p p+ωn 1 p2 = 1 p(p+ωn). On voit tout de suite qu’en régime permanent (p = jω = 0), on obtient une réponse qui va diverger pour la position désirée. En conclusion, on voit que les filtres passe-haut du premier et du second ordre ne conviennent pas. Comme on le voit par la suite, c’est un filtre du troisième ordre qui est retenu. 25. Si le déplacement linéaire maximal disponible est Pm, alors il faut que P∞ soit inférieur à Pm. Il faut donc choisir ωn de telle sorte que : ωn ≥ KAm Pm . 26. D’après les graphiques proposés, on voit que plus ω f est grande, plus le retour à la position neutre est rapide. Comme nous l’avons vu au départ, le déplacement du vérin est d’environ 0, 19 m. Si l’on examine le cas ω f = 0 qui correspond à l’utilisation d’un filtre d’ordre 2 comme nous en avons discuté avant, on voit sur la courbe en pointillés que le déplacement est de 2 × 0, 12 = 0, 24 m. Cela n’est pas compatible avec la valeur réelle. Par contre, pour toutes les valeurs de ω f ̸= 0 qui correspondent à un filtre du troisième ordre, on constate que le déplacement maximal est inférieur à 0, 09 m ce qui est cette fois compatible avec les courses des vérins vues avant. 27. p est en s−1 et donc K qui s’exprime en h(p1 − p2) est donc en m · s−1 . K est donc une vitesse. On dérive l’expression de h(t), on obtient : dh dt = K p1−p2 [p1 exp p1t − p2 exp p2t]. Cette dérivée s’annule lorsque p1 exp p1T = p2 exp p2T. On en déduit l’expression de la date de passage par le maximum : T = 1 p1−p2 ln p2 p1 . En posant ζ = cosh a, on se place automatiquement en régime apériodique surcritique ou à la limite en régime critique puisque cosh x ≥ 1 ∀x. Rappelons d’ailleurs à cette occasion que le régime critique est obtenu pour ζ = 1 et que c’est ce régime qui assure le retour le plus rapide à la position neutre. L’équation caractéristique est p2 + 2 cosh aωnp + ω2 n = 0. Le discriminant est ∆ = 4ω2 n(cosh2 a − 1) = 4ω2 n sinh2 a. Les racines ou zéros du polynˆome sont donc : p1 = −ωn(cosh a − sinh a) et p2 = −ωn(cosh a + sinh a). À partir de ces calculs, on peut obtenir p1 − p2 = 2ωn sinh a et p2 p1 = cosh a+sinh a cosh a−sinh a = exp 2a. On peut en déduire l’expression de la date de passage par le maximum en fonction de a qui est une variable adi- mensionnée représentative du coefficient d’amortissement : T(a) = 1 ωn a sinh a . Les graphiques de la figure 1 présentent l’évolution de la hauteur h(t) en fonction du temps et de la date T(a) en fonction de a, c’est-à- dire de l’amortissement comme nous venons de le rappeler. t h(t) b b b b H(a1) T(a1) 0 ζ2 ζ1 < ζ2 ζ croˆıt avec a a T(a) b b 1/ωn 0 FIGURE 1 – Évolution de la hauteur de la plateforme et de la date de passage par le maximum À la lecture des graphiques, on peut voir que la date de passage par le maximum diminue lorsque a aug- mente, donc lorsque l’amortissement augmente puisque ζ = cosh a - on peut faire remarquer que, dans le 6 cas d’un ordre 2, a = 0 correspond à ζ = 1, c’est-à-dire au régime critique. On constate aussi sur la figure 2 que la hauteur maximale obtenue diminue aussi lorsque l’amortissement augmente. Ceci est cohérent avec les deux cas de représentation de h(t) lorsque l’amortissement augmente comme on le voit sur le graphique de la figure 1. Rappelons que les réponses envisagées ici sont celles à une impulsion d’accélération. a H(a) b b 0 K eωn FIGURE 2 – Évolution de la hauteur maximale de la plateforme en fonction de l’amortissement 28. Sans la fonction canal tilt, on revient sur une position neutre . Il faut cet angle de décalage pour si- muler l’accélération due au champ de pesanteur. On peut faire observer que le filtrage passe-bas sur l’accélération linéaire fait ressortir l’accélération constante due au champ de pesanteur qui, avec le tangage, est g sin θ ≃ gθ puisque l’angle maximal de tangage est de 10 ˚. Si l’on traite le signal par une opération de division par g comme indiqué sur le schéma bloc, on retrouve donc θ en sortie. Ce n’est donc pas un limiteur de vitesse qu’il faut mettre mais plutˆot un limiteur d’angle qui évitera que les vérins aillent en butée. Par conséquent, il faut placer le sommateur après l’intégrateur 1/p agissant après FPH2 et non pas entre les deux. Ainsi, en sortie correspondant à la rotation désirée, on additionne deux angles dont l’angle correspondant à l’effet de la pesanteur. En conclusion, la fonction tilt est nécessaire mais pas à l’endroit proposé. 7