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A2021 – MATH II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL. Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International). CONCOURS 2021 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts. Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité Dans ce problème, on propose de définir la notion d’image d’une matrice réelle symétrique par une fonction d’une variable réelle, puis d’étudier quelques propriétés de cette notion (en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions présentent un intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique). Notations Dans tout le problème : — n désigne un entier naturel non nul ; — si p et q sont des entiers naturels, l’ensemble des entiers k tels que p ≤ k ≤ q est noté p, q ; — si i et j sont des entiers naturels, alors δi,j = 1 si i = j et δi,j = 0 sinon ; — Bn désigne l’ensemble des bijections de 1, n dans lui-même ; — I est un intervalle de R qui n’est ni vide ni réduit à un singleton ; — C0(I, R) désigne l’ensemble des fonctions continues de I dans R ; — une fonction ϕ de I dans R est dite polynomiale s’il existe P un polynôme réel tel que, pour tout x ∈ I, ϕ(x) = P(x) ; — Mn(R) (respectivement Dn(R), resp. Sn(R), resp. On(R)), désigne l’ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d’ordre n à coefficients réels, et on confond un élément de M1(R) avec son unique coefficient ; — on note Tr l’application trace définie sur Mn(R) ; — si M ∈ Mn(R), on note tM sa transposée, on note Sp(M) son spectre réel, et si (i, j) ∈ 1, n 2, [M]i,j est le coefficient de M situé à la i-ème ligne et j-ème colonne ; — on munit Mn(R) de sa norme infinie, notée || · || et définie par : ∀ M ∈ Mn(R), ||M|| = max {|[M]i,j| , 1 ≤ i, j ≤ n} ; — Sn(I) désigne l’ensemble des matrices de Sn(R) dont le spectre réel est inclus dans I ; 1 — si u = (ui)1≤i≤n ∈ Rn, on dit que ce n-uplet est croissant si pour tout (i, j) ∈ 1, n 2, (i ≤ j) =⇒ (ui ≤ uj) ; — si i0 ∈ 1, n , on appelle nombre d’occurrences de ui0 dans u le cardinal de l’en- semble {i ∈ 1, n ; ui = ui0} ; — enfin Diag (ui)1≤i≤n désigne l’élément D de Dn(R) tel que : ∀ i ∈ 1, n , [D]i,i = ui on pourra noter cet élément en extension D = Diag(u1, . . . , un). Matrices de permutations Le but de cette partie est d’étudier l’action sur les matrices diagonales de la conjugai- son par des matrices de permutations. On considère l’application ω de Bn dans Mn(R) définie par : ∀ σ ∈ Bn, ∀ (i, j) ∈ 1, n 2 , [ω(σ)]i,j = δi,σ(j). 1 ▷ Démontrer que pour tout (σ, σ′) ∈ B2 n, ω(σ ◦ σ′) = ω(σ) ω(σ′). 2 ▷ Démontrer que ω(Bn) ⊂ On(R). 3 ▷ Soit σ ∈ Bn et (di)1≤i≤n ∈ Rn. Vérifier que : Diag (di)1≤i≤n ω(σ) = ω(σ) Diag (dσ(i))1≤i≤n . 4 ▷ En déduire l’équivalence suivante concernant deux éléments D et D′ de Dn(R), i) D et D′ ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le même nombre d’occurrences dans D et D′. ii) il existe M ∈ ω(Bn) telle que D′ = tMDM. Fonctions de matrices symétriques Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l’espace des fonctions de I dans R et l’espace des fonctions de Sn(I) dans Sn(R), puis d’en démontrer quelques propriétés. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R. 2 5 ▷ Soit S ∈ Sn(I). Justifier l’existence de Ω ∈ On(R) et de (si)1≤i≤n ∈ In tels que : S = tΩ Diag (si)1≤i≤n Ω. 6 ▷ Pour tout (si)1≤i≤n ∈ In, justifier l’existence d’un élément P de R[X] tel que : ∀ i ∈ 1, n , P(si) = f(si). Soit S ∈ Sn(I). On suppose que l’on dispose des deux écritures : S = tΩ Diag (si)1≤i≤n Ω et S = tΩ′ Diag (s′ i)1≤i≤n Ω′, avec Ω, Ω′ ∈ On(R) et (si)1≤i≤n, (s′ i)1≤i≤n ∈ In. 7 ▷ Montrer que l’on a alors : tΩ′ Diag f(s′ i) 1≤i≤n Ω′ = tΩ Diag f(si) 1≤i≤n Ω, puis que tΩ Diag f(si) 1≤i≤n Ω ∈ Sn(R). Dans la suite du problème, on note u l’application qui, à toute fonction ϕ de I dans R, associe u(ϕ) la fonction de Sn(I) dans Sn(R) définie par : ∀ S ∈ Sn(I), u(ϕ)(S) = tΩ Diag ϕ(si) 1≤i≤n Ω, où S = tΩ Diag (si)1≤i≤n Ω, avec Ω ∈ On(R) et (si)1≤i≤n ∈ In. Cette fonction est bien définie puisque, d’après la question précédente, u(ϕ)(S) ne dépend pas du choix des matrices Ω ∈ On(R) et D = Diag (si)1≤i≤n avec (si)1≤i≤n ∈ In, tel que S = tΩDΩ. Enfin, on désigne par v l’application Tr ◦u. 8 ▷ Vérifier que u et v sont linéaires, puis calculer, pour toute fonction ϕ de I dans R et pour tout x ∈ I, u(ϕ)(xIn). 9 ▷ Étudier l’injectivité et la surjectivité de u. 10 ▷ On suppose que f est polynomiale ; montrer qu’il existe P ∈ R[X] tel que pour tout S ∈ Sn(I), u(f)(S) = P(S). Réciproquement, est-il vrai que, s’il existe P ∈ R[X] tel que pour tout S ∈ Sn(I), u(f)(S) = P(S), alors f est polynomiale ? 3 11 ▷ Démontrer que, si (ϕk)k∈N est une suite de fonctions de I dans R qui converge simplement sur I vers une fonction ϕ, alors les suites u(ϕk) k∈N et v(ϕk) k∈N convergent simplement sur Sn(I). Y a-t-il convergence uniforme sur Sn(I) si l’on suppose que (ϕk)k∈N converge uniformément sur I ? Norme et convexité L’objectif de cette partie est de munir Sn(R) d’une nouvelle norme qui permettra de compléter l’étude des fonctions de matrices symétriques. 12 ▷ On note Σ = X ∈ Mn,1(R) ; tX X = 1 . Démontrer que si S ∈ Sn(R) on a : min Sp(S) = min tX S X ; X ∈ Σ et max Sp(S) = max tX S X ; X ∈ Σ . 13 ▷ Montrer finalement que Sn(I) est une partie convexe de Sn(R) et que l’application ρ, de Sn(R) dans R, qui à toute matrice M ∈ Sn(R) associe max |λ| ; λ ∈ Sp(M) , est une norme sur Sn(R). Continuité des fonctions de matrices symétriques Dans cette partie, à l’aide de la norme précédemment introduite, on démontre quelques résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On suppose dé- sormais Sn(R) muni de la norme ρ et on appelle χ l’application de Sn(R) dans R[X] qui, à tout élément de Sn(R), associe son polynôme caractéristique. On définit aussi l’application, notée Sp↑, qui à toute matrice S ∈ Sn(R), associe son spectre croissant (c’est-à-dire le n-uplet croissant des valeurs propres de S dans lequel le nombre d’occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de multiplicité). 14 ▷ Démontrer que χ est continue. On souhaite maintenant prouver que Sp↑ est continue. À cet effet, on introduit un élément M de Sn(R) et une suite (Mk)k∈N à valeurs dans Sn(R) qui converge vers M. Si k ∈ N, on note Λk = Sp↑(Mk). 15 ▷ Démontrer que la suite (Λk)k∈N admet une valeur d’adhérence croissante. 4 16 ▷ Montrer que, si α est une application strictement croissante de N dans N telle que la suite (Λα(k))k∈N converge, alors : Λα(k) −−−−→ k→+∞ Sp↑(M). 17 ▷ En déduire que Sp↑ est continue. 18 ▷ Démontrer que On(R) est une partie compacte de Mn(R). 19 ▷ Démontrer que, si ϕ ∈ C0(I, R), alors u(ϕ) et v(ϕ) sont continues. Convexité des fonctions de matrices symétriques On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions de matrices symétriques. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R. 20 ▷ On suppose ici que f est convexe sur I et que S ∈ Sn(I). On note US = tΩ S Ω ; Ω ∈ On(R) . Justifier que pour tout U ∈ US, pour tout k ∈ 1, n , [U]k,k ∈ I. Démontrer alors que : max n k=1 f [U]k,k ; U ∈ US = v(f)(S). 21 ▷ En déduire que, si f est convexe sur I, pour tout (A, B) ∈ Sn(I)2, pour tout t ∈ [0, 1], on a : v(f) (1 − t) A + t B ≤ (1 − t) v(f)(A) + t v(f)(B). On dit qu’une fonction ψ de Sn(I) dans R est convexe sur Sn(I) si elle vérifie la relation : ∀ (A, B) ∈ Sn(I)2, ∀ t ∈ [0, 1], ψ (1 − t)A + tB ≤ (1 − t)ψ(A) + tψ(B). 22 ▷ Démontrer finalement que la fonction v(f) est convexe sur Sn(I) si, et seulement si, f est convexe sur I. Fin du problème 5

Mines - MP - 2021 - Sujet 2 Fabrice Castel et Juliette Brun-Leloup ; lycée Fénelon-Sainte-Marie ; Paris 8ème I Matrices de permutations 1. Pour tout i, j ∈ [[1, n]], [ω(σ)ω(σ′)]i,j = n k=1 δi,σ(k)δk,σ′(j) = (1) δi,σ(σ′(j)) = [ω(σ ◦ σ′)]i,j (1) en ne conservant que le terme en k = σ′(j). Ainsi, ω(σ ◦ σ′) = ω(σ)ω(σ′) . 2. Soit σ ∈ Bn. Pour tout i, j ∈ [[1, n]], [tω(σ)]ij = [ω(σ)]ji = δj, σ(i) = (1) δi, σ−1(j) = [ω(σ−1)]ij (1) car j = σ(i) ⇐⇒ i = σ−1(j). Donc : ∀σ ∈ Bn, tω(σ) = ω(σ−1) . Ceci étant, d’après la question 1, pour tout σ ∈ Bn, ω(σ)tω(σ) = ω(σ)ω(σ−1) = ω(id[[1, n]]) = (δi,j)i,j = In. Donc ω(σ) ∈ On(R). Ainsi, ω(Bn) ⊂ On(R). 3. Soient D = Diag(d1, . . . , dn)ω(σ) et D′ = ω(σ)Diag(dσ(1), . . . , dσ(n)). Alors, pour tout i, j ∈ [[1, n]], [D]ij = n k=1 (diδi,k)(δk,σ(j)) = di δi,σ(j) [D′]ij = n k=1 (δi,σ(k))(dσ(k)δk,j) = dσ(j) δi,σ(j) Ces deux expressions sont égales, car si i ̸= σ(j), elles sont nulles, sinon i = σ(j) et di = dσ(j). Donc : Diag(d1, . . . , dn)ω(σ) = ω(σ)Diag(dσ(1), . . . , dσ(n)) . 4. Soient D = Diag(d1, . . . , dn) et D′ = Diag(d′ 1, . . . , d′ n) deux éléments de Dn(R). (ii) ⇐⇒ ∃M ∈ ω(Bn) | D′ = tMDM ⇐⇒ ∃σ ∈ Bn | Diag(d′ 1, . . . , d′ n) = tω(σ)Diag(d1, . . . , dn)ω(σ) ⇐⇒ ↑ question 3 ∃σ ∈ Bn | Diag(d′ 1, . . . , d′ n) = tω(σ)ω(σ)Diag(dσ(1), . . . , dσ(n)) ⇐⇒ ↑ question 2 ∃σ ∈ Bn | Diag(d′ 1, . . . , d′ n)) = Diag(dσ(1), . . . , dσ(n)) ⇐⇒ ∃σ ∈ Bn | ∀i ∈ [[1, n]], d′ i = dσ(i) ⇐⇒ (i) Ainsi, (i) ⇐⇒ (ii) . 1 II Fonctions de matrices symétriques 5. D’après le théorème spectral, puisque S est symétrique réelle, il existe O ∈ On(R) tel que tOSO est une matrice diagonale. Comme les éléments apparaissant sur la diagonale de tOSO sont les valeurs propres de S, et que celles-ci sont dans I, il existe (s1, . . . , sn) ∈ In tels que tOSO = Diag(s1, . . . , sn). En prenant Ω = tO, on obtient : tΩDiag(s1, . . . , sn)Ω = S . 6. Soit t1, . . . , tr des réels deux à deux distincts tels que {t1, . . . , tr} = {s1, . . . , sn}. Posons P = r k=1 f(tk) 1⩽i⩽r i̸=k X − ti tk − ti (le polynôme interpolateur de Lagrange associé à f en les tk). Alors par un calcul immédiat, pour tout i ∈ [[1, r]], P(ti) = f(ti), donc pour tout i ∈ [[1, n]], P(si) = f(si) . 7. Commençons par remarquer que {s1, . . . , sn} = Sp(S) = {s′ 1, . . . , s′ n}. Par conséquent, en choisissant P ∈ R[X] donné par la question 6 tel que pour tout i, P(si) = f(si), on a également pour tout i, P(s′ i) = f(s′ i). Alors : tΩ′ Diag(f(s′ 1), . . . , f(s′ n))Ω′ = tΩ′ Diag(P(s′ 1), . . . , P(s′ n))Ω′ = tΩ′P Diag(s′ 1, . . . , s′ n) Ω′ = (1) P tΩ′Diag(s′ 1, . . . , s′ n)Ω′ = P tΩDiag(s1, . . . , sn)Ω = tΩDiag(P(s1), . . . , P(sn))Ω = tΩ Diag(f(s1), . . . , f(sn))Ω (1) car la conjugaison dans Mn(R) est un morphisme de R-algèbres. Ainsi, tΩ′Diag(f(s′ 1), . . . , f(s′ n))Ω′ = tΩDiag(f(s1), . . . , f(sn))Ω. Rem. Sans l’aide de la question 6, une façon « naturelle » de résoudre cette question serait de raisonner sur les sous-espaces propres. L’astuce consistant à passer par les polynômes est élégante ! 2 8. • Il est clair que RI et Sn(R)Sn(I) sont des R-espaces vectoriels. Soient f, g ∈ RI et λ ∈ R. Soient S ∈ Sn(I), puis Ω ∈ On(R) et D = Diag(s1, . . . , sn) ∈ Dn(R) tels que S = tΩDΩ. u(f + λg)(S) = tΩDiag((f + λg)(s1), . . . , (f + λg)(sn))Ω = tΩDiag(f(s1) + λg(s1), . . . , f(sn) + λg(sn))Ω = tΩ Diag(f(s1), . . . , f(sn)) + λDiag(g(s1), . . . , g(sn)) Ω = tΩDiag(f(s1), . . . , f(sn))Ω + λtΩDiag(g(s1), . . . , g(sn))Ω = u(f) + λu(g) (S) Ceci étant vrai pour tout S ∈ Sn(I), on en déduit que u(f + λg) = u(f) + λu(g). Donc : u est linéaire . • Notons Tr : Sn(R)Sn(I) → R l’application induite par la trace comme suit : ∀f ∈ Sn(R)Sn(I), ∀S ∈ Sn(I), Tr(f)(S) = Tr((f(S)). Alors Tr est linéaire car, pour tous f, g ∈ Sn(R)Sn(I), λ ∈ R et S ∈ Sn(I), Tr(f + λg) (S) = Tr (f + λg)(S) = Tr f(S) + λg(S) = Tr f(S) + λTr g(S) (par linéairité de Tr : Mn(R) → R) = Tr(f) (S) + λ ˜Tr(f) (S) Par composition de u ∈ L RI, Sn(R)Sn(I) et de Tr ∈ L Sn(R)Sn(I), R , l’application v = Tr ◦ u est linéaire . • Enfin, xIn = tInDiag(x, . . . , x)In avec In ∈ On(R). Donc u(ϕ)(xIn) = tInDiag(ϕ(x), . . . , ϕ(x))In = ϕ(x)In. Ainsi, ∀ϕ ∈ RI, ∀x ∈ I, u(ϕ)(xIn) = ϕ(x)In . 9. • Injectivité de u. Soit ϕ ∈ Ker (u). Donc u(ϕ) est l’application nulle de Sn(I) dans Sn(R) : ∀S ∈ Sn(I), u(ϕ)(S) = 0n. En particulier, pour tout x ∈ I, xIn ∈ Sn(I), donc u(ϕ)(xIn) = 0. Autrement dit, d’après la question 8, ϕ(x)In = 0n, Ainsi, pour tout x ∈ I, ϕ(x) = 0. Donc Ker (u) = {0(RI)} et u est injective . • Surjectivité de u. Si n = 1, alors Sn(I) et Sn(R) sont canoniquement isomorphes à I et R. Dans ce cas, l’application u n’est autre que l’identité de RI, surjective. Si n > 1, d’après la question 8, pour tout ϕ ∈ RI et x ∈ I, u(ϕ)(xIn) = ϕ(x)In. Donc Im(u) ne contient pas la fonction constante de Sn(I) −→ Sn(R) S −→ E11 . Ainsi, u n’est pas surjective, sauf si n = 1 . 3 10. • Nous appliquons la même méthode qu’à la question 7. Soit P ∈ R[X] tel que f est l’application x ∈ I → P(x). Soient S ∈ Sn(I), puis Ω ∈ On(R) et D = Diag(s1, . . . , sn) ∈ Dn(R) tels que S = tΩDΩ. Alors : u(f)(S) = = tΩDiag(f(s1), . . . , f(sn))Ω = tΩDiag(P(s1), . . . , P(sn))Ω = tΩP Diag(s1, . . . , sn) Ω = P tΩDiag(s1, . . . , sn)Ω = P(S) Ainsi, il existe P ∈ R[X] tel que : ∀S ∈ Sn(I), u(f)(S) = P(S) . • Réciproquement, supposons qu’il existe P ∈ R[X] tel que : ∀S ∈ Sn(I), u(f)(S) = P(S). Alors pour tout x ∈ I, u(f)(xIn) = P(xIn) = P(x)In. Or d’après la question 8, u(f)(xIn) = f(x)In. Donc pour tout x ∈ I, f(x) = P(x). Ainsi, la réciproque a lieu : f est polynomiale si et seulement si u(f) est « polynomiale » . 4 11. • Tout d’abord, pour tous A, B ∈ Mn(R), ||AB|| ⩽ n||A|| ||B||, car : ∀i, j ∈ [[1, n]], [AB]i,j = n k=1 [A]i,k[B]k,i ⩽ n k=1 [A]i,k [B]k,i ⩽ n||A|| ||B||. Comme ||Ω|| ⩽ 1 lorsque Ω ∈ On(R), l’application CΩ : Mn(R) −→ Mn(R) M −→ tΩMΩ est n2-lipschitzienne . • Supposons que (ϕk)k∈N converge vers ϕ ∈ RI. Soit ε > 0. Soient S ∈ Sn(I), puis Ω ∈ On(R) et D = Diag(s1, . . . , sn) ∈ Dn(R) tels que S = tΩDΩ. Soit N ∈ N tel que ∀k ⩾ N, ∀i ∈ [[1, n]], |ϕk(si) − ϕ(si)| < ε. Alors, pour tout k ⩾ N, Diag(ϕk(s1), . . . , ϕk(sn)) − Diag(ϕ(s1), . . . , ϕk(sn)) < ε. Comme CΩ est n2-lipschitzienne, tΩDiag(ϕk(s1), . . . , ϕk(sn))Ω − tΩDiag(ϕ(s1), . . . , ϕk(sn))Ω < n2ε, autrement dit, |u(ϕk)(S) − u(ϕ)(S)| < n2ε. Ceci montre que u(ϕk) k∈N converge simplement vers u(ϕ) . Nous venons de montrer que : ∀S ∈ Sn(I), u(ϕk)(S) −−−→ k→∞ u(ϕ)(S). Par continuité de l’application Tr : Mn(R) → R, linéaire en dimension finie, on en déduit que : ∀S ∈ Sn(I), v(ϕk)(S) = Tr u(ϕk)(S) −−−→ k→∞ Tr u(ϕ)(S) = v(ϕ)(S). Ainsi, v(ϕk) k∈N converge simplement vers v(ϕ) . • Supposons cette fois qu’il y a convergence uniforme de (ϕk)k vers ϕ. Soit ε > 0. Alors il existe N ∈ N tel que ∀k ⩾ N, ∀x ∈ I, |ϕk(x) − ϕ(x)| < ε. Soient S ∈ Sn(I), puis Ω ∈ On(R) et D = Diag(s1, . . . , sn) ∈ Dn(R) tels que S = tΩDΩ. Alors, pour tout k ⩾ N, Diag(ϕk(s1), . . . , ϕk(sn)) − Diag(ϕ(s1), . . . , ϕk(sn)) < ε. Comme précédemment, il vient : |u(ϕk)(S) − u(ϕ)(S)| < n2ε. Nous avons donc montré : ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀k ⩾ N, ∀S ∈ Sn(I), u(ϕk)(S) − u(ϕ)(S) < n2ε. (1) Or Tr : (Mn(R), || ||) → (R, | |) est n-lipschitzienne, donc d’après (1), ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀k ⩾ N, ∀S ∈ Sn(I), Tr u(ϕk)(S) − Tr u(ϕ)(S) < n3ε. (2) D’après (1) et (2), nous avons établi que : les suites u(ϕk) k∈N et v(ϕk) k∈N convergent uniformément . Rem. Nous avons ainsi prouvé un substitut à la continuité de u, mais pas la continuité de u elle-même. En effet, pour cela, il aurait fallu normer les espaces RI et Sn(R)Sn(I) et montrer que la convergence de (ϕk)k au sens de la norme choisie sur RI entraîne la convergence de u(ϕk) k au sens de la norme choisie sur Sn(R)Sn(I). En fait, dès que I est infini, il n’existe aucune norme sur RI telle que la convergence simple soit la convergence pour cette norme. En revanche, la convergence uniforme de fonctions de RI correspond à la convergence en « norme infinie » à condition de se restreindre à B(I, R), l’espace vectoriel des fonctions bornées. 5 III Norme et convexité 12. Soit S ∈ Sn(R). D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormale (b.o.n.) (V1, . . . , Vn) de Mn,1(R) pour la norme 2 telle que les Vi sont des vecteurs propres de S. (les Vi sont les colonnes de toute matrice Ω ∈ On(R) telle que tΩSΩ est diagonale). Pour tout i, notons λi ∈ R tel que SVi = λiVi. On peut supposer que : min(Sp(S)) = λ1 ⩽ · · · ⩽ λn = max(Sp(S)). Puisque (V1, . . . , Vn) est une b.o.n., on a : ∀i, j ∈ [[1, n]], tViSVj = δijλi. Soit X ∈ Σ. Notons (x1, . . . , xn) ∈ Rn tel que X = n i=1 xiVi. Par le théorème de Pythagore, les xi sont en valeur absolue inférieurs à 1. Alors : tXSX = 1⩽i,j⩽n xixjtViSVj = n i=1 λixi2. λ1 = λ1 n i=1 xi2 ⩽ n i=1 λixi2 ⩽ λn n i=1 xi2 = λn. Par conséquent, λ1 ⩽ min{tXSX ; X ∈ Σ} ⩽ max{tXSX ; X ∈ Σ} ⩽ λn. Par ailleurs, tV1SV1 = λ1, tVnSVn = λn et V1, Vn ∈ Σ. Finalement, min{tXSX ; X ∈ Σ} = min(Sp(S)) max{tXSX ; X ∈ Σ} = max(Sp(S)) . 13. • Soient S et T dans Sn(I) et λ ∈ [0, 1]. Notons m = min(Sp(S) ∪ Sp(T)) et M = max(Sp(S) ∪ Sp(T)). Alors, d’après la question 12 : ∀X ∈ Σ, tXSX ∈ [m, M] et tXTX ∈ [m, M]. D’où : ∀X ∈ Σ, m ⩽ tX(λS + (1 − λ)T)X ⩽ M. Donc à nouveau d’après la question 12 et parce que λS + (1 − λ)T ∈ Sn(R), Sp λS + (1 − λ)T ⊂ [m, M]. Or par définition de m et M, ils appartiennent à I, lequel est convexe, donc : Sp λS + (1 − λ)T ⊂ I, autrement dit, λS + (1 − λ)T ∈ Sn(I). Finalement, Sn(I) est une partie convexe de Sn(R) . • Considérons ρ : S ∈ Sn(R) → max{|λ| ; λ ∈ Sp(M)} ∈ R+. (i) Pour tout S ∈ Sn(R) et µ ∈ R, Sp(µS) = {µλ ; λ ∈ Sp(S)}. Donc ρ(µS) = |µ| ρ(S). (ii) Pour tout S ∈ Sn(R) telle que ρ(S) = 0, alors Sp(S) = 0, or S est diagonalisable, donc S est semblable à 0n, donc S = 0n. (iii) Pour tous S, T ∈ Sn(R) et X ∈ Σ, |tXSX| ⩽ ρ(S) et |tXTX| ⩽ ρ(T), donc |tX(S + T)X| ⩽ ρ(S) + ρ(T). Donc d’après la question 12, Sp(S + T) ⊂ [−ρ(S) − ρ(T), ρ(S) + ρ(T)]. Donc ρ(S + T) = max{|λ| ; λ ∈ Sp(S + T)} ⩽ ρ(S) + ρ(T). Ainsi, ρ est une norme sur Sn(R) . 6 IV Continuité des fonctions de matrices symétriques 14. Nous pouvons décomposer l’application χ ainsi : — l’application a : Sn(R) −→ R1[X] n2 S −→ Xδij − [S]ij 1⩽i,j⩽n est continue comme somme d’une application constante et d’une application linéaire, or dim(Sn(R)) < ∞ ; — pour tout σ ∈ Bn, l’application bσ : R1[X] n2 −→ R1[X] n (Pi,j)1⩽i,j⩽n −→ (Pi,σ(i))1⩽i⩽n est continue car linéaire en dimension finie ; — l’application c : R1[X] n −→ R[X] (Pi)1⩽i⩽n −→ n i=1 Pi est continue car n linéaire en dimension finie ; — finalement, l’application χ = σ∈Bn ε(σ)c◦bσ ◦a est continue comme somme de composées d’applications continues. Ainsi, χ : Sn(R) → R[X] est continue . Rem. On peut aussi expliquer que les coefficients du polynôme caractéristique sont polynômiaux en les coefficients de la matrice. Cette question sera pas utile pour la réponse alternative à la question 16. 15. Nous aurons besoin des fonctions continues suivantes : — a : Mn(R) −→ Rn N −→ ([N]11, [N]22, . . . , [N]nn) (linéaire en dimension finie) ; — f : Mn(R)3 −→ Mn(R) (A, B, C) −→ tABC (trilinéaire en dimension finie). Par hypothèse, Mk −→ M dans Sn(R). Soit (Ωk)k ∈ On(R)N telle que pour tout k, tΩkSkΩk est diagonale. Pour tout k, on note λ1,k, . . . , λn,k ∈ R tels que tΩkSkΩk = Diag(λ1,k, . . . , λn,k). On peut de plus supposer que les Ωk sont tels que pour tout k ∈ N, λ1,k ⩽ λ2,k ⩽ · · · ⩽ λn,k. Par compacité de On(R), il existe une sous-suite (Ωα(k))k et Ω ∈ On(R) telles que Ωα(k) −−−→ k→∞ Ω. On a également : Mα(k) −−−→ k→∞ M. On en déduit : (Ωα(k), Sα(k), Ωα(k)) −−−→ k→∞ (Ω, S, Ω). Par composition par f continue, on obtient : tΩα(k)Sα(k)Ωα(k) −−−→ k→∞ tΩSΩ. Mais Dn(R) est un fermé de Mn(R) comme sous-espace vectoriel en dimension finie, donc tΩSΩ ∈ Dn(R) et il existe (λ1, . . . , λn) ∈ Rn tel que tΩSΩ = Diag(λ1, . . . , λn). Autrement dit, Diag(λ1,α(k), . . . , λn,α(k) −−−→ k→∞ Diag(λ1, . . . , λn). Par composition par a continue, on obtient : (λ1,α(k), λ2,α(k), . . . , λn,α(k)) −−−→ k→∞ (λ1, λ2, . . . , λn). Or, par passage à la limite d’inégalités larges dans R, on a : λ1 ⩽ λ2 ⩽ · · · ⩽ λn. Et comme pour tout k, (λ1,k, λ2,k, . . . , λn,k) = Sp↑(Mk) tandis que Diag(λ1, . . . , λn) = tΩMΩ, il vient avec λ1 ⩽ λ2 ⩽ · · · ⩽ λn, on a établi : la suite (Λk)k∈N admet une valeur d’adhérence croissante, égale à Sp↑(M) . Rem. Cette dernière précision sera utile pour la question 16. Nous avons utilisé la compacité de On(R), laquelle est à démontrer question 18. 7 Voici dans les grandes lignes une méthode alternative, probablement attendue, pour cette question : (ρ(Mk))k est une suite convergente donc bornée. Donc (Λk)k est une suite bornée dans (Rn)N. Donc on peut en extraire une suite convergente et on passe à la limite dans l’inégalité. On en déduit que (Λk)k admet une limite croissante, sans pour autant faire le lien avec Sp↑(M). 16. Supposons que (Λα(k))k∈N converge. Rappelons que Mk −−−→ k→∞ M, donc Mα(k) −−−→ k→∞ M. Alors, en appliquant la question 15 à la suite (Mα(k))k∈N, il vient que Λα(k) k admet une sous-suite convergeant vers Sp↑(M). Or par hypothèse, (Λα(k))k∈N converge, donc ce doit être vers Sp↑(M). Λα(k) −−−→ k→∞ Sp↑(M) . Rem. Avec la méthode alternative de la question 15, on ne savait pas que lim k→∞ Λk = Sp↑(M), mais on peut le déduire à l’aide de la continuité de χ (cf. question 14), sachant que χMk = n i=1 (X − λi,k) avec pour tout k, (λ1,k, · · · , λn,k) = Sp↑(Mk). 17. D’après la question 16, la suite (Λk)k a pour unique valeur d’adhérence Sp↑(M). Or, Mk −−−→ k→∞ M, donc ρ(Mk) −−−→ k→∞ ρ(M) par continuité de la norme. Ainsi, la suite (ρ(Mk))k∈N est dans un compact K de R. Donc la suite (Λk)k∈N est à valeurs dans le compact (Kn) de Rn (compact, car produit cartésien fini de compacts). Mais d’après une conséquence fameuse du théorème de Weierstrass, toute suite à valeurs dans un compact et ne possédant qu’une unique valeur d’adhérence converge. Donc (Sp↑(Mk))k converge vers Sp↑(M) dans Rn. Ceci étant vrai pour toute suite (Mk)k tendant vers M, on en déduit la continuité de Sp↑ en M. Enfin, ceci étant vrai pour tout M ∈ Sn(R), on en déduit la continuité de Sp↑ sur Sn(R) . 18. Puisque toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, il suffit de le vérifier pour la norme || ||. • On(R) est une partie bornée de Mn(R), puisque les coefficients de toute matrice de On(R) sont majorés par 1 en valeur absolue. • Par ailleurs, On(R) = {M ∈ Mn(R) ; tMM = In} = (f ◦ g)−1({In}) où : ∗ g : A ∈ Mn(R) → (A, A) est linéaire en dimension finie, donc continue ; ∗ f : (A, B) ∈ Mn(R)2 → tAB est bilinéaire en dimension finie, donc continue. Donc f ◦g est continue. Or On(R) est l’image réciproque du fermé {In} par f ◦g, donc est fermé. • Enfin, Mn(R) est un espace vectoriel de dimension finie, donc les fermés bornés de Mn(R) sont compacts, donc On(R) est compact . 19. Il semble qu’il faille suivre à nouveau le cheminement des questions 15, 16, 17. — A nouveau, nous utilisons la caractérisation séquentielle de la continuité : montrons que pour toute suite convergente Mk −−−→ k→∞ M dans Sn(R), u(ϕ)(Mk) −−−→ k→∞ u(ϕ)(M). — La suite (Mk)k étant convergente, elle est incluse dans un compact de Sn(R). — En utilisant la norme ρ, il vient que k∈N Sp(Mk) est inclus dans un compact K de R. 8 — Pour tout k, on définit Ωk tel que Mk = tΩkDiag(Sp↑(Mk))Ωk. — Par compacité de On(R), il existe une injection croissante α de N telle que (Ωα(k))k converge vers une matrice Ω ∈ On(R). — Par ailleurs, d’après la question 17, Sp↑(Mα(k)) −−−→ k→∞ Sp↑(M). — Notons Φ : In −→ Rn (λ1, . . . , λn) −→ (ϕ(λ1), . . . , ϕ(λn)) continue. Alors Φ(Sp↑(Mα(k)) −−−→ k→∞ Φ(Sp↑(M)), donc u(ϕ)(Mα(k)) −−−→ k→∞ u(ϕ)(M). — Supposons que (u(ϕ)(Mβ(k)))k converge. D’après ce qui précède, (u(ϕ)(Mβ(k)))k admet u(ϕ)(M) comme valeur d’adhérence. C’est donc l’unique valeur d’adhérence de la suite (u(ϕ)(Mk))k. — Or pour tout k, u(ϕ)(Mk) appartient aux matrices symétriques dont le spectre est inclus dans ϕ(K), compact car ϕ est continue. Il s’agit d’une boule fermé pour la norme ρ, donc c’est un compact de Sn(R). Ainsi, (u(ϕ)(Mk))k vit dans un compact et ne possède qu’une seule valeur d’adhérence, donc (u(ϕ)(Mk))k converge. Et donc, u(ϕ) est continue . — En composant par la trace (linéaire en dimension finie donc continue), v(ϕ) est continue . V Convexité des fonctions de matrices symétriques 20. • Soit U ∈ US. Il existe alors Ω ∈ On(R) tel que U = tΩSΩ. Pour tout i ∈ [[1, n]], notons Ei le i-ème vecteur élémentaire de Mn,1(R). Alors, pour tout k ∈ [[1, n]], [U]k,k = tEktΩSΩEk = tXSX où X = ΩEk ∈ Σ. D’après la question 12, on en déduit que tXSX ∈ [min(Sp(S)), max(Sp(S))]. Or I est un intervalle contenant min(Sp(S)) et max(Sp(S)) car S ∈ Sn(I), donc [U]k,k ∈ I . • Notons (λ1, . . . , λn) = Sp↑(S). Alors v(f)(s) = n i=1 f(λi). D’une part, la matrice D = Diag(λ1, . . . , λn) ∈ US et n k=1 f([D]k,k) = n i=1 f(λi) = v(f)(s). D’autre part, soit U ∈ US, puis V ∈ On(R) tel que tV UV = Diag(λ1, . . . , λn). Pour tout i, j ∈ [[1, n]], notons Vj = V Ej et vij = tEiV Ej de sorte que V = (vij)1⩽i,j⩽n. Alors : n j=1 f([U]jj) = n j=1 f tVjDiag(λ1, . . . , λn)Vj = n j=1 f Ç n i=1 vij2λi å ⩽ (1) n j=1 Ç n i=1 vij2f(λi) å ⩽ (2) v(f)(S) (1) a lieu par convexité de f, étant donné que n i=1 vij2 = 1, puisque V ∈ On(R) ; (2) a lieu car par interversion des signes somme et car n j=1 vij2 = 1, puisque V ∈ On(R). Ainsi, max ® n k=1 f([Uk,k]) ; U ∈ US ´ = v(f)(S) . 9 21. Soient A, B ∈ Sn(I), t ∈ [0, 1]. Soient V ∈ On(R) et (λ1, . . . , λn) ∈ In tels que (1 − t)A + tB = tV Diag(λ1, . . . , λn)V . v(f) (1 − t)A + tB = n i=1 f(λi) = n i=1 f V ((1 − t)A + tB)tV i,i = n i=1 f (1 − t) V AtV i,i + t V BtV i,i ⩽ (1) n i=1 Ä (1 − t)f V AtV i,i + tf V BtV i,i ä ⩽ (2) (1 − t)v(f)(A) + tv(f)(B) (1) par convexité de f entre les points [V AtV ]i,i et [V BtV ]i,i, lesquels appartiennent à I d’après la question 20 ; (2) car d’après la question 20, n i=1 f V AtV i,i ⩽ v(f)(A) et n i=1 f V BtV i,i ⩽ v(f)(B). Nous avons donc montré la convexité de v(f) sur Sn(I) : ∀(A, B) ∈ Sn(I)2, ∀t ∈ [0, 1], v(f)((1 − t)A + tB) ⩽ (1 − t)v(f)(A) + tv(f)(B) . 22. Nous venons de montrer à la question 21 que si f est convexe, alors v(f) l’est. Réciproquement, supposons que v(f) soit convexe sur Sn(I). Pour tous x, y ∈ I et t ∈ [0, 1], il vient : v(f) (1 − t)xIn + tyIn nf((1−t)x+ty) ⩽ (1 − t) v(f)(xIn) nf(x) +t v(f)(yIn) nf(y) . En divisant par n, on obtient la définition de la convexité de f. Ainsi : f est convexe sur I si et seulement si v(f) est convexe sur Sn(I) . 10 VI Trois sujets d’oraux proches du thème de ce devoir Les numéros et années des exercices font références aux livres édités par la RMS : « 1400 (resp. 1300, 1417) énoncés d’exercices oraux issus des concours d’entrée aux grandes écoles 2017 (resp. 2018, 2019) » Mines - MP - 2017 (628) Soit n ∈ N∗. Pour A ∈ Sn(R), on note Sp(A) l’ensemble des valeurs propres de A et on pose N(A) = max{|λ|}λ∈Sp(A). 1. Montrer que N est une norme sur Sn(R). 2. Soient A et B dans Sn(R) telles que AB = BA. Montrer que AB ∈ Sn(R) et comparer N(AB) avec N(A)N(B). 3. Soit || || une norme sur Sn(R) telle que : ∀A, B ∈ Sn(R), AB = BA ⇒ ||AB|| ⩽ ||A|| ||B||. Montrer que pour toute A ∈ Sn(R), N(A) ⩽ ||A||. Mines - MP - 2018 (572) Soient A et B deux matrices symétriques réelles de taille n. Etudier la convexité de l’application f : t → max Sp(A + tB). Centrale - MP - 2017 (1059) 1. Soit S ∈ Sn(R). On note λ1, . . . , λn les valeurs propres de S. On pose Ω = {PSP −1 ; P ∈ On(R)}. Soit A = (aij)1⩽i,j⩽n ∈ Ω. (i) Montrer que pour tout k ∈ [[1, n]], ak,k ∈ [λ1, λn]. (ii) Soit ϕ : R → R convexe. Montrer que max ß n k=1 ϕ(akk) ; A ∈ Ω ™ = n k=1 ϕ(λk). 2. Soient (E, ( | )) un espace euclidien et f : R → R convexe. Si u ∈ S(E) et si λ ∈ Sp(u), on note pλ,u le projecteur orthogonal sur Ker (u − λid). On pose f(u) = λ∈Sp(u) f(λ)pλ,u. Soient v, w ∈ S(E) et t ∈ [0, 1]. Montrer : Tr f((1 − t)v + tw)) ⩽ (1 − t)Tr(f(v)) + t Tr(f(w)). 11