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2019-03-22 08:39:04 Page 1/4 2019 Mathématiques 1 MP 4 heures Calculatrice autorisée Notations et définitions Dans tout le problème, 𝕂 désigne ℝ ou ℂ, ℕ désigne l’ensemble des entiers naturels et 𝑛 est un entier naturel. On note 𝕂𝑛[𝑋] le sous-espace vectoriel de 𝕂[𝑋] des polynômes de degré inférieur ou égal à 𝑛 à coefficients dans 𝕂 et, pour 𝑛 ⩾ 1, ℳ𝑛(𝕂) la 𝕂-algèbre des matrices carrées de taille 𝑛 à coefficients dans 𝕂. La matrice unité est notée 𝐼𝑛 et on désigne par GL𝑛(𝕂) le groupe des matrices inversibles de ℳ𝑛(𝕂). Pour toute matrice 𝐴 de ℳ𝑛(𝕂), on note 𝐴⊤ la transposée de la matrice 𝐴, rg(𝐴) son rang, tr(𝐴) sa trace, 𝜒𝐴 = det(𝑋𝐼𝑛 − 𝐴) son polynôme caractéristique, 𝜋𝐴 son polynôme minimal et sp(𝐴) l’ensemble de ses valeurs propres dans 𝕂. Dans tout le problème, 𝐸 désigne un espace vectoriel sur le corps 𝕂 de dimension finie 𝑛 supérieure ou égale à 2, et ℒ(𝐸) est l’algèbre des endomorphismes de 𝐸. On note 𝑓 un endomorphisme de 𝐸. On note 𝑓0 = Id𝐸 et ∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 ∘ 𝑓. Si 𝑄 ∈ 𝕂[𝑋] avec 𝑄(𝑋) = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑋𝑚, 𝑄(𝑓) désigne l’endomorphisme 𝑎0Id𝐸 + 𝑎1𝑓 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑓𝑚. On note 𝕂[𝑓] la sous-algèbre commutative de ℒ(𝐸) constituée des endomorphismes 𝑄(𝑓) quand 𝑄 décrit 𝕂[𝑋]. De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, pour un endomorphisme 𝑓 de 𝐸 : rg(𝑓), tr(𝑓), 𝜒𝑓, 𝜋𝑓 et sp(𝑓). Enfin, on dit que 𝑓 est cyclique si et seulement s’il existe un vecteur 𝑥0 dans 𝐸 tel que (𝑥0, 𝑓(𝑥0), …, 𝑓𝑛−1(𝑥0)) soit une base de 𝐸. I Matrices compagnons et endomorphismes cycliques I.A – Soit 𝑀 ∈ ℳ𝑛(𝕂). Q 1. Montrer que 𝑀 et 𝑀⊤ ont même spectre. Q 2. Montrer que 𝑀⊤ est diagonalisable si et seulement si 𝑀 est diagonalisable. I.B – Matrices compagnons Q 3. Soit (𝑎0, 𝑎1, …, 𝑎𝑛−1) ∈ 𝕂𝑛 et 𝑄(𝑋) = 𝑋𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0. On considère la matrice 𝐶𝑄 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 −𝑎0 1 0 ⋯ ⋯ 0 −𝑎1 0 1 ⋱ ⋮ −𝑎2 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1 0 −𝑎𝑛−2 0 ⋯ ⋯ 0 1 −𝑎𝑛−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Déterminer en fonction de 𝑄 le polynôme caractéristique de 𝐶𝑄. Q 4. Soit 𝜆 une valeur propre de 𝐶⊤ 𝑄. Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé. I.C – Endomorphismes cycliques Q 5. Montrer que 𝑓 est cyclique si et seulement s’il existe une base ℬ de 𝐸 dans laquelle la matrice de 𝑓 est de la forme 𝐶𝑄, où 𝑄 est un polynôme unitaire de degré 𝑛. 2019-03-22 08:39:04 Page 2/4 Q 6. Soit 𝑓 un endomorphisme cyclique. Montrer que 𝑓 est diagonalisable si et seulement si 𝜒𝑓 est scindé sur 𝕂 et a toutes ses racines simples. Q 7. Montrer que si 𝑓 est cyclique, alors (Id, 𝑓, 𝑓2, …, 𝑓𝑛−1) est libre dans ℒ(𝐸) et le polynôme minimal de 𝑓 est de degré 𝑛. I.D – Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton Q 8. Soit 𝑥 un vecteur non nul de 𝐸. Montrer qu’il existe un entier 𝑝 strictement positif tel que la famille (𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓2(𝑥), …, 𝑓𝑝−1(𝑥)) soit libre et qu’il existe (𝛼0, 𝛼1, …, 𝛼𝑝−1) ∈ 𝕂𝑝 tel que : 𝛼0𝑥 + 𝛼1𝑓(𝑥) + ⋯ + 𝛼𝑝−1𝑓𝑝−1(𝑥) + 𝑓𝑝(𝑥) = 0. Q 9. Justifier que Vect(𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓2(𝑥), …, 𝑓𝑝−1(𝑥)) est stable par 𝑓. Q 10. Montrer que : 𝑋𝑝 + 𝛼𝑝−1𝑋𝑝−1 + ⋯ + 𝛼0 divise le polynôme 𝜒𝑓. Q 11. Démontrer que 𝜒𝑓(𝑓) est l’endomorphisme nul. II Étude des endomorphismes cycliques II.A – Endomorphismes cycliques nilpotents Dans cette sous-partie, on suppose que 𝑓 est un endomorphisme nilpotent de 𝐸. On note 𝑟 le plus petit entier naturel tel que 𝑓𝑟 = 0. Q 12. Montrer que 𝑓 est cyclique si et seulement si 𝑟 = 𝑛. Préciser alors la matrice compagnon. II.B – Dans cette sous-partie II.B, on suppose que 𝕂 = ℂ. On suppose que (Id, 𝑓, 𝑓2, …, 𝑓𝑛−1) est libre et on se propose de montrer que 𝑓 est cyclique. On factorise le polynôme caractéristique de 𝑓 sous la forme 𝜒𝑓(𝑋) = 𝑝 ∏ 𝑘=1 (𝑋 − 𝜆𝑘)𝑚𝑘 où les 𝜆𝑘 sont les 𝑝 valeurs propres deux à deux distinctes de 𝑓 et les 𝑚𝑘 de ℕ∗ leurs ordres de multiplicité respectifs. Pour 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑝⟧, on pose 𝐹𝑘 = ker((𝑓 − 𝜆𝑘Id𝐸)𝑚𝑘). Q 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels 𝐹𝑘 sont stables par 𝑓 et que 𝐸 = 𝐹1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐹𝑝. Pour 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑝⟧, on note 𝜑𝑘 l’endomorphisme induit par 𝑓 − 𝜆𝑘Id sur le sous-espace vectoriel 𝐹𝑘, 𝜑𝑘 : ∣ 𝐹𝑘 → 𝐹𝑘, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) − 𝜆𝑘𝑥. Q 14. Justifier que 𝜑𝑘 est un endomorphisme nilpotent de 𝐹𝑘. On note 𝜈𝑘 le plus petit entier naturel tel que 𝜑𝜈𝑘 𝑘 = 0. Q 15. Pourquoi a-t-on 𝜈𝑘 ⩽ dim(𝐹𝑘) ? Q 16. Montrer, avec l’hypothèse proposée, que pour tout 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑝⟧, on a 𝜈𝑘 = 𝑚𝑘. 2019-03-22 08:39:04 Page 3/4 Q 17. Expliciter la dimension de 𝐹𝑘 pour 𝑘 ∈ ⟦1, 𝑝⟧, puis en déduire l’existence d’une base ℬ = (𝑢1, …, 𝑢𝑛) de 𝐸 dans laquelle 𝑓 a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à ℳ𝑚𝑘(ℂ) et étant de la forme ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝜆𝑘 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 𝜆𝑘 ⋱ ⋮ 0 1 𝜆𝑘 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 𝜆𝑘 0 0 ⋯ ⋯ 0 1 𝜆𝑘 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . On pose 𝑥0 = 𝑢1 + 𝑢𝑚1+1 + ⋯ + 𝑢𝑚1+⋯+𝑚𝑝−1+1. Q 18. Déterminer les polynômes 𝑄 ∈ ℂ[𝑋] tels que 𝑄(𝑓)(𝑥0) = 0. Q 19. Justifier que 𝑓 est cyclique. III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius On appelle commutant de 𝑓 l’ensemble 𝒞(𝑓) = {𝑔 ∈ ℒ(𝐸) | 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓}. Q 20. Montrer que 𝒞(𝑓) est une sous-algèbre de ℒ(𝐸). III.A – Commutant d’un endomorphisme cyclique On suppose que 𝑓 est cyclique et on choisit un vecteur 𝑥0 dans 𝐸 tel que (𝑥0, 𝑓(𝑥0), …, 𝑓𝑛−1(𝑥0)) est une base de 𝐸. Soit 𝑔 ∈ 𝒞(𝑓), un endomorphisme qui commute avec 𝑓. Q 21. Justifier l’existence de 𝜆0, 𝜆1, …, 𝜆𝑛−1 de 𝕂 tels que 𝑔(𝑥0) = 𝑛−1 ∑ 𝑘=0 𝜆𝑘𝑓𝑘(𝑥0). Q 22. Montrer alors que 𝑔 ∈ 𝕂[𝑓]. Q 23. Établir que 𝑔 ∈ 𝒞(𝑓) si et seulement s’il existe un polynôme 𝑅 ∈ 𝕂𝑛−1[𝑋] tel que 𝑔 = 𝑅(𝑓). III.B – Décomposition de Frobenius On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons. Q 24. Montrer que si la réunion d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels 𝐹1, …, 𝐹𝑟 de 𝐸 est un sous-espace vectoriel, alors l’un des sous-espaces vectoriels 𝐹𝑖 contient tous les autres. On note 𝑑 le degré de 𝜋𝑓. Q 25. Justifier l’existence d’un vecteur 𝑥1 de 𝐸 tel que (𝑥1, 𝑓(𝑥1), …, 𝑓𝑑−1(𝑥1)) est libre. Pour tout 𝑥 non nul de 𝐸, on pourra remarquer que 𝐼𝑥 = {𝑃 ∈ 𝕂[𝑋] | 𝑃(𝑓)(𝑥) = 0} est un idéal de 𝕂[𝑋] engendré par un polynôme unitaire 𝜋𝑓,𝑥 diviseur de 𝜋𝑓 et considérer les sous-espaces vectoriels ker(𝜋𝑓,𝑥(𝑓)). On pose 𝑒1 = 𝑥1, 𝑒2 = 𝑓(𝑥1), …, 𝑒𝑑 = 𝑓𝑑−1(𝑥1) et 𝐸1 = Vect(𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑑). Q 26. Montrer que 𝐸1 est stable par 𝑓 et que 𝐸1 = {𝑃(𝑓)(𝑥1) | 𝑃 ∈ 𝕂[𝑋]}. On note 𝜓1 l’endomorphisme induit par 𝑓 sur le sous-espace vectoriel 𝐸1, 𝜓1 : ∣ 𝐸1 → 𝐸1, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥). 2019-03-22 08:39:04 Page 4/4 Q 27. Justifier que 𝜓1 est cyclique. On complète, si nécessaire, (𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑑) en une base (𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑛) de 𝐸. Soit Φ la 𝑑-ième forme coordonnée qui à tout vecteur 𝑥 de 𝐸 associe sa coordonnée suivant 𝑒𝑑. On note 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐸 | ∀𝑖 ∈ ℕ, Φ(𝑓𝑖(𝑥)) = 0}. Q 28. Montrer que 𝐹 est stable par 𝑓 et que 𝐸1 et 𝐹 sont en somme directe. Soit Ψ l’application linéaire de 𝐸 dans 𝕂𝑑 définie, pour tout 𝑥 ∈ 𝐸, par Ψ(𝑥) = (Φ(𝑓𝑖(𝑥)))0⩽𝑖⩽𝑑−1 = (Φ(𝑥), Φ(𝑓(𝑥))…, Φ(𝑓𝑑−1(𝑥))). Q 29. Montrer que Ψ induit un isomorphisme entre 𝐸1 et 𝕂𝑑. Q 30. Montrer que 𝐸 = 𝐸1 ⊕ 𝐹. Q 31. En déduire qu’il existe 𝑟 sous-espaces vectoriels de 𝐸, notés 𝐸1, …, 𝐸𝑟, tous stables par 𝑓 tels que : — 𝐸 = 𝐸1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐸𝑟 ; — pour tout 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑟, l’endomorphisme 𝜓𝑖 induit par 𝑓 sur le sous-espace vectoriel 𝐸𝑖 est cyclique ; — si on note 𝑃𝑖 le polynôme minimal de 𝜓𝑖, alors 𝑃𝑖+1 divise 𝑃𝑖 pour tout entier 𝑖 tel que 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑟 − 1. III.C – Commutant d’un endomorphisme quelconque Q 32. Montrer que la dimension de 𝒞(𝑓) est supérieure ou égale à 𝑛. Q 33. On suppose que 𝑓 est un endomorphisme tel que l’algèbre 𝒞(𝑓) est égale à 𝕂[𝑓]. Montrer que 𝑓 est cyclique. IV Endomorphismes orthocycliques Dans cette partie, on suppose que 𝕂 = ℝ et que 𝐸 est un espace euclidien. Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑥, 𝑦 de 𝐸 est noté (𝑥 | 𝑦) et on désigne par O(𝐸) le groupe des isométries vectorielles de 𝐸. On dit qu’un endomorphisme 𝑓 de 𝐸 est orthocyclique s’il existe une base orthonormale de 𝐸 dans laquelle la matrice de 𝑓 est de la forme 𝐶𝑄 (matrice compagnon). IV.A – Isométries vectorielles orthocycliques Soit 𝑓 ∈ O(𝐸). Q 34. Soit 𝑓′ ∈ O(𝐸) ayant même polynôme caractéristique que 𝑓. Montrer qu’il existe des bases orthonor- males ℬ et ℬ′ de 𝐸 pour lesquelles la matrice de 𝑓 dans ℬ est égale à la matrice de 𝑓′ dans ℬ′. Q 35. En déduire que 𝑓 est orthocyclique si et seulement si 𝜒𝑓 = 𝑋𝑛 − 1 ou 𝜒𝑓 = 𝑋𝑛 + 1. IV.B – Endomorphismes nilpotents orthocycliques Soit 𝑓 un endomorphisme nilpotent de 𝐸. Q 36. Montrer qu’il existe une base orthonormale de 𝐸 dans laquelle la matrice de 𝑓 est triangulaire inférieure. Q 37. En déduire que 𝑓 est orthocyclique si et seulement si 𝑓 est de rang 𝑛 − 1 et ∀𝑥, 𝑦 ∈ (ker 𝑓)⊥, (𝑓(𝑥) | 𝑓(𝑦)) = (𝑥 | 𝑦). • • • FIN • • •

Un corrigé du centrale-supelec 2019 Maths-1- Filière MP Mr : HAMANI Ahmed I :Matrices compagnons et endomorphismes cycliques I.A- Q1. χM = det(XIn − M) = det((XIn − M)T ) = det(XIn − M T ) = χM T , donc Sp(M) = Sp(M T ). Q2. Soit M ∈ Mn(R) diagonalisable, alors il existe P ∈ GLn(R) et D diagonale tel que M = PDP −1, donc par transposée, on obtient M T = (P −1)T DT P T = (P T )−1DP T , donc M T est aussi diagonalisable. En inversant les rôles de M et M T , on aura l’autre implication, ce qui assure l’équivalence. I.B-Matrices compagnons Q3. χCQ = X 0 . . . . . . 0 a0 −1 X 0 . . . 0 a1 0 −1 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... ... ... −1 X an−2 0 . . . . . . 0 −1 X + an−1 En efféctuant l’opération élémentaire L1 ←− L1 + n−1 k=1 XkLk+1, on obtient χCQ = 0 0 . . . . . . 0 Q(X) −1 X 0 . . . 0 a1 0 −1 ... ... a2 ... ... ... ... 0 ... ... ... −1 X an−2 0 . . . . . . 0 −1 X + an−1 , et par développement par rappport à la première ligne, on obtient χCQ = (−1)n+1Q(X) −1 X 0 . . . 0 0 −1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... −1 X 0 . . . . . . 0 −1 = (−1)n+1Q(X)(−1)n−1 = Q(X) Q4. Soit λ ∈ Sp(QT ). QT − λIn = −λ 1 0 · · · · · · 0 0 −λ 1 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 0 0 · · · 0 −λ 1 −a0 −a1 · · · · · · −an−1 −λ − an−1 rg(QT −λIn) ≥ n−1 et puisque λ est une valeur propre, rg(QT −λIn) ≤ n−1, donc rg(QT −λIn) = n−1, donc dim(Ker(QT − λIn)) = 1. Soit X = (x1, ..., xn)T ∈ Ker(QT − λIn), alors on a le système ∀k ∈ [[1, n − 1]], −λxk + xk+1 = 0, donc ∀k ∈ [[2, n]], xk = λk−1x1, c’est à dire Ker(QT − λIn) = V ect(Vλ) où Vλ = (1, λ, λ2, ..., λn−1)T . I.C- Endomorphismes cycliques Q5. =⇒ Si f est cyclique, alors E admet une base de la forme B = (x0, f(x0), ..., f n−1(x0)), donc la matrice de f dans cette base est CQ, où Q = Xn + n−1 k=0 akXk avec f n(x0) = − k−1 k=0 akf k(x0). ⇐= Soit B = (e1, ..., en) une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme CQ, alors ∀k ∈ [[1, k − 1]], f(ek) = ek+1, donc ∀k ∈ [[2, n − 1]], ek = f k−1(e1) et par suite B = (e1, f(e1), ..., f n−1(e1)) d’où f est cyclique. 1 Q6. =⇒ Soit f diagonalisable. f étant cyclique, donc d’après Q5., il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme CQ, alors CT Q est diagonalisable par la question Q2., donc ∀λ ∈ Sp(CT Q) = Sp(CQ) = Sp(f), dim(Ker(QT − λIn)) = 1 = m(λ), c’est à dire λ est une racine simple de χCT Q = χCQ = χf. En définitive χf est scindé à racines simples. ⇐= Si χf est scindé à racines simples, alors f est annulée par un polynoôme scindé à racines simples, donc f est diagonalisable. Q7. • Si la famille (idE, f, ..., f n−1) est liée alors ∀x ∈ E, (x, f(x), ..., f n−1(x)) est liée, ce qui contredit que f est cyclique qui exige l’existence de x0 ∈ E tel que (x0, f(x0), ..., f n−1(x0)) soit une base de E • Soit d le degré de πf et supposons que d ≤ n − 1, alors (id, f, ..., f d) est liée, donc (id, f, ..., f n−1) est aussi liée comme surfamille d’une famille liée, ce qui contredit sa liberté déjà montrée , et par suite d ≥ n, de plus on a toujours d ≤ n, donc d = n. I.D- Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton Q8. L’ensemble Ix = {k ∈ N∗ / (x, f(x), ..., f k−1(x)) est libre} est une partie de N contenant 1 et majorée par n = dim(E), donc admet un maximum p ∈ N∗, et par suite p ∈ Ix et p + 1 /∈ Ix, c’est à dire (x, f(x), ..., f p−1(x)) est libre et (x, f(x), ..., f p(x)) est liée,ce qui assure l’existence des αi ∈ K. Q9. Posons F = V ect(x, f(x), ..., f p−1(x)) . f(F) = V ect(f(x), ..., f p−1(x), f p(x))), or f p(x) ∈ V ect(x, f(x), ..., f p−1(x))) = F, donc F est stable par f. Q10. Notons Q = Xp+αp−1f p−1(x)+....+α0 et fp l’endomorphisme induit par f sur F, alors (x, f(x), ..., f p−1(x)) est une base de F et la matrice de fp dans cette base est CQ, donc χfp = χCQ = Q divise χf. Q11. Soit x ∈ E non nul. On garde les mêmes notations des trois questions précédentes, on aura Q divise χf , donc χf = QR, or Q(f)(x) = 0, donc χf(f)(x) = R(f)(Q(f)(x)) = R(f)(0) = 0, donc pour tout x ∈ E non nul, χf(f)(x) = 0, de plus χf(f)(0) = 0, donc χf(f) est nul sur E. II Étude des endomorphismes cycliques II.A Endomorphismes cycliques nilpotents Q12. f étant nilpotent d’indice de nilpotence r, donc de polynôme minimal πf = Xr. =⇒ Si f est cyclique, alors d’après la question Q7., deg(πf) = n, donc r = n. ⇐= Si n est l’indice de nilpotence, alors f n−1 ̸= 0, ce qui entraine l’existence de x ∈ E non nul tel que f n−1(x) ̸= 0. On a alors B = (x, f(x), ..., f n−1(x)) est libre. En effet soit α0, ..., αn−1 ∈ K tel que n−1 k=0 αkf k(x) = 0, alors si les αk ne sont pas tous nuls, considérons p le plus petit indice tel que αk ̸= 0, on aura n−1 k=p αkf k(x) = 0, ce qui donne en prennant l’image par f n−1−p, αpf n−1(x) = 0 qui contredit le fait que αp ̸= 0 et f n−1(x) ̸= 0. B est donc une base de E, ce qui rend f cyclique et sa matrice dans cette base est de la forme CQ où Q = Xn. II.B Q13. • (f − λkIdE)mk est un polynôme en f, donc Fk = Ker((f − λkIdE)mk) est stable par f. • Les polynômes (X −λk)mk sont premiers entre eux et χf(f) = 0, alors par le lemme des noyaux, on aura E = F1 ⊕ ... ⊕ Fp. Q14. La stabilité de Fk par f rend ϕk un endomorphisme de Fk, de plus ∀x ∈ Fk, (f − λkIdE)mk(x) = 0, c’est à dire ϕmk k est nul sur Fk, donc ϕk est nilpotent. Q15. Xνk est le polynôme minimal de ϕk, donc νk = deg(πϕk) ≤ dim(Fk). Q16. Notons ψk l’endomorphisme induit par f à Fk, alors la question précédente assure que πψk = (X −λk)νk et puisque E est somme directe des Fk, on a πf = ppcm((X − λ1)ν1, ..., (X − λp)νp) = p k=1 (X − λk)νk. Or l’hypothèse (idE, f, ..., f n−1) est libre entraine que χf = πf, ce qui exige νk = mk. Q17. • Des deux questions pécédentes, on tire que pour tout k ∈ [[1, p]], dim(Fk) ≥ mk et puisque p k=1 dim(Fk) = p k=1 mk = n, on aura p k=1 (dim(Fk) − mk) = 0 somme nulle de termes positifs, donc ∀k ∈ [[1, p]] dim(Fk) = mk. 2 • ϕk étant nilpotent d’indice de nilpotence νk = mk = dim(Fk), donc d’après la question Q12., ϕk est cyclique et sa matrice dans une base bien choisie est de la forme Ck = 0 0 · · · 0 0 1 0 0 0 1 ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · 0 1 0 , donc la matrice de ψk dans cette base est Dk = λk 0 · · · 0 0 1 λk ... 0 0 1 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 1 λk , et par suite la matrice de f dans cette base est diagonale par blocs, contenant p locs chacun de taille mk. Q18. • Posons v1 = u1, v2 = um1+1,..., vp = um1+...+mp−1+1, alors ∀k ∈ [[1, p]], vk ∈ Fk, donc par définition (f − λkIdE)mk(vk) = 0, ce qui entraine χf(f)(vk) = 0 et par suite par linéarité χf(f)(x0) = 0. • D’autre part soit Q ∈ C[X] tel que Q(f)(x0) = 0, alors par linéarité p k=1 Q(f)(vk) = 0, or par stabilité Q(f)(vk) ∈ Fk, et vu que les Fk sont en somme directe, on aura ∀k ∈ [[1, p]] Q(f)(vk) = 0. La division euclidiènne de Q par (X − λk)mk donne l’existence de q, r ∈ C[X] tel que Q = q(X − λk)mk + r avec deg(r) ≤ mk − 1, or (f − λkidE)mk(vk) = 0, donc r(f)(vk) = 0 et par suite r ne peut être non nul, puisque (vk, f(vk), ..., f mk−1(vk)) est une base de Fk, d’où r = 0 et par suite (X − λk)mk divise Q. Les polynômes (X − λk)mk sont premiers entre eux, ce qui entraine χf = p k=1 (X − λk)mk divise Q. En définitive l’ensemble des polynômes Q est l’idéal engendré par χf. Q19. D’après la question précédente, (x0, f(x0), ..., f n−1(x0)) est une base de E, donc f est cyclique. III Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius Q20. • IdEof = foIdE, donc IdE ∈ C(f). • ∀g, h ∈ C(f), ∀α ∈ K, (g + αh)of = gof + αhof = fog + αfoh = fo(g + αh), donc g + αh ∈ C(f). • ∀g, h ∈ C(f), (goh)of = go(hof) = go(foh) = (gof)oh = (fog)oh = fo(goh), donc goh ∈ C(f). on conclut que C(f) est une sous-algèbre de L(E). III.A - Commutant d’un endomorphisme cyclique Q21. L’existence des λk vient de l’écriture du vecteur g(x0) dans la base (x0, f(x0), ..., f n−1(x0)). Q22. On va montrer que g = n−1 k=0 λkf k. Par la question précédente, ces deux endomorphismes coincident en x0. De plus puisque g ∈ C(f), pour tous j ∈ [[1, n − 1]], g(f j(x0)) = f j(g(x0)) = f j( n−1 k=0 λkf k(x0)) = ( n−1 k=0 f k)(f j(x0)), alors ces deux endomorphismes coincident sur la base (x0, f(x0), ..., f n−1(x0)), donc g = n−1 k=0 λkf k. Q23. On vient de montrer l’implication directe, et puisque tout polynôme de f commute avec f, on a la réci- proque. III.B - Décomposition de Frobenius Q24. On va le montrer par récurrence sur la dimension de F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fr. • Si dim r j=1 Fj = 1, alors ∃i ∈ [[1, r]] tel que dim(Fi) = 1, donc Fi = r j=1 Fj contient tous les autres Fk. • Supposons le résultats est vrai pour dim( r j=1 Fj) = p et supposons que dim(F) = p + 1, où on a posé F = r j=1 Fj). 3 Raisonnons par l’absurde et supposons que ∀j ∈ [[1, r]], Fj ̸= F. Considérons un hyperplan H de F = r j=1 Fj, alors H = H ∩ F = r j=1 (Fj ∩ H) et dim(H) = p comme sous-espace vectoriel de F, donc par hypothèse de récurrence, ∃i ∈ [[1, r]] tel que H ∩ Fi contient tous les H ∩ Fk et par suite H ∩ Fi = H, ce qui exige que H ⊂ Fi et puisque Fi ̸= F, on aura grâce aux dimensions Fi = H . Ainsi tout hyperplan de F est l’un des Fi où i = 1, ..., r, ce qui contredit que le nombre des hyperplans de F est infini. On conclut que ∃i ∈ [[1, r]] tel que Fi = F, donc Fi contient tous les Fk et la récurrence est établie. Q25. Pour tout x ∈ E, πf,x divise πf, donc {x ∈ E / πf,x|πf} est fini, soit égale à {x1, ..., xr}, or ∀x ∈ E, πf,x(f)(x) = 0, donc E = x∈E Ker(πf,x(f)) = r i=1 Ker(πf,xi(f)) et par la question précédente, ∃j ∈ [[1, r]] tel que E = Ker(πf,xj(f)) et par suite πf,xj(f) = 0, ce qui exige que πf divise πf,xj c’est à dire πf,xj = πf, donc (xj, f(xj), ..., f d−1(xj)) est une famille libre de E grâce à la minimalité du degré de πf,xj. Q26. deg(πf) = d et unitaire, donc f d ∈ V ect(idE, f, ..., f d−1), donc f d(x1) ∈ V ect(x1, f(x1), ..., f d−1(x1)) et par suite E1 est stable par f. Pour tout P ∈ K[X], la division euclidiènne de P par πf donne l’existence de Q, R ∈ K[X] tel que P = πfQ + R où deg(R) ≤ d − 1, donc P(f) = πf(f)oQ(f) + R(f) = R(f) ∈ V ect(idE, f, ..., f d−1) et par suite P(f)(x1) ∈ V ect(x1, f(x1), ..., f d−1(x1)). On conclut que {P(f)(x1) / P ∈ K[X]} ⊂ E1, la réciproque est évidente. Q27. ψ1 est un endomorphisme de E1 tel que (x1, ψ1(x1), ..., ψd−1 1 (x1)) est une base de E1, donc ψ1 est cyclique. Q28. • Soit x ∈ F, alors ∀i ∈ N, Φ(f i(x)) = 0, donc Φ(f i+1(x)) = Φ(f i(f(x)) = 0, c’est à dire f(x) ∈ F, ce qui assure la stabilité de F. • Soit x = d i=1 αiei ∈ E1 ∩ F, alors pour tout k ∈ [[0, d − 1]], 0 = Φ(f k(x)) = αd−k, donc x = 0, d’où E1 et F sont en somme directe. Q29. • La linéarité de Ψ vient de la linéarité de Φ et f. • Soit x = d k=1 αiei ∈ E1 tel que Ψ(x) = (Φ(x), ..., Φ(f d−1(x)) = (αd, αd−1, ..., α1) = (0, ..., 0), alors x = 0, donc Ker(Ψ) ∩ E1 = {0} de plus dim(E1) = dim(Kd), donc Ψ est un isomorphisme de E1 dans Kd. Q30. Déjà F ⊂ Ker(Ψ). Réciproquement soit x ∈ Ker(Ψ), alors Φ(x) = Φ(f(x)) = ... = Φ(f d−1(x)) = 0, or deg(πf,x) ≤ deg(πf) = d, donc ∀k ≥ d, f k(x) = d−1 i=0 αif i(x) et par suite Φ(f k(x)) = d−1 i=0 αiΦ(f i(x)) = 0, c’est à dire x ∈ F. On conclut que F = Ker(Ψ) et par théorème du rang appliqué à Ψ, dim(F) = dim(E) − dim(Im(Ψ)) = n − d. On conclut que d’après la question Q28, E1 et F sont en somme directe et on vient de montrer que dim(E1) + dim(F) = dim(E), donc E = E1 ⊕ F. Q31. • Soit d = deg(πf), on vient de montrer que E = E1 ⊕ F où ψ1 l’endomorphisme induit par f sur E1 est cyclique de matrice dans la base (x1, f(x1), ..., f d−1(x1)) de E1 est une matrice compagnon, avec P1 = πf. • Si F = {0}, on a le résultat. Si non, F étant stable par f, on refait le même raisonnement à l’endomorphisme induit par f sur F qu’on notera f|F , on obtient F = E2 ⊕ G où ψ2 l’endomorphisme induit par f sur E2 est cyclique, avec P2 = πf|F |πf = P1. • La finitude de la dimension de E exige que ce procédé est fini, ce qui donne le résultat. III.C - Commutant d’un endomorphisme quelconque Q32. Considérons l’ensemble G = {g ∈ C(f) / ∀i ∈ [[1, r]] g(Ei) ⊂ Ei}. On garde les notations de la question précédente et notons gi l’endomorphisme de Ei induit par g. Alors g ∈ C(f) ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, r]] ψiogi = gioψi ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, r]] gi ∈ C(ψi). Or dim(C(ψi)) = deg(Pi) = di, donc dim(G) = r i=1 d2 i ≥ r i=1 di = n, or G ⊂ C(f), donc dim(C(f)) ≥ dim(G) ≥ n. Q33. C(f) = K[f], donc dim(C(f)) = dim(K[f]) = deg(πf) et par la question précédente, deg(πf) ≥ n, et par suite deg(πf) = n, ce qui entraine la cyclicité de f. 4 IV Endomorphismes orthocycliques IV.A - Isométries vectorielles orthocycliques Q34. • Posons χf = χf ′ = (X − 1)p(X + 1)q r i=1 (X2 − 2cos(θi)X + 1) avec p + q + 2r = n et p, q, r ∈ N. • D’après le théorème de réduction des automorphismes orthogonaux, il existe B, B′ deux bases orthonor- mées de E, tel que MatB(f) = MatB′(f) = diag(Ip, −Iq, R(θ1), ..., R(θr)) avec R(θi) = cos(θi) −sin(θi) sin(θi) cos(θi) Q35. =⇒ supposons que f est orthocyclique, alors la matrice de f dans une base orthonormée est CQ avec Q = Xn + an−1Xn−1 + ... + a1X + a0, donc CQ est une matrice orthogonale. Notons C1, ..., Cn les colonnes de CQ, alors ∀i ∈ [[1, n − 1]], 0 = CT i Cn = ai et 1 = CT n Cn = n−1 i=0 a2 i , ce qui exige a2 0 = 1, c’est à dire a0 = ± 1, donc χf = Q = Xn + a0. ⇐= Soit Q = Xn − ε où ε = ± 1 et soit f ′ l’endomorphisme de matrice CQ dans une base orthonormée, alors f ′ ∈ O(E) et χf = χf ′, donc d’après la question précédente, il existe une base orthonormée B dans laquelle la matrice de f est CQ, ce qui entraine que f est orthocyclique. IV B - Endomorphismes nilpotents orthocycliques Q36. • f est nilpotent, donc il existe une base B = (e1, ..., en) de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire inférieure stricte T. • Soit C = (ε1, ..., εn) l’orthonormalisée de Schmidt de la base B′ = (en, en−1, ..., e1), alors P la matrice de passage de B à la base C′ = (εn, ..., ε1) est triangulaire inférieure et on a MatC′(f) = P −1MatB(f)P est triangulaire inférieure comme produit de matrices triangulaires inférieures. Q37. =⇒ Supposons que f est orthocyclique, alors f est nilpotent cyclique, donc d’après la question Q12, l’in- dice de nilpotence est n et par suite sa matrice dans une base orthonormée B = (e1, ..., en) est CXn, donc Ker(f) = V ect(en) et (Ker(f))⊥ = V ect(e1, ..., en−1), et par suite f((Ker(f))⊥) = V ect(f(e1), ..., f(en−1)) = V ect(e2, e3, ..., en), or (e2, ..., en) est une famille orthonormée, donc ∀x, y ∈ (Ker(f))⊥ (f(x)|f(y)) = (x|y). ⇐= Supposons que f satisfait aux deux hypothèses rg(f) = n − 1 et ∀x, y ∈ (Ker(f))⊥, (f(x)|f(y)) = (x|y). • D’après la question précédente, la matrice de f est triangulaire inférieure stricte dans une base ortho- normée B = (e1, ..., en) de E, de la forme M = 0 · · · 0 0 0 T ... 0 où T triangulaire inférieure de Mn−1(R) de rang n − 1. • E = (Ker(f))⊥ ⊕ Ker(f), donc (e1, ..., en−1) est une base orthonormée de (Ker(f))⊥ et Ker(f) = V ect(en), donc ∀i, j ∈ [[1, n − 1]] (f(ei)|f(ej)) = (ei|ej) = δi,j et par suite T est une matrice orthogonale de On−1(R). (car ces colonnes forment une base orthonormée de V ect(e2, ..., en).) • Sp(T) est réel inclu dans {−1, 1}, et puisque T est orthogonale, la norme de chaque colonne est égale à 1, et par suite les composantes sont nulle sauf la seule composante qui est 1 ou −1, d’où T = diag(−Ip, Iq) avec p, q ∈ N et p + q = n − 1. • Si p = 0, alors T = In−1 et M = CXn. Si p ≥ 1, La matrice M est orthogonalement semblable à CXn, en effet B = (e1, ..., ep, ep+1..., eq, en), alors la matrice de f dans la base orthonormée B′ = (−e1, e2, −e3, e4, ..., (−1)pep, (−1)p+1ep+1, ..., (−1)p+1eq, (−1)p+1en) est CXn. • On conclut que f est orthocyclique. 5