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M047/2021-01-05 15:18:59 Page 1/5 Mathématiques 2 PSI 4 heures Calculatrice autorisée 2021 Autour des fonctions hypergéométriques Objectif L’objectif du problème est l’étude de suites, séries et fonctions dites hypergéométriques et d’en donner quelques exemples en analyse et en probabilités. La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La partie II, indépendante de la partie I, définit la fonction Γ, permettant d’étendre la factorielle à des valeurs non entières. La partie III, qui s’appuie sur certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de fonctions hypergéométriques. Les parties IV et V, indépendantes l’une de l’autre, donnent des exemples de fonctions hypergéométriques, respectivement dans le cadre d’une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste. Notations Soit (𝑛, 𝑝) ∈ ℕ2. On note (𝑛 𝑝) le coefficient binomial 𝑝 parmi 𝑛, égal à 𝑛! 𝑝!(𝑛 − 𝑝)! si 𝑝 ⩽ 𝑛 et égal à 0 sinon. On note 𝐷 = ℝ ∖ {−𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ} l’ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls. Si 𝑓 est une fonction de classe 𝒞𝑛, les deux notations 𝑓(𝑛) et d𝑛𝑓 d𝑥𝑛 sont utilisées pour la dérivée 𝑛-ième de 𝑓. I Suites et séries hypergéométriques Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite à valeurs réelles. On dit que la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ est hypergéométrique lorsqu’il existe deux polynômes non nuls 𝑃 et 𝑄 de ℝ[𝑋] tels que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛)𝑢𝑛 = 𝑄(𝑛)𝑢𝑛+1. (I.1) On dit alors que 𝑃 et 𝑄 sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ. On dit également qu’une série entière ∑ 𝑢𝑛𝑥𝑛 est une série hypergéométrique lorsque la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ est hypergéométrique. Q 1. Montrer qu’une suite géométrique est hypergéométrique. Q 2. Soit 𝑝 ∈ ℕ. Montrer que la suite de terme général 𝑢𝑛 = (𝑛 𝑝) est hypergéométrique. Q 3. Démontrer que l’ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec 𝑃(𝑋) = 𝑋(𝑋 − 1)(𝑋 − 2) et 𝑄(𝑋) = 𝑋(𝑋 − 2), est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension. Q 4. Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite hypergéométrique de polynômes associés 𝑃 et 𝑄. On suppose qu’il existe un entier naturel 𝑛0 tel que 𝑃(𝑛0) = 0 et, ∀𝑛 ⩾ 𝑛0, 𝑄(𝑛) ≠ 0. Justifier que la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ est nulle à partir d’un certain rang. M047/2021-01-05 15:18:59 Page 2/5 II Extension de la factorielle On pose, pour tout 𝑥 ∈ ℝ+∗, Γ(𝑥) = +∞ ∫ 0 𝑡𝑥−1e−𝑡 d𝑡. Q 5. Justifier qu’on définit ainsi une fonction sur ℝ+∗. Q 6. Montrer que la fonction Γ est continue et strictement positive sur ℝ+∗. Q 7. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ+∗, Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥). (II.1) Q 8. Déterminer la valeur de Γ(𝑛), pour 𝑛 ∈ ℕ∗. On admet qu’on peut prolonger la fonction Γ sur 𝐷 par une fonction continue, toujours notée Γ, qui vérifie la relation (II.1) pour tout 𝑥 ∈ 𝐷. III Fonctions hypergéométriques III.A – Symbole de Pochhammer On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel 𝑎 et tout entier naturel 𝑛 par [𝑎]𝑛 = ⎧ { ⎨ { ⎩ 1 si 𝑛 = 0, 𝑎(𝑎 + 1)⋯(𝑎 + 𝑛 − 1) = 𝑛−1 ∏ 𝑘=0 (𝑎 + 𝑘) sinon. Q 9. Si 𝑎 est un entier négatif ou nul, justifier que la suite ([𝑎]𝑛)𝑛∈ℕ est nulle à partir d’un certain rang. Q 10. Soit 𝑎 ∈ ℝ. Vérifier que, pour tout entier naturel 𝑛, [𝑎]𝑛+1 = 𝑎[𝑎 + 1]𝑛. Q 11. Soit 𝑛 ∈ ℕ. Donner une expression de [𝑎]𝑛 — à l’aide de factorielles lorsque 𝑎 ∈ ℕ∗ ; — à l’aide de deux valeurs de la fonction Γ, lorsque 𝑎 ∈ 𝐷. III.B – Fonction hypergéométrique de Gauss Étant donné trois nombres réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐, on appelle fonction hypergéométrique de Gauss associée au triplet (𝑎, 𝑏, 𝑐), la fonction, définie sur un sous-ensemble de ℝ, par 𝐹𝑎,𝑏,𝑐(𝑥) = +∞ ∑ 𝑛=0 [𝑎]𝑛[𝑏]𝑛 [𝑐]𝑛 𝑥𝑛 𝑛! . Q 12. Justifier que, si 𝑐 ∈ 𝐷, alors [𝑎]𝑛[𝑏]𝑛 [𝑐]𝑛 est bien défini pour tout entier naturel 𝑛. On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes. Q 13. Montrer que la série entière ∑ [𝑎]𝑛[𝑏]𝑛 [𝑐]𝑛 𝑥𝑛 𝑛! est hypergéométrique et préciser des polynômes associés. Q 14. Réciproquement, démontrer que l’ensemble des séries hypergéométriques associées aux polynômes obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une base et dont on précisera la dimension. Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ [𝑎]𝑛[𝑏]𝑛 [𝑐]𝑛 𝑥𝑛 𝑛! . M047/2021-01-05 15:18:59 Page 3/5 Q 16. Justifier que 𝐹𝑎,𝑏,𝑐 est de classe 𝒞1 sur ]−1, 1[. Calculer sa dérivée et l’exprimer à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. Q 17. Justifier que 𝐹𝑎,𝑏,𝑐 est de classe 𝒞∞ sur ]−1, 1[ et exprimer sa dérivée 𝑛-ième à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. Q 18. Exprimer la fonction 𝑥 ↦ 𝐹 1 2 ,1, 3 2 (−𝑥2) à l’aide de fonctions usuelles. Q 19. Exprimer la fonction 𝑥 ↦ ⎧ { ⎨ { ⎩ ln(1 + 𝑥) 𝑥 si 𝑥 ∈ ]−1, 1[ ∖ {0} 1 si 𝑥 = 0 à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. On admet, en cas d’existence de toutes les quantités présentes dans l’expression suivante, que 𝐹𝑎,𝑏,𝑐(1) = Γ(𝑐)Γ(𝑐 − 𝑎 − 𝑏) Γ(𝑐 − 𝑎)Γ(𝑐 − 𝑏). Q 20. Soient 𝑁 ∈ ℕ, 𝑐 ∈ 𝐷, 𝑎 ∈ ℝ tels que 𝑐 − 𝑎 ∈ 𝐷. Justifier l’existence de 𝐹𝑎,−𝑁,𝑐(1) et démontrer que 𝑁 ∑ 𝑘=0 (−1)𝑘(𝑁 𝑘)[𝑎]𝑘 [𝑐]𝑘 = [𝑐 − 𝑎]𝑁 [𝑐]𝑁 . Q 21. Soit (𝑢, 𝑣) ∈ ℕ2 tels que 𝑁 ⩽ min(𝑢, 𝑣). En prenant 𝑎 = −𝑢 et 𝑐 = 𝑣 − 𝑁 + 1, montrer l’identité de Vandermonde : (𝑢 + 𝑣 𝑁 ) = 𝑁 ∑ 𝑘=0 (𝑢 𝑘)( 𝑣 𝑁 − 𝑘). On admet pour la suite que l’identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels 𝑢, 𝑣, 𝑁. Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l’identité de Vandermonde. III.C – Fonction hypergéométrique confluente Soient deux nombre réels 𝑎 et 𝑐 tels que 𝑐 ∈ 𝐷. Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle 𝑥𝑦″(𝑥) + (𝑐 − 𝑥)𝑦′(𝑥) − 𝑎𝑦(𝑥) = 0. (III.1) On exprimera ces solutions à l’aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble. On note 𝑀𝑎,𝑐 la solution de l’équation (III.1) vérifiant 𝑀𝑎,𝑐(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction hyper- géométrique confluente associée au couple (𝑎, 𝑐). IV Les polynômes de Laguerre Soit 𝑛 ∈ ℕ. On pose, pour tout nombre réel 𝑥, Φ𝑛(𝑥) = e−𝑥𝑥𝑛 et 𝐿𝑛(𝑥) = e𝑥 𝑛! Φ(𝑛) 𝑛 (𝑥). Q 24. Déterminer 𝐿0, 𝐿1, 𝐿2 et 𝐿3. Dans toute la suite, 𝑛 est un entier naturel non nul. Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction 𝐿𝑛 est polynomiale de degré 𝑛. Déterminer les coefficients 𝑐𝑛,𝑘 tels que 𝐿𝑛(𝑥) = 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑐𝑛,𝑘𝑥𝑘. M047/2021-01-05 15:18:59 Page 4/5 Q 26. Pour tout nombre réel 𝑥, exprimer Φ(𝑛) 𝑛 (𝑥) et Φ(𝑛+1) 𝑛 (𝑥) en fonction de 𝐿𝑛(𝑥) et 𝐿′𝑛(𝑥). Q 27. Utiliser l’égalité Φ(𝑛+1) 𝑛+1 (𝑥) = d𝑛+1𝑥Φ𝑛(𝑥) d𝑥𝑛+1 , que l’on justifiera, pour démontrer l’égalité 𝐿𝑛+1(𝑥) = (1 − 𝑥 𝑛 + 1) 𝐿𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑛 + 1𝐿′𝑛(𝑥) valable pour tout nombre réel 𝑥. Q 28. Utiliser l’égalité Φ(𝑛+2) 𝑛+1 (𝑥) = d𝑛+1Φ(1) 𝑛+1 d𝑥𝑛+1 (𝑥) pour démontrer l’égalité 𝐿′𝑛+1(𝑥) = 𝐿′𝑛(𝑥) − 𝐿𝑛(𝑥) valable pour tout nombre réel 𝑥. Q 29. En déduire que 𝐿𝑛 est solution de l’équation différentielle 𝑥𝐿″𝑛(𝑥) + (1 − 𝑥)𝐿′𝑛(𝑥) + 𝑛𝐿𝑛(𝑥) = 0. (IV.1) Q 30. Montrer que 𝐿𝑛 est une fonction hypergéométrique confluente. V Loi hypergéométrique On considère un espace probabilisé (Ω, 𝒜, ℙ). Soient deux entiers naturels 𝐴 et 𝑛 tels que 𝑛 ⩽ 𝐴 et 𝑝 un nombre réel compris entre 0 et 1. On suppose 𝑝𝐴 ∈ ℕ et on note 𝑞 = 1 − 𝑝. Soit 𝑋 une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, 𝒜, ℙ). On dit que 𝑋 suit la loi hypergéométrique de paramètres 𝑛, 𝑝 et 𝐴 lorsque ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ 𝑋(Ω) ⊂ ⟦0, 𝑛⟧, ℙ(𝑋 = 𝑘) = (𝑝𝐴 𝑘 )( 𝑞𝐴 𝑛 − 𝑘) (𝐴 𝑛) pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧. On note alors 𝑋 ↪ ℋ(𝑛, 𝑝, 𝐴). V.A – Premiers résultats Q 31. Vérifier qu’on a bien défini une loi de probabilité. Q 32. Soit 𝑋 une variable aléatoire telle que 𝑋 ↪ ℋ(𝑛, 𝑝, 𝐴). Calculer l’espérance de 𝑋. On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls 𝑘 et 𝑁, 𝑘(𝑁 𝑘) = 𝑁(𝑁 − 1 𝑘 − 1 ). Q 33. Montrer que la suite (ℙ(𝑋 = 𝑘))𝑘∈ℕ est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de 𝑋 à l’aide d’une fonction hypergéométrique. V.B – Modélisation On considère deux urnes contenant chacune 𝐴 boules dont 𝑝𝐴 sont blanches et 𝑞𝐴 sont noires. On tire simul- tanément, de manière équiprobable, 𝑛 boules dans la première urne. On note 𝑌 le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, 𝑛 boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note 𝑍 le nombre de boules blanches obtenues. Q 34. Quelle est la loi de la variable 𝑍 ? Donner l’espérance et la variance de 𝑍. Q 35. Démontrer que 𝑌 ↪ ℋ(𝑛, 𝑝, 𝐴). M047/2021-01-05 15:18:59 Page 5/5 V.C – Calcul de la variance On se propose d’utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l’espérance et pour calculer la variance d’une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique ℋ(𝑛, 𝑝, 𝐴). Pour cela, on numérote de 1 à 𝑝𝐴 chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel 𝑖 ∈ ⟦1, 𝑝𝐴⟧, on pose 𝑌𝑖 = { 1 si la boule numérotée 𝑖 a été tirée, 0 sinon. Q 36. Exprimer 𝑌 à l’aide des 𝑌𝑖 et retrouver la valeur de l’espérance de 𝑌. La comparer à celle de 𝑍. Q 37. Pour 1 ⩽ 𝑖 < 𝑗 ⩽ 𝑝𝐴, démontrer que la variable aléatoire 𝑌𝑖𝑌𝑗 suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. Q 38. En déduire la valeur de la variance de 𝑌. La comparer à celle de 𝑍. V.D – Résultats asymptotiques Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi ℋ(𝑛, 𝑝, 𝐴). On fixe 𝑛 et 𝑝. Soit 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧. Q 39. Montrer que lim 𝐴→+∞ ℙ(𝑋 = 𝑘) = (𝑛 𝑘)𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘. Q 40. Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l’espérance et la variance de 𝑌. • • • FIN • • •

Concours Centrale-Supélec - PSI - 2021 - Mathématiques 2 4 heures Calculatrice autorisée Autour des fonctions hypergéométriques Objectif L’objectif du problème est l’étude de suites, séries et fonctions dites hypergéométriques et d’en donner quelques exemples en analyse et en probabilités. La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La partie II, indépendante de la partie I, définit la fonction Γ, permettant d’étendre la factorielle à des valeurs non entières. La partie III, qui s’appuie sur certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de fonctions hypergéométriques. Les parties IV et V, indépendantes l’une de l’autre, donnent des exemples de fonctions hypergéométriques, respectivement dans le cadre d’une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste. Notations Soit (n, p) ∈ N2. On note n p le coefficient binomial p parmi n, égal à n! p!(n − p)! si p ⩽ n et égal à 0 sinon. On note D = R \ {−n|n ∈ N} l’ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls. Si f est une fonction de classe C n, les deux notations f(n) et dnf dxn sont utilisées pour la dérivée n-ième de f. I Suites et séries hypergéométriques Soit (un)n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que la suite (un)n∈N est hypergéométrique lorsqu’il existe deux polynômes non nuls P et Q de R[X] tels que ∀n ∈ N, P(n) un = Q(n) un+1. (I.1) On dit alors que P et Q sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique (un)n∈N. On dit également qu’une série entière un xn est une série hypergéométrique lorsque la suite (un)n∈N est hypergéométrique. Q 1. Montrer qu’une suite géométrique est hypergéométrique. Q 2. Soit p ∈ N. Montrer que la suite de terme général un = n p est hypergéométrique. Q 3. Démontrer que l’ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec P(X) = X(X − 1)(X − 2) et Q(X) = X(X − 2), est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension. Q 4. Soit (un)n∈N une suite hypergéométrique de polynômes associés P et Q. On suppose qu’il existe un entier naturel n0 tel que P(n0) = 0 et, ∀n ⩾ n0, Q(n) ̸= 0. Justifier que la suite (un)n∈N est nulle à partir d’un certain rang. 1 II Extension de la factorielle On pose, pour tout x ∈ R+∗, Γ(x) = +∞ 0 tx−1 e−t dt. Q 5. Justifier qu’on définit ainsi une fonction sur R+∗. Q 6. Montrer que la fonction Γ est continue et strictement positive sur R+∗. Q 7. Montrer que, pour tout x ∈ R+∗, Γ(x + 1) = xΓ(x). (II.1) Q 8. Déterminer la valeur de Γ(n), pour n ∈ N∗. On admet qu’on peut prolonger la fonction Γ sur D par une fonction continue, toujours notée Γ, qui vérifie la relation (II.1) pour tout x ∈ D. III Fonctions hypergéométriques III.A − Symbole de Pochhammer On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel a et tout entier naturel n par [a]n = 1 si n = 0, a(a + 1) · · · (a + n − 1) = n−1 k=0 (a + k) sinon. Q 9. Si a est un entier négatif ou nul, justifier que la suite ([a]n)n∈N est nulle à partir d’un certain rang. Q 10. Soit a ∈ R. vérifier que, pour tout entier naturel n, [a]n+1 = a[a + 1]n. Q 11. Soit n ∈ N. Donner une expression de [a]n − à l’aide de factorielles lorsque a ∈ N∗; − à l’aide de deux valeurs de la fonction Γ, lorsque a ∈ D. III.B − Fonction hypergéométrique de Gauss Étant donné trois nombres réels a, b et c, on appelle fonction hypergéométrique de Gauss associée au triplet (a, b, c), la fonction, définie sur un sous-ensemble de R, par Fa,b,c(x) = +∞ n=0 [a]n[b]n [c]n xn n! . Q 12. Justifier que, si c ∈ D, alors [a]n[b]n [c]n est bien défini pour tout entier naturel n. On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes. Q 13. Montrer que la série entière [a]n[b]n [c]n xn n! est hypergéométrique et préciser des polynômes associés. 2 Q 14. Réciproquement, démontrer que l’ensemble des séries hypergéométriques associées aux polynômes obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une base et dont on précisera la dimension. Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière [a]n[b]n [c]n xn n! . Q 16. Justifier que Fa,b,c est de classe C 1 sur ]−1, 1[. Calculer sa dérivée et l’exprimer à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. Q 17. Justifier que Fa,b,c est de classe C ∞ sur ] − 1, 1[ et exprimer sa dérivée n-ième à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. Q 18. Exprimer la fonction x → F 1 2 ,1, 3 2 (−x2) à l’aide de fonctions usuelles. Q 19. Exprimer la fonction x → ln(1 + x) x si x ∈ ] − 1, 1[ \ {0} 1 si x = 0 à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss. On admet, en cas d’existence de toutes les quantités présentes dans l’expression suivante, que Fa,b,c(1) = Γ(c)Γ(c − a − b) Γ(c − a)Γ(c − b). Q 20. Soient N ∈ N, c ∈ D, a ∈ R tels que c − a ∈ D. Justifier l’existence de Fa,−N,c(1) et démontrer que N k=0 (−1)k N k [a]k [c]k = [c − a]N [c]N Q 21. Soit (u, v) ∈ N2 tels que N ⩽ min(u, v). En prenant a = −u et c = v − N + 1, montrer l’identité de Vandermonde : u + v N = N k=0 u k v N − k On admet pour la suite que l’identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels u, v, N. Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l’identité de Vandermonde. III.C − Fonction hypergéométrique confluente Soient deux nombre réels a et c tels que c ∈ D. Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle xy′′(x) + (c − x)y′(x) − ay(x) = 0. (III.1) On exprimera ces solutions à l’aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble. On note Ma,c la solution de l’équation (III.1) vérifiant Ma,c(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction hyper-géométrique confluente associée au couple (a, c). 3 IV Les polynômes de Laguerre Soit n ∈ N. On pose, pour tout nombre réel x, Φn(x) = e−x xn et Ln(x) = ex n!Φ(n) n (x). Q 24. Déterminer L0, L1, L2 et L3. Dans toute la suite, n est un entier naturel non nul. Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction Ln est polynomiale de degré n. Déter- miner les coefficients cn,k tels que Ln(x) = n k=0 cn,kxk. Q 26. Pour tout nombre réel x, exprimer Φ(n) n (x) et Φ(n+1) n (x) en fonction de Ln(x) et L′ n(x). Q 27. Utiliser l’égalité Φ(n+1) n+1 (x) = dn+1xΦn(x) dxn+1 , que l’on Justifiera, pour démontrer l’égalité Ln+1(x) = 1 − x n + 1 Ln(x) + x n + 1 L′ n(x) valable pour tout nombre réel x. Q 28. Utiliser l’égalité Φ(n+2) n+1 (x) = dn+1Φ(1) n (x) d xn+1 pour démontrer l’égalité L′ n+1(x) = L′ n(x) − Ln(x) valable pour tout nombre réel x. Q 29. En déduire que Ln est solution de l’équation différentielle xL′′ n(x) + (1 − x)L′ n(x) + n Ln(x) = 0. (IV.1) Q 30. Montrer que Ln est une fonction hypergéométrique confluente. V Loi hypergéométrique On considère un espace probabilisé (Ω, A , P). Soient deux entiers naturels A et n tels que n ⩽ A et p un nombre réel compris entre 0 et 1. On suppose pA ∈ N et on note q = 1 − p. Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, A , P). On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres n, p et A lorsque X(Ω) ⊂ 0, n , P(X = k) = pA k qA n − k A n pour tout k ∈ 0, n . On note alors X → H(n, p, A). 4 V.A − Premiers résultats Q 31. Vérifier qu’on a bien défini une loi de probabilité. Q 32. Soit X une variable aléatoire telle que X → H(n, p, A). Calculer l’espérance de X. On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls k et N, k N k = N N − 1 k − 1 . Q 33. Montrer que la suite (P(X = k))k∈N est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de X à l’aide d’une fonction hypergéométrique. V.B − Modélisation On considère deux urnes contenant chacune A boules dont pA sont blanches et qA sont noires. On tire simultanément, de manière équiprobable, n boules dans la première urne. On note Y le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, n boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note Z le nombre de boules blanches obtenues. Q 34. Quelle est la loi de la variable Z ? Donner l’espérance et la variance de Z. Q 35. Démontrer que Y → H(n, p, A). V.C − Calcul de la variance On se propose d’utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l’espérance et pour calculer la variance d’une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique H(n, p, A). Pour cela, on numérote de 1 à pA chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel i ∈ 1, pA , on pose Yi = 1 si la boule numérotée i a été tirée, 0 sinon. Q 36. Exprimer Y à l’aide des Yi et retrouver la valeur de l’espérance de Y . La comparer à celle de Z. Q 37. Pour 1 ⩽ i < j ⩽ pA, démontrer que la variable aléatoire YiYj suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. Q 38. En déduire la valeur de la variance de Y . La comparer à celle de Z. V.D − Résultats asymptotiques Soit X une variable aléatoire suivant la loi H(n, p, A). On fixe n et p. Soit k ∈ 0, n . Q 39. Montrer que lim A→+∞ P(X = k) = n k pk (1 − p)n−k. Q 40. Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l’espérance et la variance de Y . • • • FIN • • • 5