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CONCOURS COMMUN INP 2022 ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème tous indépendants. EXERCICE 1 Pour n entier, n ≥ 2, on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1, x2 . . . , xn par : V (x1,x2, . . . , xn) = 1 1 . . . 1 x1 x2 · · · xn x2 1 x2 2 · · · x2 n ... ... ... ... xn−1 1 xn−1 2 . . . xn−1 n . L’objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l’on a : V (x1, x2, . . . , xn) = 1≤i<j≤n (xj − xi). Q1. Calculer V (x1, x2). Expliquer pourquoi il suffit de faire la démonstration pour n nombres complexes x1, x2 . . . , xn deux à deux distincts. Dans la suite, x1, x2 . . . , xn sont n nombres complexes deux à deux distincts. Q2. On considère la fonction t → P(t) = V (x1, x2, . . . , xn−1, t). Démontrer que P est une fonction polynomiale de degré au plus n −1 et justifier que le coefficient de tn−1 est un déterminant de Vandermonde. Démontrer par récurrence que V (x1, x2 . . . , xn) = 1≤i<j≤n (xj − xi). Q3. Première application Calculer le déterminant de la matrice A = ij 1≤i≤n 1≤j≤n en faisant apparaître le déterminant de Vander- monde V (1, 2, . . . , n). Q4. Deuxième application Donner un exemple de n nombres complexes a1, a2, . . . , an deux à deux distincts et tous non nuls, tels que n k=1 a2 k = 0. Soit n nombre complexes x1, x2, . . . , xn deux à deux distincts et tous non nuls, démontrer que l’une au moins des sommes n k=1 xk, n k=1 x2 k, n k=1 x3 k · · · n k=1 xn k est non nulle. On pourra utiliser un déterminant de Vandermonde non nul. 1 EXERCICE 2 Dans cet exercice, ∥ .∥ désigne une norme d’algèbre sur Mn(R). c’est-à-dire une norme vérifiant. pour tout couple (A, B) de matrices de Mn(R), ∥A.B∥ ⩽ ∥A∥ ∥B∥. Q5. Démontrer que pour toute matrice A de Mn(R), la série k≥0 1 k!Ak converge. On notera eA sa somme. Q6. Démontrer que l’application A → eA est continue sur Mn(R). Q7. Si H ∈ Mn(R) est une matrice non nulle de la boule de centre 0 et de rayon r > 0, déterminer la limite de 1 ∥H∥ +∞ k=2 1 k!Hk lorsque H tend vers 0. En déduire que l’application A → eA est différentiable en la matrice 0 . On précisera sa différentielle en 0. 2 PROBLÈME Pour toute matrice A de Mn(R), on note eA = +∞ k=0 1 k!Ak. Dans ce problème, on note Sn l’espace vectoriel des matrices de Mn(R) symétriques. On dit que la matrice A ∈ Sn est symétrique positive lorsque toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles. On note S+ n ’ l’ensemble des matrices symétriques positives. Partie I - Exponentielle d’une matrice symétrique Pour a et b deux réels, on note : A =       a b b b a b b b a       et J =       1 1 1 1 1 1 1 1 1       Q8. Démontrer, en détaillant les calculs, que A ∈ S+ 3 , si et seulement si, (a + 2b ≥ 0 et a ≥ b). Q9. Calculer Jk pour tout entier k non nul. Cette relation est-elle valable pour k = 0 ? En utilisant la relation A = (a − b)I3 + bJ, calculer et expliciter eA. On pourra utiliser sans démonstration que, si deux matrices A et B de Mn(R) commutent. alors eA.B = eAeB. Vérifier que eA ∈ S+ 3 . Q10. Soit P une matrice inversible de Mn(R). Justifier que l’application M → PMP −1 est continue sur Mn(R). Si A ∈ S+ n est semblable à une matrice diagonale D, déterminer une matrice diagonale semblable à la matrice eA. En déduire que eA ∈ S+ n . Partie II - Produit de Hadamard de deux matrices Dans cette partie, pour une matrice A = (ai,j) de Mn(R), on note E(A) la matrice de Mn(R), de terme général eai,j : E(A) = (eai,j). Nous allons démontrer que si A ∈ S+ n , alors E(A) ∈ S+ n . On définit le produit de Hadamard de deux matrices A = (ai,j) et B = (bi,j) de Mn(R) noté ∗ par : A ∗ B = (ai,jbi,j) ∈ Mn(R). On note le produit usuel de deux matrices A et B par AB. On confond une matrice de M1,1(R) avec son terme réel. 3 Q11. Vérifier que, lorsque la matrice A =       a b b b a b b b a       ∈ S+ 3 , la matrice E(A) ∈ S+ 3 . Q12. Si D est une matrice diagonale dont tous les termes sont positifs ou nuls et si Y est matrice de Mn,1(R), quel est le signe de tY DY ? En déduire qu’une matrice A de Sn appartient à S+ n si, et seulement si, pour toute matrice X ∈ Mn,1(R) on a tXAX ≥ 0. Q13. Si A et B sont deux matrices de S+ n et α, β deux réels positifs, démontrer, en utilisant la question Q12, que αA + βB est une matrice de S+ n . Si A et B sont deux matrices de S+ n a-t-on nécessairement AB ∈ S+ n ? Q14. Si A ∈ S+ n , démontrer qu’il existe une matrice R ∈ S+ n telle que A = R2. Q15. Si A et B sont deux matrices de S+ n , si on pose A = U2 et B = V 2 avec U = (ui,j) ∈ S+ n . V = (vi,j) ∈ S+ n et si A ∗ B = (ci,j), vérifier que, pour tout couple (i, j) ∈ 1, n 2. ci,j = n k=1 uk,iuk,j n ℓ=1 vℓ,ivℓ,j . En déduire que, si A et B sont deux matrices de S+ n , on a A ∗ B ∈ S+ n . Q16. Pour toute matrice A de Mn(R) et pour tout entier naturel p ≥ 2, on note A∗p la matrice A ∗ A ∗ . . . ∗ A ( p fois). On note A∗0 = (1) la matrice dont tous les termes sont égaux à 1 et A∗1 = A. Soit une matrice A de Mn(R), déterminer la limite de la suite de matrices (TN) définie pour tout entier naturel N non nul par TN = N p=0 1 p!A∗p. Q17. Pour X ∈ Mn,1(R), justifier que l’application M → tXMX est continue sur Mn(R), puis démontrer que S+ n est une partie fermée de Sn. En déduire que si A ∈ S+ n alors E(A) ∈ S+ n . FIN 4

CONCOURS COMMUN INP 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 2- MP m.laamoum@gmail.com EXERCICE 1 Q1. V (x1, x2) = x2 − x1. Si il existe i ̸= j et xi = xj alors V (x1,x2, . . . , xn) = 0 , car il a deux colonnes identiques. Dans la suite, x1, x2 . . . , xn sont n nombres complexes deux à deux distincts. Q2. Soit P : t → V (x1, x2, . . . , xn−1, t). • Le développement de V (x1, x2, . . . , xn, t) par rapport à la dernière colonne donne P(t) = (−1)n+1∆1,n + (−1)n+2∆2,nt + (−1)n+3∆3,nt2 + ... + (−1)n+n∆n,ntn−1 avec ∆i,n le déterminant obtenu en éliminant la ligne d’indice i et la colonne d’indice n de V (x1,x2, . . . , xn) , les ∆i,n ne dépendent pas de t. Donc P est une fonction polynomiale de degré au plus n −1 . Le coefficient de tn−1 est ∆n,n = V (x1,x2, . . . , xn−1) • On a P(xi) = 0 pour tout i ∈ 1, n−1 , car c’est un déterminant avec deux colonnes identiques, donc le polynôme 1≤i≤n−1 (X − xi) divise P , si P n’est pas le polynôme nul il est de degré n−1, donc P(X) = C 1≤i≤n−1 (X − xi) , avec C ∈ C . C est le coefficient du plus haut degré de P donc C = V (x1,x2, . . . , xn−1) . Ce qui donne pour t = xn V (x1, x2 . . . , xn) = V (x1,x2, . . . , xn−1) 1≤i<j≤n−1 (xn − xi). • Montrons par récurrence que : V (x1, x2, . . . , xn) = 1≤i<j≤n (xj − xi) . La relation est vraie pour n = 2.On la suppose pour n . Soit x1, x2 . . . , xn+1 sont n + 1 nombres complexes deux à deux distincts , on a V (x1, x2 . . . , xn+1) = V (x1,x2, . . . , xn) 1≤i<j≤n (xn+1 − xi) = 1≤i<j≤n (xj − xi) . 1≤i<j≤n (xn+1 − xi) = 1≤i<j≤n+1 (xj − xi) d’où le résultat. 1 Q3. Soit A = ij 1≤i≤n 1≤j≤n , on a det A = 1 1 1 . . . 1 2 22 23 · · · 2n ... ... ... ... ... n n2 n3 . . . nn . On factorise chaque ligne i , donc det A = n! 1 1 1 . . . 1 1 2 22 · · · 2n−1 ... ... ... ... ... 1 n n2 . . . nn−1 = n! V (1, 2, . . . , n). car le déterminant d’une matrice est égale au déterminant de sa transposée. Q4. On prend ak = e ikπ n , k ∈ 1, n . Les nombres complexes a1, a2, . . . , an sont deux à deux distincts et tous non nuls, et n k=1 a2 k = n k=1 e 2ikπ n = 0 Soit n nombre complexes x1, . . . , xn deux à deux distincts et tous non nuls, on a donc V (x1, . . . , xn) ̸= 0 et la matrice M =          1 1 . . . 1 x1 x2 · · · xn ... ... ... ... xn−1 1 xn−1 2 . . . xn−1 n          . est inversible . Le vecteur colonne X = t (x1, . . . , xn) est non nul donc MX l’est aussi . Nous avons MX =        n k=1 xk ... n k=1 xn k        . ainsi l’une au moins des sommes n k=1 xk, n k=1 x2 k, n k=1 x3 k · · · n k=1 xn k est non nulle. 2 EXERCICE 2 Q5. Par récurrence on a Ak ⩽ ∥A∥k pour tout k ≥ 0 . La convergence de la série k≥0 ∥A∥k k! entraîne la converge absolue de la série k≥0 1 k!Ak dans Mn(R) qui est de dimension finie , ce qui prouve la convergence de k≥0 1 k!Ak . Q6. Soit fk : A → 1 k!Ak et r > 0 , on a ∥fk (A)∥ ≤ ∥A∥k k! ≤ rk k! , donc la série k≥0 fk converge normalement et uniformément sur la boule B(0, r) . Continuité de fk : L’application φ : (A1, A2, ..., Ak) → A1 × A2 × ... × Ak est continue, car elle est k-linéaire de Mn(R)k vers Mn(R) et l’application ψ : A → (A, A, ..., A) est linéaire de Mn(R) vers Mn(R)k donc elle est continue . Ainsi fk = 1 k!φoψ est continue sur Mn(R) . Le théorème de continuité des séries de fonctions donne , A → eA est continue sur B(0, r) pour tout r > 0 donc elle est continue sur Mn(R) Q7. Soit H ∈ Mn(R) est une matrice non nulle telle que ∥H∥ ≤ r . Par continuité de la norme on a 1 ∥H∥ +∞ k=2 1 k!Hk ≤ +∞ k=2 ∥H∥k−1 k! ≤ ∥H∥ +∞ k=2 rk−2 k! donc 1 ∥H∥ +∞ k=2 1 k!Hk → H→0 0 , qui s’écrit +∞ k=2 1 k!Hk = o(∥H∥). Examinons la différence eH+0 − e0 , qui vaut eH − In = H + +∞ k=2 1 k!Hk = H + o(∥H∥) donc l’application A → eA est différentiable en la matrice 0 et sa différentielle est l’application identité. 3 PROBLÈME Partie I - Exponentielle d’une matrice symétrique Q8. On a χA(λ) = λ − a −b −b −b λ − a −b −b −b λ − a = C1←C1+C2+C3 (λ − a − 2b) 1 −b −b 1 λ − a −b 1 −b λ − a = L2←L2−L1 L3←L3−L1 (λ − a − 2b) 1 −b −b 0 λ − a + b 0 0 0 λ − a + b = (λ − a − 2b) (λ − a + b)2 Donc Sp(A) = {a + 2b, a − b} , par suite A ∈ S+ 3 , si et seulement si, (a + 2b ≥ 0 et a ≥ b). Q9. Par récurrence on a pour tout entier k non nul Jk = 3k−1J . La relation est non valable pour k = 0 . On a A = (a − b)I3 + bJ et , I3 et J commutent donc eA = e(a−b)I3ebJ de plus e(a−b)I3 = ea−bI3 et ebJ = I3 + +∞ k=1 bk k!Jk = I3 + 1 3 +∞ k=1 (3b)k k! J = I3 + e3b − 1 3 J ainsi eA = ea−bI3 + ea+2b − ea−b 3 J Nous avons eA =       α β β β α β β β α       avec α = ea+2b + 2ea−b 3 et β = ea+2b − ea−b 3 elle a la même forme que A par le même calcul on a Sp(eA) = {α + 2β, α − β} = ea+2b, ea−b , d’où 4 eA ∈ S+ 3 . Q10. Soit P une matrice inversible de Mn(R). L’application M → PMP −1 est linéaire en dimensions finies donc elle est continue . Soit A ∈ S+ n , D diagonale et P inversible telles que A = PDP −1 , par récurrence on a Ak = PDkP −1 ce qui donne N k=0 1 k!Ak = P N k=0 1 k!Dk P −1 l’application M → PMP −1 est continue donc +∞ k=0 1 k!Ak = P +∞ k=0 1 k!Dk P −1 et eA = PeDP −1 D = diag(λ1, ..., λn) donc eD = diag(eλ1, ..., eλn) , ainsi eA ∈ S+ n . Partie II - Produit de Hadamard de deux matrices Q11. Soit A =       a b b b a b b b a       ∈ S+ 3 , donc E(A) =       ea eb eb eb ea eb eb eb ea       elle a la même forme que A par le même calcul on a Sp(E(A)) = ea + 2eb, ea − eb . On a ea + 2eb ≥ 0 et a ≥ b car A ∈ S+ 3 ce qui donne ea − eb ≥ 0 ainsi Sp(E(A)) ⊂ R+et E(A) ∈ S+ 3 . Q12. • Soit D = diag(λ1, ..., λn) avec {λ1, ..., λn} ⊂ R+et Y = t (y1, . . . , yn) ∈ Mn,1(R), alors tY DY = n k=1 λky2 k ≥ 0 • Soit A ∈ Sn donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée , il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale P telles que A = tP.D.P . Si A ∈ S+ n alors D ∈ S+ n , soit X ∈ Mn,1(R) on a tXAX = tX tP.D.PX = t(PX ).D. (PX) ≥ 0. • Réciproquement : si pour tout X dans Mn,1(R) on a tXAX ≥ 0 . Soit λ une vleur propre de A et X = t (x1, . . . , xn) un vecteur propre associé à λ de , alors tXAX = λ tX X = λ n k=1 x2 k donc λ ≥ 0 par suite A ∈ S+ n . Ainsi A ∈ S+ n si et seulement si pour tout X dans Mn,1(R) on a tXAX ≥ 0. 5 Q13. • Soit A et B dans S+ n et α, β deux réels positifs. Pour pour tout X dans Mn,1(R) on a tX (αA + βB) X = αtXAX + βtXBX ≥ 0 donc αA + βB est une matrice de S+ n . • Si A et B sont deux matrices de S+ n alors AB n’est pas forcement symétriques donc en général elle ne sont pas dans S+ n , par exemple A =    2 1 1 1    , B =    1 1 1 1    on a A, B ∈ S+ 2 : tX AX = x y    2 1 1 1       x y    = 2x2 + 2xy + y2 = x2 + (x + y)2 ≥ 0 tX BX = x y    1 1 1 1       x y    = x2 + 2xy + y2 = x2 + (x + y)2 ≥ 0 mais AB =    3 3 2 2    /∈ S2 Q14. Soit A ∈ S+ n , donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée , il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D = diag(λ1, ..., λn) avec {λ1, ..., λn} ⊂ R+ et telles que A = tP.D.P . Posons R = tP. diag(√λ1, ..., √λn).P , on a R ∈ S+ n et A = R2. Q15. Soit A et B dans S+ n , A = U2 et B = V 2 avec U = (ui,j) ∈ S+ n . V = (vi,j) ∈ S+ n . Posons A = (ai,j) , B = (bi,j) et A ∗ B = (ci,j). • Soit (i, j) ∈ 1, n 2, on a ai,j = n k=1 ui,kuk,j , or U est symétrique donc ui,j = uj,i donc ai,j = n k=1 uk,iuk,j , de même bi,j = n ℓ=1 vi,ℓvℓ,j = n ℓ=1 vℓ,ivℓ,j , ainsi ci,j = ai,jbi,j = n k=1 uk,iuk,j n ℓ=1 vℓ,ivℓ,j . 6 • Soit X dans Mn,1(R) , X = t (x1, . . . , xn) , on a : tX (A ∗ B) X = (x1, . . . , xn)         n j=1 c1,jxj ... n j=1 cn,jxj         = n i=1 n j=1 ci,jxixj = n i=1 n j=1 xixj n k=1 uk,iuk,j n ℓ=1 vℓ,ivℓ,j posons u′ k,i = uk,ixi pour tout (k, i) ∈ 1, n 2 et U′ = (u′ k,i)1≤k≤n 1≤i≤n . On a tU′U′ = (a′ i,j)1≤i≤n 1≤j≤n = ( n k=1 u′ k,iu′ k,j)1≤i≤n 1≤j≤n donc tX (A ∗ B) X = n i=1 n j=1 n k=1 u′ k,iu′ k,j n ℓ=1 vℓ,ivℓ,j = n i=1 n j=1 a′ i,jbi,j = Tr((a′ i,j)1≤i≤n 1≤j≤n .t(bi,j)1≤i≤n 1≤j≤n .) = Tr(tU′U′.V 2) ( car V est symétrique ) = Tr(t U′V .U′V ) = U′V 2 ( norme euclidienne de Mn(R)) Ainsi A ∗ B ∈ S+ n . Q16. Soit A = (ai,j)1≤i≤n 1≤j≤n , on a alors A∗0 = (1)1≤i≤n 1≤j≤n et A∗p = (ap i,j)1≤i≤n 1≤j≤n . Pour N entier naturel non nul TN = N p=0 1 p!A∗p = ( N p=0 ap i,j p! )1≤i≤n 1≤j≤n donc lim N→+∞ TN = (eai,j)1≤i≤n 1≤j≤n = E(A). Q17. Soit X ∈ Mn,1(R), l’application Φ : M → tXMX est linéaire de Mn(R) vers R donc elle est continue. Soit (Ak)k∈N une suite convergente de S+ n , montrons que lim k→+∞ Ak ∈ S+ n . Pour tout k ∈ N on a Φ(Ak) = tXAkX ≥ 0 , Φ est continue donc lim k→+∞ Φ (Ak) = Φ lim k→+∞ Ak = tXAX ≥ 0, 7 ainsi A ∈ S+ n et S+ n est une partie fermée de Sn. Soit A ∈ S+ n , d’après Q15 et par récurrence A∗k ∈ S+ n , et d’après Q13, TN ∈ S+ n car elle est combi- naison linéaire , avec des coefficients positifs, de matrices symétriques positives . Par suite E(A) = lim N→+∞ TN ∈ S+ n . FIN 8