OpenSup

CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 1 MP m.laamoum@gmail.com Exemples de contraintes symplectiques linéaires. I Préliminaires Q 1. Soient A et B ∈ Mn(R) telles que pour tout (X, Y ) ∈ (Mn,1(R))2 , X⊤AY = X⊤BY donc X⊤ (A − B) Y = 0 en particulier pour X = (A − B) Y on obtient X⊤X = ∥X∥2 Rn = 0 donc X = 0, ( ∥X∥2 Rn = n i=1 X2 i la norme usuelle de Rn). Ainsi (A − B) Y = 0 pour tout Y ∈ Mn,1(R) donc A = B. Autre méthode , soit (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, pour tout i , j on a e⊤ i Aej = Ai,j , ainsi Ai,j = Bi,j et A = B. Q 2. Soit M ∈ GLn(R). M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable et Sp(M ⊤M) ⊂ R . De plus det M ⊤M = (det M)2 ̸= 0 donc Sp(M ⊤M) ⊂ R∗. Soit λ ∈ Sp(M ⊤M) et X un vecteur propre associé à λ , on a ∥MX∥2 Rn = (MX) ⊤ MX = X ⊤(M ⊤M)X = λ ∥X∥2 Rn donc λ ≥ 0 , ainsi Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée et Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . IL existe P ∈ On(R) telle M ⊤M = P.diag(λ1, ..., λn).P ⊤ , soit S = P.diag(√λ1, ..., √λn).P ⊤, c’est une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. II Objets symplectiques II. A Structure d’espace vectoriel symplectique réel Q 3. Si ω est une forme symplectique sur E, alors elle est antisymétrique et pour tout vecteur x de E, ω(x, x) = −ω(x, x) = 0. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace symplectique (E, ω). Q 4. Soit y ∈ F , l’application φy : x → ω(x, y) est linéaire de E vers R , on a F ω = y∈F ker φy donc F ω est un sous-espace vectoriel de E. Q 5. Soit x ̸= 0 et F = Vect({x}) , on a ω(x, x) = 0 donc F ⊂ F ω et F ω n’est pas en somme directe avec F . Q 6. dω est linéaire . Soit x ∈ ker dω donc ω(x, ·) = 0 et pour tout y dans E on a ω(x, y) = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 . Ainsi ker dω = {0} , comme dim E = dim L(E, R) alors dω est un isomorphisme. Q 7. Soit BF une base de F on la complète en une base BE de E . Pour tout u ∈ L(F, R) soit ℓ ∈ L(E, R) tel que : ℓ(x) = u(x) si x ∈ BF et ℓ(x) = 0 si x ∈ BE\BF , ainsi rF (ℓ) = u et rF est surjective. 1 Q 8. On a rF ◦ dω ∈ L(E, L(F, R)) . Soit x ∈ ker rF ◦ dω donc ∀y ∈ F ω(x, y) = 0 donc ker rF ◦ dω = F ω. De plus Im rF ◦ dω = rF (dω(E)) , dω est un isomorphisme et rF est surjective donc dω(E) = L(E, R) et rF (L(E, R)) = L(F, R) , d’où Im rF ◦ dω = L(F, R) , le théorème du rang donne dim F ω = dim E − dim F. Q 9. On a ωF est bilinéaire et antisymétrique sur F 2 , puisque {x ∈ F | ∀y ∈ F, ωF (x, y) = 0} = F ∩ F ω alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ∩ F ω = {0} , comme dim F ω + dim F = dim E alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ⊕ F ω = E. II. B Structure symplectique standard sur Rn Q 10. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X = (x1, . . . , xn)⊤ et Y = (y1, . . . , yn)⊤les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn, ω est bilinéaire donc ω(x, y) = n i=1 xi   n j=1 yjω (ei, ej)   = X⊤.   n j=1 yjω (e1, ej) , ..., n j=1 yjω (en, ej)   ⊤ = X⊤ΩY Q 11. On a ω(ei, ej) = −ω(ej, ei) donc Ω est antisymétrique . Soit X la colonne des coordonnées d’un vecteur x dans la base canonique de Rn . Si X ∈ ker Ω alors pour tout y de vecteur colonne Y dans la base canonique de Rn , ω(x, y) = −ω(y, x) = −Y ⊤ΩX = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 , ainsi Ω est inversible. Q 12. On a Ω⊤ = −Ω donc det Ω = (−1)n det Ω , si n est impair alors det Ω = 0 , Ω est inversible donc n est forcement pair. Q 13. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X et Y les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn. • ⟨., .⟩ est bilinéaire , j est linéaire donc bsest bilinéaire . • On a bs(x, y) = X⊤J Y (∈ R) = X⊤J Y ⊤ = −Y ⊤J X (J⊤ = −J) = −bs(y, x) • Remarquons que J2 = −I2m , donc J est inversible . Si bs(x, y) = 0 pour tout y , alors pour y = j−1(x) on a bs(x, y) = ⟨x, x⟩ = 0 donc x = 0 et bs est non dégénérée . Ainsi bs est une forme symplectique . II. C Endomorphismes et matrices symplectiques réels Q 14. Soit x ∈ Eλ(u) et ∀y ∈ Eµ(u) , supposons λµ ̸= 1, ω(u(x), u(y)) = λµω(x, y) = ω(x, y) donc ω(x, y) = 0, ainsi Eλ(u) et Eµ(u) sont ω-orthogonaux . Q 15. Soit (x, y) ∈ E2 et X et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn , on a bs(x, y) = X⊤JY 2 et bs(u(x), u(y)) = (MX)⊤ J (MY ) = X⊤ M ⊤JM Y Donc , u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si ∀(X, Y ) ∈ (Rn)2 , X⊤ M ⊤JM Y = X⊤JY D’après Q 1 on a : u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si M ⊤JM = J. Q 16. • Spn(R) ⊂ GLn(R) : Soit M ∈ Spn(R) de M ⊤JM = J on a (det M)2 det J = det J, donc det M = ±1 et M ∈ GLn(R). • Spn(R) est non vide : On a In ∈ Spn(R) . • Spn(R) est stable par produit : Soit M , N ∈ Spn(R). on a (MN)⊤ J (MN) = N ⊤ M ⊤JM N = N ⊤JN = J , donc MN ∈ Spn(R). • Les éléments de Spn(R) sont symétrisables : Soit M ∈ Spn(R). on a M −1 ⊤ JM −1 = M J−M ⊤ −1 = M ⊤ J− ⊤ M −1 ⊤ Or J− = J⊤ = −J donc M −1 ⊤ JM −1 = J et M −1 ∈ Spn(R). Ainsi Spn(R) est un sous groupe de GLn(R) . • Soit M ∈ Spn(R). on a J = M −1 ⊤ JM −1 = − M JM ⊤ −1 Or J⊤ = −J , donc M JM ⊤ = J et M ⊤ ∈ Spn(R) . Q 17. Soit M = A B C D on a M ⊤JM = A⊤ C⊤ B⊤ D⊤ 0 −Im Im 0 A B C D = C⊤ −A⊤ D⊤ −B⊤ A B C D = C⊤A − A⊤C C⊤B − A⊤D D⊤A − B⊤C D⊤B − B⊤D 3 Donc M ∈ Sp2m(R) ⇔ M ⊤JM = J ⇔ C⊤A − A⊤C = D⊤B − B⊤D = 0 D⊤A − B⊤C = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C ⊤ − A⊤C = B⊤D ⊤ − B⊤D = 0 A⊤D − C⊤B ⊤ = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C et B⊤D sont symétriques et A⊤D − C⊤B = Im. III Déterminant d’une matrice symplectique réelle III. A Le cas de la dimension 2 Q 18. Soit M = a b c d , d’après Q 17. on a M ∈ Sp2m(R) ⇔ da − bc = det M = 1 Ainsi Sp2(R) = SL2(R). III. B Commutant de J Q 19. Soit M = A B C D on a M J = B −A D −C et JM = −C −D A B Donc M ∈ CJ ⇐⇒ B = −C A = D ⇐⇒ ∃(U, V ) = (A, C) , M = U −V V U Q 20. Soit M ∈ CJ, On a Im 0 i Im Im U −V V U Im 0 −i Im Im = U + iV −V 0 U − iV Le calcul de determinant par blocs donne det(M) = det (U + iV ) det (U − iV ) = det (U + iV ) det (U + iV ) = |det (U + iV )|2 ⩾ 0 III. C Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle Q 21. OSpn(R) est une intersection de sous groupes de GLn(R), donc c’est un sous groupe de GLn(R) . Ainsi OSpn(R) est un groupe inclus dans Spn(R) donc c’est un sous groupe de Spn(R). 4 On a OSpn(R) = M ∈ Mn(R) | M ⊤JM, M ⊤M = (J, In) , considérons l’application φ : Mn(R) → Mn(R) × Mn(R) M → M ⊤JM, M ⊤M elle est continue, car la transposition est continue, elle est linéaire en dimensions finies , et le produit de deux matrice est continue , car bilinéaire en dimensions finies. On a alors OSpn(R) = φ−1({(J, In)} , c’est un fermé , comme image réciproque par une application continue d’un fermé. De plus pour toute matrice M de OSpn(R) on a ∥M∥2 = Tr(M ⊤M) = √n , ainsi OSpn(R) est borné en dimension finie donc il est compact . Q 22. Soit M ∈ OSpn(R) elle vérifie M ⊤JM = J et M ⊤M = MM ⊤ = In ce qui donne MJ = MM ⊤JM = JM donc M ∈ CJ et OSpn(R) ⊂ CJ. Q 23. Soit M de OSpn(R) = Spn(R) ∩ On(R) donc (det M)2 = 1 et det M ≥ 0 (d’près Q 20) d’où det M = 1 . Q 24. Soit M ∈ Spn(R) et S ∈ Sn(R) une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. Soit (v1, ..., vn) une base orthonormée de Rn formée de vecteurs propres de l’endomorphisme u canoniquement associé à M ⊤M, on a u(vi) = λivi et s(vi) = √λivi pour tout i. Comme M ∈ Spn(R) alors M ⊤ et M ⊤M sont dans Spn(R) , par suite u est symplectique de (Rn, bs) . Soit x = n i=1 xivi et y = n i=1 yivi , on a s(x) = n i=1 xi √λivi et : bs(s(x), s(y)) = ⟨s(x), j(s(y))⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλk ⟨vh, j(vk)⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλkbs (vh, vk) u est symplectique donc bs (vh, vk) = 0 si λhλk ̸= 1 d’après Q 14. par suite : bs(s(x), s(y)) = n 1≤k,h≤n λhλk=1 xhykbs (vh, vk) = n h=1 n k=1 xhykbs (vh, vk) ( on rajoute un terme nul) = bs(x, y) Donc s est symplectique de (Rn, bs) et S ∈Spn(R) . Q 25. On a S ∈Spn(R) ⊂GLn(R) donc S est inversible . Soit O = MS−1 , Spn(R) est un groupe donc O ∈Spn(R), de plus O⊤O = S−1 ⊤ M ⊤MS−1 = S−1S2S−1 = In ainsi O appartient au groupe OSpn(R). Q 26. On a det O = 1 donc det M = det S . S ∈Spn(R) elle vérifie SJS = J et det J ̸= 0 donc (det S)2 = 1 , det S est positif car toutes les valeurs propres de S sont positives donc det S = 1. et det M = 1. 5 III. D Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques III. D.1 Transvection symplectique Q 27. Soit a ∈ E un vecteur non nul , λ ∈ R et τ λ a (x) = x + λω(a, x)a ∀x ∈ E. L’application x → ω(a, x) est linéaire et ω(a, a) = 0 donc τ λ a est une transvection de E . Soit x et y dans E , par bilinéarité de ω on a ω(τ λ a (x), τ λ a (y)) = ω(x, y) + λω(a, y)(ω(x, a) + ω(a, x) =0 ) + λ2ω(a, x)ω(a, y)ω(a, a) =0 = ω(x, y) donc τ λ a est symplectique . Q 28. Soit a ∈ E un vecteur non nul et λ , µ ∈ R . Soit x ∈ E on a τ µ a ◦ τ λ a (x) = τ µ a (x) + λω(a, x)τ µ a (a) (τ µ a (a) = a) = x + µω(a, x)a + λω(a, x)a = τ λ+µ a (x). donc τ µ a ◦ τ λ a = τ λ+µ a . Q 29. Soient a ∈ E un vecteur non nul et λ un réel. On a det τ λ a = det(τ λ/2 a ◦ τ λ/2 a ) = det(τ λ/2 a )2 ≥ 0. Si det τ λ a = 0 alors il existe x ̸= 0 tel que τ λ a (x) = x + λω(a, x)a = 0 , x est colinéaire avec a donc ω(a, x) = 0 et τ λ a (x) = x = 0 absurde , d’où det τ λ a > 0 . Q 30. τ λ a −1 = τ −λ a . III. D.2 Un lemme On fixe x et y, non nuls, dans E. Q 31. Supposons que ω(x, y) ̸= 0. Soit λ ∈ R tel que τ λ y−x(x) = y donc y = x + λω(y − x, x)(y − x) = x + λω(y, x)(y − x) ainsi λ = 1 ω(y,x) . La réciproque est vraie. Q 32. Supposons que ω(x, y) = 0. Soit F = Vect({x, y}) il est de dimension 1 ou 2 , donc F ω est de dimension n − 1 ou n − 2 , soit G un supplémentaire de F ω dans E , prenons un z ∈ G\ {0} alors ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0. Q 33. Soit x et y dans E\ {0} . Si ω(x, y) ̸= 0 , soit λ = 1 ω(y,x) alors τ λ y−x(x) = y . Si ω(x, y) = 0 , soit z tel que ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0, posons λ = 1 ω(z,x) et µ = 1 ω(y,z) , alors τ µ y−zoτ λ z−x(x) = y Ce qui démontre le lemme. 6 III. D.3 Le théorème Soit u ∈ Sympω(E) un endomorphisme symplectique de E et e1 ∈ E un vecteur non nul. Q 34. ω non dégénerée et e1 ̸= 0 donc il existe x ∈ E non colinéaire à e1 , tel que ω (e1, x) ̸= 0 . Soit f1 = 1 ω(e1,x)x , on a ω (e1, f1) = 1 et f1 non colinéaire à e1 . On pose P = Vect (e1, f1) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e1 et f1. Q 35. Si u (e1) = 0 alors pour tout x on a ω (u(e1), u(x)) = ω (e1, x) = 0 , ω est non degenerée donc e1 = 0 , ce qui est absurde , ainsi u (e1) ̸= 0 , le lemme donne le résultat. Q 36. Soit f1 = δ1 (u (f1)) , on a δ1 (u (e1)) = e1 , comme δ1, u ∈ Sympω(E) alors ω e1, f1 = ω (δ1 (u (e1)) , δ1 (u (f1))) = ω (e1, f1) = 1 • Si ω f1, f1 ̸= 0 . Soit λ = 1 ω f1, f1 , alors τ λ f1− f1( f1) = f1 et τ λ f1− f1(e1) = e1 + λω(f1 − f1, e1)(f1 − f1) = e1 (car ω e1, f1 − f1 = 0) • Si ω f1, f1 = 0 . Soit x0 = e1 +f1 , on a ω (x0, f1) = 1 et ω x0 , f1 = 1 , forcement x0 ̸= 0 , d’après le premier cas il existe deux transvections symplectiques τ1 et τ2 telles que : τ1(x0) = f1 ,τ1(e1) = e1 , τ2( f1) = x0 et τ2(e1) = e1, δ2 = τ1 ◦ τ2 convient. Ce qui prouve le résultat . La composée δ = δ2 ◦ δ1 d’au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées. On pose v = δ ◦ u. Q 37. On a v(e1) = δ ◦ u(e1) = e1 et v(f1) = δ ◦ u(f1) = f1 , donc P est stable par v et vP = v| P = idP . Q 38. Remarquons que P ω = {x ∈ E | ω(x, e1) = ω(x, f1) = 0}. Soit x ∈ P ω, on a ω(v(x), e1) = ω(v(x), v(e1)) = ω(x, e1) = 0 et ω(v(x), f1) = ω(v(x), v(f1)) = ω(x, f1) = 0 donc P ω est stable par v. Q 39. Soit ωP ω la restriction de ω à P ω × P ω . On a P ∩ P ω = {0} donc E = P ⊕ P ω , d’après Q 9. ωP ω définit une forme symplectique sur P ω . Soit x, y ∈ P ω , on a ωP ω(vP ω(x), vP ω(y)) = ω(v(x), v(y)) ( car P ω stable par v) = ω(x, y) ( car v est symplectique) = ωP ω(x, y) donc vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω. Q 40. Soit u un endomorphisme symplectique de (E, ω) . On fait une récurrence sur m tel que dim E = 2m. 7 • Si m = 1 alors E = Vect (e1, e2) avec ω (e1, e2) = 1 , d’après Q 36.il existe δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 , ainsi u = δ−1, ce qui prouve le cas m = 1. • On suppose le résultat vrai pour 2m , soit E de dimension 2(m + 1) et P = Vect (e1, e2) ⊂ E avec ω (e1, e2) = 1 . Soit δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 et v = δou . On a E = P ⊕ P ω , vP = idP et vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω , d’après l’hypothèse de récurrence vP ω = τp ◦ · · · ◦ τ1 avec p ≤ 4m et τ1, τ2, . . . , τp des transvections symplectiques de P ω . Pour tout i il existe ai ∈ P ω et λi ∈ R tels que τi = τ λi ai , qui se prolonge en τi transvections symplectique sur E , par τi(x) = x si x ∈ P . On obtient alors u = δ−1 ◦ τp ◦ · · · ◦ τ1 , d’où le résultat. III. D.4 Une conséquence topologique Q 41. Soit M ∈ Spn(R) alors u l’endomorphisme canoniquement associé à M ,s’écrit de la forme u = τ λ1 a1 ◦ · · · ◦ τ λp ap ave p ≤ 4m . Par suite M = T λ1 a1 ◦ · · · ◦ T λp ap , avec T λi ai la matrice de τ λi ai dans la base canonique de Rn. Si B = (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, et a = n i=1 aiei alors T λ a = (δi,j + λω(a, ej)ai)1≤i≤n 1≤j≤n qui est continue par rapport à λ. Le produit de p matrices est continue ( il est p linéaire en dimensions finies) donc l’application φM : [0, 1] → Spn(R) t → T tλ1 a1 ◦ · · · ◦ T tλp ap est continue et φu(0) = In et φu(1) = M . Pour N ∈ Spn(R) , l’application Φ : [0, 1] → Spn(R) t → φM(1 − 2t) si t ∈ 0, 1 2 φN(2t − 1) si t ∈ 1 2, 1 est continue et Φ(0) = M et Φ(1) = N . Ainsi Spn(R) est connexe par arcs . III. D.5 Deuxième conséquence Q 42. Si M ∈ Spn(R) alors det M = ±1, et on a M = T λ1 a1 ◦· · ·◦T λp ap , avec T λi ai des matrices de transvection symplectique donc det T λi ai > 0 par suite det M > 0 ce qui prouve que det M = 1 et Spn(R) ⊂ SLn(R). IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires On fixe n = 2m ⩾ 4. IV. A Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans un cylindre Q 43. B = (e1, . . . , em, e′ 1, . . . , e′ m) est la base canonique de R2m. Soit u l’endomorphisme de R2m définit par : u(ei) = rei , u(ei+1) = 1 r ei+1 si i ∈ {1, m + 1} et u(ei) = ei si non on vérfie facilement que u ∈ SL R2m et u B2m(1) ⊂ Z2m(r). 8 IV. B Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans une autre Soit r > 0 tel qu’il existe u ∈ SL R2m vérifiant u B2m(1) ⊂ B2m(r). Soit λ ∈ C une valeur propre complexe de la matrice U la matrice de u dans la base canonique de R2m. Q 44. Si λ ∈ R , soit X un vecteur propre de U, de norme 1, associé à λ. X ∈ B2m(1) donc UX = λX ∈ B2m(r) , par suite ∥λX∥ = |λ| ≤ r. Si λ = α + iβ ∈ C , soit Z = P + iQ un vecteur propre de U, associé à λ.Posons P = (p1, . . . , p2m) et Q = (q1, . . . , q2m) . On a UP + iUQ = (α + iβ) (P + iQ) = (αP − βQ) + i (βP + αQ) donc UP = αP − βQ et UQ = βP + αQ ce qui donne ∥UP∥2 + ∥UQ∥2 = ∥αP − βQ∥2 + ∥βP + αQ∥2 = 2m k=1 (αpk − βqk)2 + (βpk + αqk)2 = 2m k=1 α2 + β2 p2 k + q2 k = |λ|2 ∥P∥2 + ∥Q∥2 De l’inclusion u B2m(1) ⊂ B2m(r) on a ∥UP∥ ≤ r ∥P∥ et ∥UQ∥ ≤ r ∥Q∥ d’où |λ| ≤ r . Q 45. On a 1 = det u = λ∈Sp(u) λ ≤ r2m donc 1 ≤ r. Q 46. Si u B2m(1) ⊂ B2m(r) alors 1 ≤ r . Réciproquement si 1 ≤ r alors B2m(1) ⊂ B2m(r) , on prend u = id . IV. C Injection symplectique d’une boule dans un cylindre Soit r > 0 tel qu’il existe un endomorphisme symplectique ψ ∈ Sympbs R2m vérifiant ψ B2m(1) ⊂ Z2m(r). On note M ∈ Sp2m(R) la matrice de ψ dans la base canonique (e1, . . . , em, f1, . . . , fm) de R2m et ψ⊤ l’endomorphisme canoniquement associé à M ⊤. Q 47. On a ψ ⊤ ∈ Sympbs R2m donc bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = bs (e1, f1) = ⟨e1, j(f1)⟩ ( j(f1) = −e1) = −1 d’où bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = 1 . L’inégalité de Cauchy -Schwartz donne bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = ψ⊤ (e1) , j(ψ⊤ (f1)) ≤ ψ⊤ (e1) j(ψ⊤ (f1) et on a J⊤J = I2m , j est un endomorphisme orthogonal, donc 1 = bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ≤ ψ⊤ (e1) ψ⊤ (f1) 9 on en déduit que ψ⊤ (e1) ⩾ 1 ou ψ⊤ (f1) ⩾ 1. Q 48. Posons M = (ai,j)1≤i,j≤2m , soit X = (x1, ..., x2m)⊤ ∈ R2m\ {0} , 1 ∥X∥X ∈ B2m(1) donc 1 ∥X∥MX ∈ Z2m(r) . On a MX = ( 2m j=1 a1,jxj, ..., 2m j=1 a2m,jxj)⊤ donc   2m j=1 a1,jxj   2 +   2m j=1 am+1,jxj   2 ≤ r 2m j=1 x2 j en particulier pour xj = a1,j ∀j , on obtient   2m j=1 a2 1,j   2 ≤   2m j=1 a2 1,j   2 +   2m j=1 am+1,ja1,j   2 ≤ r 2m j=1 a2 1,j Comme M ⊤X = ( 2m j=1 aj,1xj, ..., 2m j=1 aj,2mxj)⊤ alors 2m j=1 a2 1,j = ψ⊤ (e1) 2 ̸= 0 car ψ est bijective . Ainsi ψ⊤ (e1) ≤ r De même pour xj = am+1,j ∀j , on obtient ψ⊤ (f1) ≤ r Finalement 1 = max( ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ) ≤ r. Q 49. Soit R > 0 , R′ > 0 et ψ ∈ Sympbs R2m telque ψ B2m(R) ⊂ Z2m (R′) . Pour tout x ∈ B2m(1) on a Rx ∈ B2m(R) donc ψ (Rx) ∈ Z2m (R′) ce qui donne ψ (x) ∈ Z2m (R′/R) , par suite ψ B2m(1) ⊂ Z2m (R′/R) , la question Q 49. donne R ⩽ R′. Réciproquement , si R ⩽ R′ alors B2m(R) ⊂ B2m(R′) ⊂ Z2m (R′) . Ce qui montre le théorème de non-tassement linéaire • • • FIN • • • 10 CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2022 MATHÉMATIQUES 1 MP Durée : 4 heures Calculatrices autorisée Exemples de contraintes symplectiques linéaires. Notations . — Dans tout le problème, n et m désignent des entiers naturels non nuls. — On note Mn(R) l’ensemble des matrices carrées de taille n × n à coefficients réels et In la matrice identité dans Mn(R). — Pour tous entiers naturels non nuls p et q, on note Mp,q(R) l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients réels. Ainsi, Mn,1(R) est l’ensemble des matrices colonnes à n lignes et Mn,n(R) = Mn(R). — On note Sn(R) l’ensemble des matrices réelles symétriques de Mn(R). — On note GLn(R) le groupe linéaire réel d’ordre n (matrices carrées inversibles dans Mn(R) ) et SLn(R) le sous- groupe des matrices de déterminant égal à 1 : SLn(R) = {A ∈ Mn(R) | det(A) = 1} . — On note A⊤ la transposée d’une matrice A. — Le produit scalaire canonique de Rn et la norme euclidienne associée sont notés respectivement ⟨·, ·⟩ et ∥ · ∥. — Le groupe orthogonal réel d’ordre n est noté On(R) : On(R) = A ∈ Mn(R) | A⊤A = In . — Si E est un R-espace vectoriel, on note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E et L(E, R) l’ensemble des appli- cations linéaires de E dans R. Objectif . Ce problème a pour objectif de définir la notion d’espace symplectique réel et d’étudier certaines propriétés des endomor- phismes symplectiques de Rn. La première partie établit quelques résultats utiles dans la suite. La deuxième partie définit toutes les notions relatives aux objets symplectiques utilisés dans la suite du problème. La troisième partie vise plus spécifiquement à montrer que toute matrice symplectique réelle a un déterminant égal à 1 . La quatrième partie aborde la définition des contraintes permettant d’injecter un objet dans un autre au moyen d’un endomorphisme symplectique. Les deux dernières parties sont largement indépendantes. I Préliminaires Q 1. Soient A et B deux matrices de Mn(R) telles que ∀(X, Y ) ∈ (Mn,1(R))2 , X⊤AY = X⊤BY. Montrer que A = B. Q 2. Soit M ∈ GLn(R). Montrer que les valeurs propres de M ⊤M sont toutes strictement positives. En déduire qu’il existe une matrice S symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. 1 II Objets symplectiques II. A Structure d’espace vectoriel symplectique réel Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n. On appelle forme symplectique sur E toute application ω de E2 dans R qui vérifie les trois propriétés suivantes : — bilinéarité : ∀(x, y, z) ∈ E3, ∀λ ∈ R, ω(x + λy, z) = ω(x, z) + λω(y, z) et ω(x, y + λz) = ω(x, y) + λω(x, z) ; — antisymétrie : ∀(x, y) ∈ E2, ω(x, y) = −ω(y, x) ; — non dégénérescence : {x ∈ E | ∀y ∈ E, ω(x, y) = 0} = {0E}. Un espace vectoriel symplectique réel (E, ω) est un R-espace vectoriel de dimension finie E muni d’une forme symplectique ω sur E. Q 3. Montrer que, si ω est une forme symplectique sur E, alors pour tout vecteur x de E, ω(x, x) = 0. Pour tout sous-espace vectoriel F d’un espace symplectique (E, ω), on appelle ω-orthogonal de F et on note F ω l’ensemble F ω = {x ∈ E | ∀y ∈ F, ω(x, y) = 0}. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace symplectique (E, ω). Q 4. Justifier que F ω est un sous-espace vectoriel de E. Q 5. Le sous-espace F ω est-il nécessairement en somme directe avec F ? Pour tout x ∈ E, on note ω(x, ·) l’application linéaire de E dans R, y → ω(x, y) et on considère dω : E → L(E, R) x → ω(x, ·) Q 6. Montrer que dω est un isomorphisme. Pour ℓ ∈ L(E, R), on note ℓ| F la restriction de ℓ à F. Q 7. Montrer que l’application de restriction rF : L(E, R) → L(F, R) ℓ → ℓ| F est surjective. Q 8. Préciser le noyau de rF ◦ dω. En déduire que dim F ω = dim E − dim F. Q 9. Montrer que la restriction ωF de ω à F 2 définit une forme symplectique sur F si et seulement si F ⊕ F ω = E. II. B Structure symplectique standard sur Rn On suppose qu’il existe une forme symplectique ω sur Rn et on note Ω ∈ Mn(R) la matrice définie par Ω = (ω (ei, ej))1≤i,j≤n où (e1, . . . , en) désigne la base canonique de Rn. Q 10. Montrer que ∀(x, y) ∈ Rn × Rn, ω(x, y) = X⊤ΩY où X et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn. Q 11. En déduire que Ω est antisymétrique et inversible. Q 12. Conclure que l’entier n est pair. Jusqu’à la fin du problème, on suppose que n est pair et on note m ∈ N∗ l’entier naturel tel que n = 2m. On note J ∈ Mn(R) (= M2m(R)) la matrice définie par blocs par J = 0 −Im Im 0 2 et on note j l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à J. Q 13. Montrer que l’application bs : Rn × Rn → R (x, y) → ⟨x, j(y)⟩ est une forme symplectique sur Rn. Il existe donc des formes symplectiques en dimension paire, et seulement en dimension paire. La forme symplectique bs est appelée la forme symplectique standard sur Rn. II. C Endomorphismes et matrices symplectiques réels On appelle endomorphisme symplectique d’un espace vectoriel symplectique réel (E, ω) tout endomorphisme u ∈ L(E) tel que ∀(x, y) ∈ E2, ω(u(x), u(y)) = ω(x, y) On note Sympω(E) l’ensemble des endomorphismes symplectiques de l’espace symplectique (E, ω). Soit u ∈ Sympω(E) un endomorphisme symplectique de E. Soient λ, µ des valeurs propres réelles de u, et soient Eλ(u), Eµ(u) les sous-espaces propres associés. Q 14. Montrer que, si λµ ̸= 1, alors les sous-espaces Eλ(u) et Eµ(u) sont ω-orthogonaux, c’est-à-dire : ∀x ∈ Eλ(u), ∀y ∈ Eµ(u), ω(x, y) = 0. Soit u ∈ L (Rn) un endomorphisme de Rn. On note M la matrice de u dans la base canonique de Rn. Q 15. Montrer que u est un endomorphisme symplectique de l’espace symplectique standard (Rn, bs) si et seulement si M ⊤JM = J. Une matrice M ∈ Mn(R) est dite symplectique si M ⊤JM = J. On note Spn(R) l’ensemble des matrices symplectiques réelles dans Mn(R) = M2m(R) : Spn(R) = Sp2m(R) = M ∈ Mn(R) | M ⊤JM = J . Q 16. Montrer que Spn(R) est un sous-groupe de GLn(R), stable par transposition et contenant la matrice J. Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d’ondre n = 2m. Soient A, B, C, D dans Mm(R) et soit M = A B C D ∈ M2m(R) (décomposition par blocs). Q 17. Montrer que M ∈ Sp2m(R) si et seulement si A⊤C et B⊤D sont symétriques et A⊤D − C⊤B = Im. III Déterminant d’une matrice symplectique réelle L’objectif de cette partie est de montrer l’inclusion Spn(R) ⊂ SLn(R) par deux méthodes différentes qui reposent chacune sur une propriété structurelle du groupe symplectique Spn(R) qu’on examine au préalable. III. A Le cas de la dimension 2 Q 18. Montrer que Sp2(R) = SL2(R). III. B Commutant de J On note CJ = {M ∈ Mn(R) | JM = MJ} le commutant de la matrice J, c’est-à-dire l’ensemble des matrices de Mn(R) qui commutent avec J. Q 19. Montrer que, pour toute matrice M ∈ Mn(R) (= M2m(R)), M ∈ CJ ⇐⇒ ∃(U, V ) ∈ Mm(R) × Mm(R), M = U −V V U 3 Q 20. En déduire que, pour toute matrice M ∈ CJ, det(M) ⩾ 0. On pourra considérer le produit de matrices par blocs Im 0 i Im Im U −V V U Im 0 −i Im Im III. C Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle On note OSpn(R) = Spn(R) ∩ On(R) l’ensemble des matrices symplectiques et orthogonales réelles de Mn(R). On munit Mn(R) de sa topologie d’espace vectoriel normé de dimension finie. Q 21. Montrer que OSpn(R) est un sous-groupe compact du groupe symplectique Spn(R). Q 22. Montrer que OSpn(R) ⊂ CJ. Q 23. En déduire que, pour toute matrice M de OSpn(R), det(M) = 1. Jusqu’à la fin de la sous-partie III.C, on considère une matrice M ∈ Spn(R). Soit S ∈ Sn(R) une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. Q 24. Montrer que S est symplectique. On pourra considérer une base de vecteurs propres de l’endomorphisme s de Rn canoniquement associé à S, et montrer que s est un endomorphisme symplectique de l’espace standard (Rn, bs). Q 25. Justifier que S est inversible puis montrer que la matrice O définie par O = MS−1 appartient au groupe OSpn(R). Q 26. Conclure que le déterminant de la matrice M est égal à 1 . III. D Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques Soit (E, ω) un espace vectoriel symplectique de dimension n = 2m. On appelle transvection de E tout endomorphisme τ de E tel qu’il existe ℓ ∈ L(E, R) et a ∈ ker(ℓ) vérifiant ∀x ∈ E, τ(x) = x + ℓ(x)a. III. D.1 Transvection symplectique Q 27. Soit a ∈ E un vecteur non nul et λ ∈ R un réel. Montrer que l’application τ λ a définie par ∀x ∈ E, τ λ a (x) = x + λω(a, x)a est une transvection de E et qu’il s’agit d’un endomorphisme symplectique de ce même espace. Les applications τ λ a pour a ∈ E\ {0E} et λ ∈ R sont appelées transvections symplectiques de E. Q 28. Soit a ∈ E un vecteur non nul et soient λ et µ des réels. Montrer que τ µ a ◦ τ λ a = τ λ+µ a . Q 29. Soient a ∈ E un vecteur non nul et λ un réel. Montrer que det τ λ a > 0. Q 30. La réciproque τ λ a −1 est-elle encore une transvection symplectique ? On se propose de montrer le théorème suivant : Tout endomorphisme symplectique de E peut s’écrire comme la composée d’au plus 2n = 4m transvections symplectiques de E : si u ∈ Sympω(E), il existe un entier p ≤ 4m et τ1, τ2, . . . , τp des transvections symplectiques de E telles que u = τp ◦ · · · ◦ τ2 ◦ τ1. III. D.2 Un lemme On commence par montrer le lemme suivant : Pour tous vecteurs non nuls x et y de E, il existe une composée γ d’au plus deux transvections symplectiques de E telle que γ(x) = y. 4 On fixe x et y, non nuls, dans E. Q 31. Supposons que ω(x, y) ̸= 0. Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que τ λ y−x(x) = y. Q 32. Supposons que ω(x, y) = 0. Montrer qu’il existe un vecteur z ∈ E tel que ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0. Q 33. Montrer le lemme cité ci-dessus. III. D.3 Le théorème Soit u ∈ Sympω(E) un endomorphisme symplectique de E. Soit e1 ∈ E un vecteur non nul. Q 34. Justifier l’existence de f1 ∈ E, non colinéaire à e1, tel que ω (e1, f1) = 1. On pose P = Vect (e1, f1) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e1 et f1. On va montrer l’existence d’une composée δ d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 δ (u (f1)) = f1 Q 35. Pourquoi existe-t-il une composée δ1 d’au plus deux transvections symplectiques de E telle que δ1 (u (e1)) = e1? Q 36. Notons f1 le vecteur δ1 (u (f1)). Montrer qu’il existe une composée δ2 d’au plus deux transvections symplectiques de E telle que δ2 (e1) = e1 δ2 f1 = f1 On pourra adapter la démonstration du lemme précédent. La composée δ = δ2 ◦ δ1 d’au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées. On pose v = δ ◦ u. Q 37. Montrer que P est stable par v et déterminer vP , endomorphisme induit par v sur P. Q 38. Montrer que P ω est stable par v. Q 39. Montrer que la restriction ωP ω de ω à P ω × P ω munit P ω d’une structure d’espace symplectique et que l’endomorphisme vP ω induit par v sur P ω est un endomorphisme symplectique. Q 40. À l’aide de ce qui précède, montrer le théorème annoncé. III. D.4 Une conséquence topologique On munit toujours l’espace Mn(R) de sa topologie d’espace vectoriel normé. Q 41. Montrer que le groupe symplectique Spn(R) est une partir connexe par arcs de cet espace. III. D.5 Deuxième conséquence Q 42. Utiliser les résultats de cette sous-partie III.D pour prouver l’inclusion Spn(R) ⊂ SLn(R). IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires Dans cette partie, on fixe n = 2m ⩾ 4. On rappelle que Sympbs R2m désigne le groupe des endomorphismes symplectiques de l’espace symplectique standard R2m, bs . On note de plus SL R2m le groupe des endomorphismes de R2m de déterminant égal à 1 . Pour r ⩾ 0, on considère les parties suivantes de R2m. — La boule euclidienne fermée de rayon r : B2m(r) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , ym) ∈ R2m, x2 1 + · · · + x2 m + y2 1 + · · · + y2 m ≤ r2 . — Le cylindre symplectique de rayon r basé sur les axes de coordonnées numéro 1 et m + 1 : Z2m(r) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , ym) ∈ R2m, x2 1 + y2 1 ≤ r2 5 Sur des exemples (boules ou cylindres) de parties A et B de R2m, on étudie l’existence d’un endomorphisme u tel que u(A) ⊂ B lorsque u ∈ SL R2m , puis lorsque u ∈ Sympbs R2m . IV. A Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans un cylindre Q 43. Montrer que, pour tout r > 0, il existe u ∈ SL R2m tel que u B2m(1) ⊂ Z2m(r). IV. B Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans une autre Soit r > 0 tel qu’il existe u ∈ SL R2m vérifiant u B2m(1) ⊂ B2m(r). Notons U ∈ M2m(R) la matrice de u dans la base canonique de R2m. Soit λ ∈ C une valeur propre complexe de la matrice U. Q 44. Montrer que |λ| ≤ r. Pour le cas λ non réel, si P et Q dans M2m,1(R) sont telles que Z = P + iQ est une colonne propre de U pour la valeur propre λ, on pourra montrer que ∥UP∥2 + ∥UQ∥2 = |λ|2 ∥P∥2 + ∥Q∥2 . Q 45. En déduire que 1 ≤ r. Q 46. À quelle condition nécessaire et suffisante sur r > 0 existe-t-il u appartenant à SL R2m tel que u B2m(1) ⊂ B2m(r)? IV. C Injection symplectique d’une boule dans un cylindre Soit r > 0 tel qu’il existe un endomorphisme symplectique ψ ∈ Sympbs R2m vérifiant ψ B2m(1) ⊂ Z2m(r). On note M ∈ Sp2m(R) la matrice de ψ dans la base canonique (e1, . . . , em, f1, . . . , fm) de R2m et ψ⊤ l’endomorphisme canoniquement associé à M ⊤. Q 47. Montrer que bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = 1 puis que ψ⊤ (e1) ⩾ 1 ou ψ⊤ (f1) ⩾ 1. Q 48. Montrer que 1 ≤ r. Q 49. Montrer le théorème de non-tassement linéaire : Pour R > 0 et R′ > 0, il existe ψ ∈ Sympbs R2m telque ψ B2m(R) ⊂ Z2m (R′) si et seulement si R ⩽ R′. • • • FIN • • • 6

CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2022 CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES 1 MP m.laamoum@gmail.com Exemples de contraintes symplectiques linéaires. I Préliminaires Q 1. Soient A et B ∈ Mn(R) telles que pour tout (X, Y ) ∈ (Mn,1(R))2 , X⊤AY = X⊤BY donc X⊤ (A − B) Y = 0 en particulier pour X = (A − B) Y on obtient X⊤X = ∥X∥2 Rn = 0 donc X = 0, ( ∥X∥2 Rn = n i=1 X2 i la norme usuelle de Rn). Ainsi (A − B) Y = 0 pour tout Y ∈ Mn,1(R) donc A = B. Autre méthode , soit (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, pour tout i , j on a e⊤ i Aej = Ai,j , ainsi Ai,j = Bi,j et A = B. Q 2. Soit M ∈ GLn(R). M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable et Sp(M ⊤M) ⊂ R . De plus det M ⊤M = (det M)2 ̸= 0 donc Sp(M ⊤M) ⊂ R∗. Soit λ ∈ Sp(M ⊤M) et X un vecteur propre associé à λ , on a ∥MX∥2 Rn = (MX) ⊤ MX = X ⊤(M ⊤M)X = λ ∥X∥2 Rn donc λ ≥ 0 , ainsi Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . M ⊤M est symétrique réelle donc elle est diagonalisable dans une base orthonormée et Sp(M ⊤M) ⊂ R+∗ . IL existe P ∈ On(R) telle M ⊤M = P.diag(λ1, ..., λn).P ⊤ , soit S = P.diag(√λ1, ..., √λn).P ⊤, c’est une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. II Objets symplectiques II. A Structure d’espace vectoriel symplectique réel Q 3. Si ω est une forme symplectique sur E, alors elle est antisymétrique et pour tout vecteur x de E, ω(x, x) = −ω(x, x) = 0. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace symplectique (E, ω). Q 4. Soit y ∈ F , l’application φy : x → ω(x, y) est linéaire de E vers R , on a F ω = y∈F ker φy donc F ω est un sous-espace vectoriel de E. Q 5. Soit x ̸= 0 et F = Vect({x}) , on a ω(x, x) = 0 donc F ⊂ F ω et F ω n’est pas en somme directe avec F . Q 6. dω est linéaire . Soit x ∈ ker dω donc ω(x, ·) = 0 et pour tout y dans E on a ω(x, y) = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 . Ainsi ker dω = {0} , comme dim E = dim L(E, R) alors dω est un isomorphisme. Q 7. Soit BF une base de F on la complète en une base BE de E . Pour tout u ∈ L(F, R) soit ℓ ∈ L(E, R) tel que : ℓ(x) = u(x) si x ∈ BF et ℓ(x) = 0 si x ∈ BE\BF , ainsi rF (ℓ) = u et rF est surjective. 1 Q 8. On a rF ◦ dω ∈ L(E, L(F, R)) . Soit x ∈ ker rF ◦ dω donc ∀y ∈ F ω(x, y) = 0 donc ker rF ◦ dω = F ω. De plus Im rF ◦ dω = rF (dω(E)) , dω est un isomorphisme et rF est surjective donc dω(E) = L(E, R) et rF (L(E, R)) = L(F, R) , d’où Im rF ◦ dω = L(F, R) , le théorème du rang donne dim F ω = dim E − dim F. Q 9. On a ωF est bilinéaire et antisymétrique sur F 2 , puisque {x ∈ F | ∀y ∈ F, ωF (x, y) = 0} = F ∩ F ω alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ∩ F ω = {0} , comme dim F ω + dim F = dim E alors ωF est symplectique sur F si et seulement si F ⊕ F ω = E. II. B Structure symplectique standard sur Rn Q 10. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X = (x1, . . . , xn)⊤ et Y = (y1, . . . , yn)⊤les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn, ω est bilinéaire donc ω(x, y) = n i=1 xi   n j=1 yjω (ei, ej)   = X⊤.   n j=1 yjω (e1, ej) , ..., n j=1 yjω (en, ej)   ⊤ = X⊤ΩY Q 11. On a ω(ei, ej) = −ω(ej, ei) donc Ω est antisymétrique . Soit X la colonne des coordonnées d’un vecteur x dans la base canonique de Rn . Si X ∈ ker Ω alors pour tout y de vecteur colonne Y dans la base canonique de Rn , ω(x, y) = −ω(y, x) = −Y ⊤ΩX = 0 , ω est non dégénérée donc x = 0 , ainsi Ω est inversible. Q 12. On a Ω⊤ = −Ω donc det Ω = (−1)n det Ω , si n est impair alors det Ω = 0 , Ω est inversible donc n est forcement pair. Q 13. Soit (x, y) ∈ Rn × Rn avec X et Y les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn. • ⟨., .⟩ est bilinéaire , j est linéaire donc bsest bilinéaire . • On a bs(x, y) = X⊤J Y (∈ R) = X⊤J Y ⊤ = −Y ⊤J X (J⊤ = −J) = −bs(y, x) • Remarquons que J2 = −I2m , donc J est inversible . Si bs(x, y) = 0 pour tout y , alors pour y = j−1(x) on a bs(x, y) = ⟨x, x⟩ = 0 donc x = 0 et bs est non dégénérée . Ainsi bs est une forme symplectique . II. C Endomorphismes et matrices symplectiques réels Q 14. Soit x ∈ Eλ(u) et ∀y ∈ Eµ(u) , supposons λµ ̸= 1, ω(u(x), u(y)) = λµω(x, y) = ω(x, y) donc ω(x, y) = 0, ainsi Eλ(u) et Eµ(u) sont ω-orthogonaux . Q 15. Soit (x, y) ∈ E2 et X et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base canonique de Rn , on a bs(x, y) = X⊤JY 2 et bs(u(x), u(y)) = (MX)⊤ J (MY ) = X⊤ M ⊤JM Y Donc , u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si ∀(X, Y ) ∈ (Rn)2 , X⊤ M ⊤JM Y = X⊤JY D’après Q 1 on a : u est symplectique de (Rn, bs) si et seulement si M ⊤JM = J. Q 16. • Spn(R) ⊂ GLn(R) : Soit M ∈ Spn(R) de M ⊤JM = J on a (det M)2 det J = det J, donc det M = ±1 et M ∈ GLn(R). • Spn(R) est non vide : On a In ∈ Spn(R) . • Spn(R) est stable par produit : Soit M , N ∈ Spn(R). on a (MN)⊤ J (MN) = N ⊤ M ⊤JM N = N ⊤JN = J , donc MN ∈ Spn(R). • Les éléments de Spn(R) sont symétrisables : Soit M ∈ Spn(R). on a M −1 ⊤ JM −1 = M J−M ⊤ −1 = M ⊤ J− ⊤ M −1 ⊤ Or J− = J⊤ = −J donc M −1 ⊤ JM −1 = J et M −1 ∈ Spn(R). Ainsi Spn(R) est un sous groupe de GLn(R) . • Soit M ∈ Spn(R). on a J = M −1 ⊤ JM −1 = − M JM ⊤ −1 Or J⊤ = −J , donc M JM ⊤ = J et M ⊤ ∈ Spn(R) . Q 17. Soit M = A B C D on a M ⊤JM = A⊤ C⊤ B⊤ D⊤ 0 −Im Im 0 A B C D = C⊤ −A⊤ D⊤ −B⊤ A B C D = C⊤A − A⊤C C⊤B − A⊤D D⊤A − B⊤C D⊤B − B⊤D 3 Donc M ∈ Sp2m(R) ⇔ M ⊤JM = J ⇔ C⊤A − A⊤C = D⊤B − B⊤D = 0 D⊤A − B⊤C = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C ⊤ − A⊤C = B⊤D ⊤ − B⊤D = 0 A⊤D − C⊤B ⊤ = A⊤D − C⊤B = Im ⇔ A⊤C et B⊤D sont symétriques et A⊤D − C⊤B = Im. III Déterminant d’une matrice symplectique réelle III. A Le cas de la dimension 2 Q 18. Soit M = a b c d , d’après Q 17. on a M ∈ Sp2m(R) ⇔ da − bc = det M = 1 Ainsi Sp2(R) = SL2(R). III. B Commutant de J Q 19. Soit M = A B C D on a M J = B −A D −C et JM = −C −D A B Donc M ∈ CJ ⇐⇒ B = −C A = D ⇐⇒ ∃(U, V ) = (A, C) , M = U −V V U Q 20. Soit M ∈ CJ, On a Im 0 i Im Im U −V V U Im 0 −i Im Im = U + iV −V 0 U − iV Le calcul de determinant par blocs donne det(M) = det (U + iV ) det (U − iV ) = det (U + iV ) det (U + iV ) = |det (U + iV )|2 ⩾ 0 III. C Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle Q 21. OSpn(R) est une intersection de sous groupes de GLn(R), donc c’est un sous groupe de GLn(R) . Ainsi OSpn(R) est un groupe inclus dans Spn(R) donc c’est un sous groupe de Spn(R). 4 On a OSpn(R) = M ∈ Mn(R) | M ⊤JM, M ⊤M = (J, In) , considérons l’application φ : Mn(R) → Mn(R) × Mn(R) M → M ⊤JM, M ⊤M elle est continue, car la transposition est continue, elle est linéaire en dimensions finies , et le produit de deux matrice est continue , car bilinéaire en dimensions finies. On a alors OSpn(R) = φ−1({(J, In)} , c’est un fermé , comme image réciproque par une application continue d’un fermé. De plus pour toute matrice M de OSpn(R) on a ∥M∥2 = Tr(M ⊤M) = √n , ainsi OSpn(R) est borné en dimension finie donc il est compact . Q 22. Soit M ∈ OSpn(R) elle vérifie M ⊤JM = J et M ⊤M = MM ⊤ = In ce qui donne MJ = MM ⊤JM = JM donc M ∈ CJ et OSpn(R) ⊂ CJ. Q 23. Soit M de OSpn(R) = Spn(R) ∩ On(R) donc (det M)2 = 1 et det M ≥ 0 (d’près Q 20) d’où det M = 1 . Q 24. Soit M ∈ Spn(R) et S ∈ Sn(R) une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que S2 = M ⊤M. Soit (v1, ..., vn) une base orthonormée de Rn formée de vecteurs propres de l’endomorphisme u canoniquement associé à M ⊤M, on a u(vi) = λivi et s(vi) = √λivi pour tout i. Comme M ∈ Spn(R) alors M ⊤ et M ⊤M sont dans Spn(R) , par suite u est symplectique de (Rn, bs) . Soit x = n i=1 xivi et y = n i=1 yivi , on a s(x) = n i=1 xi √λivi et : bs(s(x), s(y)) = ⟨s(x), j(s(y))⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλk ⟨vh, j(vk)⟩ = n h=1 n k=1 xhyk λhλkbs (vh, vk) u est symplectique donc bs (vh, vk) = 0 si λhλk ̸= 1 d’après Q 14. par suite : bs(s(x), s(y)) = n 1≤k,h≤n λhλk=1 xhykbs (vh, vk) = n h=1 n k=1 xhykbs (vh, vk) ( on rajoute un terme nul) = bs(x, y) Donc s est symplectique de (Rn, bs) et S ∈Spn(R) . Q 25. On a S ∈Spn(R) ⊂GLn(R) donc S est inversible . Soit O = MS−1 , Spn(R) est un groupe donc O ∈Spn(R), de plus O⊤O = S−1 ⊤ M ⊤MS−1 = S−1S2S−1 = In ainsi O appartient au groupe OSpn(R). Q 26. On a det O = 1 donc det M = det S . S ∈Spn(R) elle vérifie SJS = J et det J ̸= 0 donc (det S)2 = 1 , det S est positif car toutes les valeurs propres de S sont positives donc det S = 1. et det M = 1. 5 III. D Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques III. D.1 Transvection symplectique Q 27. Soit a ∈ E un vecteur non nul , λ ∈ R et τ λ a (x) = x + λω(a, x)a ∀x ∈ E. L’application x → ω(a, x) est linéaire et ω(a, a) = 0 donc τ λ a est une transvection de E . Soit x et y dans E , par bilinéarité de ω on a ω(τ λ a (x), τ λ a (y)) = ω(x, y) + λω(a, y)(ω(x, a) + ω(a, x) =0 ) + λ2ω(a, x)ω(a, y)ω(a, a) =0 = ω(x, y) donc τ λ a est symplectique . Q 28. Soit a ∈ E un vecteur non nul et λ , µ ∈ R . Soit x ∈ E on a τ µ a ◦ τ λ a (x) = τ µ a (x) + λω(a, x)τ µ a (a) (τ µ a (a) = a) = x + µω(a, x)a + λω(a, x)a = τ λ+µ a (x). donc τ µ a ◦ τ λ a = τ λ+µ a . Q 29. Soient a ∈ E un vecteur non nul et λ un réel. On a det τ λ a = det(τ λ/2 a ◦ τ λ/2 a ) = det(τ λ/2 a )2 ≥ 0. Si det τ λ a = 0 alors il existe x ̸= 0 tel que τ λ a (x) = x + λω(a, x)a = 0 , x est colinéaire avec a donc ω(a, x) = 0 et τ λ a (x) = x = 0 absurde , d’où det τ λ a > 0 . Q 30. τ λ a −1 = τ −λ a . III. D.2 Un lemme On fixe x et y, non nuls, dans E. Q 31. Supposons que ω(x, y) ̸= 0. Soit λ ∈ R tel que τ λ y−x(x) = y donc y = x + λω(y − x, x)(y − x) = x + λω(y, x)(y − x) ainsi λ = 1 ω(y,x) . La réciproque est vraie. Q 32. Supposons que ω(x, y) = 0. Soit F = Vect({x, y}) il est de dimension 1 ou 2 , donc F ω est de dimension n − 1 ou n − 2 , soit G un supplémentaire de F ω dans E , prenons un z ∈ G\ {0} alors ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0. Q 33. Soit x et y dans E\ {0} . Si ω(x, y) ̸= 0 , soit λ = 1 ω(y,x) alors τ λ y−x(x) = y . Si ω(x, y) = 0 , soit z tel que ω(x, z) ̸= 0 et ω(y, z) ̸= 0, posons λ = 1 ω(z,x) et µ = 1 ω(y,z) , alors τ µ y−zoτ λ z−x(x) = y Ce qui démontre le lemme. 6 III. D.3 Le théorème Soit u ∈ Sympω(E) un endomorphisme symplectique de E et e1 ∈ E un vecteur non nul. Q 34. ω non dégénerée et e1 ̸= 0 donc il existe x ∈ E non colinéaire à e1 , tel que ω (e1, x) ̸= 0 . Soit f1 = 1 ω(e1,x)x , on a ω (e1, f1) = 1 et f1 non colinéaire à e1 . On pose P = Vect (e1, f1) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e1 et f1. Q 35. Si u (e1) = 0 alors pour tout x on a ω (u(e1), u(x)) = ω (e1, x) = 0 , ω est non degenerée donc e1 = 0 , ce qui est absurde , ainsi u (e1) ̸= 0 , le lemme donne le résultat. Q 36. Soit f1 = δ1 (u (f1)) , on a δ1 (u (e1)) = e1 , comme δ1, u ∈ Sympω(E) alors ω e1, f1 = ω (δ1 (u (e1)) , δ1 (u (f1))) = ω (e1, f1) = 1 • Si ω f1, f1 ̸= 0 . Soit λ = 1 ω f1, f1 , alors τ λ f1− f1( f1) = f1 et τ λ f1− f1(e1) = e1 + λω(f1 − f1, e1)(f1 − f1) = e1 (car ω e1, f1 − f1 = 0) • Si ω f1, f1 = 0 . Soit x0 = e1 +f1 , on a ω (x0, f1) = 1 et ω x0 , f1 = 1 , forcement x0 ̸= 0 , d’après le premier cas il existe deux transvections symplectiques τ1 et τ2 telles que : τ1(x0) = f1 ,τ1(e1) = e1 , τ2( f1) = x0 et τ2(e1) = e1, δ2 = τ1 ◦ τ2 convient. Ce qui prouve le résultat . La composée δ = δ2 ◦ δ1 d’au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées. On pose v = δ ◦ u. Q 37. On a v(e1) = δ ◦ u(e1) = e1 et v(f1) = δ ◦ u(f1) = f1 , donc P est stable par v et vP = v| P = idP . Q 38. Remarquons que P ω = {x ∈ E | ω(x, e1) = ω(x, f1) = 0}. Soit x ∈ P ω, on a ω(v(x), e1) = ω(v(x), v(e1)) = ω(x, e1) = 0 et ω(v(x), f1) = ω(v(x), v(f1)) = ω(x, f1) = 0 donc P ω est stable par v. Q 39. Soit ωP ω la restriction de ω à P ω × P ω . On a P ∩ P ω = {0} donc E = P ⊕ P ω , d’après Q 9. ωP ω définit une forme symplectique sur P ω . Soit x, y ∈ P ω , on a ωP ω(vP ω(x), vP ω(y)) = ω(v(x), v(y)) ( car P ω stable par v) = ω(x, y) ( car v est symplectique) = ωP ω(x, y) donc vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω. Q 40. Soit u un endomorphisme symplectique de (E, ω) . On fait une récurrence sur m tel que dim E = 2m. 7 • Si m = 1 alors E = Vect (e1, e2) avec ω (e1, e2) = 1 , d’après Q 36.il existe δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 , ainsi u = δ−1, ce qui prouve le cas m = 1. • On suppose le résultat vrai pour 2m , soit E de dimension 2(m + 1) et P = Vect (e1, e2) ⊂ E avec ω (e1, e2) = 1 . Soit δ composée d’au plus quatre transvections symplectiques de E telle que δ (u (e1)) = e1 et δ (u (e2)) = e2 et v = δou . On a E = P ⊕ P ω , vP = idP et vP ωest un endomorphisme symplectique sur P ω , d’après l’hypothèse de récurrence vP ω = τp ◦ · · · ◦ τ1 avec p ≤ 4m et τ1, τ2, . . . , τp des transvections symplectiques de P ω . Pour tout i il existe ai ∈ P ω et λi ∈ R tels que τi = τ λi ai , qui se prolonge en τi transvections symplectique sur E , par τi(x) = x si x ∈ P . On obtient alors u = δ−1 ◦ τp ◦ · · · ◦ τ1 , d’où le résultat. III. D.4 Une conséquence topologique Q 41. Soit M ∈ Spn(R) alors u l’endomorphisme canoniquement associé à M ,s’écrit de la forme u = τ λ1 a1 ◦ · · · ◦ τ λp ap ave p ≤ 4m . Par suite M = T λ1 a1 ◦ · · · ◦ T λp ap , avec T λi ai la matrice de τ λi ai dans la base canonique de Rn. Si B = (ei)1≤i≤n la base canonique de Rn, et a = n i=1 aiei alors T λ a = (δi,j + λω(a, ej)ai)1≤i≤n 1≤j≤n qui est continue par rapport à λ. Le produit de p matrices est continue ( il est p linéaire en dimensions finies) donc l’application φM : [0, 1] → Spn(R) t → T tλ1 a1 ◦ · · · ◦ T tλp ap est continue et φu(0) = In et φu(1) = M . Pour N ∈ Spn(R) , l’application Φ : [0, 1] → Spn(R) t → φM(1 − 2t) si t ∈ 0, 1 2 φN(2t − 1) si t ∈ 1 2, 1 est continue et Φ(0) = M et Φ(1) = N . Ainsi Spn(R) est connexe par arcs . III. D.5 Deuxième conséquence Q 42. Si M ∈ Spn(R) alors det M = ±1, et on a M = T λ1 a1 ◦· · ·◦T λp ap , avec T λi ai des matrices de transvection symplectique donc det T λi ai > 0 par suite det M > 0 ce qui prouve que det M = 1 et Spn(R) ⊂ SLn(R). IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires On fixe n = 2m ⩾ 4. IV. A Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans un cylindre Q 43. B = (e1, . . . , em, e′ 1, . . . , e′ m) est la base canonique de R2m. Soit u l’endomorphisme de R2m définit par : u(ei) = rei , u(ei+1) = 1 r ei+1 si i ∈ {1, m + 1} et u(ei) = ei si non on vérfie facilement que u ∈ SL R2m et u B2m(1) ⊂ Z2m(r). 8 IV. B Injection par u ∈ SL (R2m) d’une boule dans une autre Soit r > 0 tel qu’il existe u ∈ SL R2m vérifiant u B2m(1) ⊂ B2m(r). Soit λ ∈ C une valeur propre complexe de la matrice U la matrice de u dans la base canonique de R2m. Q 44. Si λ ∈ R , soit X un vecteur propre de U, de norme 1, associé à λ. X ∈ B2m(1) donc UX = λX ∈ B2m(r) , par suite ∥λX∥ = |λ| ≤ r. Si λ = α + iβ ∈ C , soit Z = P + iQ un vecteur propre de U, associé à λ.Posons P = (p1, . . . , p2m) et Q = (q1, . . . , q2m) . On a UP + iUQ = (α + iβ) (P + iQ) = (αP − βQ) + i (βP + αQ) donc UP = αP − βQ et UQ = βP + αQ ce qui donne ∥UP∥2 + ∥UQ∥2 = ∥αP − βQ∥2 + ∥βP + αQ∥2 = 2m k=1 (αpk − βqk)2 + (βpk + αqk)2 = 2m k=1 α2 + β2 p2 k + q2 k = |λ|2 ∥P∥2 + ∥Q∥2 De l’inclusion u B2m(1) ⊂ B2m(r) on a ∥UP∥ ≤ r ∥P∥ et ∥UQ∥ ≤ r ∥Q∥ d’où |λ| ≤ r . Q 45. On a 1 = det u = λ∈Sp(u) λ ≤ r2m donc 1 ≤ r. Q 46. Si u B2m(1) ⊂ B2m(r) alors 1 ≤ r . Réciproquement si 1 ≤ r alors B2m(1) ⊂ B2m(r) , on prend u = id . IV. C Injection symplectique d’une boule dans un cylindre Soit r > 0 tel qu’il existe un endomorphisme symplectique ψ ∈ Sympbs R2m vérifiant ψ B2m(1) ⊂ Z2m(r). On note M ∈ Sp2m(R) la matrice de ψ dans la base canonique (e1, . . . , em, f1, . . . , fm) de R2m et ψ⊤ l’endomorphisme canoniquement associé à M ⊤. Q 47. On a ψ ⊤ ∈ Sympbs R2m donc bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = bs (e1, f1) = ⟨e1, j(f1)⟩ ( j(f1) = −e1) = −1 d’où bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = 1 . L’inégalité de Cauchy -Schwartz donne bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) = ψ⊤ (e1) , j(ψ⊤ (f1)) ≤ ψ⊤ (e1) j(ψ⊤ (f1) et on a J⊤J = I2m , j est un endomorphisme orthogonal, donc 1 = bs ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ≤ ψ⊤ (e1) ψ⊤ (f1) 9 on en déduit que ψ⊤ (e1) ⩾ 1 ou ψ⊤ (f1) ⩾ 1. Q 48. Posons M = (ai,j)1≤i,j≤2m , soit X = (x1, ..., x2m)⊤ ∈ R2m\ {0} , 1 ∥X∥X ∈ B2m(1) donc 1 ∥X∥MX ∈ Z2m(r) . On a MX = ( 2m j=1 a1,jxj, ..., 2m j=1 a2m,jxj)⊤ donc   2m j=1 a1,jxj   2 +   2m j=1 am+1,jxj   2 ≤ r 2m j=1 x2 j en particulier pour xj = a1,j ∀j , on obtient   2m j=1 a2 1,j   2 ≤   2m j=1 a2 1,j   2 +   2m j=1 am+1,ja1,j   2 ≤ r 2m j=1 a2 1,j Comme M ⊤X = ( 2m j=1 aj,1xj, ..., 2m j=1 aj,2mxj)⊤ alors 2m j=1 a2 1,j = ψ⊤ (e1) 2 ̸= 0 car ψ est bijective . Ainsi ψ⊤ (e1) ≤ r De même pour xj = am+1,j ∀j , on obtient ψ⊤ (f1) ≤ r Finalement 1 = max( ψ⊤ (e1) , ψ⊤ (f1) ) ≤ r. Q 49. Soit R > 0 , R′ > 0 et ψ ∈ Sympbs R2m telque ψ B2m(R) ⊂ Z2m (R′) . Pour tout x ∈ B2m(1) on a Rx ∈ B2m(R) donc ψ (Rx) ∈ Z2m (R′) ce qui donne ψ (x) ∈ Z2m (R′/R) , par suite ψ B2m(1) ⊂ Z2m (R′/R) , la question Q 49. donne R ⩽ R′. Réciproquement , si R ⩽ R′ alors B2m(R) ⊂ B2m(R′) ⊂ Z2m (R′) . Ce qui montre le théorème de non-tassement linéaire • • • FIN • • • 10