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A2017 – PHYSIQUE I PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l’épreuve : 3 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - PSI L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Physique I, année 2017 — filière PSI LES MEMRISTORS En 1971, le professeur Leon Chua - qui exer¸ca à l’Université de Berkeley - prédit l’exis- tence d’un dipˆole passif nouveau capable de servir de mémoire 1. Ce dipˆole venant complèter la liste des trois dipˆoles fondamentaux de l’électricité à savoir le résistor, la bobine et le conden- sateur. Le terme de memristor qu’il inventa résulte de la contraction des deux termes memory et resistor. 1 memristor Figure 1 – Un ensemble de memristors (échelle nanométrique) c⃝ HP Labs En 2008, des chercheurs 2 des HP Labs ont pu- blié un article 3 dans la revue Nature c⃝ intitulé The missing memristor is found, dans lequel ils annoncent avoir mis au point un memristor présentant les pro- priétés prévues par Leon Chua en 1971. La pho- tographie de la figure 1 montre un ensemble de ces memristors. En 2015, HP® et SanDisk® se sont associés pour développer la technologie des mémoires à base de memristors. Les atouts espérés de ce type de mémoires peuvent laisser rˆeveur : 1 000 fois plus ra- pides que les mémoires flashs actuelles, 1 000 fois plus de cycles lecture-écriture qu’actuellement et, pour couronner le tout, une densité inégalée au point de pouvoir doter un smartphone d’une mémoire de 100 To en 2020 ! Le problème proposé comporte 3 parties largement indépendantes qui abordent différents aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni à la fin du sujet. ? 1 2 3 4 5 Figure 2 – Carré fondamental I. — Généralités sur les memristors I.A. — Le quatrième dipˆole Les quatre grandeurs fondamentales de l’électrocinétique sont la charge q, le courant i, le flux propre magnétique φ à travers le circuit et la tension u. Elles sont en général dépendantes du temps t. On considère les trois dipˆoles classiques que sont le résistor de résistance R, la bobine d’inductance L et le condensateur de capacité C. Ces trois dipˆoles seront supposés parfaits. Il est possible de représenter les quatre grandeurs fondamentales de l’électrocinétique au sommet d’un graphe – carré en l’occurrence – ou les arˆetes représentent des relations fondamentales ou des relations fonctionnelles des dipˆoles. Ce carré est représenté sur la figure 2. Avant 1971, on connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une était manquante. On se placera systématiquement en convention récepteur pour tout dipˆole étudié dans la suite du problème. 1 — Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalité caractérisant les trois dipˆoles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux arˆetes 1 , 2 et 3 du carré fondamental de la figure 2. On précisera l’unité usuelle de chaque coefficient de proportionnalité. 2 — Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d’une équation de Maxwell, justifier que u = dφ dt . 1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, N◦5, September, 1971. 2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams 3. Nature, Vol 453— 1 May 2008— doi :10.1038/nature06932 Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2017 — filière PSI 3 — Déduire des deux questions précédentes une écriture de chaque relation 1 à 5 du carré fondamental de la figure 2 sous la forme dx = ydz. 4 — Dans son article de 1971, Leon Chua prédit l’existence d’une relation f(φ,q) = 0 que l’on peut soit expliciter sous la forme φ = φ(q), on dit que l’on a un memristor contrˆolé par la charge ; soit sous la forme q = q(φ), on dit alors que l’on a un memristor contrˆolé par le flux. La sixième relation différentielle est posée sous la forme dφ = M(q) dq ou M(q) est la memristance. Quelle unité rencontrée fréquemment en électricité est aussi celle de la memristance ? On justifiera précisément sa réponse. 5 — On associe deux memristors de memristances M1 et M2 en série. Quelle est la mem- ristance M du dipˆole équivalent ? On justifiera sa réponse. Mˆeme question si on associe M1 et M2 en parallèle. Afin de concrétiser la notion de memristor, on propose de le modéliser par la relation φ(q) = α q + β 3 q3 ou α et β sont des coefficients réels positifs. On impose dans le memristor une intensité i(t) = i0 sin ωt pour t ≥ 0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, on considère qu’à la date t = 0, on a q(t = 0) = 0. ( ) 0 / 2 / 3 / Figure 3 – Graphe de φ(t) 6 — Déterminer l’expression de q(t) et tracer sur un mˆeme graphique les courbes représentatives de i(t) et q(t). 7 — On donne sur la figure 3 la courbe représen- tative de φ(t). Reproduire cette courbe en y rajou- tant sans calcul l’allure de la courbe représentative de u(t). 0 Figure 4 – Courbe u(i) du mem- ristor proposé 8 — En analysant la courbe u(i) du memristor précédent représentée sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simpli- fiant un peu, que le memristor étudié présente deux régimes de fonctionnement : l’un dans lequel il laisse passer le cou- rant et l’autre dans lequel ce n’est pas le cas ? 9 — La courbe u(i) de la figure 4 présente un phé- nomène particulier. Connaissez-vous le nom donné à ce phénomène ? Décrire deux autres situations physiques ou ce phénomène se manifeste. Expliquer la possibilité d’uti- liser le memristor pour mémoriser une information. 10 — Leon Chua qualifia le memristor de non vo- latile memory, c’est-à-dire de mémoire permanente. Quel élément sur le graphique de la figure 4 permet de dire que le memristor est une telle mémoire ? I.B. — Conductivité On considère un milieu conducteur ou les porteurs de charge possèdent chacun une charge q et une masse m. Ils sont présents dans le milieu conducteur supposé homogène et isotrope à raison d’une densité volumique n en m−3. Ces porteurs sont soumis à un champ électrique qui va les mettre en mouvement pour créer un courant. Lorsqu’elles se déplacent, ces charges interagissent avec d’autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitué par le réseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l’on peut assimiler à des chocs. Il résulte de l’ensemble des interactions une force de type −m τ ⃗v ou ⃗v est la vitesse des porteurs mobiles et τ la durée moyenne qui sépare deux chocs successifs subis par une charge q. Cette durée est de l’ordre de 10−12 s. Le poids des charges sera négligé. Page 2/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2017 — filière PSI On étudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur ℓ constitué du milieu conducteur défini ci-dessus. Ce conducteur est soumis à une différence de potentiel U0 indépendante du temps qui impose un champ électrique ⃗E0 uniforme et indépendant du temps. 11 — Établir l’équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution ⃗v(t) sans se préoccuper de déterminer la constante d’intégration. Quelle est l’expression de la vitesse en régime permanent ? Sauf précision contraire, on considère que l’on est en régime permanent. Cette hypothèse est-elle contraignante ? 12 — La mobilité µ des porteurs de charge est définie de telle sorte que ⃗v = µ ⃗E0. Donner l’expression de la mobilité d’une charge q. Après avoir rappelé la définition de la densité volu- mique de courant ⃗j0, établir l’expression de la conductivité électrique γ0 du conducteur définie par la loi ⃗j0 = γ0 ⃗E0. Quel est le nom de la loi précédente ? 13 — Déterminer l’expression de la résistance électrique R0 du cylindre conducteur en fonction de γ0, ℓ et S. 14 — Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la résistance était un dipˆole memory less 4 car le signal associé à la tension suivait instantanément les évolutions du signal associé au courant. Justifier cette affirmation. 15 — On impose maintenant au dipˆole non plus le champ électrique ⃗E0 mais un champ électrique ⃗E1 toujours uniforme mais dépendant du temps selon ⃗E1 = ⃗E1m cos ωt. Montrer que le dipˆole peut ˆetre décrit au moyen d’une impédance complexe Z correspondant à l’association de deux dipˆoles et que la tension ne suit plus instantanément les évolutions de l’intensité. On exprimera Z en fonction, entre autres, de R0. À quelle condition retrouve-t-on la situation ou le dipˆole est un résistor de résistance R0 ? Qualifier le comportement du conducteur et l’interpréter. On revient à la situation ou le champ électrique ⃗E0 imposé est indépendant du temps. On étudie à nouveau la situation du régime permanent. 16 — Quelle est la puissance transférée à la charge q par le champ électrique ⃗E0 ? Quelle est la puissance volumique associée à ce transfert d’énergie ? 17 — En considérant l’ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu’il re¸coit est p = u i. Cette expression peut ˆetre généralisée aux régimes lentement variables puisque la puissance instantanée p(t) est alors donnée par : p(t) = u(t) i(t). 18 — Dans le cas ou le dipˆole est un memristor, exprimer la puissance qu’il re¸coit en fonction de sa memristance et de l’intensité du courant. FIN DE LA PARTIE I II. — A memristor is a pipe whose diameter varies Leon Chua a décrit le memristor comme un tuyau dans lequel s’écoulerait un fluide, tuyau dont le diamètre varierait en fonction de la valeur du débit du fluide et du sens dans lequel le fluide le traverserait. Dans cette partie du problème, on étudie l’écoulement lent d’un liquide dans un tuyau cylindrique de section circulaire S, de petit diamètre d et de longueur ℓ. On considère que le tuyau est horizontal. L’écoulement est la conséquence d’un écart de pression entre l’entrée, ou la pression est Pe, et la sortie, ou la pression est Ps < Pe. Ces pressions sont supposées mainte- nues au cours du temps. L’objectif est de déterminer l’expression de la résistance hydraulique correspondant à l’écoulement dans le tuyau et de voir qu’en modifiant le diamètre du tuyau, on 4. sans mémoire Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2017 — filière PSI a bien une évolution de la résistance hydraulique permettant de faire l’analogie proposée par Leon Chua pour le memristor en électricité et sa résistance électrique. Afin d’avoir une approche relativement réaliste de l’écoulement, on prend en compte le fait que la vitesse du fluide n’est pas uniforme dans une section donnée de l’écoulement. Pour rendre compte de la chute de pression le long du tuyau, on introduit le coefficient de friction f défini par Pe − Ps = f ℓ d ρV 2 2 ou ρ désigne la masse volumique du liquide et V la vitesse débitante. On donne, sur la figure 5 le graphe des variations du coefficient f en fonction du nombre de Reynolds Re appelé diagramme de Moody. 10¡1 10¡2 103 104 105 106 Turbulence complète Flot laminaire Régime de transition Figure 5 – Diagramme de Moody II.A. — Modèle 19 — Formuler des hypothèses raisonnables pour décrire l’écoulement du fluide dans le tuyau. 20 — Déterminer la dimension de f. Compte- tenu de vos hypothèses, identifier le régime d’é- coulement dans le tuyau. Déterminer, sur le dia- gramme de Moody ci- contre, l’expression de f en fonction de Re. 21 — En déduire une formulation de la loi de Hagen-Poiseuille liant la chute de pression Pe − Ps au débit volumique Dvol du liquide qui parcours le tuyau. II.B. — Résistance hydraulique d’un tuyau 22 — Donner l’expression de la résistance hydraulique du tuyau. Discuter précisément les analogies et les différences avec la notion de résistance électrique, on précisera soigneusement les différents termes de cette analogie. Connaissez-vous, dans un autre domaine de la Physique, une autre résistance ? Y a-t-il une analogie possible avec les deux précédentes ? 23 — L’image, proposée par Leon Chua, du memristor comme un tuyau dont le diamètre varie est-elle appropriée ? FIN DE LA PARTIE II III. — Le memristor des HP Labs Le memristor mis au point aux HP Labs est constitué par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d’épaisseur et de longueur ℓ = 10 nm. À chaque extrémité de ce dipˆole, le contact électrique est assuré par 2 électrodes de platine. La particularité de ce memristor est que le dioxyde de titane présente dans une zone des lacunes en oxygène, la formule brute du dioxyde de titane étant alors TiO2−x si x représente les lacunes. On admet que cette situation est équivalente à celle d’un milieu dopé dans lequel les charges mobiles portent deux charges élémentaires positives q = +2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2017 — filière PSI lacune de formule TiO2. Si le film est totalement dopé, sa résistance électrique est faible et vaut Ron ≃ 1 kΩ. Au contraire, si le film n’est pas dopé du tout alors sa résistance électrique est élevée : Roff ≃ 100 Ron. Supposons que la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée soit située à l’abscisse z, voir le schéma de la figure 6. Pt Pt 0 non dopée TiO dopée TiO2¡ TiO2 Figure 6 – Représentation schématique du memristor des HP Labs 24 — Donner l’expression de la résistance électrique du memristor lorsque la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée se situe à l’abscisse z0, on notera cette résistance Rmemo. La particularité du film de dioxyde de titane est que la position de la frontière évolue au cours du temps en fonction de l’intensité du courant qui est passée mais aussi en fonction du sens de ce courant. C’est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d’un dispositif bon conducteur à un autre presque isolant. On note dorénavant z(t) la position de la frontière entre la zone dopée et la zone non dopée. Pour le déplacement de la frontière, on reprend le modèle linéaire de la mobilité étudié à la question 12 ou l’on note toujours µ la mobilité des charges mobiles. On propose alors d’écrire la relation dz dt = µ Roni(t) ℓ dans laquelle le courant i(t) est algébrique et son sens conventionnel précisé sur la figure 6. [V] [mA] +1 +1 +4 +2 +4 +2 0 Pt Pt TiO2 0 Figure 7 – Courbe i(u) expérimentale du film de TiO2 25 — Interpréter la relation précédente. 26 — On suppose que i(t < 0) = 0, puis que i(t ≥ 0) ̸= 0 et enfin qu’à la date t = 0, la frontière est située en z = z0. Établir l’expression de z(t) en fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circulé depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale Qmin nécessaire, dans le cas le plus défavorable, pour que le memristor soit dans l’état le plus conducteur possible ? 27 — Établir l’expression de la memristance M(q) en fonction, entre autres, de Rmemo. Expliquer pour- quoi le memristor a été réalisé pour la première fois avec un système nanométrique. 28 — Pour simplifier les calculs, on considère que Roff ≫ Ron, z0 = 0 et φ(t = 0) = 0. On impose dans le memristor, à partir de la date t = 0, un courant d’intensité i(t) = i0 sin ωt. Établir les expressions de q(t), φ(t) et u(t). Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2017 — filière PSI 29 — Dans leur article de 2008, les chercheurs 5 des HP Labs ont obtenu expérimentalement la courbe i(u) de la figure 7. Commenter cette courbe. FIN DE LA PARTIE III Formulaire Analyse vectorielle en coordonnées polaires Dans le système des coordonnées cylindro–polaires (r,θ,z) de base associée (⃗er,⃗eθ,⃗ez), on rappelle quelques formules d’analyse vectorielle. Soit f une fonction scalaire telle que f = f(r,θ,z,t), le gradient de cette fonction est : gradf = ∂f ∂r⃗er + 1 r ∂f ∂θ⃗eθ + ∂f ∂z⃗ez Soit ⃗A un vecteur fonction des coordonnées cylindriques, l’expression la plus générale du vecteur est : ⃗A = Ar(r,θ,z,t)⃗er + Aθ(r,θ,z,t)⃗eθ + Az(r,θ,z,t)⃗ez La divergence du vecteur ⃗A est : div ⃗A = 1 r ∂(rAr) ∂r + 1 r ∂Aθ ∂θ + ∂Az ∂z Le rotationnel du vecteur ⃗A est : rot ⃗A = 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z ⃗er + ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r ⃗eθ + 1 r ∂(rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ ⃗ez Quelques règles sur les opérateurs : rot grad f = ⃗0 et div rot ⃗A = 0 rot rot ⃗A = grad div ⃗A − ⃗∆ ⃗A et rot (f ⃗A) = frot ⃗A + grad f ∧ ⃗A div (f ⃗A) = fdiv ⃗A + ⃗A · grad f Soit S une surface fermée entourant un volume τ. Le flux d’un vecteur sur la surface S orientée vers l’extérieur est égal à l’intégrale de la divergence de ce vecteur sur tout le volume τ : Théorème de Green - Ostrogradski S ⃗A · d⃗S = τ/S div ⃗A dτ Soit C une courbe fermée sur laquelle s’appuie une surface Σ. La circulation d’un vecteur le long de C est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers Σ orientée selon la règle du tire-bouchon. Théorème de Stokes C ⃗A · d⃗ℓ = Σ/C rot ⃗A · d⃗Σ FIN DE L’ÉPREUVE 5. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453— 1 May 2008— doi :10.1038/nature06932 Page 6/6 MINES – PONTS PSI 2017 1 PHYSIQUE 1 MINES – PONTS PSI 2017 PHYSIQUE 1 Corrigé rédigé par Alain Favier alain.favier@ac-grenoble.fr ; relu et annoté par Régine Noël. Merci de nous faire part de vos remarques et critiques. Ce document peut être donné tel quel ou modifié à vos étudiants. I. GENERALITES SUR LES MEMRISTORS 1. q = Cu [1] ; u = Ri [2] ;  = Li [3] C [F] ; R [] ; L [H]. 2. . Considérons une surface  s’appuyant sur un contour orienté . L’intégration de l’équation de MF sur la surface l'application du théorème de Stokes et la commutation des opérateurs spatiaux et temporels permet d’écrire la fem d’induction en convention générateur : e = - et en convention récepteur (cf. texte) u = + . R : le composant étudié correspond-t-il à un circuit fermé comme l’exige la démonstration ci-dessus ? 3. En différentiant les expressions de 1. et en reprenant celles de 2. : [1] dq = Cdu ; [2] du = Rdi ; [3] d = Ldi ; [4] dq = idt ; [5] d = udt. 4. Par définition M(q) est égal à , soit d’après ce qui précède M(q) = donc M(q) = u/i ; M(q) s’exprime donc en . 5. D’après la question précédente, pour un memristor, M(q) = , relation semblable à la relation u = Ri pour un résistor ; les associations de memristors vont obéir aux mêmes lois que celles des résistors : M = en série et M = en parallèle. 6. En utilisant dq(t) = i(t) dt,  t < 0 : dq(t) = 0 soit q(t) = cte, nulle car q(0) = 0 (en 0+ ou 0-) par continuité de la charge.  t > 0 : q(t) = (1 - cos(t)), avec la même condition en t = 0. MINES – PONTS PSI 2017 2 PHYSIQUE 1 D’où les tracés (en unités arbitraires) : 7. u est la dérivée de par rapport au temps, donc u est positive quand  croît et négative quand  décroît ; elle est donc nulle en et et maximale aux points d’inflexion de en et D’où le tracé (toujours en unités arbitraires) : 8. Si l’on ne s’intéresse qu’aux parties quasi linéaires de la courbe proposée et en « exagérant », on observe deux régimes de fonctionnement :  Le sens de i croissant correspond à une résistance « faible » et le courant est susceptible de circuler dans le memristor (en rouge ci-dessous),  le sens de i décroissant correspond à une résistance « forte » et le courant ne passe plus (en vert ci-dessous) : R : les pointillés correspondent au passage entre les deux régimes (voir la figure 7. et la fin du corrigé pour des précisions). q(t) u(t) (t) i(t) MINES – PONTS PSI 2017 3 PHYSIQUE 1 9. Le phénomène évoqué est un phénomène d’hystérésis : l’état du système dépend de son « histoire » (ici du sens de parcours du cycle, donc de la croissance ou décroissance de i). Dans le programme de la filière PSI on peut citer les comparateurs électroniques à hystérésis et le phénomène d’hystérésis magnétique pour les matériaux ferromagnétiques. Il existe beaucoup d’autres exemples : hystérésis mécanique lors de contraintes en traction et en compression, hystérésis des matériaux ferroélectriques, etc. Chaque fois qu’un système présente deux comportements différents suivant son histoire, il peut être considéré comme un système à deux états représentant chacun un 0 ou un 1 ; il permet donc de stocker de l’information numérique… 10. Et ce d’autant qu’il est « non volatile memory » : lorsque le memristor n’est plus alimenté sa tension et son intensité sont nulles (composant passif) mais il conservera la mémoire de sa dernière résistance : Pour le faire passer d’un état à l’autre il faudra lui appliquer une forte variation croissante ou décroissante de courant ou de tension ce qui correspond aux parties - - - - - sur la courbe ci-dessus (question 8) ; voir aussi question 29. 11. Compte tenu des hypothèses de l’énoncé, il vient immédiatement : + = . La solution est = exp(- ) + ; = + Comme , qui correspond au temps caractéristique d’accès au régime permanent, vaut 10-12 s, l’hypothèse n’est pas contraignante. 12. On a immédiatement µ = . Par définition, = , où est la densité de charges mobiles ; ici = nq et = . Soit, = , loi d’Ohm locale et = . u i MINES – PONTS PSI 2017 4 PHYSIQUE 1 13. On suppose que U0 soit appliqué entre 0 et l ; comme le régime est permanent , soit E0 = . D’autre part, = ; soit avec les expressions précédentes : = S. Avec l’expression de , on trouve bien R0 = . 14. Le résistor est un dipôle « memory less » car le sens de parcours du courant n’a pas d’influence sur son comportement ; il n’existe qu’une valeur de R, donc qu’un état du système. 15. + = et = nq En passant en complexes, en éliminant et après quelques calculs élémentaires, = , où est la conductivité statique déterminée plus haut. On définit alors une conductivité complexe = à laquelle on peut associer une impédance complexe = = R0(1 + j). On retrouve bien sûr = R0 à basse fréquence. Le conducteur est passe-bas ; lorsque la fréquence augmente la conductivité diminue et le courant est en retard par rapport à la tension : le composant ne réagit plus « instantanément » au champ imposé. 16. Pour une charge, P = . , soit ici P = . = . Pour avoir la puissance volumique, il suffit de multiplier la relation précédente par le nombre de charges par unité de volume : Pvol = . 17. Intégrons Pvol le volume du conducteur : comme la quantité ci-dessus est uniforme, P = ; or E0 = , soit P = ; or = S, d’où le résultat demandé. 18. Comme p(t) = u(t)i(t) et que u(t) = M(q(t))i(t), il vient p(t) = M(q)i2(t). II. A MEMRISTOR IS A PIPE WHOSE DIAMETER VARIES 19. Le texte parle « d’écoulement lent » et de « petit diamètre » : V et d faibles. Ecrivons le nombre de Reynolds : Re = ; bien que l’on n’ait aucune idée de la valeur de la viscosité cinématique , on peut supposer le Reynolds suffisamment faible pour que l’écoulement soit laminaire. D’autre part, l’écoulement est « la conséquence d’un écart de pression entrée- sortie » donc de type Poiseuille stationnaire. Rien n’est dit sur l’incompressibilité du fluide que l’on peut « raisonnablement » supposer. MINES – PONTS PSI 2017 5 PHYSIQUE 1 On peut donc écrire une forme de vitesse v(r) . En l’occurrence, cela ne sert pas dans la suite… 20. est sans dimension, est une énergie volumique i.e. une pression donc f est sans dimension. Comme nous l’avons déjà dit l’écoulement est laminaire… Sur le diagramme la partie à considérer est donc celle du flot laminaire ; en prenant deux points : (900 ; 7 10-2) et (800 ; 8 10-2), on obtient facilement f = . 21. A partir de la formule de pertes de charge régulière donnée par l’énoncé et de Re = , soit Re = , on obtient Pe – Ps = 32 . En exprimant le débit Dvol = VS = V il vient Pe – Ps = 128 ou encore avec le rayon a de la conduite : Pe – Ps = 8 Dvol. 22. La forme précédente s’interprète en disant que la différence de pression imposée provoque un écoulement de débit volumique Dvol auquel s’oppose la viscosité du fluide traduite par la résistance Rhydrau = 8 . De même dans une « conduite » électrique cylindrique de longueur l et de section a2, une différence de potentiel induit un courant auquel s’oppose la résistivité du matériau : Ve – Vs = I. On a alors Rélec = ; les analogies sont immédiates. La différence principale réside dans la dépendance en a2 au lieu de a4 : dans le cas du phénomène électrique la densité de courant est uniforme en régime stationnaire, alors que son analogue hydraulique, la vitesse, est fonction de la composante radiale (elle est parabolique en l’occurrence). L’analogie thermique – électrique est par contre complète puisque la densité de courant thermique dans un conducteur thermique cylindrique de même forme est uniforme en régime permanent. 23. Oui, Pe – Ps = Rhydrau Dvol est analogue à u = Mi ; Si Rhydrau varie avec a, l’image est appropriée mais à condition que le tuyau n’ait que deux diamètres possibles et que chacun corresponde à un sens donné d’écoulement du fluide ! III. LE MEMRISTOR DES HP LAB 24. Rmem,0 est la somme de la résistance de la zone dopée et de la résistance de la zone non dopée, chacune étant proportionnelle à la longueur de chaque zone (R = ). Soit Rmem,0 = Ron + Roff , soit Rmem,0 = z0 + Roff Pour la suite, en tenant compte de l’évolution temporelle : Rmem(t) = z(t) + Roff. MINES – PONTS PSI 2017 6 PHYSIQUE 1 25. représente la vitesse de la frontière entre les deux zones ; la relation indique très logiquement que :  Plus la mobilité des charges est grande, plus la frontière se déplace rapidement.  Plus l est grande, moins la frontière se déplace rapidement. D’autre part on peut interpréter l’influence de i :  Soit i > 0 : plus ce courant est important, plus les lacunes (et donc la frontière) se déplacent rapidement vers la droite, donc plus le dopage est sensible et plus Rmem(t) est proche de Ron.  Soit i < 0 : plus la valeur absolue de i est grande, plus la frontière se déplace rapidement vers la gauche, donc moins le dopage est sensible et plus Rmem(t) est proche de Roff. 26. En utilisant la relation donnant ainsi que la relation , puis en intégrant en tenant compte des conditions initiales données, on obtient : z(t) = z0 + µ q(t) L’état le plus conducteur correspond à z(t) = l et le plus défavorable à z0 = 0. Ainsi : Qmin = 27. M(q) est calculable par u(t) = M(q)i(t) ; Or u(t) est la somme des tensions des deux résistances {zone dopée/zone non dopée} : Rmem(t) = z(t) + Roff ; d’où en introduisant Rmem,0 : M(q) = Rmem,0 + µq(t). La dépendance en l2 montre que M(q) est d’autant plus grande que l est faible ; la mise en évidence d’un memristor est facilitée aux échelles nanométriques. 28. Avec les hypothèses, Rmem,0 Roff et ; soit, M(q) = Roff - µq(t). Avec les relations de la première partie,  q(t) = (1 - cos(t)),  u(t) = [Roff - µ (1 - cos(t))] sin(t)  Enfin on obtient par intégration ded = M(q)dq = (Roff - µq(t))dq, (t) = Roff (1 - cos(t)) - µ[ (1 - cos(t))]2. MINES – PONTS PSI 2017 7 PHYSIQUE 1 29. Si l’on retrace la courbe de la figure 7 en ôtant les parties verticales irrégulières, on obtient : On voit bien l’existence de deux résistances très différentes qui sont obtenues, pour une valeur de u donnée, pour des valeurs très différentes de i et des sens de variation opposés, ce qui correspond à ce qui est attendu. i u