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M043/2022-02-10 09:45:01 Page 1/4 Mathématiques 1 PC 4 heures Calculatrice autorisée 2022 Notations Dans tout le problème, 𝑛 désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On utilisera les notations matricielles classiques : — ℳ𝑛,𝑝(ℝ) désigne l’ensemble des matrices à 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes à coefficients réels et ℳ𝑛(ℝ) l’ensemble des matrices carrées réelles à 𝑛 lignes ; — 0𝑛 désigne la matrice de ℳ𝑛(ℝ) dont tous les coefficients sont nuls ; — 𝒮𝑛(ℝ) désigne le sous-espace vectoriel de ℳ𝑛(ℝ) formé par les matrices symétriques ; — diag(𝑎1, ..., 𝑎𝑛) désigne la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont 𝑎1, ..., 𝑎𝑛 dans cet ordre ; — 𝐴⊤ désigne la transposée de la matrice 𝐴 ; — sp(𝐴) désigne le spectre réel de la matrice 𝐴, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres réelles de 𝐴. Les éléments de ℳ1(ℝ) sont assimilés à des réels. Avec ces notations, le produit scalaire canonique de ℳ𝑛,1(ℝ) est donné par (𝑈 | 𝑉 ) = 𝑈⊤𝑉 . On note ‖𝑈‖ la norme euclidienne canonique de 𝑈 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ). Les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé (Ω, ℬ, ℙ). On suppose que, pour tout 𝑝 ∈ ]0, 1[, il existe une suite (𝑋𝑛)𝑛∈ℕ de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre 𝑝 mutuellement indépendantes définies sur Ω. Si 𝑋 et 𝑌 sont deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur Ω, on note 𝔼(𝑋), 𝕍(𝑋) et cov(𝑋, 𝑌 ) respectivement l’espérance de 𝑋, la variance de 𝑋 et la covariance de 𝑋 et 𝑌 , lorsqu’elles sont définies. On rappelle la formule cov(𝑋, 𝑌 ) = 𝔼((𝑋 − 𝔼(𝑋))(𝑌 − 𝔼(𝑌 ))) = 𝔼(𝑋𝑌 ) − 𝔼(𝑋)𝔼(𝑌 ). Définition Une matrice 𝐴 de ℳ𝑛(ℝ) est dite orthodiagonalisable s’il existe une matrice diagonale 𝐷 et une matrice ortho­ gonale 𝑃 telles que 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 ⊤. Orthodiagonaliser 𝐴 revient à déterminer un couple de telles matrices (𝐷, 𝑃). I Généralités sur les matrices symétriques réelles Q 1. Démontrer qu’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) est orthodiagonalisable si et seulement si elle est symétrique. I.A – Un exemple dans ℳ3(ℝ) On pose 𝐴1 = ⎛ ⎜ ⎝ 3 −2 4 −2 6 2 4 2 3 ⎞ ⎟ ⎠ . Q 2. En observant la première et la dernière colonne de 𝐴1, déterminer un vecteur propre de 𝐴1 et la valeur propre 𝜆1 associée. Q 3. Déterminer le sous-espace propre de 𝐴1 associé à la valeur propre 𝜆1 et en déduire le spectre de 𝐴1. Q 4. Orthodiagonaliser 𝐴1. I.B – Un exemple dans ℳ𝑛(ℝ) Q 5. Montrer que l’application 𝜙 : (𝑃, 𝑄) ↦ 𝜙(𝑃, 𝑄) = 1 ∫ 0 𝑃(𝑡)𝑄(𝑡) d𝑡 définit un produit scalaire sur ℝ𝑛−1[𝑋]. Q 6. Écrire la matrice 𝐻 de ce produit scalaire dans la base canonique de ℝ𝑛−1[𝑋], c’est-à-dire la matrice de terme général ℎ𝑖,𝑗 = 𝜙(𝑋𝑖, 𝑋𝑗) où les indices 𝑖 et 𝑗 varient entre 0 et 𝑛 − 1. Q 7. Soit 𝑈 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ). Exprimer le produit 𝑈⊤𝐻𝑈 à l’aide de 𝜙 et des coefficients de 𝑈. Q 8. Montrer que 𝐻 appartient à 𝒮𝑛(ℝ) et que ses valeurs propres sont strictement positives. M043/2022-02-10 09:45:01 Page 2/4 I.C – Rayon spectral Pour toute matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) de spectre non vide, le rayon spectral de 𝐴, noté 𝜌(𝐴), est défini par 𝜌(𝐴) = max 𝜆∈sp(𝐴)|𝜆|. Q 9. Montrer que, si 𝐴 est nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe 𝑝 ∈ ℕ⋆ tel que 𝐴𝑝 = 0𝑛, alors le rayon spectral de 𝐴 est nul. Q 10. On note 𝐶 = {𝑈 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) | 𝑈⊤𝑈 = 1}. Démontrer que 𝐶 est une partie fermée de ℳ𝑛,1(ℝ). Q 11. En déduire que l’application : 𝑈 ↦ |𝑈⊤𝐴𝑈| admet un maximum sur 𝐶. Q 12. Montrer que 𝜌(𝐴) ⩽ max 𝑈∈𝐶|𝑈⊤𝐴𝑈|. I.D – Rayon spectral d’une matrice symétrique Soit 𝐴 ∈ 𝒮𝑛(ℝ). Q 13. Démontrer que 𝜌(𝐴) = max 𝑈∈𝐶|𝑈⊤𝐴𝑈|. On suppose de plus que les valeurs propres de 𝐴 sont toutes positives. Q 14. Montrer alors que 𝜌(𝐴) = max 𝑈∈𝐶(𝑈⊤𝐴𝑈). Q 15. Démontrer que l’application 𝜌 définit une norme sur 𝒮𝑛(ℝ). II Matrice de covariance Dans la suite du problème, on considère 𝑛 variables aléatoires discrètes 𝑌1, ..., 𝑌𝑛 définies sur (Ω, ℬ, ℙ) à valeurs réelles et on définit la fonction 𝑌 de Ω dans ℳ𝑛,1(ℝ) en posant ∀𝜔 ∈ Ω, 𝑌 (𝜔) = ⎛ ⎜ ⎝ 𝑌1(𝜔) ⋮ 𝑌𝑛(𝜔) ⎞ ⎟ ⎠ . Un tel vecteur aléatoire est dit constant si la fonction 𝑌 est constante. Si chacune des variables aléatoires discrètes 𝑌𝑖 admet une espérance finie, on définit le vecteur espérance de 𝑌 en posant 𝔼(𝑌 ) = ⎛ ⎜ ⎝ 𝔼(𝑌1) ⋮ 𝔼(𝑌𝑛) ⎞ ⎟ ⎠ . Si toutes les covariances existent, la matrice de covariance de 𝑌 est la matrice de ℳ𝑛(ℝ), notée Σ𝑌 , de terme général 𝜎𝑖,𝑗 = cov(𝑌𝑖, 𝑌𝑗). La variance totale de 𝑌 est définie par 𝕍𝑇 (𝑌 ) = 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝕍(𝑌𝑖). Dans la suite du problème, on suppose que 𝔼(𝑌 ) et Σ𝑌 sont bien définies. II.A – On admet que 𝑌 est une variable aléatoire discrète sur (Ω, ℬ, ℙ) à valeurs dans ℳ𝑛,1(ℝ). On admet aussi que (𝑌 − 𝔼(𝑌 ))(𝑌 − 𝔼(𝑌 )) ⊤ est une variable aléatoire discrète, à valeurs dans ℳ𝑛(ℝ), dont l’espérance, par définition, est également calculée terme à terme. Q 16. Vérifier que Σ𝑌 est une matrice symétrique, que Σ𝑌 = 𝔼((𝑌 − 𝔼(𝑌 ))(𝑌 − 𝔼(𝑌 )) ⊤) et que, si 𝑈 est un vecteur constant dans ℳ𝑛,1(ℝ), alors Σ𝑌 +𝑈 = Σ𝑌 . Q 17. Soient 𝑝 ∈ ℕ∗ et 𝑀 ∈ ℳ𝑝,𝑛(ℝ). On définit la variable aléatoire discrète 𝑍 = 𝑀𝑌 , à valeurs dans ℳ𝑝,1(ℝ). Justifier que 𝑍 admet une espérance et exprimer 𝔼(𝑍) en fonction de 𝔼(𝑌 ). Montrer que 𝑍 admet une matrice de covariance Σ𝑍 et que Σ𝑍 = 𝑀Σ𝑌 𝑀⊤. M043/2022-02-10 09:45:01 Page 3/4 II.B – Propriété des valeurs propres On note 𝑃 la matrice de passage de la base canonique de ℳ𝑛,1(ℝ) à une base orthonormée formée de vecteurs propres de Σ𝑌 . On définit la variable aléatoire discrète 𝑋 = 𝑃 ⊤𝑌 = ⎛ ⎜ ⎝ 𝑋1 ⋮ 𝑋𝑛 ⎞ ⎟ ⎠ . Q 18. Démontrer que Σ𝑋 est une matrice diagonale. Q 19. En déduire que les valeurs propres de Σ𝑌 sont toutes positives. Q 20. Démontrer que la variance totale de 𝑋 est égale à celle de 𝑌 . II.C – Étude de la réciproque Soit 𝐷 = diag(𝜆1, ..., 𝜆𝑛) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 𝜆𝑖 sont tous positifs. Q 21. Démontrer l’existence d’une variable aléatoire discrète 𝑍 à valeurs dans ℳ𝑛,1(ℝ) telle que Σ𝑍 = 𝐷. Soit 𝐴 ∈ 𝒮𝑛(ℝ) une matrice symétrique dont les valeurs propres sont positives. Q 22. Démontrer l’existence d’une variable aléatoire discrète 𝑌 à valeurs dans ℳ𝑛,1(ℝ) telle que Σ𝑌 = 𝐴. II.D – Soit 𝑈 = ⎛ ⎜ ⎝ 𝑢1 ⋮ 𝑢𝑛 ⎞ ⎟ ⎠ dans ℳ𝑛,1(ℝ). On définit la variable aléatoire discrète 𝑋 = 𝑈⊤𝑌 . Q 23. Montrer que 𝑋 admet une variance et que 𝕍(𝑋) = 𝑈⊤Σ𝑌 𝑈. II.E – Image de Σ𝑌 L’objectif de cette sous-partie est de montrer que ℙ(𝑌 − 𝔼(𝑌 ) ∈ Im Σ𝑌 ) = 1. On note 𝑟 le rang de la matrice de covariance de 𝑌 . Q 24. Traiter le cas où 𝑟 = 𝑛. On suppose maintenant 𝑟 < 𝑛. Q 25. Démontrer que le noyau et l’image de Σ𝑌 sont supplémentaires orthogonaux dans ℳ𝑛,1(ℝ). On note 𝑑 = dim ker Σ𝑌 et on considère une base orthonormée (𝑉1, ..., 𝑉𝑑) de ker Σ𝑌 . Q 26. Démontrer que ∀𝑗 ∈ ⟦1, 𝑑⟧, 𝕍(𝑉 ⊤ 𝑗 (𝑌 − 𝔼(𝑌 ))) = 0. Q 27. En déduire que ℙ(𝑉 ⊤ 𝑗 (𝑌 − 𝔼(𝑌 )) = 0) = 1. Q 28. Conclure. III Maximisation de la variance Les notations sont celles de la partie II. On cherche un vecteur 𝑈 unitaire tel que la variance de 𝑈⊤𝑌 soit maximale. Comme en I.C, on note 𝐶 = {𝑈 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) | 𝑈⊤𝑈 = 1}. On note 𝑞𝑌 l’application de 𝐶 dans ℝ définie par 𝑞𝑌 (𝑈) = 𝕍(𝑈⊤𝑌 ). III.A – Un exemple dans ℳ3,1(ℝ) On pose 𝐴2 = diag(9, 5, 4). Q 29. Justifier l’existence d’un vecteur aléatoire dont 𝐴2 est la matrice de covariance. Q 30. Dans cette question uniquement, on suppose que 𝑌 une variable aléatoire à valeurs dans ℳ3,1(ℝ) telle que Σ𝑌 = 𝐴2. Déterminer le maximum de 𝑞𝑌 sur 𝐶. III.B – Cas général Q 31. Dans le cas général, démontrer que la fonction 𝑞𝑌 admet un maximum sur 𝐶. Préciser la valeur de ce maximum ainsi qu’un vecteur 𝑈0 ∈ 𝐶 tel que max 𝑈∈𝐶 𝕍(𝑈⊤𝑌 ) = 𝕍(𝑈⊤ 0 𝑌 ). M043/2022-02-10 09:45:01 Page 4/4 III.C – Étude d’un exemple On suppose, dans cette sous-partie III.C uniquement, que Σ𝑌 vérifie ∀𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧, 𝜎𝑖,𝑖 = 𝜎2 et ∀(𝑖, 𝑗) ∈ ⟦1, 𝑛⟧2, 𝑖 ≠ 𝑗 ⟹ 𝜎𝑖,𝑗 = 𝜎2𝛾 où 𝜎 et 𝛾 sont deux réels strictement positifs. On note 𝐽 ∈ ℳ𝑛(ℝ) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Q 32. Démontrer que 𝛾 ⩽ 1 et exprimer Σ𝑌 en fonction de 𝐽. Q 33. Déterminer les valeurs propres de 𝐽 et la dimension de chaque sous-espace propre associé. Déterminer également un vecteur propre associé à sa valeur propre de module maximal. Q 34. Préciser un vecteur 𝑈0 unitaire tel que la variance de 𝑍 = 𝑈⊤ 0 𝑌 soit maximale. Q 35. Calculer le pourcentage de la variance totale représenté par 𝑍, c’est-à-dire le rapport 𝕍(𝑍) 𝕍𝑇 (𝑌 ). III.D – On suppose, dans cette dernière sous-partie, que Σ𝑌 présente 𝑛 valeurs propres distinctes qu’on classe par ordre strictement décroissant 𝜆1 > ... > 𝜆𝑛. On se munit d’un vecteur 𝑈0 tel que 𝕍(𝑈⊤ 0 𝑌 ) = max 𝑈∈𝐶 𝕍(𝑈⊤𝑌 ). On note 𝐶′ = {𝑈 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) | 𝑈⊤𝑈 = 1 et 𝑈⊤ 0 𝑈 = 0}. Q 36. Justifier que 𝑞𝑌 admet un maximum sur 𝐶′. Q 37. Déterminer la valeur de ce maximum et préciser un vecteur 𝑈1 ∈ 𝐶′ tel que max 𝑈∈𝐶′ 𝕍(𝑈⊤𝑌 ) = 𝕍(𝑈⊤ 1 𝑌 ). Q 38. Calculer la covariance des variables aléatoires discrètes 𝑈⊤ 0 𝑌 et 𝑈⊤ 1 𝑌 (pour simplifier l’écriture, on pourra supposer 𝑌 centrée, c’est-à-dire 𝔼(𝑌 ) = 0). Ces questions de maximisation de la variance sont à la base de la méthode statistique d’analyse en composantes principales. Il s’agit de déterminer, à partir d’un certain nombre de variables aléatoires, des combinaisons linéaires (composantes principales) concentrant le maximum d’information et décorrélées entre elles. • • • FIN • • • UN CORRIGÉ du SUJET Centrale 2022, MATH 1 PC I. Généralités sur les matrices symétriques réelles Q1. Si A est orthodiagonalisable, alors A = PDP ⊤ avec D diagonale et P orthogonale, puis A⊤ = (PDP ⊤)⊤ = PD⊤P ⊤ = PDP ⊤ = A puisque D⊤ = D et (P ⊤)⊤ = P, donc A ∈ Sn(IR). Inversement, toute matrice symétrique réelle est orthodiagonalisable, c’est la version matricielle du théorème spectral. I.A. Un exemple dans M3(IR) Q2. On remarque que C1(A1) + C3(A1) = A1 · 1 0 1 = 7 0 7 = 7 × 1 0 1 , donc X1 = 1 0 1 est un vecteur propre de A1 asocié à la valeur propre λ1 = 7. Q3. La matrice A1 − 7I3 = −4 −2 4 −2 −1 2 4 2 −4 est visiblement de rang 1, donc par le théorème du rang, dim E7(A1) = 2, et E7(A1) est le plan d’équation cartésienne 2x + y − 2z = 0, on peut aussi le décrire par E7(A1) = Vect(X1, X2) avec X2 = 1 −4 −1 . Remarque. En résolvant le système 2x + y − 2z = 0 x + z = 0, j’ai recherché dans le plan E7(A1) un vecteur non nul orthogonal à X1, ce sera utile pour la suite. Comme A1 est symétrique réelle, elle est (ortho)diagonalisable, et la somme de ses valeurs propres (réelles) est égale à sa trace. On a le nombre 7 comme valeur propre double, et il reste une valeur propre simple λ2 telle que 2 × 7 + λ2 = tr(A1) = 12, donc λ2 = −2. Ainsi, sp(A1) = {−2, 7}, avec −2 simple et 7 double. Q4. Les sous-espaces propres de A1 sont deux à deux orthogonaux car la matrice est symétrique réelle, on déduit ici que E−2(A1) = E7(A1) ⊥ = Vect(X3) avec X3 = 2 1 −2 . Ainsi, (X1, X2, X3) constitue une base orthogonale de vecteurs propres de A1, il ne reste plus qu’à normer ces vecteurs pour orthodiagonaliser A1. On a donc A1 = PDP ⊤ = PDP −1 , avec D = 7 0 0 0 7 0 0 0 −2 et P = 1 √ 2 1 √ 18 2 3 0 − 4 √ 18 1 3 1 √ 2 − 1 √ 18 −2 3 . Remarque. C’est une solution parmi d’autres. I.B. Un exemple dans Mn(IR) Q.5. Il est clair que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur IRn−1[X], positive car ϕ(P, P) = 1 0 P(t)2 dt ≥ 0. Enfin, si ϕ(P, P) = 0, alors la fonction t → P(t)2 étant continue d’intégrale nulle sur [0, 1], elle est nulle sur [0, 1] donc le polynˆome P, qui a une infinité de racines, est le polynˆome nul. Ceci assure le caractère défini de ϕ, qui est donc un produit scalaire sur IRn−1[X]. Q6. Pour (i, j) ∈ [[0, n − 1]]2, on a hi,j = ϕ(Xi, Xj) = 1 0 ti+j dt = 1 i + j + 1, donc H = 1 1 2 1 3 · · · 1 n 1 2 1 3 1 4 · · · 1 n + 1 ... ... ... ... 1 n 1 n + 1 1 n + 2 · · · 1 2n − 1 ∈ Sn(IR) . Q7. Un calcul classique (peut-ˆetre pas tant que ¸ca en PC) donne, en posant U = ( u0 · · · un−1 )⊤, U ⊤HU = n−1 i=0 n−1 j=0 hi,juiuj = i,j ϕ(Xi, Xj) uiuj . Q8. L’appartenance de H à Sn(IR) est immédiate. Si on poursuit le calcul obtenu en Q7., on note que, par bilinéarité de ϕ, U ⊤HU = n−1 i=0 n−1 j=0 ϕ(uiXi, ujXj) = ϕ n−1 i=0 uiXi , n−1 j=0 ujXj = ϕ(PU, PU) en introduisant le polynˆome PU = n−1 i=0 uiXi ∈ IRn−1[X]. Si λ est une valeur propre de H, si U = ( u0 · · · un−1 )⊤ est un vecteur propre associé, on a alors HU = λU, puis U ⊤HU = λ U ⊤U = λ ∥U∥2 = ϕ(PU, PU) > 0 puisque PU n’est alors pas le polynˆome nul, donc λ = ϕ(PU, PU) ∥U∥2 > 0. I.C. Rayon spectral Q.9. Si A est nilpotente, alors sp(A) = {0}. En effet, la matrice A ne peut ˆetre inversible puisque Ap = 0n, donc 0 ∈ sp(A), et sp(A) ̸= ∅. D’autre part, si un réel λ appartient à sp(A), si X ∈ Mn,1(IR) est un vecteur propre associé, on a X ̸= 0 et ApX = λpX = 0 donc λp = 0 puis λ = 0, ce qui prouve que sp(A) ⊂ {0}. Donc ρ(A) = 0. Q10. L’ensemble C est la sphère de centre 0 et de rayon 1 pour la norme euclidienne canonique sur Mn,1(IR), et il est inscrit dans le programme que toute sphère est une partie fermée. Q11. L’application ϕ : Mn,1(IR) → IR U → |U ⊤AU| est continue. En effet, l’application α : U → AU est continue car c’est un endomorphisme de l’espace vectoriel de dimension finie Mn,1(IR), l’application β : (U, V ) → U ⊤V = (U|V ) est continue car c’est une forme bilinéaire sur l’espace de dimension finie Mn,1(IR), enfin la valeur absolue v : x → |x| est continue sur IR, donc ϕ : U → v β U, α(U) est continue par composition. D’après le théorème des bornes atteintes, elle admet donc un maximum sur la partie fermée bornée C de Mn,1(IR). Q12. En supposant toujours sp(A) ̸= ∅, il existe une valeur propre réelle de A telle que |λ| = ρ(A), soit U un vecteur propre unitaire associé à cette valeur propre. Alors U ∈ C et AU = U, puis U ⊤AU = λ U ⊤U = λ et |U ⊤AU| = ρ(A), donc ρ(A) ≤ max U∈C |U ⊤AU|. I.D. Rayon spectral d’une matrice symétrique Q.13. Si A est symétrique réelle, elle est orthodiagonalisable: A = PDP ⊤ avec P ∈ On(IR) et D = diag(λ1, · · · , λn) diagonale réelle. Alors ρ(A) = max 1≤i≤n |λi| et, pour tout U ∈ C, on a U ⊤AU = U ⊤PDP ⊤U = V ⊤DV en posant V = P ⊤U. Comme PP ⊤ = In, on déduit V ⊤V = U ⊤PP ⊤U = U ⊤U = 1 donc V ∈ C et, si on pose V = ( v1 · · · vn )⊤, alors |U ⊤AU| = |V ⊤DV | = n i=1 λiv2 i ≤ n i=1 |λi|v2 i ≤ ρ(A) · n i=1 v2 i = ρ(A) · V ⊤V = ρ(A) . Donc max U∈C |U ⊤AU| ≤ ρ(A), puis l’égalité grˆace à Q12. Q14. Si sp(A) ⊂ IR+, en reprenant les notations introduites dans la question précédente, alors U ⊤AU = V ⊤DV = n i=1 λiv2 i ≥ 0 puisque les λi sont positifs. Donc |U ⊤AU| = U ⊤AU et max U∈C(U ⊤AU) = ρ(A). Q15. On a bien ρ(A) ∈ IR+ pour tout A ∈ Sn(IR). Ensuite, ρ(A) = 0 ⇐⇒ max λ∈sp(A) |λ| = 0 ⇐⇒ sp(A) = {0}, ce qui équivaut à A = 0n puisque A est diagonalisable, d’ou l’axiome de séparation. Si A ∈ Sn(IR) et α ∈ IR, alors sp(αA) = α sp(A) = αλ ; λ ∈ sp(A) , donc ρ(αA) = max λ∈sp(A) |α| |λ| = |α| · max λ∈sp(A) |λ| = |α| ρ(A) , d’ou l’homogénéité. Soient A et B dans Sn(IR). Alors, pour tout C ∈ U, on a U ⊤(A + B)U = U ⊤AU + U ⊤BU ≤ |U ⊤AU| + |U ⊤BU| ≤ ρ(A) + ρ(B) . Cette majoration étant valable pour tout U ∈ C, on déduit que ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) grˆace à Q13., soit l’inégalité triangulaire. Donc ρ est une norme sur l’espace vectoriel Sn(IR). II. Matrices de covariance II.A. Q16. La matrice ΣY est symétrique puisque σj,i = cov(Yj, Yi) = cov(Yi, Yj) = σi,j. De plus, σi,j = cov(Yi, Yj) = E Yi − E(Yi) Yj − E(Yj) est l’espérance de la variable aléatoire réelle Yi − E(Yi) Yj − E(Yj) , qui est bien le coefficient d’indices (i, j) de la matrice aléatoire Y − E(Y ) Y − E(Y ) ⊤, ce que l’on peut écrire ΣY = E Y − E(Y ) Y − E(Y ) ⊤ . Si U = ( u1 · · · un )⊤ ∈ Mn,1(IR) est un vecteur constant, pour (i, j) ∈ [[1, n]]2, le coefficient d’indices (i, j) de ΣY +U est, par bilinéarité de la covariance, cov(Yi + ui, Yj + uj) = cov(Yi, Yj) + cov(Yi, uj) + cov(ui, Yj) + cov(ui, uj) = σi,j puisque la covariance de deux variables aléatoires réelles, dont une est constante, est nulle. Ainsi, ΣY +U = ΣY . Q17. Posons Z(ω) = Z1(ω) ... Zp(ω) pour tout ω ∈ Ω, et M = (mi,j)1≤i≤p,1≤j≤n. Les variables aléatoires réelles Z1, · · ·, Zp sont combinaisons linéaires des Yj, plus précisément Zi = n j=1 mi,jYj pour tout i ∈ [[1, p]]. Par linéarité de l’espérance, chaque Zi est d’espérance finie et E(Zi) = n j=1 mi,jE(Yj), soit matriciellement E(Z) = M · E(Y ). Les variables aléatoires réelles Yj ont un moment d’ordre deux fini (i.e. “admettent une variance”), on sait donc (mˆeme si les programmes n’ont jamais été très explicites sur ce point) qu’il en est de mˆeme de toute combinaison linéaire de ces variables (cela résulte notamment de l’inégalité usuelle |ab| ≤ 1 2(a2 + b2), et cette mˆeme inégalité entraˆıne aussi l’existence des covariances), donc cov(Zi, Zj) existe bien pour tout couple (i, j) ∈ [[1, p]]2 puis, par bilinéarité de la covariance, cov(Zi, Zj) = cov n k=1 mi,kYk , n l=1 mj,lYl = n k=1 n l=1 mi,k σk,l mj,l . On reconnaˆıt l’écriture du coefficient d’indices (i, j) de la matrice produit M ΣY M ⊤. Donc ΣZ = M ΣY M ⊤. II.B. Propriétés des valeurs propres Q18. L’orthodiagonalisation de la matrice symétrique ΣY s’écrit ΣY = PDP ⊤, ou la matrice diagonale D = (λ1, · · · , λn) porte les valeurs propres de ΣY . Comme P est orthogonale, on a D = P ⊤ ΣY P = ΣX d’après Q17. Donc ΣX = D est diagonale. Q19. Les matrices ΣY et ΣX sont semblables, donc ont les mˆemes valeurs propres. Or, les valeurs propres de la matrice diagonale ΣX sont ses coefficients diagonaux λi (1 ≤ i ≤ n), qui sont les variances V(Xi), donc qui sont positifs. Ainsi, sp(ΣY ) ⊂ IR+. Q20. Les matrices ΣX et ΣY sont semblables, donc ont la mˆeme trace. Donc les vecteurs aléatoires X et Y ont la mˆeme variance totale: VT (X) = tr(ΣX) = tr(ΣY ) = VT (Y ) . II.C. Étude de la réciproque Q21. Il suffit de considérer n variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes Z1, · · ·, Zn, de variances respectives λ1, · · ·, λn, par exemple des variables de Poisson de paramètres λi (ou une variable aléatoire constante si λi = 0). On a alors ΣZ = D = diag(λ1, · · · , λn). Doit-on véritablement “démontrer l’existence” de telles variables aléatoires qui soient mutuel- lement indépendantes ? Q22. On orthodiagonalise A, soit A = PDP ⊤ avec P ∈ On(IR) et D = diag(λ1, · · · , λn), les λi étant positifs. D’après Q21., il existe un vecteur aléatoire Z à valeurs dans Mn,1(IR) tel que ΣZ = D. Le vecteur aléatoire Y = PZ vérifie alors ΣY = P ΣZ P ⊤ = PDP ⊤ = A. II.D. Q23. X est une variable aléatoire réelle, X = n i=1 uiYi en posant Y = Y1 ... Yn . Donc X est une combinaison linéaire de variables aléatoires réelles admettant une variance, elle admet donc aussi une variance et V(X) = cov n i=1 uiYi , n j=1 ujYj = n i=1 n j=1 uiuj cov(Yi, Yj) = U ⊤ ΣY U . Remarque. Avec les mˆemes notations, E(X) = U ⊤E(Y ). En effet, par linéarité de l’espérance, E(X) = E n i=1 uiYi = n i=1 ui E(Yi) = U|E(Y ) = U ⊤E(Y ) , on s’en servira en Q27. II.E. Image de ΣY Q24. Si r = n, c’est trivial puisqu’alors Im(ΣY ) = Mn,1(IR), donc Y − E(Y ) ∈ Im ΣY est l’événement certain. Q25. C’est une propriété générale des matrices symétriques réelles. Si S ∈ Sn(IR), alors les sous- espaces Ker(S) et Im(S) sont orthogonaux: si V ∈ Im(S) et W ∈ Ker(S), soit U ∈ Mn,1(IR) tel que V = SU, alors (V |W) = (SU|W) = (U|S⊤W) = (U|SW) = 0. Cela entraˆıne clas- siquement que ces deux sous-espaces sont en somme directe, soit Ker(S) ∩ Im(S) = {0}. Enfin, le théorème du rang permet de conclure qu’ils sont supplémentaires, soit Mn,1(IR) = Ker(S) ⊕ Im(S). Q26. Introduisons le vecteur constant U = E(Y ), alors d’après Q23., pour tout j ∈ [[1, d]], V V ⊤ j Y − E(Y ) = V V ⊤ j (Y − U) = V ⊤ j ΣY −UVj = V ⊤ j ΣY Vj en utilisant la fin de Q16. Enfin, Vj ∈ Ker(ΣY ) donc ΣY Vj = 0 et V V ⊤ j Y −E(Y ) = 0. Q27. La variable aléatoire réelle V ⊤ j Y − E(Y ) , de variance nulle, est donc presque sˆurement constante. Mais son espérance est nulle d’après la remarque à la fin de Q23. puisque E V ⊤ j Y − E(Y ) = V ⊤ j · E Y − E(Y ) = V ⊤ j · 0 = 0 . Cette variable aléatoire est donc presque sˆurement nulle. Q28. En utilisant Q25., on observe que Y − E(Y ) ∈ Im ΣY = Y − E(Y ) ∈ (Ker ΣY )⊥ = d j=1 V ⊤ j Y − E(Y ) = 0 . Or, il résulte de la sous-additivité d’une probabilité qu’une réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables (i.e. de probabilité nulle) est encore négligeable et, par passage à l’événement contraire, on déduit que toute intersection finie ou dénombrable d’événements presque sˆurs est encore presque sˆure. Donc P Y − E(Y ) ∈ Im ΣY = 1 . III. Maximisation de la variance III.A. Un exemple dans M3,1(IR) Q29. Soit Y = Y1 Y2 Y3 , ou Y1, Y2, Y3 sont trois variables aléatoires réelles mutuellement indépen- dantes, de variances respectives 9, 5 et 4. Alors ΣY = A2. On peut aussi se contenter d’invoquer Q21. Q30. Pour tout U ∈ C, on a qY (U) = U ⊤ ΣY U = U ⊤A2U d’après Q23. Comme A2 est symétrique à valeurs propres positives, il résulte alors de Q14. que max U∈C qY (U) = ρ(A2) = max sp(A2) = 9 . III.B. Cas général Q31. Comme ΣY est symétrique à valeurs propres positives, il résulte de Q14. toujours que qY (U) = U ⊤ΣY U = |U ⊤ΣY U| pour tout U ∈ C, l’existence d’un maximum de qY sur C est donc précisément la question Q11. De Q14., on déduit que max U∈C qY (U) = ρ(ΣY ) = max sp(ΣY ) . Comme en Q12., si λ est la plus grande valeur propre de ΣY (ici, elles sont toutes réelles positives), si U0 ∈ C est un vecteur propre associé, alors qY (U0) = λ = ρ(ΣY ) = max U∈C qY (U), soit max U∈C V(U ⊤Y ) = V(U ⊤ 0 Y ) . III.C. Étude d’un exemple Q32. Par une inégalité de Cauchy-Schwarz (celle qui permet d’affirmer qu’un coefficient de corrélation est toujours dans [−1, 1], et qui résulte du fait que la covariance est une forme bilinéaire symétrique positive sur L2(Ω, B, P)), on doit avoir cov(Y1, Y2)2 ≤ V(Y1)V(Y2), soit σ2 1,2 ≤ σ1,1 σ2,2, soit ici σ4γ2 ≤ σ4, ce qui entraˆıne γ2 ≤ 1, puis γ ≤ 1. On a facilement ΣY = σ2 γJ + (1 − γ)In . Q33. La matrice J est symétrique donc diagonalisable, elle est de rang 1 donc elle admet 0 comme valeur propre avec un sous-espace propre E0(J) = Ker(J) de dimension n − 1 par le théorème du rang. Enfin, sa trace est n, donc n est valeur propre, le sous-espace propre associé étant de dimension 1, et sp(J) = {0, n}. En posant V = ( 1 · · · 1 )⊤, on a JV = nV , donc V est un vecteur propre de J associé à sa valeur propre de module maximal, à savoir n. Q34. Si A ∈ Mn(IR), et si a et b sont deux réels, on montre facilement que sp(a A + b In) = aλ + b ; λ ∈ sp(A) . L’expression de ΣY obtenue en Q32. et l’étude du spectre de J faite en Q33. montrent alors que sp(ΣY ) = σ2(1 − γ) , σ2 1 + (n − 1)γ . Donc ρ(ΣY ) = max sp(ΣY ) = σ2 1 + (n − 1)γ . D’après Q31., pour maximiser qY sur C, on prend un vecteur propre unitaire de ΣY associé à la valeur propre maximale ρ(ΣY ), et l’expression de ΣY en fonction de J nous montre qu’il suffit pour cela de prendre un vecteur propre unitaire de J associé à sa valeur propre maximale n. En prenant U0 = 1 √n V = 1 √n 1 ... 1 , on a un vecteur U0 ∈ C tel que qY (U0) = max U∈C qY (U), ce que l’on recherchait. Q35. D’après Q31., on a V(Z) = V(U ⊤ 0 Y ) = ρ(ΣY ) = σ2 1 + (n − 1)γ , alors que VT (Y ) = tr(ΣY ) = n σ2 , donc V(Z) VT (Y ) = 1 + (n − 1)γ n = 1 − (1 − γ) 1 − 1 n . III.D. Q36. L’application qY : U → U ⊤ΣY U est toujours continue sur Mn,1(IR), et la partie C′ est bornée car incluse dans C, fermée comme intersection de deux fermés puisque C′ = C ∩ Vect(U0) ⊥, non vide car il existe dans l’hyperplan Vect(U0) ⊥ des vecteurs unitaires. Donc qY admet un maximum sur C′ par le théorème des bornes atteintes. Q37. Soit B = (E1, · · · , En) une base orthonormale de vecteurs propres de ΣY , associés respec- tivement aux valeurs propres λ1, · · ·, λn. Soit U ∈ C, décomposons-le dans cette base: U = n i=1 uiEi, on a alors 1 = U ⊤U = ∥U∥2 = n i=1 u2 i puisque la base B est orthonormale. D’autre part, qY (U) = V(U ⊤Y ) = U ⊤ΣY U = n i=1 n j=1 uiujE⊤ i ΣY Ej = n i=1 λiu2 i puisque ΣY Ej = λjEj et que E⊤ i Ej = δi,j (symbole de Kronecker). Avec cette écriture, on retrouve que qY (U) ≤ λ1 n i=1 u2 i = λ1 = ρ(ΣY ), et que cette valeur est atteinte si et seule- ment si n i=2 (λ1−λi)u2 i = 0, donc si et seulement si ui = 0 pour i ∈ [[2, n]] (puisqu’une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul). Donc max U∈C qY (U) = λ1, et cette valeur maximale est atteinte uniquement si le vecteur unitaire U vaut E1 ou −E1, le vecteur U0 de l’énoncé (qui doit appartenir à C mˆeme si ce n’est pas précisé) est donc nécessairement un de ces deux vecteurs. Ensuite, Vect(U0) ⊥ est l’hyperplan H = Vect(E2, · · · , En), et un calcul analogue à celui qui précède montre que max U∈C′ qY (U) = max U∈C ∩ H qY (U) = λ2 et que cette valeur est atteinte en prenant U = U1 = ±E2 (et seulement pour ces deux vecteurs). Q38. Si A et B sont deux variables aléatoires réelles admettant un moment d’ordre deux, on a V(A + B) = V(A) + 2 cov(A, B) + V(B) et V(A − B) = V(A) − 2 cov(A, B) + V(B) , donc cov(A, B) = 1 4 V(A + B) − V(A − B) (identité de polarisation). Comme U0 et U1 sont des vecteurs propres unitaires de ΣY associés respectivement aux valeurs propres λ1 et λ2, et que ces deux vecteurs sont orthogonaux, on a U ⊤ 0 ΣY U1 = U ⊤ 1 ΣY U0 = 0, puis U ⊤ 0 ΣY U0 = λ1, U ⊤ 1 ΣY U1 = λ2, et finalement cov(U ⊤ 0 Y, U ⊤ 1 Y ) = 1 4 V (U0 + U1)⊤Y − V (U0 − U1)⊤Y = 1 4 (U0 + U1)⊤ΣY (U0 + U1) − (U0 − U1)⊤ΣY (U0 − U1) = 1 4 (λ1 + λ2) − (λ1 + λ2) = 0 , les variables U ⊤ 0 Y et U ⊤ 1 Y sont donc décorrélées.