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2017-03-15 10:11:33 Page 1/8 2017 Physique-chimie 1 MP 4 heures Calculatrices autorisées Mouvements dans le champ de pesanteur terrestre Ce sujet propose l’étude de mouvements dans le champ de pesanteur terrestre, à différentes échelles d’énergie et de longueur. Selon les cas étudiés, ces mouvements seront décrits par la mécanique classique ou quantique. On propose dans un premier temps de modéliser le champ de pesanteur terrestre et d’étudier la dynamique du saut supersonique de Felix Baumgartner. La seconde partie de ce sujet, indépendante de la première, concerne l’étude du mouvement de neutrons dans le champ de pesanteur terrestre. Une application à la mesure de l’intensité du champ de pesanteur est proposée. Un ensemble de valeurs numériques et un formulaire sont disponibles en fin d’énoncé. Il est conseillé de les lire avant de commencer à traiter le sujet. Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l’initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d’expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d’initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions. I Un saut supersonique I.A – Champ de pesanteur créé par la Terre immobile Équateur Pôle sud Pôle nord 𝑂 𝑟 𝜃 ⃗𝑒𝑟 ⃗𝑒𝜃 ⃗𝑒𝜑 𝑀 Figure 1 On modélise la Terre par une boule immobile de centre 𝑂, de rayon 𝑅𝑇 et de masse totale 𝑀𝑇 uniformément répartie en volume. Un point 𝑀 est repéré grâce à ses coordonnées sphériques (𝑟, 𝜃, 𝜑) dans la base (𝑂; ⃗𝑒𝑟, ⃗𝑒𝜃, ⃗𝑒𝜑) (figure 1). On note ⃗𝑔(𝑀) le champ de pesanteur que la Terre crée en un point 𝑀. Sa norme, notée 𝑔(𝑀), est appelée intensité du champ de pesanteur. I.A.1) Énoncer le théorème de Gauss appliqué à la gravitation. I.A.2) Après un examen précis des propriétés de symétrie et d’inva- riance de la distribution de masse, établir l’expression de ⃗𝑔(𝑀) à l’exté- rieur comme à l’intérieur de la Terre. I.A.3) En utilisant les valeurs numériques fournies en fin d’énoncé, donner une valeur numérique de la masse de la Terre 𝑀𝑇. I.B – Le saut de Felix Baumgartner Document 1 : le saut supersonique de Felix Baumgartner D’après J.M. Colino et al., étude dynamique d’un mémorable plongeon en chute libre, Physics Today, Avril 2014. Le saut de tous les records Figure 2 Felix Baumgartner au dé- part de son saut Le 14 octobre 2012, Felix Baumgartner effectue, dans l’atmosphère ter- restre, un plongeon hors-norme : les records de tous ses prédécesseurs sont battus. Baumgartner fut tout d’abord hissé jusqu’à une altitude voisine de 39 km grâce à un ballon d’hélium. Un appareil GPS, fixé sur sa poitrine, permit de suivre précisément sa position au cours du saut. En février 2013, les organisateurs de cette mission rendirent publiques ces données. Confirmées par la fédération internationale des sports aé- riens, elles montrent que Baumgartner a établi trois records. Premiè- rement, il a atteint une vitesse maximale de 1357,6 km⋅h−1, supérieure de 11% à la vitesse du son dans l’air (prise égale à 340 m⋅s−1). Il s’agit de la plus grande vitesse verticale jamais atteinte sans dispositif de stabilisation. Deuxièmement, Baumgartner a sauté d’une altitude re- cord de 38,9694 km. Enfin, il est resté en chute libre sur une hauteur record de 36,4026 km. 2017-03-15 10:11:33 Page 2/8 Une affaire de trainée Les corps qui chutent vers la surface terrestre ne le font pas sous la seule action de la pesanteur. Ils sont aussi soumis à une force dirigée dans le sens opposé à la vitesse, exercée par l’air atmosphérique. Cette force, appelée force de trainée, est proportionnelle au carré de la vitesse. Elle est donnée par la relation 𝐹𝐷 = 𝐾𝐴𝜌𝑣2, où 𝐴 est l’aire de l’objet projeté sur un plan orthogonal à la direction du mouvement, 𝜌 la masse volumique de l’air et 𝐾 une constante. Quelques détails sur le saut de Baumgartner Les données enregistrées pendant le saut montrent qu’initialement, la composante de la vitesse de Baumgartner parallèle au sol est nulle. Comme l’air est raréfié en haute altitude, la force de traînée joue peu au début du saut et l’accélération de Baumgartner s’identifie quasiment à l’intensité du champ de pesanteur. Ensuite, au fur et à mesure que la vitesse augmente et que l’altitude diminue, l’action de l’air devient de plus en plus importante et la force de trainée équilibre le poids. La vitesse terminale de Baumgartner atteint 79,4 m⋅s−1. Document 2 : le modèle de l’atmosphère isotherme Sous l’effet de la pesanteur, les molécules constitutives de l’air ont tendance à tomber vers le sol. L’agitation thermique a un effet antagoniste et tend à uniformiser la distribution des molécules dans l’atmosphère. Lorsqu’on assimile l’air à un gaz parfait et que l’on considère la température et la pesanteur uniformes dans l’atmosphère, il en résulte une distribution d’équilibre, caractérisée par le champ de masse volumique suivant, qui ne dépend que de l’altitude 𝑧 comptée depuis le sol : 𝜌(𝑧) = 𝜌0 exp (−𝑀𝑎𝑔𝑧 𝑅𝑇 ) où 𝜌0 désigne la masse volumique au niveau du sol en 𝑧 = 0, 𝑅 la constante des gaz parfaits, 𝑇 la température de l’atmosphère, 𝑀𝑎 la masse molaire de l’air et 𝑔 l’intensité du champ de pesanteur. Il est légitime de se demander pourquoi il est nécessaire de hisser le sauteur à une altitude aussi élevée afin d’atteindre la vitesse du son. I.B.1) Quelle devrait être l’altitude minimale de départ si le sauteur, voulant atteindre la vitesse du son, n’était soumis qu’à la force de pesanteur ? I.B.2) En exploitant les documents 1 et 2, donner une estimation de la hauteur minimale de saut qui permet d’atteindre la vitesse du son au cours de la chute. Le choix de certaines valeurs numériques relève de votre initiative. Comparer l’estimation obtenue à l’altitude de départ de Felix Baumgartner et discuter les hypothèses que vous aurez retenues. II États stationnaires d’un neutron dans le champ de pesanteur La prise en compte de la gravitation dans les phénomènes quantiques est un champ actif important de recherche en physique. Les enjeux en question concernent, entre autres, le test de la robustesse de la loi de Newton et de l’égalité des masses inertielle et gravitationnelle à l’échelle de l’infiniment petit, ou encore la découverte de la matière noire. On cherche à déterminer les niveaux d’énergie d’un neutron dans le champ de pesanteur terrestre. Par leur mesure, on peut accéder à la valeur de l’intensité du champ de pesanteur, supposée uniforme dans toute la suite du sujet. II.A – Échelle caractéristique de hauteur 𝑧 = 0 𝑧 𝑧 = 𝐻 𝑚 ⃗𝑔 Figure 3 Chute libre de- puis une hauteur 𝐻 Examinons l’expérience représentée sur la figure 3. Une particule de masse 𝑚 est lâchée depuis une hauteur 𝐻 dans le champ de pesanteur terrestre, avec une vitesse initiale nulle. Elle est soumise à la seule force de pesanteur. Le sol en 𝑧 = 0 est impénétrable et correspond à une barrière de potentiel d’amplitude infinie. On suppose que le rebond sur le sol se fait sans perte d’énergie mécanique, la vitesse verticale voyant son sens changer mais pas sa norme. L’axe (𝑂𝑧) est vertical ascendant. II.A.1) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur 𝑉 (𝑧) de la particule. On suppose 𝑉 (0) = 0. Que peut-on dire de l’énergie mécanique de la particule au cours de son mouvement ? Représenter 𝑉 (𝑧) en fonction de 𝑧 sur un graphe et y faire figurer l’énergie mécanique 𝐸. II.A.2) On se place dans le cadre de la mécanique classique. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de la particule à une altitude 𝑧 quelconque comprise entre 0 et 𝐻. L’exprimer en fonction de 𝑚, 𝑔, 𝐻 et 𝑧. II.A.3) Toujours dans le cadre de la mécanique classique, quelles sont les altitudes accessibles à la particule ? Afin de compléter votre réponse, définir et calculer la probabilité de présence classique d𝑃𝑐𝑙(𝑧) de la particule entre les altitudes 𝑧 et 𝑧 + d𝑧. On précise que la probabilité de présence entre 𝑧 et 𝑧 + d𝑧 est proportionnelle à la durée passée par la particule entre ces deux altitudes. On veillera à normaliser correctement cette loi de probabilité de présence. Représenter sur un graphe d𝑃𝑐𝑙 d𝑧 en fonction de 𝑧. Commenter qualitativement le graphe obtenu. 2017-03-15 10:11:33 Page 3/8 II.A.4) On définit la grandeur suivante : ℓ𝑔 = ( ℏ2 2𝑔𝑚2 ) 1/3 . Quelle est sa dimension ? II.A.5) En déduire l’expression du quantum d’énergie potentielle de pesanteur 𝜀𝑔 en fonction de 𝑚, 𝑔 et ℓ𝑔. II.A.6) Application numérique Donner les valeurs numériques de ℓ𝑔 et de 𝜀𝑔 (en eV) pour un neutron. II.A.7) Le tableau 1 présente les caractéristiques de différents neutrons. Quel type de neutron vous paraît le mieux adapté à la mise en évidence expérimentale de ℓ𝑔 ? Justifier la réponse. Neutron de fission Neutron thermique Neutron froid Neutron ultrafroid Énergie 2 MeV 25 meV 3 meV < 100 neV Vitesse 107 m⋅s–1 2200 m⋅s−1 800 m⋅s−1 ≃ 5 m⋅s–1 Tableau 1 Catégories de neutrons II.B – Approche semi-classique Document 3 : Règle de quantification de Bohr-Sommerfeld D’après A. Messiah, Mécanique Quantique, tome 1, Dunod. Les premières expériences sur les atomes au début du vingtième siècle avaient permis de révéler la nature discrète de leurs niveaux d’énergie. Cependant, les lois de la mécanique classique ne permettaient pas de rendre compte de ce fait expérimental et prévoyaient une distribution continue des énergies possibles. Pour rendre compte de la quantification de l’énergie, Bohr et Sommerfeld proposent le procédé suivant : on admet que la particule suit les lois de la mécanique classique et on ne retient que les solutions qui vérifient une règle de quantification ad hoc. Considérons l’exemple d’un oscillateur harmonique dont le mouvement est contraint de se faire le long d’un axe (𝑂𝑥). En notant 𝜔 la pulsation propre de l’oscillateur et 𝑚 sa masse, son énergie mécanique s’exprime par 𝐸 = 𝑝2 𝑥 2𝑚 + 1 2𝑚𝜔2𝑥2, où 𝑝𝑥 et 𝑥 représentent respectivement la quantité de mouvement et l’abscisse de l’oscillateur unidimensionnel. 𝑥 𝑝𝑥 Figure 4 Orbite de phase d’un oscillateur harmonique d’énergie 𝐸 Cette relation définit, dans l’espace des phases (𝑝𝑥, 𝑥), une courbe fermée associée à la valeur de 𝐸, c’est l’orbite de phase. Pour l’oscillateur harmonique, cette courbe est une ellipse (voir figure 4). L’aire intérieure à l’orbite de phase est égale à l’action 𝑆 de l’oscillateur : 𝑆 = ∮ 𝑝𝑥(𝑥) d𝑥 = 2𝜋𝐸 𝜔 Selon Bohr et Sommerfeld, les seules énergies permises sont celles pour lesquelles l’action 𝑆 est un multiple entier de la constante de Planck ℎ. Cela se traduit par la règle de quantification de Bohr-Sommerfeld : 𝑆 = ∮ 𝑝𝑥(𝑥) d𝑥 = 𝑛ℎ avec 𝑛 ∈ ℕ∗ Pour l’oscillateur harmonique, cette condition donne comme expression approchée des énergies possibles de l’oscillateur : 𝐸𝑛 = 𝑛ℏ𝜔. La règle de quantification de Bohr-Sommerfeld constitue une approximation, dite semi-classique, qui est accep- table lorsque les variations spatiales de la longueur d’onde de de Broglie de la particule sont faibles. Dans le régime de chute libre quantique, les énergies possibles d’un neutron dans le champ de pesanteur forment un spectre discret. Chaque niveau d’énergie peut être repéré par un entier 𝑛 ∈ ℕ∗ et correspond à une hauteur 𝐻𝑛. De façon imagée, on peut dire que si la particule de la figure 3 est un neutron, les hauteurs de rebond 𝐻 sont quantifiées et ne peuvent prendre que les valeurs discrètes 𝐻𝑛. En utilisant le document 3, proposer une expression approchée des niveaux d’énergie 𝐸𝑛 d’un neutron dans le champ de pesanteur en mettant en œuvre une approche semi-classique. II.C – Détermination des états stationnaires par résolution de l’équation de Schrödinger On propose maintenant de déterminer les états stationnaires d’un neutron d’énergie 𝐸 et de masse 𝑚 dans le champ de pesanteur au-dessus de la surface 𝑧 = 0 par résolution de l’équation de Schrödinger. La fonction d’onde qui décrit le mouvement du neutron est : 𝜓(𝑧, 𝑡) = 𝜑(𝑧) exp (−i𝐸𝑡 ℏ ). On admet que la fonction d’onde propre 𝜑(𝑧) est solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps qui est rappelée dans le formulaire. 2017-03-15 10:11:33 Page 4/8 Le neutron ne peut pas pénétrer dans le sol dont la surface constitue une barrière de potentiel d’amplitude infinie. On considère donc que 𝑉 (𝑧 < 0) → +∞ et que pour 𝑧 ⩾ 0, 𝑉 (𝑧) conserve la même expression qu’à la question II.A.1. II.C.1) Qu’est-ce qu’un état stationnaire ? II.C.2) Écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps sous forme adimensionnée en utilisant l’altitude adimensionnée 𝜁 = 𝑧 ℓ𝑔 et l’énergie adimensionnée 𝜀 = 𝐸 𝜀𝑔 . Dans la suite, on utilisera aussi bien les variables sans dimension 𝜁 et 𝜀 que les grandeurs dimensionnées correspondantes 𝑧 et 𝐸. II.C.3) Quelles sont les conditions aux limites qui s’imposent à 𝜑(𝜁) ? II.C.4) La solution acceptable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps adimensionnée s’écrit 𝜑(𝜁) = 𝒩 Ai(𝜁 − 𝜀) où 𝒩 est un facteur de normalisation (qui n’est pas à calculer). Toutes les informations utiles sur la fonction d’Airy Ai (représentation graphique, liste des trois premiers zéros et comportement asymptotique en +∞) sont données dans le formulaire en fin d’énoncé. Donner les valeurs numériques des niveaux d’énergie 𝜀𝑛 = 𝐸𝑛/𝜀𝑔 pour les deux premiers niveaux d’énergie (𝑛 = 1 et 2). Comparer avec les valeurs approchées obtenues à la question II.B. II.C.5) Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence d’un neutron en fonction de 𝑧 pour les deux premiers niveaux d’énergie. On explicitera la démarche suivie. Quelle(s) différence(s) notable(s) peut-on relever par rapport au cas classique (question II.A.3) ? II.D – Spectroscopie résonante gravitationnelle Document 4 : l’expérience qBounce La mesure des niveaux d’énergie d’un neutron dans le champ de pesanteur permet d’accéder à la valeur de l’intensité du champ de pesanteur. La comparaison entre les mesures et la modélisation théorique permet de valider la théorie de la gravitation aux échelles considérées. L’expérience qBounce permet de mesurer précisément les niveaux d’énergie des états stationnaires d’un neutron dans le champ de pesanteur terrestre. Elle est réalisée au moyen du dispositif schématisé sur la figure 5. Fente collimatrice neutron (𝐴1) (𝑀1) (𝑀′) (𝐴2) (𝑀2) 𝐻 𝐻 𝑥 𝑧 𝑦 ⃗𝑔 détecteur Figure 5 Schéma du dispositif expérimental de l’expérience qBounce. D’après T. Jenke et al., Rea- lization of gravity resonance spectroscopy technique, Nature Physics 7, 468-472 (2011) Le dispositif expérimental est constitué des éléments successifs suivants : − une fente collimatrice, à travers laquelle les neutrons sont injectés dans le dispositif ; − un premier guide, constitué d’un miroir à neutrons (𝑀1) (verre optique poli) sur sa partie basse et d’un élément absorbeur de neutrons (𝐴1) sur la partie haute du guide (figure 5). Le miroir et l’absorbeur sont séparés d’une hauteur 𝐻 = 25,5 µm. Ce guide a une longueur (selon 𝑂𝑥) 𝐷 = 15,0 cm. On le suppose invariant par translation dans l’autre direction horizontale (𝑂𝑦) ; − un miroir à neutrons (𝑀′), de longueur horizontale 𝑑 = 20,0 cm selon (𝑂𝑥) et dont la position oscille verticalement à la pulsation Ω, de sorte que l’accélération verticale de la surface réfléchissante par rapport au référentiel terrestre (supposé galiléen) s’écrit : 𝑎(𝑡) = 𝑎0 cos(Ω𝑡). Ce miroir est aussi invariant par translation selon l’autre direction horizontale (𝑂𝑦) ; − un second guide (𝑀2) (𝐴2), identique au premier ; − un détecteur de neutrons à la sortie du dispositif. Les neutrons traversent le dispositif avec une vitesse horizontale 𝑣𝑥 = 6,50m⋅s–1 qui reste inchangée tout le long du dispositif. 2017-03-15 10:11:33 Page 5/8 Certaines valeurs numériques nécessaires à la résolution des questions suivantes figurent dans le document 4. II.D.1) Niveaux d’énergie dans le guide à neutrons Dans un guide, on décrit le mouvement du neutron, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, par une fonction d’onde de la forme : 𝜓𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝜑𝐼(𝑧) exp (−i𝐸𝑡 ℏ ) exp(i(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) avec 𝜔 = ℏ𝑘2 2𝑚 . Cette fonction d’onde doit vérifier l’équation de Schrödinger rappelée à la fin du sujet. a) Que décrit le facteur exp(i(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) ? Montrer que 𝜑𝐼(𝑧) est solution d’une équation de Schrödinger indépendante du temps, associée à une énergie 𝐸. Les conditions aux limites qui s’imposent à 𝜑𝐼(𝑧) sont : 𝜑𝐼(𝑧 = 0) = 0 et 𝜑𝐼(𝑧 = 𝐻) = 0. Elles entraînent une quantification de l’énergie 𝐸. On note 𝐸𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) chacune des valeurs autorisées. b) Dans cette question uniquement, on néglige l’influence de la gravité (𝑉 (𝑧) = 0). Justifier qu’alors le spectre d’énergie est celui du puits de potentiel infiniment profond de largeur 𝐻. On note 𝐸∞,𝑛 les valeurs correspondantes, avec 𝑛 ∈ ℕ∗. Donner l’expression de 𝐸∞,𝑛 en fonction de 𝐻, 𝑚, ℏ et 𝑛. c) La figure 6 donne une représentation de l’énergie adimensionnée 𝜀1 = 𝐸1/𝜀𝑔 du niveau fondamental en fonction de 𝐻/ℓ𝑔 dans une échelle logarithmique. Ces valeurs ont été obtenues par une résolution numérique. 10−1 100 101 102 100 101 102 103 𝐻/ℓ𝑔 𝜀1 Figure 6 Évolution de l’énergie adimensionnée du niveau fondamental en fonction de la hauteur adimensionnée du guide (échelle logarithmique) Déterminer la pente de l’asymptote dans la limite 𝐻 ≪ ℓ𝑔 et interpréter le résultat. Quelle valeur de 𝜀1 retrouve- t-on dans la limite 𝐻 ≫ ℓ𝑔 ? d) Utiliser la figure 6 pour déterminer la valeur de l’énergie adimensionnée 𝜀1 du niveau fondamental d’un neutron qui évolue dans le guide. II.D.2) Absorption sélective des neutrons dans le guide Afin de modéliser simplement l’absorption des neutrons dans le guide en fonction de leur énergie, on associe au niveau d’énergie 𝐸𝑛 une trajectoire parabolique au sens de la mécanique classique telle que le neutron rebondit sur le miroir inférieur et atteint le sommet de sa trajectoire à la hauteur 𝐻𝑛 au-dessus du miroir inférieur. La distance horizontale parcourue par un neutron entre deux rebonds successifs sur le miroir inférieur est notée 𝐿𝑛 (figure 7). 𝑂 𝑥 𝑧 𝐿𝑛 (𝑀) (𝐴) 𝐻𝑛 𝐻 ⃗𝑔 Figure 7 Rebonds d’un neutron dans un guide 2017-03-15 10:11:33 Page 6/8 a) En utilisant les lois de la mécanique classique, montrer que 𝐿𝑛 = 2𝑣𝑥√2𝐻𝑛 𝑔 (on rappelle que 𝑣𝑥 est la vitesse horizontale d’un neutron). b) Les neutrons peuvent être sélectivement absorbés par l’absorbeur en fonction de leur énergie selon la règle suivante : − si 𝐻𝑛 > 𝐻, le neutron est absorbé lors d’une « collision » avec l’absorbeur et ne parvient donc pas à traverser le guide ; − si 𝐻𝑛 < 𝐻, le neutron peut atteindre la hauteur 𝐻 par effet tunnel depuis le sommet de sa trajectoire et être absorbé. La probabilité d’absorption par effet tunnel à chaque passage au sommet de la trajectoire est notée 𝑇𝑛. On donne son expression approchée : 𝑇𝑛 ≃ exp (−2 (𝐻 − 𝐻𝑛 ℓ𝑔 ) 3/2 ) On donne : 𝐻1 = 13,4 µm, 𝐻2 = 24,0 µm et 𝐻3 = 32,4 µm. Étant donnée la valeur de 𝐻, quelles sont les énergies des neutrons susceptibles de traverser le guide ? c) Qu’appelle-t-on effet tunnel en mécanique quantique ? Citer un phénomène physique de votre connaissance qui fait intervenir cet effet. On s’intéresse à la transmission à travers le guide des neutrons d’énergie 𝐸1. d) Application numérique Calculer la valeur numérique de 𝑇1. e) On note 𝑃𝑝 (𝑝 ∈ ℕ) la probabilité qu’un neutron n’ait pas été absorbé après 𝑝 rebonds. Exprimer 𝑃𝑝+1 en fonction de 𝑃𝑝 et 𝑇1, puis 𝑃𝑝 en fonction de 𝑝 et 𝑇1. f) En déduire l’expression de la probabilité 𝑃(𝑥) qu’un neutron d’énergie 𝐸1 n’ait pas été absorbé après avoir parcouru, depuis l’entrée du guide, une distance horizontale 𝑥. On fera apparaître la longueur caractéristique d’absorption 𝐷1 = 𝐿1/𝑇1. g) Application numérique On admet qu’on peut définir de même une longueur caractéristique d’absorption 𝐷2 pour les neutrons d’énergie 𝐸2. On donne 𝐷2 = 3,73 cm. Calculer la valeur numérique de 𝐷1. Comparer 𝐷1 et 𝐷2 à la longueur du guide. Conclure quant à la sélectivité du guide selon l’énergie des neutrons. II.D.3) Mesure de l’intensité du champ de pesanteur Dans la partie intermédiaire du dispositif, le miroir inférieur oscille à la pulsation Ω autour d’une position moyenne. Le mouvement du neutron dans cette zone est étudié dans le référentiel ℛ′ lié au miroir mobile. Pour ce, on utilise la fonction d’onde : 𝜓𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) exp(i(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)), avec 𝜔 = ℏ𝑘2 2𝑚 . On peut montrer (le calcul n’est pas demandé) que 𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) vérifie l’équation de Schrödinger unidimensionnelle suivante : iℏ∂𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) ∂𝑡 = − ℏ2 2𝑚 ∂2𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) ∂𝑧2 + 𝑉𝐼𝐼(𝑧, 𝑡)𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) L’énergie potentielle 𝑉𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) d’un neutron dans cette zone s’écrit 𝑉𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝑉 (𝑧) + 𝑉𝑖𝑒(𝑧, 𝑡) où l’énergie potentielle de pesanteur 𝑉 (𝑧) a la même expression qu’à la question II.A.1 et où 𝑉𝑖𝑒(𝑧, 𝑡) est l’énergie potentielle dont dérive la force d’inertie d’entraînement. a) Justifier que le référentiel ℛ′ est non galiléen. Établir l’expression 𝑉𝑖𝑒(𝑧, 𝑡) = 𝑚𝑎(𝑡)𝑧 où 𝑎(𝑡) représente l’accélération verticale du miroir mobile par rapport au référentiel terrestre. b) On cherche une solution de l’équation de Schrödinger sous la forme suivante : 𝜑𝐼𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝑐1(𝑡) exp (−i𝐸1𝑡 ℏ ) 𝜑1(𝑧) + 𝑐3(𝑡) exp (−i𝐸3𝑡 ℏ ) 𝜑3(𝑧) On rappelle que les fonctions d’onde 𝜑1(𝑧) et 𝜑3(𝑧) sont celles qui ont été définies à la question II.C.4 ; elles sont respectivement associées aux niveaux d’énergie 𝐸1 et 𝐸3. On les suppose correctement normalisées. Les coefficients 𝑐1(𝑡) et 𝑐3(𝑡) sont complexes. On définit les coefficients suivants : 𝑍11 = +∞ ∫ 0 𝑧𝜑2 1(𝑧) d𝑧 𝑍33 = +∞ ∫ 0 𝑧𝜑2 3(𝑧) d𝑧 𝑍13 = +∞ ∫ 0 𝑧𝜑1(𝑧)𝜑3(𝑧) d𝑧 On précise que : +∞ ∫ 0 𝜑1(𝑧)𝜑3(𝑧) d𝑧 = 0. On définit aussi la pulsation Ω𝑅 = 𝐸3 − 𝐸1 ℏ . 2017-03-15 10:11:33 Page 7/8 Établir les équations différentielles suivantes : iℏ d𝑐1(𝑡) d𝑡 = 𝑚𝑎(𝑡)(𝑍11𝑐1(𝑡) + 𝑍13 exp(−iΩ𝑅𝑡)𝑐3(𝑡)) iℏ d𝑐3(𝑡) d𝑡 = 𝑚𝑎(𝑡)(𝑍13𝑐1(𝑡) exp(+iΩ𝑅𝑡) + 𝑍33𝑐3(𝑡)) On leur adjoint les conditions initiales suivantes : 𝑐1(𝑡 = 0) = 1 et 𝑐3(𝑡 = 0) = 0. c) Justifier le choix des conditions initiales. d) On envisage le cas où 𝑎(𝑡) = 0 (miroir immobile). Interpréter les solutions 𝑐1(𝑡) et 𝑐3(𝑡) obtenues dans ce cas. e) Lorsque 𝑎(𝑡) = 𝑎0 cos(Ω𝑡), la résolution de ces deux équations différentielles est effectuée par voie numérique. Dans la figure 8, on a représenté ∣𝑐1∣ 2 et ∣𝑐3∣ 2 en fonction du temps, pour différentes valeurs de la pulsation d’excitation Ω et différentes valeurs de 𝑎0. 0 10 20 30 40 50 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 0,9; 𝑎0 = 1,0) ∣𝑐1∣ 2, ∣𝑐3∣ 2 0 10 20 30 40 50 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 1,0; 𝑎0 = 1,0) 0 10 20 30 40 50 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 1,2; 𝑎0 = 1,0) 0 10 20 30 40 50 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 1,0; 𝑎0 = 1,0) |𝑐1|2, |𝑐3|2 0 10 20 30 40 50 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 1,0; 𝑎0 = 1,5) 0 10 20 30 40 50 Ω𝑅𝑡/2𝜋 (Ω/Ω𝑅 = 1,0; 𝑎0 = 2,0) Figure 8 Évolution temporelle de ∣𝑐1∣ 2 (en trait continu) et ∣𝑐3∣ 2 (en pointillés) pour trois valeurs différentes du rapport Ω/Ω𝑅 et une même amplitude d’accélération du miroir (𝑀′) (ligne supérieure), puis pour trois valeurs de cette accélération (unité arbitraire) à la pulsation Ω𝑅 (ligne inférieure). Quel est l’effet de la mise en oscillation du miroir ? Pourquoi parle-t-on de résonance lorsque Ω = Ω𝑅 ? A Gravity of Earth measurement with qBOUNCE Gunther Cronenberg 400 500 600 700 0 1 2 3 4 f [1/s] osc. strength [mm/s] -2 -1 0 1 2 400 500 600 700 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 frequency [Hz] rel. transmission [1/s] 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 osc. strength [mm/s] rel. transmission [1/s] Figure 2: Top: The contour plot shows the observed transmission rate in dependence of the oscillation strength and amplitude. The plot is normalised to the rate observed without any applied oscillation. The contour surface is the theoretical curve for transitions |1i $ |3i and |1i $ |4iwith the parameters obtained by fit. Each dot represents a measurement, its size is inversely proportional to its statistical uncertainty. The colour corresponds to its normalized error with respect to the fitted curve. Lower left: The transmission rate in dependence on the oscillation frequency for an oscillation strength of 2.05 mm/s. The curve is a cut at this strength through the contour plot. Only measurement points within a close oscillation strength are plotted. The data are binned equidistantly with 20 Hz spacing. Lower right: The rate in dependence on the oscillation strength for the frequencies 463Hz and 647Hz which correspond to the |1i $ |3i and |1i $ |4i transitions. The curves are cuts of constant frequencies in the contour plot. All shown error bars indicate the statistical 1-s error. being screened and thus a perfect probe. The ideal suitability of UCNs for the chameleon detection has been proposed [12] and previous limits have been already improved with GRS [2]. The mass of the chameleon field defines its range and the neutron mirror below the UCNs modifies the value of the field that is formed for a pressure of 10 4 mbar. The chameleon influences each neutron state individually thus shifting the transition frequencies in a specific way. The additional effective potential due to the chameleon has the form Veff(z) = +b mN M 0 Pl L¯hc ✓2+n p 2 zL ◆ 2 2+n , (5.1) 5 Figure 9 Taux de transmission des neutrons en fonction de la fréquence. Figure extraite de G. Cronenberg et al., A Gravity of Earth measurement with a qBounce experiment, Proceedings of the EPS Conference on High Energy Physics 2015, arXiv:1512.09134 2017-03-15 10:11:33 Page 8/8 f) La figure 9 représente le nombre de neutrons recueillis par unité de temps à la sortie du second guide en fonction de la fréquence d’oscillation du miroir. La diminution du taux de transmission des neutrons observée entre 400 Hz et 500 Hz implique les états d’éner- gie 𝐸1 et 𝐸3. Expliquer pourquoi le taux de transmission présente une valeur minimale dans cet intervalle de fréquence. L’expérience montre que cette valeur minimale dépend de l’amplitude 𝑎0 de l’accélération du miroir (𝑀′). Lorsqu’on augmente 𝑎0 à partir d’une valeur nulle, la valeur minimale du nombre de neutrons détectés à la sortie du dernier guide commence par diminuer avant d’augmenter à nouveau. Interpréter cette évolution en s’aidant de la figure 8. Comment expliquer la chute similaire du taux de transmission entre 600 Hz et 700 Hz ? g) Déduire une valeur numérique de l’intensité du champ de pesanteur 𝑔, accompagnée de son incertitude, sachant que la fréquence de résonance est égale à 464 Hz avec une incertitude de 1,0 Hz. h) Les mesures de la figure 9 ont été obtenues pour une amplitude d’accélération 𝑎0 = 6,10 m⋅s–2. À quelle amplitude de déplacement du miroir correspond-elle à la résonance ? Commenter l’ordre de grandeur obtenu. i) En exploitant la courbe de la figure 9, estimer le temps de passage d’un neutron au-dessus du miroir oscillant. On explicitera la démarche suivie. Comparer avec la valeur qu’on peut déduire du document 4. Données numériques Constante de gravitation universelle 𝒢 = 6,67 × 10–11 kg–1⋅m3⋅s–2 Rayon de la Terre 𝑅𝑇 = 6,37 × 103 km Intensité moyenne du champ de pesanteur à la surface de la Terre 𝑔 = 9,81 m⋅s–2 Constante des gaz parfaits 𝑅 = 8,34 J⋅K–1⋅mol–1 Masse molaire de l’air 𝑀𝑎 = 29,0 × 10–3 kg⋅mol–1 Constante de Planck ℎ = 6,62 × 10–34 J⋅s Constante de Planck réduite ℏ = 1,05 × 10–34 J⋅s Masse du neutron 𝑚 = 1,67 × 10–27 kg Électron-volt 1 eV = 1,60 × 10–19 J Formulaire − Équation de Schrödinger : iℏ∂𝜓(𝑀, 𝑡) ∂𝑡 = − ℏ2 2𝑚Δ𝜓(𝑀, 𝑡) + 𝑉 (𝑀, 𝑡)𝜓(𝑀, 𝑡) − Équation de Schrödinger indépendante du temps : − ℏ2 2𝑚Δ𝜑(𝑀) + 𝑉 (𝑀)𝜑(𝑀) = 𝐸𝜑(𝑀) − Opérateur laplacien en coordonnées cartésiennes : Δ𝑈(𝑀, 𝑡) = ∂2𝑈(𝑀, 𝑡) ∂𝑥2 + ∂2𝑈(𝑀, 𝑡) ∂𝑦2 + ∂2𝑈(𝑀, 𝑡) ∂𝑧2 − Relation entre largeur spectrale et durée : Δ𝜔 ⋅ Δ𝑡 ≈ 2𝜋 − Fonction d’Airy −20 −15 −10 −5 0 5 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 𝜁 Ai(𝜁) Comportement asymptotique en +∞ Ai(𝑥) ∼ 𝑥→+∞ exp (− 2 3𝑥3/2) 2√𝜋𝑥1/4 𝑛 1 2 3 𝜁𝑛 −2,34 −4,09 −5,52 Trois premiers zéros de Ai(𝜁) • • • FIN • • • Page 1 sur 9 Concours Centrale 2017 – Physique-Chimie 1 – MP Mouvements dans le champ de pesanteur terrestre I Un saut supersonique I.A.1) Théorème de Gauss pour la gravitation : pour toute surface fermée  on a int ( ) 4 ( ) M M g M dS M            où int( ) M  est la masse à l’intérieur de  . I.A.2) Les plans ( , , ) r M e e   et ( , , ) r M e e   sont des plans de symétrie pour la distribution de masse donc ( ) g M  appartient à chacun de ces plans ; il en résulte que ( ) ( ) ( , , ) r r g M g M e g r e        . D’autre part, la distribution de masse est invariante par toute rotation autour d’un axe passant par O, donc ( ) g M est indépendant de  et  . En conclusion : ( ) ( ) r g M g r e    . Théorème de Gauss appliqué à la sphère de rayon r : 2 int 4 ( ) 4 ( ) r g r M r      soit int 2 ( ) ( ) M r g r r    . Or : 3 3 int si ( ) si T T T T T r M r R R M r M r R         . Finalement : 3 2 si ( ) si T T T T T M r r R R g r M r R r           . I.A.3) 2 6 24 11 6,37.10 9,81 5,97.10 kg 6,67.10 T T R g M       . I.B.1) Hypothèses : on néglige le frottement de l’air et l’accélération de la pesanteur est supposée uniforme. Dans ce cas le théorème de l’énergie cinétique s’écrit pour une chute libre, sans vitesse initiale, sur une hauteur h : 2 1 0 2 mv mgh   où v est la norme de la vitesse finale. Pour atteindre la vitesse 1 son 340m.s v   , il faut une chute libre sur une hauteur : 2 2 son (340) 5,89km 2 2 9,81 v h g     . I.B.2) Discussion des hypothèses précédentes : - h étant très inférieur au rayon terrestre T R l’hypothèse d’uniformité de l’accélération de la pesanteur peut être conservée ; - en prenant 1 2 K  (valeur non donnée dans l’énoncé, on pouvait aussi bien prendre 1 K  …), 5 3 0 0,029 10 1,2kg.m 8,314 293 a atmosphérique M P RT        et 2 2 0,25 0,2m A     , la force de frottement à l’arrivée au sol vaut : 2 4 1 0,2 1,2 340 1,4.10 N 2     ; or le poids du sauteur, de masse 70kg m  (valeur que nous choisissons) peut être estimé à 2 70 9,81 2,9.10 N   donc la force de frottement est plus de 30 fois plus grande ; il faut donc obligatoirement tenir compte des frottements ! Page 2 sur 9 Le calcul qu’on vient de faire montre autre chose : puisqu’au niveau du sol et à la vitesse 1 334m.s son v   la force de frottement est supérieure au poids, la vitesse du son ne peut être atteinte qu’ à une altitude supérieure à zc pour que la force de frottement soit inférieure ou égale au poids. Ceci est possible parce que la masse volumique  de l’air, qui intervient dans l’expression de la force de frottement, diminue avec l’altitude selon la loi isotherme fournie par l’énoncé : 0 ( ) exp a M gz z RT           . Pour faire le calcul, nous choisissons 273K T  . L’altitude supérieure cz est telle que : 2 0 exp a c son M gz KA v mg RT           2 2 0 8,314 273 0,5 0,2 1,2 340 ln ln 24km 0,029 9,81 70 9,81 son c a KA v RT z M g mg                       . Pour le calcul il sera pratique d’écrire la force de frottement sous la forme :   2 2 exp c D son atm z z v F mg v z          en posant 8,314 273 8,0km 0,029 9,81 atm a RT z M g      . Comme on cherche l’altitude minimale de départ, on va supposer que la vitesse son v est atteinte à l’altitude cz . Le principe fondamental de la dynamique s’écrit, en notant v la norme de la vitesse : 2 2 1 exp c D son atm z z dv dv v m mg F g dt dt v z                      . On en déduit, en écrivant : dv dv dz dv v dt dz dt dz    (attention dz v dt   car c’est une norme) : 2 2 1 exp c son atm z z dv v v g dz v z                    (1). L’équation (E) n’est pas soluble analytiquement. On va faire une approximation pour la rendre soluble : remplacer exp c atm z z z         par une valeur moyenne (géométrique) entre les altitudes ini z (altitude initiale) et cz , soit exp 2 c atm z z z         . L’équation (1) se simplifie alors en une équation à variables séparables : 2 2 1 exp 2 ini c son atm z z dv v v g dz v z                    2 2 1 exp 2 ini c atm son vdv gdz z z v z v             . Et en intégrant entre ini z tel que ( ) 0 ini v z  et cz tel que ( ) c son v z v  on trouve l’équation : 2 0 1 exp ln 1 exp ( ) 2 2 2 ini c ini c son ini atm atm z z z z v g z z z z                            Soit numériquement : Page 3 sur 9 2 3 24 24 1 (340) exp ln 1 exp 9,81.10 ( 24) 2 16 16 ini ini ini z z z                           avec ini z en km. La résolution numérique à la calculette de cette équation donne : ,min 33km ini z  . Complément : la figure ci-dessous montre le résultat d’un calcul par la méthode d’Euler : vitesse en fonction de l’altitude pour différentes altitudes de départ. L’altitude minimale pour atteindre la vitesse du son est comprise entre 33 km et 34 km. Page 4 sur 9 II Etats stationnaires d’un neutron dans le champ de pesanteur II.A.1) ( ) V z mgz  . En l’absence de frottement, l’énergie mécanique est constante. II.A.2) En mécanique classique : 0 c E E mgz mgH     donc ( ) c E mg H z   . II.A.3) Les altitudes accessibles sont [0, ] z H  . Le temps passé par la particule entre z et z dz  est : 2 ( ) dz dz dt v g H z    . La probabilité classique cl dP étant proportionnelle à dt , cl Adz dP H z   où A est une constante. On normalise la probabilité : 0 0 0 1 ( ) 2 2 H H H cl Adz dP z A H z A H H z              . Finalement : 1 2 ( ) cl dP dz H H z   . Cette densité de probabilité tend vers l’infini pour z tendant vers H car la vitesse s’annule à cette altitude. II.A.4)     1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 (J.s) (kg.m .s .s) [ ] m m.s kg m.s kg g                        II.A.5) On peut définir ce quantum d’énergie par : . g g mg    II.A.6) 1 34 2 3 6 27 2 (1,05.10 ) 5,86.10 m 2 9,81 (1,67.10 ) g               , 27 6 32 13 1,67.10 9,81 5,86.10 9,60.10 J 6,00.10 eV g           II.A.7) Le quantum d’énergie gravitationnelle ne doit pas être trop petit par rapport à l’énergie du neutron ; il faut donc utiliser des neutrons ultra-froids. II.B. 2 2 ( ) z c p mE m g H z      , d’après II.A.2 . L’orbite est représentée ci-contre. L’aire intérieure est : 3 2 0 0 1 3 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 4 2 3 H H z m S p dz m g H z dz g H z mg H                 . La règle de quantification de Bohr-Sommerfeld s’écrit : 1 3 2 2 4 2 3 mg H nh   2 1 1 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 2 3 9 9 8 4 4 2 n g nh H H n n m g mg                               . Page 5 sur 9 On en déduit les niveaux d’énergie : 2 2 3 3 3 2,81 2 n n g g E mgH n n             . II.C.1) Un état quantique stationnaire est un état tel que la densité de probabilité 2  est indépendante du temps. II.C.2) Equation de Schrödinger indépendante du temps : 2 2 2 ( ) ( ) 2 d mgz z E z m dz         2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) g g g d mg m d               2 2 2 3 2 ( ) ( ) 2 ( ) g g g d m g d mg               2 2 ( ) ( ) d d          II.C.3) La fonction d’onde est continue ; elle est nulle pour 0 z  parce que le potentiel est infini donc : (0) 0   . En revanche on la dérivée de la fonction d’onde peut être discontinue en 0 z  parce que le potentiel subit un saut de discontinuité infini, donc il n’y a pas de condition aux limite sur cette dérivée. De plus, pour que l’on puisse avoir la condition de normalisation 2 0 ( ) 1 z dz     , il faut : lim ( ) 0 z z    soit lim ( ) 0      . II.C.4) La solution donnée, ( ) Ai( )        vérifie 3/2 1/4 2 exp ( ) 3 lim ( ) lim 0 2 ( )                        . L’autre condition aux limites, (0) 0   , impose : Ai( ) 0    ; cette relation donne la quantification de l’énergie :  est un zéro de la fonction d’Airy. Les deux premières valeurs de l’énergie sont : - 1 1 2,34      soit 1 2,34 g E   à comparer à l’approximation semi-classique 1 2,81 g E   - 2 2 4,09      soit 1 4,09 g E   à comparer à l’approximation semi-classique 2 4,46 g E   - 3 3 5,52      soit 1 5,52 g E   à comparer l’approximation semi-classique 1 5,84 g E   L’écart relatif est de 15%, 9% et 6% : il diminue avec n. II.C.5) 2  est nul pour 0 z  et pour 0 z  on représente la courbe de   2 Ai( ) x décalée vers la droite de 2,34 pour l’état 1 E et de 4,09 pour l’état 2 E . Page 6 sur 9 Cas 1 n  Cas 2 n  La différence notable par rapport au cas classique est que la densité de probabilité quantique ne diverge pas. II.D.1) a) Le facteur exp( ( )) i kx t   décrit une propagation dans la direction et le sens de Ox. On injecte ( , , ) I x z t  (erreur d’énoncé, il manque le z en argument) dans l’équation de Schrödinger dépendante du temps : 2 2 2 2 ( , , ) ( ) exp exp( ( )) ( , , ) 2 I I I I d E Et i i x z t k z i i kx t mgz x z t m dz                                   soit, en divisant par exp exp( ( )) Et i i kx t           ( , , ) I x z t  les deux membres : 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 I I I I d E z k z mgz z m dz                   2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 I I I d k E z mgz z m m dz                       . C’est l’équation de Schrödinger indépendante du temps, associée à l’énergie ' E E    (erreur d’énoncé, cette énergie est appelée E mais ce n’est pas E). b) Si on néglige la gravité, l’équation devient 2 2 2 ' ( ) 2 I I d E z m dz      dont la solution est (en supposant ' 0 E  ) : 2 ' 2 ' ( ) cos sin I mE mE z A z B z                      . Les conditions aux limites imposent : - (0) 0 I   soit 0 A  - ( ) 0 I H   soit 2 ' sin mE B H          , soit, si l’on exclut 0 B  (la fonction d’onde ne peut être identiquement nulle) : 2 ' mE H n   , soit : 2 2 2 , 2 ' 2 n n E E mH      . Page 7 sur 9 c) Pour g H   , la pente sur la figure est égale à 2  , ce qui signifie que 2 1 cste g H             . Ceci coïncide avec le résultat de II.D.2). Peut-on en conclure que la gravité n’a pas d’influence pour g H   ? Pour g H   , on lit sur le graphe 1 2,3   ce qui correspond au résultat de II.C.4). On en conclut que la présence de la paroir supérieure du guide est sans effet . d) Dans le document 4, 25,5 m H   , donc 25,5 4,35 5,86 g H    on lit alors sur la courbe : 1 2,3   . . II.D.2) a) On prend l’origine des temps à l’instant où le neutron passe au sommet d’une parabole : 0 (0) x x  et (0) n z H  . Le principe fondamental de la dynamique ma mg    donne x z z a xe ze ge           ; on en tire en intégrant deux fois : x x z v v e gte      ,   2 0 1 2 x x n z OM x v t e H gt e              . Le neutron rencontre le réflecteur à l’instant 0 2 n H t g  et entre les instant 0 et 0t il a avancé le long de Ox de : 0 2 2 n n x x L H v t v g   . Conclusion : 2 2 n n x H L v g  . b) On a 1 2 3 H H H H    donc les neutrons d’énergie 3 ne pourront pas traverser le guide. c) L’effet tunnel est le phénomène purement quantique qui permet à une particule de traverser une barrière de potentiel avec une énergie inférieure à la hauteur de la barrière (ce qui est strictement interdit par la mécanique classique). Cet effet est à la base du phénomène de radioactivité . d) 3/2 3 1 25,5 13,4 exp 2 2,63.10 5,86 T                    . e) 1 1 (1 ) p p P T P    donc 1 (1 ) p p P T   . f) Sur une distance x le nombre de rebonds est 1 x L , donc 1 1 ( ) (1 ) x L P x T   . Cependant, la faiblesse de la valeur de 1T trouvée en d) permet d’écrire : 1 1 1 ( ) 1 1 xT x P x L D     . g) 6 1 1 1 3 1 1 13,4.10 2 6,50 2 2 2 / 9,81 8,17m 2,63.10 xv H g L D T T          . La longueur du guide étant telle que : 2 1 D D D   on peut dire que les neutrons d’énergie 2 sont absorbés par le guide et que seuls les neutrons d’énergie 1 sortent du guide. Le guide est donc un système sélectif selon l’énergie des neutrons. II.D.3) a) '  n’est pas en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel galiléen  , il n’est donc pas galiléen. La force d’inertie d’entraînement est :   ( ) ( ) grad ( ) ie z F ma t ma t e ma t z           donc ( , ) ( ) ie V z t ma t z  . Page 8 sur 9 (C’est ce que l’énoncé pousse à faire, mais une énergie potentielle ne doit normalement pas dépendre du temps). b) On injecte ( , ) II z t  dans l’équation de Schrödinger fournie : 1 3 3 3 1 1 1 3 1 3 2 2 2 2 3 3 1 1 1 3 2 2 1 1 3 1 ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( )exp ( )exp 2 2 ( ( )) ( )exp ( ) ( E E E E dc t dc t i i c t i t z i i c t i t z dt dt E d E d c t i t c t i t m dz m dz E m g a t z c t i t z c                                                                           3 3 )exp ( ) E t i t z                Les fonctions 1( )z  et 3( )z  définies en II.C.4 vérifient l’équation de Schrödinger indépendante du temps avec les énergies respectives 1 E et 3 E ; si l’on retranche ces deux équations de l’équation précédente, il reste : 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 1 3 ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) ( )exp ( ) ( )exp ( ) E E dc t dc t i i t z i i t z dt dt E E ma t z c t i t z c t i t z                                                On multiplie cette équation par 1( )z  et on intègre pour z allant de à  : 11 13 2 1 3 3 1 1 1 3 0 0 1 0 2 3 1 1 3 1 1 3 0 0 ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( )exp ( ) ( )exp ( ) ( ) Z Z E E dc t dc t i i t z dz i i t z z dz dt dt E E ma t c t i t z z dz c t i t z z z dz                                                                        Enfin, on multiplie par 1 exp E i t        : 1 3 1 1 3 11 13 ( ) ( ) ( ) ( )exp E E dc t i ma t c t Z c t i t Z dt                   . C’est la première équation demandée. La deuxième s’obtient de même, en multipliant par 3( )z  avant d’intégrer, puis en multipliant par 3 exp E i t        . c) Ces conditions initiales correspondent à n neutron dans l’état 1 E , ce qui est bien le cas à la sortie du guide d’onde, comme on l’a vu à la question II.D.2.g). d) Si ( ) 0 a t  , 1( ) constante 1 c t   et 3( ) constante 0 c t   : le neutron reste dans l’état E1. e) Pour R    , le neutron oscille entre les états E1 et E3 avec une fréquence qui semble proportionnelle à 0a . L’amplitude de variation de 2 1c et de 2 3c est alors maximale, ce qui justifie le terme de résonance. Page 9 sur 9 f) La chute de la transmission s’explique par le fait que certains neutrons sont passés de l’état E1 à l’état E3 au passage sur le miroir mobile entre les deux guides. Les proportions des neutrons dans l’état E1 et l’état E3 en sortie du miroir mobile sont respectivement 2 1c et de 2 3c (Le candidat peut remarquer sur les graphes que 2 2 1 3 1 c c   mais il n’est pas censé connaître cette interprétation.). Et c’est autour de la résonance que 2 3c prend des valeurs notables. Ceci se passe autour de la fréquence : 32 3 1 34 (5,52 2,34) (5,52 2,34) 9,60.10 462Hz 2 6,64.10 g R R E E F h h               donc bien entre 400Hz et 500Hz. D’après le document 4, le temps de transit sur le miroir mobile est 2 2 20,0.10 3,08.10 s 6,50 x d t v       donc 90 R t    . On voit sur la figure 8 que le nombre d’oscillations pour la plage de temps t  augmente avec la valeur de 0a . Lorsqu’on augmente 0a à partir de 0, 2 3( ) c t  augmente à partir de 0, puis il diminue quand on dépasse une demi-oscillation en tout sur la plage de temps ; il ré-augmente quand on dépasse une oscillation complète, etc… La chute du taux de transmission doit correspondre à une transition entre de l’état E1 à l’état E5 (en supposant que les états pairs ne sont pas accessibles dans cette expérience, vraisemblablement à cause d’une règle de sélection totalement hors programme) : cette transition correspond à une différence d’énergie, donc une fréquence plus grande. g) L’expérience mesure 5,52 2,34 R g hF    or 1 2 3 2 2 g mg gm          donc : 3 2 3 2 34 3 2 2 3 3 27 2 8 8 6,62.10 (464 1) 9,86 0,03m.s (5,52 2,34) (5,52 2,34) 1,67.10 g hF g m m                   h) Si 0 ( ) cos( ) R a t a t   alors le déplacement est : 0 2 cos( ) R R a z t     et son amplitude est 7 0 2 2 2 6,10 7,18.10 m 4 464 R a       . Pour provoquer un déplacement si petit, il faut utiliser un piézoélectrique. i) La largeur (à la base) des pics observées sur la figure 9 est 60Hz F   . En supposant que cette largeur est due à la durée finie t  du passage au-dessus du miroir oscillant, on a : 1 F t    donc 2 1 1,7.10 s 60 t     . Cette valeur est du même ordre de grandeur que celle qui a été calculée à la question f).