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Concours CentraleˆSupélec - Mathématiques 1 - PSI - 2022 Durée 4 heures ÉNONCÉ Calculatrice autorisée Notations et rappels Pour n et p deux entiers naturels non nuls, on désigne par Mn,p(R) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecients dans R et Vn,p l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecients dans {−1, 1}. Si M est une matrice de Mn,p(R), on note M T sa transposée. On désigne par Mn(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients réels, In la matrice identité d'ordre n et 0n la matrice nulle d'ordre n. Si M ∈ Mn(R), on note tr(M) sa trace. Une matrice M de Mn(R) est antisymétrique si M T = −M. On note Gℓn(R) le sous-ensemble de Mn(R) formé des matrices inversibles. On dénit la suite des puissances de M par M 0 = In ∀k ∈ N, M k+1 = MM k Une matrice M ∈ Mn(R) est dite nilpotente s'il existe un entier naturel k ⩾ 1 tel que M k = 0n. On note Nn le sous-ensemble de Mn(R) formé des matrices nilpotentes. Si U est une partie d'un espace vectoriel E, on note Vect(U) le sous-espace vectoriel de E engendré par U. Toutes les variables aléatoires considérées dans les parties II, III et IV sont dénies sur un même espace probabilisé discret (Ω, A, P). Étant donné une variable aléatoire réelle Z, on note, sous réserve d'existence, E(Z) son espérance et V(Z) sa variance. On pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant, connu sous le nom de lemme des coalitions : Si X1, . . . , XN sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, alors, pour tout entier naturel k ∈ 1, N − 1 , toute fonction f de Rk dans R et toute fonction g de RN−k dans R, les variables aléatoires f(X1, . . . , Xk) et g(Xk+1, . . . , XN) sont indépendantes. Dans la partie III, l'espace vectoriel Mn,1(R) est muni de sa structure euclidienne canonique. Son produit scalaire est noté ⟨· | ·⟩. On note ch la fonction cosinus hyperbolique. Objectifs du problème et articulations entre les diérentes parties Ce problème porte sur l'étude de certains sous-ensembles de Mn(R) et de Mn,1(R), où n est un entier naturel non nul. Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de l'ensemble Nn. Dans les parties II et III, on s'intéresse à des variables aléatoires réelles et matricielles à coecients dans {−1, 1}. Dans la partie IV, on établit, à l'aide d'outils d'analyse et de probabilités, l'existence d'une famille de vecteurs unitaires de Mn,1(R) vériant certaines propriétés de nature euclidienne. Les quatre parties du problème sont largement indépendantes les unes des autres. Cependant, le résultat de la question 9 est utilisé dans la sous-partie II.C, ceux des questions 14 et 16 sont utilisés dans la sous-partie II.D et celui de la question 19 dans la partie IV. I Partie I I.A  Quelques résultats préliminaires Q 1. Démontrer que l'application Mn(R) → R M → tr(M) est une forme linéaire et que ∀(A, B) ∈ Mn(R) 2, tr(AB) = tr(BA). Page 1/5 Concours CentraleˆSupélec - Mathématiques 1 - PSI - 2022 Q 2. Montrer que l'application Mn(R) 2 → R (A, B) → tr ATB est un produit scalaire sur Mn(R). Q 3. En déduire que si A est une matrice de Mn(R) vériant ATA = 0n alors A = 0n. I.B  Quelques propriétés de Nn Q 4. Montrer que, si A ∈ Mn(R) est nilpotente, alors 0 est une valeur propre de A et que c'est la seule valeur propre complexe de A. Q 5. Déterminer la trace et le déterminant d'une matrice nilpotente de Mn(R). Q 6. Montrer que, si M ∈ Mn(R) est nilpotente, alors M 2 est nilpotente. Q 7. On suppose que M et N sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que M N et M + N sont nilpotentes. Q 8. On suppose que M, N et M + N sont nilpotentes. En calculant (M + N)2 − M 2 − N 2, montrer que tr(M N) = 0. Q 9. Démontrer qu'une matrice M de M2(R) est nilpotente si et seulement si det(M) = tr(M) = 0. Q 10. Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la matrice nulle. Q 11. Soit A une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que AT A = 0n, puis que A = 0n. Q 12. On suppose n ⩾ 3. Donner un exemple de matrice de Mn(R) de trace nulle et de déterminant nul, mais non nilpotente. II Matrices aléatoires à coecients dans {−1, 1} II.A  Quelques résultats algébriques Soit E1, . . . , En) la base canonique de Mn,1(R). On note V = n k=1 Ek. Q 13. Pour i ∈ 1, n , exprimer Ei en fonction de V et de V − 2Ei. En déduire que Mn,1(R) = Vect (Vn,1). (L'ensemble Vn,p a été déni dans les notations présentées au début du problème.) Soient C1, . . . , Cn, n matrices colonnes de Mn,1(R), avec C1 non nulle. Q 14. Démontrer que, si la famille (C1, . . . , Cn) est liée, alors il existe un unique j ∈ 1, n − 1 tel que (C1, . . . , Cj) est libre Cj+1 ∈ Vect(C1, . . . , Cj) Soit d ∈ 1, n , (U1, . . . , Ud) une famille libre de Mn,1(R) et H = Vect(U1, . . . , Ud). Q 15. Démontrer qu'il existe des entiers i1, . . . , id vériant 1 ⩽ i1 < · · · < id ⩽ n tels que l'application H → Md,1(R)    x1 ... xn    →    xi1 ... xid    soit bijective. On pourra s'intéresser au rang de la matrice de Mn,d(R) dont les colonnes sont U1, . . . , Ud. Q 16. Soit W un sous-espace vectoriel de Mn,1(R) de dimension d. Démontrer que card (W ∩ Vn,1) ⩽ 2d. II.B  Une loi de probabilité On dit qu'une variable réelle X suit la loi R si X(Ω) = {−1, 1}, P(X = −1) = P(X = 1) = 1 2. Q 17. Si X suit la loi R, préciser la loi de la variable aléatoire 1 2(X + 1). Q 18. Calculer l'espérance et la variance d'une variable suivant la loi R. Page 2/5 Concours CentraleˆSupélec - Mathématiques 1 - PSI - 2022 Q 19. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi R. Déterminer la loi de leur produit X Y . II.C  Un premier procédé de génération de matrices aléatoires à coecients dans {−1, 1} Jusqu'à la n de la partie II, n est un entier naturel non nul et mi,j (1 ⩽ i, j ⩽ n) sont n2 variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi R. La variable aléatoire matricielle Mn = (mi,j)1⩽i,j⩽n est alors à valeurs dans Vn,n. On pose τn = tr (Mn) et δn = det (Mn). Q 20. Calculer l'espérance et la variance de la variable τn. Q 21. Calculer l'espérance de la variable δn. Q 22. Démontrer que la variance de la variable δn est égale à n! On pourra développer δn selon une rangée et raisonner par récurrence. Dans le cas particulier n = 2, m11, m12, m21 et m22 sont quatre variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi R et M2 = m11 m12 m21 m22 . Q 23. Calculer la probabilité de l'événement M2 ∈ N2. Q 24. Calculer la probabilité de l'événement M2 ∈ Gℓ2(R). II.D  Une généralisation L'objectif de cette sous-partie est de prolonger le dernier résultat de la partie précédente, en trouvant, dans le cas général où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , un minorant de la probabilité de l'évènement Mn ∈ Gℓn(R). II.D.1) On considère 2n variables aléatoires réelles c1, c2, . . . , cn et c′ 1, c′ 2, . . . , c′ n mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi R. Q 25. Soit (ε1, . . . , εn) ∈ {−1, 1}n. Calculer P (c1 = ε1) ∩ · · · ∩ (cn = εn) . On considère les matrices colonnes aléatoires C =    c1 ... cn    et C′ =    c′ 1 ... c′ n   . Q 26. Démontrer que, pour tout ω ∈ Ω, la famille C(ω), C′(ω) est liée si et seulement s'il existe ε ∈ {−1, 1} tel que C′(ω) = εC(ω). Q 27. En déduire P (C, C′) est liée . II.D.2) On rappelle que mi,j (1 ⩽ i, j ⩽ n) sont n2 variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi R, que Mn = (mi,j)1⩽i,j⩽n est la matrice aléatoire à valeurs dans Vn,n dont, pour tout (i, j) ∈ 1, n 2, le coecient situé à la ligne i et la colonne j est égal à mi,j. On note C1 =    m1,1 ... mn,1    , . . . , Cn =    m1,n ... mn,n    les variables aléatoires à valeurs dans Vn,1 constituées par les colonnes de la matrice Mn. Pour tout j ∈ 1, n − 1 , on note Rj l'événement (C1, . . . , Cj) est libre et Cj+1 ∈ Vect(C1, . . . , Cj) et Rn l'événement (C1, . . . , Cn) est libre. Q 28. Montrer que (R1, . . . , Rn) est un système complet d'événements. II.D.3) Q 29. Montrer que P M /∈ Gℓn(R) ⩽ n−1 j=1 P Cj+1 ∈ Vect(C1, . . . , Cj) . Page 3/5 Concours CentraleˆSupélec - Mathématiques 1 - PSI - 2022 Q 30. Justier que, pour tout j ∈ 1, n − 1 , P Cj+1 ∈ Vect(C1, . . . , Cj) = (v1,...,vj)∈Vj n,1 P Cj+1 ∈ Vect(v1, . . . , vj) P (C1 = v1) ∩ · · · ∩ (Cj = vj) . Q 31. En déduire que, pour tout j ∈ 1, n − 1 , P Cj+1 ∈ Vect(C1, . . . , Cj) ⩽ 2j−n. Q 32. En déduire que P M ∈ Gℓn(R) ⩾ 1 2n−1 . III Un autre procédé de construction de matrices aléatoires à coe- cients dans {−1, 1} Soit p ∈]0, 1[. On dénit une suite (Ak) de matrices aléatoires d'ordre n à coecients dans {−1, 1} selon le procédé suivant :  on note A0 la matrice réelle d'ordre n dont tous les coecients sont égaux à 1 ;  pour tout entier naturel k, on construit la matrice Ak+1 à partir de la matrice Ak en conservant chaque coecient de Ak égal à −1 et en changeant en −1 avec la probabilité p chaque coecient de Ak égal à 1. Chaque coecient égal à 1 a donc la probabilité q = 1 − p de ne pas être modié ;  le processus s'arrête quand la matrice obtenue est égale à −A0. On suppose avoir utilisé l'instruction import numpy as np, numpy.random as rd pour charger les bibliothèques numpy et numpy.random. Voici quelques fonctions de ces bibliothèques qui peuvent être utiles dans cette partie :  np.ones((n,n)) crée un tableau numpy de taille n × n dont tous les éléments valent 1 ;  A.shape est un tuple qui contient les dimensions du tableau A ;  A.size donne le nombre total d'éléments du tableau A ;  A.sum() renvoie la somme de tous les éléments du tableau A ;  rd.binomial(1, p) simule une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. Q 33. Écrire en Python une fonction modifie_matrice(p, A) qui prend en argument une probabilité p et un tableau numpy représentant une matrice A ∈ Vn,n. Cette fonction modie le tableau a selon le procédé décrit ci-dessus. Q 34. En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une fonction nb_tours(p, n) qui prend en argument une probabilité p et l'ordre n des matrices Ak et renvoie le plus petit entier k tel que Ak = −A0, en partant de la matrice A0. Q 35. Écrire en Python une fonction moyenne_tours(p, n, nbe) qui prend en argument une probabilité p, l'ordre n des matrices Ak et un nombre entier nbe et qui renvoie la moyenne, sur nbe essais eectués, du nombre d'étapes nécessaires pour passer de A0 à −A0. IV Vecteurs aléatoires unitaires On suppose que n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. On désigne par I un sous-ensemble de N ayant au moins deux éléments et par u = (ui)i∈I une suite de vecteurs unitaires de Mn,1(R). Q 36. Démontrer que le nombre réel C(u) = sup |⟨ui | uj⟩| , (i, j) ∈ I2, i ̸= j existe et appartient à l'intervalle [0, 1]. C(u) s'appelle paramètre de cohérence de la suite (ui)i∈I. Page 4/5 Concours CentraleˆSupélec - Mathématiques 1 - PSI - 2022 Q 37. Montrer que si C(u) = 0, alors l'ensemble {ui, i ∈ I} est ni et donner un majorant de son cardinal. On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel N inférieur ou égal à exp ε2n 4 , il existe une famille u de N vecteurs unitaires de Mn,1(R) vériant C(u) ⩽ ε où ε est un nombre réel de l'intervalle [0, 1]. On dit alors que u est une famille  presque orthogonale . Q 38. Démontrer que, pour tout nombre réel t, ch(t) ⩽ exp t2 2 . Soient X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Yn des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi R (dénie dans la sous-partie II.B). On dénit les vecteurs aléatoires, X = 1 √n(X1, . . . , Xn)T et Y = 1 √n(Y1, . . . , Yn)T à valeurs dans Mn,1(R). Q 39. Démontrer que, pour tout nombre réel t, E exp(t⟨X | Y ⟩)⟩ = ch t n n . Q 40. En déduire que, pour pour tout nombre réel t, E exp(t⟨X | Y ⟩) ⩽ exp t2 2n . Soient σ et λ deux nombres réels strictement positifs et Z une variable aléatoire réelle telle que exp(tZ) est d'espérance nie et vérie ∀t ∈ R, E exp(tZ) ⩽ exp σ2t2 2 . Q 41. En appliquant l'inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que ∀t ∈ R+, P(Z ⩾ λ) ⩽ exp σ2t2 2 − λt . Q 42. En déduire que P(|Z| ⩾ λ) ⩽ 2 exp − λ2 2σ2 . Q 43. Avec les notations et les hypothèses de la question 39 , démontrer que P(|⟨X | Y ⟩| ⩾ ε) ⩽ 2 exp −ε2n 2 . N étant un entier naturel non nul, Xi j 1⩽i⩽N,1⩽j⩽n est une famille de n × N variables aléatoires réelles mutuel- lement indépendantes de même loi R. Pour tout i ∈ 1, N , on pose Xi = 1 √n(Xi 1, . . . , Xi n)T. Q 44. Déduire des questions précédentes que P   1⩽i<j⩽N |⟨Xi | Xj⟩| ⩾ ε   ⩽ N(N − 1) exp −ε2n 2 . Q 45. On suppose que n ⩾ 4ln N ε2 . Démontrer que P   1⩽i<j⩽N |⟨Xi | Xj⟩| ⩾ ε   < 1. Q 46. En déduire que, pour tout entier naturel N inférieur ou égal à exp ε2n 4 , il existe une famille de N vecteurs unitaires de Rn dont le paramètre de cohérence est majoré par ε. • • • FIN • • • Page 5/5 Pr. Daouia Abdelkader Corrigé de la première épreuve de mathématique Centrale PSI 2022 daouia_abdelkader@hotmail.fr I Partie I : I − A Quelques résultats préliminaires : Q 1 La trace est linéaire et à valeurs dans R , c’est donc une forme linéaire. Soient A = (ai,j)1≤i,j≤n , B = (bi,j)1≤i,j≤n deux matrices dans Mn(R) . On pose AB = (ci,j)1≤i,j≤n , BA = (di,j)1≤i,j≤n. On a les relations suivantes : ci,j = n k=1 ai,kbk,j , di,j = n k=1 bi,kak,j tr(AB) = n i=1 ci,i = n i=1 n k=1 ai,kbk,i , tr(BA) = n i=1 di,i = n i=1 n k=1 bi,kak,i Si on fait le changement d’indice i ←→ k , on remarque qu’il s’agit de la même expression . Q 2 On pose ⟨A, B⟩ = tr(ATB). (a) ⟨B, A⟩ = tr(BTA) = tr((BTA)T) = tr(ATB) = ⟨A, B⟩ (symétrique). (b) La bilinéarité est évidente . (c) ⟨A, A⟩ = tr(ATA) = n i=1 n k=1 a2 i,k ≥ 0 On a l’égalité ⟨A, A⟩ = 0 ⇐⇒ n i=1 n k=1 a2 i,k ≥0 = 0 ⇐⇒ a2 i,k = 0 ∀(i, k) ∈ [[1, k]]2 ⇐⇒ A = 0 Q 3 ATA = 0 =⇒ tr(ATA) = 0 = ⟨A, A⟩ =⇒ A = 0 (c’est un produit scalaire) . I.B - Quelques propriétés de Nn Q 4 A est nilpotente , il existe p ∈ N∗ : Ap = 0 , soit λ une valeur propre de A , et X ̸= 0 un vecteur propre associé : 0 = ApX = λpX =⇒ λ = 0 Comme 0 = det(Ap) = (det(A))p =⇒ det(A) = 0 , A n’est pas inversible , donc 0 est une valeur propre de A. Q 5 Comme 0 est la seule valeur propre : (a) tr(A) = 0 : c’est la somme des valeurs propres . (b) det(A) = 0 : c’est le produit des valeurs propres. Q 6 M est nilpotente , il existe p ∈ N∗ : M p = 0 =⇒ M 2p = (M 2)p = 0 ,M 2 est nilpotente . daouia_abdelkader@hotmail.fr 1 Pr. Daouia Abdelkader Q 7 MN = NM , ∃(p, k) ∈ (N∗)2 : M p = N q = 0 : (a) (MN)p = M pN p = 0 (MN = NM). (b) (M + N)p+q = p+q i=0 p + q i M iN p+q−i = p−1 i=0 p + q i M i N p+q−i =0 + p+q i=p p + q i M i =0 , i≥p N p+q−i = 0 Q 8 M, N, M + N sont nilpotentes ,d’après la question 6, M 2, N 2, (M + N)2 sont nilpotentes et d’après la question 5 : tr(M 2) = tr(N 2) = tr((M + N)2) = 0 0 = tr((M + N)2) = tr(M 2) + tr(MN) + tr(NM) + tr(N 2) =⇒ 2 tr(MN) = 0 (tr(MN) = tr(NM)) Q 9 Si M est nilpotente , alors tr(M) = det(M) = 0 , d’après la question 5. Réciproquement , pour M ∈ M2(R) , le polynôme caractéristique est : χM(X) = X2 − tr(M)X + det(M) Si tr(M) = det(M) = 0 , en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton : 0 = χM(M) = M 2 M est donc nilpotente. Q 10 Soit M une matrice symétrique réelle , elle est donc orthogonalement semblable à une matrice diagonale D d’après le théorème spectral , et puisqu’elle est nilpotente , 0 est la seule valeur propre de M . M est semblable à la matrice nulle , donc M = 0. Q 11 A ∈ An(R) et nilpotente . Soit p ∈ N∗ : Ap = 0 , (ATA)p = (−1)pA2p = 0 La matrice ATA est symétrique réelle et nilpotente , en utilisant la question précédente et la question et la question 3 , on a : ATA = 0 =⇒ A = 0 Q 12 A = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 , tr(A) = 0 = det(A) , A2k = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 , A2k+1 = A pour tout k ∈ N∗. II Matrices aléatoires à coefficients dans {−1, 1} II.A - Quelques résultats algébriques . daouia_abdelkader@hotmail.fr 2 Pr. Daouia Abdelkader Q 13 Ei = 1 2V − 1 2(V − 2Ei) , V − 2Ei = 1 ... 1 −1 1 ... 1 le −1 est sur la i-ème position. V, V − 2Ei sont dans Vn,1 , pour tout i ∈ [[1, n]]. Comme Mn,1(R) = V ect(E1, E2, . . . , En) ⊂ V ect(Vn,1) ⊂ Mn,1(R) Q 14 On note I = {i ∈ [[1, n]] : (C1, C2, . . . , Ci) est libre} , I est non vide , car 1 ∈ I , majoré par n − 1 , car n ̸∈ I , on note j = max(I) : (C1, C2, . . . , Cj) est libre , (C1, C2, . . . , Cj+1) est liée.Il existe (a1, a2, . . . , aj+1) ∈ Rj+1 non tous nuls , tel que : j+1 i=1 aiCi = 0 Supposons que aj+1 = 0 , on va avoir j i=1 aiCi = 0 =⇒ ai = 0 , i ∈ [[1, j]] =⇒ ai = 0 , i ∈ [[1, j + 1]] Ce qui est absurde. Cj+1 = − j i=1 ai aj+1 Ci =⇒ Cj+1 ∈ V ect(C1, C2, . . . , Cj) Q 15 La famille (U1, U2, . . . , Ud) est une famille libre , la matrice M dont les colonnes sont les Uj est de rang d , on peut extraire de cette matrice une sous matrice carré de taille d qui est inversible , les lignes de cette sous matrice sont i1 < i2 < . . . < id et toutes les autres lignes sont une combinaison linéaire de ces lignes . L’application définit est donc injective , et l’égalité des dimensions achève . Q 16 Un élément de W est déterminé par seulement d composantes , et pour chaque élément de Vn,1 , les composantes ont seulement deux possibilités 1 ou −1 , il y a au plus 2d possibilités ( il y a des vecteurs qui ne sont pas dans l’intersection). II.B - Une loi de probabilité On dit qu’une variable réelle suit la loi R (La loi de Rademacher) si : X(Ω) = {−1, 1} , P(X = 1) = P(X = −1) = 1 2 daouia_abdelkader@hotmail.fr 3 Pr. Daouia Abdelkader Q 17 X suit la loi R , Z = 1 2(X + 1) Z(Ω) = {−1, 1} , P(Z = 1) = P(X = 1) = 1 2 , P(Z = 0) = P(X = −1) = 1 2 Z suit la loi de Bernoulli B(1 2). Q 18 La loi Z est usuelle , E(Z) = 1 2 , V(Z) = 1 4 , et on a la relation : X = 2Z − 1 : E(X) = 2E(Z) − 1 = 0 , V(X) = 4V(Z) = 1 On rappelle E(aZ + b) = aE(Z) + b , V(aZ + b) = a2V(Z) ∀(a, b) ∈ R2. Q 19 X(Ω) = {−1, 1} = Y (Ω) , P(X = 1) = P(X = −1) = 1 2 = P(Y = 1) = P(Y = −1). (a) W = XY , W(Ω) = {−1, 1} (b) (W = 1) = (X = 1)∩(Y = 1) ∪ (X = −1)∩(Y = −1) =⇒ P(W = 1) = 1 2 1 2 + 1 2 1 2 = 1 2 (c) (W = −1) = (X = 1)∩(Y = −1) ∪ (X = −1)∩(Y = 1) =⇒ P(W = 1) = 1 2 1 2+ 1 2 1 2 = 1 2 XY suit la loi R. II.C - Un premier procédé de génération de matrices aléatoires à coefficients dans {−1, 1} Q 20 τn = tr(Mn) = n i=1 mi,i , les variables sont indépendantes et suivent la même loi : E(τn) = n i=1 E(mi,i) 0 = 0 , V(τn) = n i=1 V(mi,i) 1 = n Q 21 On développe le déterminant suivant la première colonne : δn = n i=1 (−1)i+1mi,1 det(M i n) Où M i n est la matrice Mn amputée de la première colonne et la i-ème ligne . Les variables sont indépendantes , on a alors : E(δn) = n i=1 (−1)i+1 E(mi,1) =0 E(det(M i n)) = 0 Q 22 Pour n = 1 c’est trivial . On suppose que la propriété est vérifiée à l’ordre n − 1. E(δn−1) = 0 , V(δn−1) = E(δ2 n−1) = (n − 1)! daouia_abdelkader@hotmail.fr 4 Pr. Daouia Abdelkader δ2 n = n i=1 n j=1 (−1)i+1mi,1 det(M i n)(−1)j+1mj,1 det(M j n) Les variables mi,1 , mj,1 sont indépendantes de det(M i n) , det(M j n) , mais mi,1 , mj,1 ne sont indépendantes que si i ̸= j (a) Si i = j mi,1mj,1 = 1 : (b) Si i ̸= j , E(mi,1mj,1) = E(mi,1)E(mj,1) = 0 E(δ2 n) = n i=1 n j=1 (−1)i+jE(mi,1mj,1)E(det(M i n) det(M j n)) = n i=1 E(m2 i,1 =1 ) E(det(M i n)2) =V(δn−1) = n(n − 1)! = n! Q 23 M2 = m1,1 m1,2 m2,1 m2,2 ∈ N2 ⇐⇒ 0 = tr(M2) = m1,1 + m2,2 , det(M2) = 0 = m1,1m2,2 − m1,2m2,1 = −1 − m1,2m2,1 Si on choisit m1,1 et m1,2 , les autres coefficients sont fixés .Il y a donc 4 possibilités sur 16. P(M2 ∈ N2) = 4 16 = 1 4 Q 24 M2 ∈ GL2(R) ⇐⇒ m1,1m2,2 − m1,2m2,1 ̸= 0 On peut choisir m1,1, m2,2 , m1,2 comme on veut , pour m2,2 , un choix donne 0 et l’autre ̸= 0 , il y a donc un seul choix de m2,2 pour que la matrice soit inversible , sachant que les trois premières composantes sont déjà choisies. P(M2 ∈ GL2(R)) = 2 ∗ 2 ∗ 2 16 = 1 2 II.D Généralisation II.D − 1) : Q 25 Les variables sont mutuellement indépendantes , : P (c1 = ε1) ∩ . . . ∩ (cn = εn) = n i=1 P (ci = εi) = 1 2n Q 26 Le vecteur C ̸= 0 , donc {C} est libre , la famille (C, C ′) est liée si et seulement si il existe λ ∈ R : C ′ = λC , mais comme les composantes des deux vecteurs sont dans 1, −1 , on doit avoir λ = 1 ou −1. daouia_abdelkader@hotmail.fr 5 Pr. Daouia Abdelkader Q 27 P (C, C ′) est liée = P C = C ′ + P C = −C ′ = P (c1 = c ′ 1) ∩ . . . ∩ (cn = c ′ n) + P (c1 = −c ′ 1) ∩ . . . ∩ (cn = −c ′ n) = 1 2n + 1 2n = 1 2n−1 II.D.2) : Q 28 Pour une famille (C1, C2, . . . , Cn) , soit la famille est libre , dans ce cas Rn est réalisé , soit la famille est liée , dans ce cas , d’après la question Q 14 , il existe un unique j ∈ [[1, n − 1]] tel que Rj est réalisé .Les événements sont incompatibles , donc la famille est un système complet d’événements. Q 29 D’après la formule de probabilité totale : P(M ̸∈ GLn(R)) = n j=1 P (M ̸∈ GLn(R)) ∩ Rj P (M ̸∈ GLn(R)) ∩ Rn = 0 car si les matrices n’est pas inversible , les colonnes sont liées. Pour j ∈ [[1, n − 1]] : (M ̸∈ GLn(R)) ∩ Rj ⊂ Cj+1 ∈ V ect(C1, C2, . . . , Cj) =⇒ P (M ̸∈ GLn(R)) ∩ Rj ≤ P Cj+1 ∈ V ect(C1, C2, . . . , Cj) On somme , et on trouve le résultat. Q 30 On introduit le système complet d’événements : { (C1 = v1) ∩ . . . ∩ (Cj = vj) , (v1, v2, . . . , vj) ∈ Vj n,1} Puis on applique la formule de probabilité totale. Q 31 Pour (v1, v2, . . . , vj) ∈ Vj n,1 , Cj+1 ∈ V ect((v1, v2, . . . , vj) , il y a au plus 2j combinaisons possibles , et le nombre de possibilités pour Cj+1 est 2n , ainsi : P Cj+1 ∈ V ect(v1, v2, . . . , vj) ≤ 2j 2n = 2j−n On majore à l’intérieur de la somme , et le reste c’est 1, on finit par trouver la majoration escomptée. Q 32 P(M ̸∈ GLn(R)) ≤ n−1 j=1 1 2n−j = 1 2 + . . . + 1 2n−1 = 1 2 1 − 1 2n−1 1 − 1 2 = 1 − 1 2n−1 P(M ∈ GLn(R)) = 1 − P(M ̸∈ GLn(R)) ≤ 1 − (1 − 1 2n−1) = 1 2n−1 III Un autre procédé de construction de matrices aléatoires à coefficients dans {−1, 1} daouia_abdelkader@hotmail.fr 6 Pr. Daouia Abdelkader Q 33 def modifie−matrice(p, A) : n = len(A) return np.array([[A[i, j] if A[i, j]! = 1 else binomial(p) for j in range (n)] for i in range(n)]) Q 34 def nb−tours(p, n) : A = np.ones((n, n), dtype=int) k = 0 while not np.array−equal(A,-np.ones((n, n))) : A = modifie−matrice(p, A) k = k + 1 return k Q 35 def moyenne−tours(p, n, nbr) : return sum(nb−tours(p,n) for i in range (nbr))/nbr IV Vecteurs aléatoires unitaires Q 36 Soit u = (ui)i∈I une suite de vecteurs unitaire de Mn,1(R) . En utilisant l’inégalité de Cauchy- Schwarz , on peut écrire : 0 ≤ |⟨ui, uj⟩| ≤ ∥ui∥∥uj∥ = 1 L’ensemble {|⟨ui, uj⟩| , (i, j) ∈ I2 , i ̸= j} est une partie non vide de R ,majorée , sa borne supérieur existe et on a C(u) ∈ [0, 1] Q 37 Si on suppose C(u) = 0 , alors : ⟨ui, uj⟩ = 0 , ∀(i, j) ∈ I2 , i ̸= j , la famille u est orthonormale , elle est donc libre et on a la majoration : card(u) ≤ dim(Mn,1(R)) = n Q 38 On rappelle le développement en série entière usuel : ch(t) = +∞ n=0 t2n (2n)! ∀ t ∈ R On remarque que (2n)! ≥ n k=1 (2k) = 2nn! Comme tous les termes sont positifs : ch(t) ≤ +∞ n=0 t2n 2nn! = exp t2 2 ∀ t ∈ R daouia_abdelkader@hotmail.fr 7 Pr. Daouia Abdelkader Q 39 E(exp(t⟨X, Y ⟩)) = E(exp( n i=1 t nXiYi)) Les variables XiYi sont indépendants , on peut donc écrire : E(exp(t⟨X, Y ⟩)) = n i=1 E(exp( t nXiYi)) D’après la question 19 , XiYi suit la loi R : E(exp( t nXiYi)) = 1 2 exp( t n) + 1 2 exp(− t n) = ch( t n) On a donc le résultat : E(exp(t⟨X, Y ⟩)) = n i=1 ch( t n) = ch( t n) n Q 40 On utilise les deux questions précédentes : E(exp(t⟨X, Y ⟩)) = ch( t n) n ≤ exp( t2 2n2) n = exp( t2 2n) Q 41 L’inégalité de Markov s’applique pour des variables à valeurs positives . P(Z ≥ λ) = P(tZ ≥ tλ) ∀t ≥ 0 = P(etZ ≥ etλ) ≤ E(etZ) etλ ≤ exp(σ2t2 2 − λ t) Q 42 Pour optimiser la majoration dans la question précédente , on va étudier la fonction définie sur [0, +∞[ : t −→ σ2t2 2 − λ t , on trouve facilement que son minimum est atteint au point t0 = σ2 λ ,en prenant cette valeur pour t , on a la majoration : P(Z ≥ λ) ≤ exp − λ2 2σ2 On fait de même pour P(Z ≤ −λ) , et on a : P(|Z| ≥ λ) = P(Z ≥ λ) + P(Z ≤ −λ) ≤ 2 exp − λ2 2σ2 Q 43 On pose Z = ⟨X, Y ⟩ , cette variable vérifie d’après la question 40, la propriété utilisée dans les questions 41 − 42 , avec σ = 1 √n , on applique directement la question 42 ,avec λ = ε , σ = 1 √n et on trouve le résultat. daouia_abdelkader@hotmail.fr 8 Pr. Daouia Abdelkader Q 44 P ∪1≤i<j≤N |⟨Xi, Xj⟩| ≥ ε ≤ 1≤i<j≤N P |⟨Xi, Xj⟩| ≥ ε ≤ 1≤i<j≤N 2 exp −ε2n 2 = N(N − 1) exp −ε2n 2 Le nombre de couple tel que 1 ≤ i < j ≤ N est N(N − 1) 2 Q 45 P ∪1≤i<j≤N |⟨Xi, Xj⟩| ≥ ε ≤ N(N −1) exp −ε2n 2 ≤ N(N −1) exp −2 ln(N) = N − 1 N < 1 Q 46 N ≤ exp nε2 4 ⇐⇒ n ≥ 4 ln(N) ε2 et on applique la question précédente. daouia_abdelkader@hotmail.fr 9