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CONCOURS COMMUN INP 2022 ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Le sujet est composé d’un exercices et d’un problème, indépendants. EXERCICE M. Toutlemonde habite dans un immeuble dont la porte d’entrée est sécurisée par un code de 4 chiffres dont chacun est compris etre 0 et 9. Malheureusement, il se trouve devant cette porte et il en a oublié le code. Q1. Déterminer la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ puis en déduire son espérance. Q2. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur le bon code ? Q3. M. Toutlemonde décide de trouver le bon code en procédant de la manière suivante : il essaye un code au hasard choisi parmi les codes non encore testés. On note X la variable alétoire égale au nombre de codes testés jusqu’a obtenir le bon code. Déterminer la loi de X et donner son espérance. Q4. À la place de la stratégie précédente, M.Toutlemonde essaye des codes au hasard, sans se soucier du fait qu’il les ait déja essayés ou non. On note encore X la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu’à obtenir le bon code. Déterminer la loi de X et donner son espérance. Q5. Informatique Pour Tous. Compléter, en langage Python, le script suivant pour qu’il simule une personne essayant de deviner le code 4714 : code =4714 n=int( input (’Taper un code à 4 chiffres : ’)) k=............. while............. ............. print(’Vous avez trouvé le code en ’ +str(k)+’ essais.’) ( ........... représente une instruction ou une partie d’instruction à compléter.) Pour ne plus oublier le code, M.Toutlemonde décide de l’écrire sur un papier qu’il garde dans sa poche. Pour ne pas se faire dérober le code il le crypte de la manière suivante : il remplace chacun des 1 4 chiffres par lui-même additionné de 5 et réduit modulo 10 . Par exemple, le code 4714 est crypté 9269. Q6. Informatique Pour Tous. Écrire, en langage Python, une fonction crypte(m) qui reçoit en entrée une liste m de 4 chiffres et ren- voie en sortie la version cryptée de cette liste. Par exemple, crypte ([4,7,1,4]) renvoie [9,2,6,9]. PROBLÈME - Intégrales de Fresnel Dans ce problème, on étudie certaines intégrales et séries numériques reliées aux intégrales dites de Fresnel. Augustin Fresnel (1788-1827) démontra le caractère ondulatoire de la lumière et, pour cette raison, il est considéré comme un des fondateurs de l’optique moderne. Partie I - Intégrales fonctions de leur borne Dans cette partie, on définit la fonction H par l’expression H(x) = x 0 eit2dt, où eit2 signifie exp it2 . Q7. Démontrer que H est définie et de classe C∞ sur R. Donner une expression de H′(x). Q8. Étudier la parité de la fonction H. Q9. Démontrer que la fonction t → eit2 est développable en série entière au voisinage de 0 . En déduire un développement en série entière de la fonction H au voisinage de 0 , en précisant l’intervalle sur lequel ce développement est valable. Q10. Si x > 0, démontrer que : H(x) = 1 2 x2 0 eiu √u du. Q11. Pour x > 4π2, en déduire que : H(x) − H( √ 2π) = −ieix2 2x + i 2 √ 2π − i 4 x2 2π eiu u 3 2 du. Q12. En déduire que l’intégrale généralisée +∞ 0 eit2dt converge. Q13. Informatique Pour Tous. Proposer, en langage Python, une fonction I(f,a,b,n) qui prend en entrée une fonction f à valeurs réelles ou complexes, deux réels a et b et un entier naturel n et qui renvoie une valeur approchée avec la méthode des rectangles de b a f(t)dt calculée avec n rectangles. Q14. Informatique Pour Tous. Proposer, en langage Python, une fonction H(x,n) qui prend en entrée un réel x et un entier naturel 2 n et qui renvoie une valeur approchée de H(x) calculée avec la fonction de la question précédente. On rappelle que le code Python, pour eit2, est exp(1j*t**2). Partie II - Calcul des intégrales de Fresnel Dans cette partie, on étudie la fonction g d’expression : g(x) = +∞ −∞ e−x2(t2−i) t2 − i dt. Pour cela, on pose f(x, t) = e−x2(t2−i) t2 − i . Q15. Si (x, t) ∈ R2, déterminer les modules des nombres complexes e−x2(t2−i) et t2 − i. Q16. Démontrer que g est définie et continue sur R (on pourra utiliser un argument de parité). Q17. Soit (xn)n une suite divergente vers +∞. A l’aide du théorème de convergence dominée, démontrer que lim n→+∞ g (xn) = 0. En déduire la limite de g en +∞ et en −∞. Q18. Démontrer que g est de classe C1 sur R∗. Q19. On admet dans cette question que l’intégrale +∞ −∞ e−t2 dt converge et est égale à √π. Vérifier que : ∀x > 0, g′(x) = −2√πeix2 Q20. Décomposer dans C(X) la fraction rationnelle 1 X2 − i. On admet ensuite que : 1 X2 − i = 1 − i 4 × √ 2 2 × 2X − √ 2 X2 − X √ 2 + 1 + i X2 − X √ 2 + 1 − √ 2 2 × 2X + √ 2 X2 + X √ 2 + 1 + i X2 + X √ 2 + 1 Démontrer que +∞ −∞ 1 t2 − √ 2t + 1 dt = π √ 2. Donner la valeur de +∞ −∞ 1 t2 + √ 2t + 1 dt puis déter- miner la valeur de g(0). Q21. En déduire que : ∀x > 0, g(x) = (1 + i)π √ 2 − 2√π × H(x) où la fonction H a été introduite dans la partie I. Donner ensuite les valeurs de +∞ 0 eit2 dt, de +∞ 0 cos t2 dt et de +∞ 0 sin t2 dt. Partie III - Étude d’une série de fonctions Dans cette partie, on étudie la fonction S d’expression : S(x) = +∞ n=1 einx √n . 3 Pour tout entier naturel n non nul, on note fn la fonction d’expression fn(x) = einx √n . Q22. On suppose que (an)n∈N∗ est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et que (bn)n∈N est une suite bornée. En admettant l’identité suivante : ∀N ∈ N∗, N n=1 an (bn − bn−1) = N n=1 (an − an+1) bn + aN+1bN − a1b0 démontrer que la série an (bn − bn−1) converge. Q23. Soient x ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N∗. Démontrer que : n k=1 eikx = e i(n+1)x 2 × sin nx 2 sin x 2 Q24. A l’aide des deux questions précédentes, démontrer que S est définie sur ]0, 2π[ . Q25. On admet dans cette question que si k ∈ N∗ et x ∈ ]0, 2π[ : ei(k+1)x − eikx ix √ k − k+1 k eitx √ t dt ≤ 1 4k 3 2 . Démontrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout x ∈ ]0, 2π[ : eix − 1 ix S(x) − +∞ 1 eitx √ t dt ≤ C Q26. Déterminer la limite, quand x tend vers 0+, de : I(x) = √x +∞ 1 eitx √ t dt Q27. Déterminer la limite en 0+de la fonction x → eix − 1 ix . Donner alors un équivalent de S(x) quand x tend vers 0+. FIN 4

CONCOURS COMMUN INP 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 1- MP m.laamoum@gmail.com Je remercie infiniment Mr A. El Hammoudi qui a rédigé la partie informatique du Problème . EXERCICE Q1. X ∼ G(p) p ∈ ]0, 1[ , X (Ω) = N∗ pour tout k dans N∗ , P (X = k) = p.qk−1 avec q = 1 − p. Soit t ∈ [−1, 1] , GX(t) = E(tX) = +∞ k=1 tkP (X = k) = +∞ k=1 tkp.qk−1 = tp 1 − qt On a E(X) = G′ X(1) = 1 p . Q2. Le nombre de codes possible est 104 donc la probabilité de tomber sur le bon code est 1 104 Q3. L’expérience est assimilée à un tirage sans remise . Le nombre maximal de tirages est 104 donc X (Ω) = 1, 104 . Soit Ak l’événement : " M. Toutlemonde obtient le bon code au k ieme essai " , on alors [X = k] = A1 ∩ ... ∩ Ak−1 ∩ Ak (1) la formule des probabilités composées donne P (X = k) = P A1 × PA1 A2 × PA1∩A2 A3 ... × PA1∩..∩Ak−2 Ak−1 × PA1∩..∩Ak−1 (Ak) (2) et on a : • P A1 = 1 − 1 104 • PA1∩..∩Ai−1 Ai = 1 − 1 104−i+1 = 104−i 104−i+1 pour 2 ≤ i ≤ k − 1 . • PA1∩..∩Ak−1 (Ak) = 1 104−k+1 Ainsi P (X = k) = 104−1 104 × 104−2 104−1 × ... × 104−k+1 104−k+2 × 1 104−k+1 = 1 104 X suit la loi uniforme sur 1, 104 et E (X) = 104 + 1 2 . Q4. L’expérience est assimilée à un tirage avec remise , donc X (Ω) = N∗. On conserve les notations de Q3 , cette fois on a • P A1 = 1 − 1 104 • PA1∩..∩Ai−1 Ai = 1 − 1 104 pour 2 ≤ i ≤ k − 1 . • PA1∩..∩Ak−1 (Ak) = 1 104 1 Ainsi P (X = k) = 1 104 . 1 − 1 104 k−1 X suit une loi géometrique de paramètre 1 104 et E(X) = 104. Q5. Informatique Pour Tous. code = 4714 n = int(input(’Taper un code à 4 chiffres : ’)) # La partie à compléter k = 1 while n!=code : n = int(input(’Taper un code à 4 chiffres : ’)) k += 1 # Fin de la partie print(’Vous avez trouvé le code en ’+str(k)+’ essais.’) Q6. Informatique Pour Tous. def crypte(m): return [(x+5)%10 for x in m] PROBLÈME - Intégrales de Fresnel Partie I - Intégrales fonctions de leur borne Soit H(x) = x 0 eit2dt. Q7. La fonction f : t → eit2 est de classe C∞ sur R donc H l’est aussi et H′(x) = eix2. Q8. On a H(−x) = −x 0 eit2dt = s=−t − x 0 eis2ds = −H(x) H est impaire Q9. t → et est développable en série entière au voisinage de 0 donc t → eit2 l’est aussi et eit2 = +∞ n=0 (i)n n! t2n ∀t ∈ R Soit x ∈ R , sur le segment [0, x] on peut intégrer , terme à terme, cette série entière , ce qui donne : H(x) = +∞ n=0 (i)n n! (2n + 1)x2n+1 Q10. Si x > 0, on fait le changement u = t2 , on obtient : H(x) = 1 2 x2 0 eiu √u du. 2 Q11. Soit x > 4π2, on a : H(x) − H( √ 2π) = 1 2 x2 2π eiu √u du. une intégration par par parties donne H(x) − H( √ 2π) = −i eiu 2√u x2 0 + i 2 x2 2π eiu −1 2u 3 2 du = −ieix2 2x + i 2 √ 2π − i 4 x2 2π eiu u 3 2 du. Q12. On a eiu u 3 2 = 1 u 3 2 donc la fonction u → eiu u 3 2 est intégrable sur [2π, +∞[ , par conséquent l’intégrale +∞ 2π eiu u 3 2 du converge , de plus eix2 2x → x→+∞ 0 , d’où la convergence de l’intégrale généralisée +∞ 0 eit2dt . Q13. Informatique Pour Tous. def I(f,a,b,n): h = (b-a)/n # le pas S = 0 for i in range(n): S += f(a+i*h) # xi = a+ih return S * h Q14. Informatique Pour Tous. from math import exp, sqrt def H(x,n): f = lambda u : exp(1j*u**2)/sqrt(u) # définition de la fonction f(u) return I(f,0,x**2,n) / 2 Partie II - Calcul des intégrales de Fresnel Soit g(x) = +∞ −∞ e−x2(t2−i) t2 − i dt et f(x, t) = e−x2(t2−i) t2 − i . Q15. Soit (x, t) ∈ R2, e−x2(t2−i) = e−x2t2 et t2 − i = √ 1 + t4. Q16. Nous avons pour (x, t) ∈ R2 |f(x, t)| = e−x2t2 √ 1 + t4 ≤ 1 √ 1 + t4 = φ(t) φ(t) ≤ 1 t2 donc elle est intégrable sur les intervalles [1, +∞[ et sur ]−∞, 1] ce qui prouve qu’ elle est intégrable sur R , par suite t → f(x, t) est intégrable sur R , par suite g est définie sur R . De plus (x, t) → f(x, t) est continue sur R2, elle est dominé par φ , qui est continue et intégrable, donc g est continue sur R. Q17. Soit (xn)n une suite qui tend vers +∞. Posons fn : t → f(xn, t) . Pour tout t ∈ R on a |fn(t)| = e−x2 nt2 √ 1 + t4 → +∞ 0 donc (fn) converge simplement vers 0 sur R et elle est dominée par φ , qui est continue et intégrable sur R, d’après le théorème de convergence dominée on a lim n→+∞ g (xn) = 0. La fonction g est paire donc lim n→+∞ g (−xn) = 0 . D’après la caractérisation séquentielle de la limite on a lim x→+∞ g (x) = lim x→−∞ g (x) = 0 . 3 ( Preuve : Si on suppose que g ne tend pas vers 0 en +∞ alors il existe ε > 0 tel que pour tout A > 0 il existe x > A et |g(x)| > ε . En particulier pour A = n ∈ N , il existe xn > n tel que |g(xn)| > ε ; absurde car lim n→+∞ g (xn) = 0). Q18. On a f est de classe C1 sur R2 et ∂f ∂x(x, t) = −2xe−x2(t2−i) , de plus ∂f ∂x(x, t) = 2xe−x2t2. Soit [a, b] ⊂ R∗+ on a ∂f ∂x(x, t) ≤ 2be−a2t2 = ψ(t) . La fonction ψ est continue intégrable sur R donc g est de classe C1 sur [a, b] . Ceci est valable pou tout [a, b] ⊂ R∗+ donc g est de classe C1 sur R∗+, par parité elle l’est sur R∗ et g′(x) = +∞ −∞ ∂f ∂x(x, t)dt pour tout x dans R∗. Q19. Soit x > 0 , on a g′(x) = −2xeix2 +∞ −∞ e−x2t2dt = u=tx −2eix2 +∞ −∞ e−u2dt = −2√πeix2 Q20. On a X2 − i = X − ei π 4 X + ei π 4 qui donne 1 X2 − i = e−i π 4 2 1 X − ei π 4 − 1 X + ei π 4 Soit a > 0 , on écrit pour tout t : t2 − √ 2t + 1 = t − √ 2 2 2 + 1 2 = 1 2 1 + √ 2t − 1 2 donc a −a 1 t2 − √ 2t + 1 dt = √ 2 arctan( √ 2t − 1) a −a Par passage à la limite sur a on obtient : +∞ −∞ 1 t2 + √ 2t + 1 dt = π √ 2 Par le changement de variables u = −t on obtient +∞ −∞ 1 t2 − √ 2t + 1 dt = +∞ −∞ 1 t2 + √ 2t + 1 dt = π √ 2 Nous avons g(0) = +∞ −∞ dt t2 − i = 1−i 4 √ 2 2 +∞ −∞ 2t− √ 2 t2−t √ 2+1dt + i +∞ −∞ dt t2−t √ 2+1 − √ 2 2 +∞ −∞ 2t+ √ 2 t2+t √ 2+1dt + i +∞ −∞ dt t2−t √ 2+1 Par le changement de variables u = −t on obtient +∞ −∞ 2t− √ 2 t2−t √ 2+1dt = +∞ −∞ 2t+ √ 2 t2+t √ 2+1dt donc g(0) = 1−i 4 2i +∞ −∞ dt t2−t √ 2+1 = (1 + i)π √ 2 Q21. Soit a, x > 0 , on a g′(x) = −2√πeix2 4 En déduire que : g(x) − g(a) = −2√π x a eit2dt = −2√π (H(x) − H(a)) par continuité de g et H en 0 et H(0) = 0 on obtient g(x) = g(0) − 2√π × H(x) = (1 + i)π √ 2 − 2√π × H(x) On fait tendre x vers +∞ on obtient 0 = lim x→+∞ g (x) = (1 + i)π √ 2 − 2√π × lim x→+∞ H (x) ce qui donne +∞ 0 eit2dt = (1 + i)√π 2 √ 2 Par suite +∞ 0 cos t2 dt = +∞ 0 sin t2 dt = √π 2 √ 2 Partie III - Étude d’une série de fonctions Soit S(x) = +∞ n=1 einx √n et fn(x) = einx √n . Q22. Soit (an)n∈N∗ est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et que (bn)n∈N est une suite bornée. et M ≥ 0 tel que |bn| ≤ M ∀n ∈ N. Soit N ∈ N∗ on a N n=1 an (bn − bn−1) = N n=1 (an − an+1) bn + aN+1bN − a1b0 Nous avons aN+1bN − a1 → n→+∞ a1b0 et pour tout n ∈ N |(an − an+1) bn| ≤ M (an − an+1) et N n=1 (an − an+1) = a1 − aN+1 → n→+∞ a1 la série (an − an+1) converge ce qui entraîne la convergence absolue de la série (an − an+1) bn. Ce qui démontre la convergence de la série an (bn − bn−1). Q23. Soient x ∈ ]0, 2π[ et n ∈ N∗. On a : n k=1 eikx = eix einx − 1 eix − 1 = eix e inx 2 e ix 2 e inx 2 − e −inx 2 e ix 2 − e −ix 2 = e i(n+1)x 2 sin nx 2 sin x 2 Q24. S(x) = +∞ n=1 einx √n et fn(x) = einx √n . Posons pour n ≥ 1 , an = 1 √n et bn = n k=1 eikx , on a fn(x) = an (bn − bn−1) . (an)n∈N∗ est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et |bn| ≤ 1 sin x 2 5 la fonction x → 1 sin( x 2) n’est pas bornée sur ]0, 2π[ . Fixons x dans ]0, 2π[ et soit ε > 0 tel que , x ∈ ]ε, 2π − ε[ ⊂ ]0, 2π[ . On a alors sin x 2 ≥ sin ε 2 , par suite |bn| ≤ 1 sin( ε 2) et (bn)n∈N∗ est bornée , d’après Q23 la série fn(x) converge , ainsi la série fn converge simplement sur ]0, 2π[ , ce qui prouve que S est définie sur ]0, 2π[ . Q25. On a si k ∈ N∗ et x ∈ ]0, 2π[ : ei(k+1)x − eikx ix √ k − k+1 k eitx √ t dt ≤ 1 4k 3 2 . donc pour tout N > 0 N k=1 ei(k+1)x − eikx ix √ k − N+1 1 eitx √ t dt ≤ N k=1 1 4k 3 2 . (∗) La série 1 4k 3 2 converge et N k=1 1 4k 3 2 ≤ +∞ k=1 1 4k 3 2 = C. Remarquons que N k=1 ei(k+1)x − eikx ix √ k = N k=1 ei(k+1)x ix √ k − N k=1 eikx ix √ k = eix − 1 ix N k=1 eikx ix √ k Par passage à la limite sur N dans la relation (*) on obtient : eix − 1 ix S(x) − +∞ 1 eitx √ t dt ≤ C pour tout x ∈ ]0, 2π[ Q26. Par le changement de variable u = tx on obtient : I(x) = +∞ x eiu √udu Nous avons H(x) = 1 2 x2 0 eiu √u du. = x 0 eit2dt donc I(x) → x→0+ 2 +∞ 0 eit2du = (1 + i)√π √ 2 Q27. On a eix − 1 ix = sin x x − icos x − 1 x → x→0+ 1 De la question Q25 on a eix − 1 ix √xS(x) − I(x) ≤ √xC pour tout x ∈ ]0, 2π[ donc eix − 1 ix √xS(x) → x→0+ (1 + i)√π √ 2 ce qui donne √xS(x) → x→0+ (1 + i)√π √ 2 et S(x) ∼ x→0+ (1 + i)√π √ 2x FIN 6