OpenSup

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE CONCOURS D’ADMISSION 2017 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE – C – (U) (Durée : 6 heures) L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans docu- ment d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Le sujet comprend 15 pages numérotées de 1 à 15 ⋆ ⋆ ⋆ Ondes de surface Les vagues à la surface d’un liquide constituent un exemple de la vie courante permettant d’illustrer le concept d’ondes dans toute sa richesse. Dans une première partie, on introduit le sujet, en étudiant les oscillations d’un volume de fluide. Dans une seconde partie, on met en évidence des propriétés carac- téristiques de la propagation des vagues, en régime d’eau profonde puis en régime d’eau peu profonde. Enfin dans une dernière partie, on considère un mécanisme d’interaction non-linéaire entre ondes, éta- bli d’abord sur une exemple tiré de l’optique non-linéaire, puis appliqué aux cas des ondes de surface. Sauf indication particulière, pour le cas des vagues, le fluide considéré est de l’eau de masse volumique ρ = 1000 kg.m−3, en écoulement incompressible et les effets de dissipation visqueuse sont négligés. La surface libre du fluide est en contact avec l’atmosphère qui est à la pression atmosphérique uniforme P0. Les échelles considérées par la suite sont suffisamment petites pour prendre le champ de gravitation à la surface de la terre uniforme et égal à ⃗g = −g ⃗ez avec g = 9,81 m.s−2. Les différentes parties sont indépendantes. Lorsque des applications numériques sont demandées, il convient de donner un résultat numérique avec trois chiffres significatifs. 1 Formulaire Pour une grandeur X on notera sa valeur moyenne dans l’espace et le temps par ⟨X⟩. Au cours de l’épreuve on considère des champs d’ondes pouvant s’écrire comme une somme d’ondes planes propagatives monochromatiques, dont une composante peut s’écrire sous la forme : ζ(M,t) = A cos ωt − −→k · −−→ OM + ψA + B cos ωt + −→k · −−→ OM + ψB On note ω la pulsation de l’onde, reliée à la fréquence f par ω = 2π f. −→k est le vecteur d’onde, dont la norme k = ∥−→k ∥ est appelée nombre d’onde. Le nombre d’onde k est relié à la longueur d’onde λ par la relation k = 2π λ . On pourra être amené à utiliser le formalisme complexe avec i2 = −1 : ζ(M,t) = Re(Z(M,t)) = Re A exp i ωt − −→k · −−→ OM + B exp i ωt + −→k · −−→ OM Quelques constantes utiles : Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,00 108 m.s−1 Permittivité du vide ϵ0 = 8,85 10−12 F.m−1 Accélération de la pesanteur à la surface terrestre g = 9,81 m.s−2 Masse volumique de l’eau ρ = 1000 kg.m−3 Coefficient de tension de surface de l’eau avec l’air γ = 72 mN.m−1 Relations utiles : cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos2 x = 1 + cos 2x 2 , sin2 x = 1 − cos 2x 2 , sin 2x = 2 sin x cos x 2π 0 sin2(n x) dx = 2π 0 cos2(n x) dx = π avec n entier non nul. Fonction cosinus hyperbolique : cosh x = ex + e−x 2 Fonction sinus hyperbolique : sinh x = ex − e−x 2 Fonction tangente hyperbolique : tanh x = sinh x cosh x Analyse vectorielle : −→ rot −−→ grad φ = −→0 , div −→ rot−→ A = 0 div φ −→ A = φ div−→ A + −−→ grad φ · −→ A L’opérateur Laplacien scalaire est défini par : ∆φ = div −−→ grad φ L’opérateur Laplacien vectoriel est défini par : ∆−→ A = −−→ grad div−→ A − −→ rot −→ rot−→ A En coordonnées cartésiennes de repère Oxyz : ∆φ = ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 + ∂2φ ∂z2 ∆−→ A = ∆Ax−→ ex + ∆Ay−→ ey + ∆Az−→ ez En coordonnées cylindriques de repère Orθz : ∆φ = ∂2φ ∂r2 + 1 r ∂φ ∂r + 1 r2 ∂2φ ∂θ2 + ∂2φ ∂z2 = 1 r ∂ ∂r r ∂φ ∂r + 1 r2 ∂2φ ∂θ2 + ∂2φ ∂z2 2 1 Oscillations d’un volume de fluide Les ondes mécaniques résultent d’une compétition entre l’inertie et une force de rappel. Mais dans le cas des vagues deux forces de rappel sont à considérer : à grande échelle, les forces de gravité et à petite échelle les forces de tension de surface (capillarité). Pour introduire ces deux phénomènes, on considère ici les oscillations d’un volume fini de liquide, qui peuvent être vues comme une onde stationnaire. 1.1 Oscillations d’un liquide dans un tube en U sous l’effet de la gravité. Dans cette sous-partie la capillarité est négligée et la surface du liquide dans le tube est considérée horizontale. Soit un tube en U de section S uniforme le long du tube, rempli avec un volume d’eau V = S L, avec L une longueur, (voir Fig. 1 gauche). Les frottements avec les parois du tube sont négligés. A l’équilibre, la surface libre du liquide, repérée par la variable η est à l’altitude z = 0, dans la partie gauche du tube. On suppose qu’à t = 0, on a porté cette surface à l’altitude z = η0 sans vitesse initiale du côté gauche. Pour y parvenir , on peut par exemple imposer initialement une dépression avec une pompe à vide reliée à l’extrémité gauche du tube, puis débrancher la pompe, de sorte que les deux côtés du tube soient en contact avec l’atmosphère. 1.1.1 Détermination de la pulsation propre du système. Oz g Figure 1 – À gauche. Oscillations d’un volume de fluide dans un tube de verre en U. À droite. Illus- trations tirées de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica d’Isaac Newton, traduction de Madame la Marquise du Chastellet Paris, 1759. « Du mouvement des corps ». Livre Second. Section 8. « De la propagation du mouvement dans les fluides ». Q1. Décrire qualitativement et brièvement le mouvement ultérieur du liquide dans la partie gauche du tube sous l’action des forces de gravité. Q2. Quelles sont les conséquences de la conservation du volume du fluide contenu dans tout le tube ? En déduire la forme du champ de vitesse dans la partie gauche du tube. Q3. On considère le système formé par le volume V de liquide. On considère qu’au temps t, la surface libre est à l’altitude z = η, dans la partie gauche du tube. Exprimer l’énergie cinétique Ec du volume de fluide. Q4. Exprimer l’énergie potentielle de gravité Eg du volume V de fluide. Q5. Sachant que la dissipation (forces de frottement) est négligée, en déduire l’équation différentielle vérifiée par η et donner sa solution en tenant compte de la condition initiale. 3 Q6. En déduire que la pulsation propre du volume V de fluide s’écrit ω2 = 2g L Application numérique : Donner la valeur de la période des oscillations pour L = 2 m. Q7. Est-ce que l’expérience correspondante vous paraît réalisable ? Quels seraient les effets physiques supplémentaires à prendre en compte et leurs conséquences ? 1.1.2 Approche historique des vagues de gravité par Newton. Historiquement, les oscillations d’un liquide dans un tube en U, furent introduites par Isaac Newton dans les Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (souvent abrégés « Principia ») et constituent le premier modèle d’oscillations en mécanique des fluides. En effet à la proposition XLIV. théorème XXXV, Newton écrit : Si de l’eau descend et monte alternativement dans les branches KL, MN d’un canal ; et qu’on ait un pendule dont la longueur entre le point de suspension et le centre d’oscillation soit égale à la moitié de la longueur de la colonne d’eau qui est dans le canal : je dis que l’eau montera et descendra dans ce canal dans les mêmes temps dans lesquels ce pendule oscillera. (Voir Fig. 1 droite Fig. 51 et Fig. 52). Q8. Expliquer brièvement comment les résultats précédents justifient ce théorème de Newton. Q9. Newton en déduit pour les ondes de gravité la proposition XLV : La vitesse des ondes est en raison sous doublée de leur largeur, c’est à dire en termes plus modernes, que la vitesse des ondes est propor- tionnelle à la racine de leur longueur d’onde λ. En considérant sur la Fig . 1 à droite la courbe en bas Fig. 53 représentant une vague dans l’espace à un instant donné, il imagine que des tubes en U fictifs relient respectivement les points A et B et les points C et D (ces lettres n’ont pas de rapport avec celles de la Fig. 51 juste au-dessus). Pour de faibles amplitudes d’oscillation, on peut considérer que la longueur du tube en U fictif est égale à la moitié d’une longueur d’onde. Dans le cadre de ce modèle, quel est le temps nécessaire pour passer de la situation, où A est un maximum de la courbe et B un minimum à la situation où A est un minimum et B un maximum ? Quelle est la vitesse de propagation correspondante et justifier la proposition de Newton. Q10. Quelle serait alors la relation de dispersion des ondes de gravité ? Dans la suite de l’épreuve nous montrerons que la relation de dispersion correcte est ω = √g k. En effet comme le remarque Newton : Cela est ainsi dans l’hypothèse que toutes les parties de l’eau montent et descendent en ligne droite ; mais cette ascension et cette descension se font plutôt par des cercles, ainsi par cette Proposition le temps n’est déterminé qu’à peu près. 1.2 Oscillations d’une goutte. 1.2.1 Introduction à la capillarité. Les forces de tension de surface traduisent macroscopiquement l’action des forces attractives entre les molécules composant le fluide. Comme les forces de cohésion de la matière sont à très courte portée, au coeur du liquide la somme de ces forces se moyenne à zéro, en revanche à la surface elles vont agir en attirant tout point de la surface vers le centre, en supposant que la surface est en contact avec de l’air ou du vide. Il en résulte qu’augmenter la surface du liquide coûte de l’énergie. La tension de surface contrôle ainsi la forme des interfaces liquides. L’ensemble des phénomènes liés à la tension de surface se nomme historiquement capillarité, de capillus le cheveu en latin, car ses effets s’observent sur des échelles de lon- gueur de l’ordre du millimètre, comme par exemple pour des liquides contenus dans un tube dit capillaire, fin comme un cheveu. Le travail élémentaire δW, à fournir pour accroître l’aire de la surface de δA, s’écrit δW = γ δA, où γ est la tension de surface. On en déduit qu’on peut associer à une interface eau/air de surface S une énergie potentielle de capillarité ET = γ S. 4 Q11. Soit une goutte d’eau sphérique de rayon R. Pourquoi qualitativement lorsque la capillarité domine par rapport à la gravité, la forme d’équilibre de la goutte est une sphère ? Q12. On cherche à déterminer sous quelle condition sur le rayon la gravité est effectivement négligeable par rapport à la capillarité. Pour y répondre, exprimer l’énergie potentielle de capillarité ET et l’énergie potentielle de gravité Eg, d’une goutte sphérique soumise à son propre poids. On suppose que la goutte est en contact avec un support horizontal (appelé par la suite substrat) et que le contact se fait sur une surface assimilable à un point. Ce point sera pris comme référence dans le calcul de Eg. On pourra utiliser les coordonnées sphériques de centre celui de la goutte. On rappelle que le volume élémentaire en coordonnées sphériques s’écrit : dτ = r2 sin θdr dθdφ. Q13. En déduire un rayon critique, dont on donnera l’expression en fonction de la longueur capillaire Lc = γ ρ g . 1.2.2 Modes de vibration d’une goutte cylindrique. Pour étudier les oscillations d’une goutte uniquement dues à la capillarité, on considère le cas d’une goutte cylindrique, formant une flaque sur un substrat horizontal, de rayon R0 au repos et d’épaisseur h. En faisant vibrer verticalement ce substrat, il est possible d’exciter des modes propres d’oscillations de la goutte, correspondant à des vibrations du rayon du cylindre (voir Fig. 2). On suppose ainsi que le rayon de la goutte peut s’écrire R(t,θ) = R1(t) + an(t) cos(nθ) Avec an ≪ R0, n ≥ 2 et en supposant que l’épaisseur de la goutte h reste constante. Nous verrons par la suite que la fonction que la fonction an(t) est une fonction sinusoïdale du temps et de fréquence fn dépendant du mode d’indice n sélectionné. On peut montrer dans ces conditions, que les aires des faces supérieure et inférieure ne changent pas au cours de l’oscillation, tandis que l’aire de la face latérale varie. O θ r M O r z 2 R h Vue de dessus Vue de côté Figure 2 – Schéma des oscillations d’une goutte cylindrique vibrée verticalement pour le cas n = 7. Les photographies illustrent l’observation expérimentale de ces modes propres d’oscillations d’une goutte d’un liquide noir opaque de volume 1 mL, pour différentes valeurs de n (Crédit Timothée Jamin). Q14. En exprimant la conservation du volume de la goutte, écrire R1(t) en fonction de R0 et de an, pour an ≪ R0. 5 Q15. Montrer que la variation élémentaire de longueur le long de la surface latérale de la goutte, s’écrit : dl = R 1 + 1 R2 ∂R ∂θ 2 dθ Q16. En déduire la variation de la surface latérale en fonction de n et de an, toujours avec l’hypothèse an ≪ R0. Montrer que la variation correspondante d’énergie capillaire ET s’écrit : ET = γπha2 n(n2 − 1) 2R0 (1) Pour calculer l’énergie cinétique, il faut déterminer l’écoulement du fluide dans la goutte au cours de la vibration. Sachant que les frottements visqueux sont négligés, on suppose que l’écoulement est irrotation- nel et que le champ de vitesse dérive d’un potentiel φ, tel que −→v (r,θ,t) = −−−→ grad φ(r,θ,t). Q17. Justifier que φ vérifie une équation de Laplace, ∆φ = 0. Q18. On cherche des solutions de la forme φ = bn(r,t) cos(nθ). Montrer qu’une solution de l’équation de Laplace précédente est obtenue en prenant, bn(r,t) = cn(t) rn. Q19. Quelle est la condition à la limite pour la vitesse radiale en r = R ? Au premier ordre en an, exprimer φ(r,θ,t) en fonction de an(t). Q20. Donner l’expression de l’énergie cinétique de la goutte en vibration Ec sous la forme d’une intégrale faisant intervenir φ. Q21. Justifier que −−→ grad φ 2 = div φ −−→ grad φ . Le théorème de Green-Ostrogradsky indique que pour une fonction vectorielle −→ A dépendant des coordon- nées d’espace, l’intégrale triple de la divergence de −→ A sur le volume fini V est égale à l’intégrale double du flux de −→ A sur la surface fermée S délimitant ce volume : V div(−→ A)dτ = S −→ A · −→ dS Q22. En déduire que l’énergie cinétique de la goutte s’écrit : Ec = ρπhR0 2 2n dan dt 2 (2) Q23. Sachant que les frottements de la goutte avec le substrat le supportant et que la dissipation visqueuse sont négligés, donner l’équation du mouvement de la goutte et trouver l’expression des pulsations propres de la goutte pour le mode d’indice n : ω2 n = γ n(n2 − 1) ρ R0 3 (3) Q24. Application numérique : Donner la valeur des fréquences propres pour n = 3 et n = 7, pour une goutte d’eau de rayon R0 = 0,5 cm. Q25. Ces vibrations latérales de la goutte peuvent être vues comme une onde stationnaire le long du périmètre du cylindre, dont le nombre d’onde kn serait quantifié. Donner la relation de dispersion reliant ωn à kn. Q26. Comment se simplifie cette relation de dispersion lorsque la longueur d’onde est petite devant le périmètre de la goutte ? Ces modes de vibrations azimutaux d’une goutte peuvent facilement être observés lorsqu’une goutte dite en caléfaction lévite au dessus de sa vapeur. On peut placer par exemple une goutte d’eau sur une plaque chauffante à une température de l’ordre de 200˚C ou déposer une goutte d’azote liquide sur le sol à température ambiante. 6 2 Ondes de surface. Les vagues sont des ondes résultant de l’élévation de la surface libre d’un liquide. A la surface des océans, elles sont généralement produites par l’action du vent. Dans cette partie, nous allons établir les principes généraux relatifs à leur propagation. A partir de cette partie, on considère des ondes planes progressives, la déformation de la surface libre s’écrivant au point M pour une onde d’amplitude a, de pulsation ω et de vecteur d’onde −→k : η(M,t) = a cos(ωt − −→k · −−→ OM) 2.1 Vagues en régime d’eau profonde. Il s’agit du cas où la longueur d’onde λ des vagues est petite devant la profondeur d’eau h. Le fond n’est ainsi pas « senti » par les vagues et la variable h n’intervient donc pas dans ce régime. 2.1.1 Cinématique Lorsque les vagues sont d’amplitude modérée, elles peuvent être considérées comme des ondulations régulières de la surface dont on peut faire l’analyse dans un plan vertical parallèle à la direction de propagation des vagues. Ce plan sera ici le plan Oxz avec l’axe Ox la direction de propagation des vagues et l’axe Oz l’axe vertical dirigé vers le haut (voir Fig. 3). O z x Eau Atmosphère P Trajectoire d'une particule de fluide P (xP , zP) Direction de propagation des vagues η(x,t) Figure 3 – Propagation des vagues à la surface de l’eau. Les particules de fluide ont une trajectoire circulaire. La trajectoire représentée n’est pas à l’échelle. On cherche tout d’abord à déterminer le champ de vitesse sous-jacent dans l’eau sous la vague dans le plan Oxz. Sachant que les frottements visqueux sont négligés, on suppose que l’écoulement est irrotationnel et que le champ de vitesse dérive d’un potentiel φ, tel que : −→v (x,z,t) = −−−→ grad φ(x,z,t) Comme montré à la question 17, φ vérifie une équation de Laplace, ∆φ = 0, avec ∆ l’opérateur Laplacien, pris ici en coordonnées cartésiennes. Q27. Sachant que η est une onde progressive selon Ox, on recherche φ sous la forme d’une onde progressive selon Ox. φ(M,t) = b f(z) cos(ωt − kx + ψ) Avec b l’amplitude du potentiel des vitesses φ, f(z) une fonction sans dimension de la variable z et ψ un éventuel déphasage. Montrer que f(z) vérifie une équation différentielle et la résoudre dans le domaine −∞ < z < 0 en prenant f(0) = 1. 7 Q28. A la surface libre, la condition aux limites dite cinématique s’écrit de manière générale : ∂η ∂t − ∂η ∂x · ∂φ ∂x z=η = −∂φ ∂z z=η (4) Justifier cette expression. Q29. Lorsque les vagues sont d’amplitude modérée, on peut négliger les termes non-linéaires. Montrer que ∂φ ∂z z=η ≈ ∂φ ∂z z=0 si k η ≪ 1. Simplifier alors la condition aux limites cinématique donnée par l’équation (4). Q30. En déduire les valeurs de b et de ψ et donner la nouvelle expression de φ. Q31. Dans ces conditions, pour une vague d’amplitude a, montrer que la trajectoire d’une particule fluide P(xP ,zP ) (située au voisinage du point M(x,z)) peut s’écrire en tout point du liquide en fonction des coordonnées x et z et du temps comme : xP = x + a exp(k z) sin(ω t − k x) (5) zP = z + a exp(k z) cos(ω t − k x) (6) Quel est donc la nature de la trajectoire d’une particule fluide P pour des vagues linéaires en eau profonde ? Justifier le sens de parcours. 2.1.2 Approche énergétique Les vagues résultent d’un transfert périodique entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du liquide qui est la somme d’une partie due à la gravité et d’une autre due à la capillarité. Q32. À partir des équations (5) et (6), exprimer la valeur du carré de la norme de la vitesse d’une particule fluide. En déduire l’énergie cinétique volumique ec d’une particule fluide de volume élémentaire dx dy dz. L’énergie cinétique par unité de surface d’une vague de longueur d’onde λ, Ec est définie par : Ec = 1 λ λ 0 dx η(x,t) −∞ dz ec(z) (7) Sachant de plus que k η ≪ 1, montrer que la moyenne de Ec sur l’espace et le temps s’écrit : ⟨Ec⟩ = ρ ω2 a2 4 k (8) Q33. On considère d’abord le cas des ondes de gravité, pertinent pour les grandes longueurs d’onde. Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur d’une particule fluide de volume élémentaire dx dy dz, située à une hauteur z. Cette densité volumique d’énergie potentielle est notée ep et dépend de la coordonnée verticale z. Montrer que la moyenne sur l’espace et le temps de l’énergie potentielle de gravité par unité de surface Eg associée à la propagation de la vague peut s’exprimer comme : ⟨Eg⟩ = ρ g a2 4 (9) On prendra comme origine de l’énergie potentielle de pesanteur l’altitude z = 0, correspondant au niveau de la surface libre d’eau en l’absence de vagues. 8 On cherche maintenant à exprimer l’énergie potentielle de capillarité due à la tension de surface pour une surface élémentaire dx dy. Comme expliqué dans la partie 1.2.1, l’énergie potentielle totale s’exprime comme le produit du coefficient de tension de surface γ et de l’extension de la surface libre S, ET = γS. On prend comme état de référence, l’interface eau-air horizontale en l’absence de vagues, η = 0. Q34. Montrer que la variation de surface en présence de vagues s’écrit : dS = 1 + ∂η(x,t) ∂x 2 − 1 dx dy Q35. Avec l’hypothèse k η ≪ 1, montrer que la moyenne sur le temps et l’espace de l’énergie potentielle de capillarité Ecap associée à la propagation des vagues par unité de surface horizontale, vaut en moyenne sur le temps et l’espace : ⟨Ecap⟩ = γ k2 a2 4 (10) Q36. Dans un mouvement oscillatoire dit harmonique, l’énergie potentielle et l’énergie cinétique, moyen- nées sur une période, sont égales. En faisant cette hypothèse démontrer la relation de dispersion des vagues de gravité-capillarité en eau profonde, ω en fonction de k. Q37. On cherche à montrer maintenant que les vagues transportent en moyenne une quantité de mou- vement non nulle par unité de surface horizontale, orientée selon leur direction de propagation, définie par : −→ P = η −∞ ρ vx dz −→ ex Démontrer qu’au second ordre en k η, on a en moyenne par rapport au temps : ⟨−→ P ⟩ = ρ cφ a2 k 2 −→ ex, avec cφ la vitesse de phase des vagues. Q38. Sachant qu’au même ordre d’approximation, l’énergie mécanique moyenne par unité de surface de la vague vaut ⟨Em⟩ = 2 ⟨Ec⟩ = ρ cφ a2 ω 2 , que dire sur la nature de la grandeur physique ρ cφ a2 2 . Connaissez vous une constante ayant la même dimension que cette grandeur dans un autre domaine de la physique ? 2.2 Vagues en régime d’eau peu profonde. Il s’agit du cas où la longueur d’onde des vagues est grande devant la profondeur d’eau h. Celle-ci a alors une incidence forte sur la propagation. La capillarité et la dissipation par viscosité sont négligées. On suppose que le fond est une paroi solide horizontale indéformable. On considère des ondes se propa- geant dans le plan Oxz de longueur d’onde λ ≫ h et de faible amplitude η ≪ h. On peut alors montrer que η(x,t) vérifie une équation de d’Alembert de célérité c = √g h : ∂2η ∂t2 − c2 ∂2η ∂x2 = 0 (11) h O x z η(x,t) g eau air Figure 4 – Propagation d’ondes de surface en eau peu profonde. Au repos, la couche d’eau a une épaisseur h (profondeur) et la surface libre est à l’altitude z = 0. 9 2.2.1 Effet d’une bathymétrie variable. Cas unidimensionnel. La bathymétrie est le relevé de la profondeur des océans. En régime d’eau peu profonde, nous allons montrer que les variations de bathymétrie influent sur la propagation des vagues. On suppose que la fréquence de la vague reste constante au cours de la propagation. On suppose désormais que la profondeur du fond est lentement variable par rapport à la longueur d’onde. On considère d’abord h comme une fonction de x. Q39. En faisant un bilan d’énergie en régime stationnaire pour une vague dont densité surfacique d’énergie vaut E et se propageant à la vitesse c selon l’axe Ox, démontrer qu’en tout point : d dx (cE) = 0 (12) Pour une onde sinusoïdale, en moyennant sur une période, les énergies cinétique et potentielle sont égales. En admettant que le calcul d’énergie potentielle de gravité donné par l’équation (9) reste valide, la densité surfacique d’énergie des vagues de gravité vaut ainsi : E = ρ g a2 2 (13) Q40. Soit en régime stationnaire un train de vagues en condition d’eau peu profonde se propageant sur la mer selon l’axe Ox et d’amplitude a0 en x = 0. Ces vagues arrivent sur une plage. On modélise la variation du fond marin au voisinage de la plage par une pente constante. Le fond marin vérifie alors l’équation suivante zf(x) = −h0 +tan(β) x, avec 0 < β ≪ 1 pour x > 0 . On observe que la fréquence des vagues reste conservée au cours de la propagation. Quelle est la conséquence sur longueur d’onde pour x > 0 ? Q41. Comment l’amplitude a de l’onde dépend de x ? Q42. Est-ce que le modèle utilisé ici, reste valable pour tout x ? Quelle hypothèse devient non valide ? D’après vous que devient la vague au bout de la plage ainsi que l’énergie qu’elle transporte. Proposer un schéma montrant la forme des vagues en fonction de x à un instant donné. 2.2.2 Effet d’une bathymétrie variable. Cas général. On considère la topographie variable du fond (bathymétrie) suivante représentée Fig. 5. Pour x < 0, la profondeur vaut h = h0 et pour x > 0, h = h1, avec h1 < h0. Soit une vague incidente se propageant dans le plan Oxy dans la direction des x croissants et dont le vecteur d’onde fait un angle α0 avec l’axe Ox. O x z y α0 Direction de la vague incidente h0 h1 Figure 5 – Propagation d’une vague en régime d’eau peu profonde au voisinage d’une marche submergée. Q43. En exprimant la continuité de la phase de l’onde en x = 0, donner la relation entre le nombre d’onde k0 (dans la zone de profondeur h0) et le nombre d’onde k1 (dans la zone de profondeur h1). En déduire que la vague est déviée et que son vecteur d’onde fait un angle α1 avec l’axe Ox . Proposer une analogie avec un autre domaine de la physique. 10 Pour modéliser la propagation de vagues en présence d’une bathymétrie plus complexe, mais dont les échelles de variation sont grandes devant la longueur d’onde de la vague, on adopte le modèle suivant. La bathymétrie ne dépend que de la coordonnée x (h est fonction seulement de x). On suppose que la propagation de la vague dans le plan Oxy peut être décrite par la courbe tangente en tout point au vecteur d’onde, d’équation yR fonction de x. Soit α(x) la valeur locale de l’angle entre −→k et l’axe horizontal Ox. On décompose la bathymétrie en une succession d’interfaces fictives entre x et x + dx. Q44. Montrer que k sin α est une quantité conservée qu’on appellera K. Q45. Justifier que dyR dx = k sin α k cos α. En déduire une expression de dyR dx dépendant seulement de k et de K. Q46. On modélise une plage par le profil de bathymétrie suivant : x < 0, h = h0 et pour x > 0, h = h0 xb − x xb 2 . Représenter schématiquement le profil du fond marin zf(x) dans le plan Oxz. Soit α0, la valeur de α dans la zone x < 0. En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer dyR dx en fonction de x, xb et α0 pour x > 0. Q47. On effectue le changement de variable suivant, ξ = 1 − x/xb et η = yR/xb. Montrer qu’on obtient l’équation différentielle suivante : dη dξ = − ξ sin α0 1 − (ξ sin α0)2 Q48. Intégrer l’équation précédente et montrer que yR(x) vérifie l’équation d’un cercle dont le centre se trouve sur la droite x = xb (la plage) et dont le rayon vaut xb/ sin(α0). Q49. On prend la trajectoire correspondant à yR(x = 0) = 0. La tracer sur un schéma, lorsque α0 = 30 ◦ et xb = 1000 m. Q50. Quelle est la direction des vagues pour une personne se trouvant sur la plage (hors de l’eau) ? Cet effet est généralisable pour un profil quelconque de plage, tant que les variations du fond se font sur une échelle grande devant la longueur d’onde et en régime d’eau peu profonde. Q51. En utilisant les résultats de la question précédente et ceux de la fin de la partie 2.2, commenter la photographie satellite représentée Fig. 6 (gauche). O x z R Rb Direction de la vague incidente h0 Figure 6 – À gauche, photographie satellite (Crédit Google Earth 2010) du champ de vagues au voisinage d’une côte sableuse. À droite, profil bathymétrique au voisinage d’une île de géométrie conique au milieu de l’océan. 11 De nombreuses îles isolées au milieu des océans sont des sommets émergés de volcans sous-marins. On assimile une telle île à un cône de rayon Rb au niveau de la surface libre se prolongeant au fond de l’océan de profondeur h0, pour donner un cône de rayon R > Rb sur le fond. Des vagues en régime d’eau peu profonde arrivent de x → −∞ avec −→ k0 parallèle à Ox. Q52. À partir des résultats précédents, représenter schématiquement l’allure des fronts d’ondes arrivant au voisinage d’une telle île . Q53. Si on ne peut plus considérer R grand devant λ, de quel phénomène supplémentaire devrait-on tenir compte et quel en serait la conséquence ? 3 Interactions non-linéaires entre ondes. Les résultats précédents ont établi la propagation linéaire d’une vague monochromatique. En général le champ de vagues résulte de la superposition d’une distribution d’ondes monochromatiques à différentes échelles. De manière générale en physique des ondes, lorsque l’équation d’onde est linéaire, les différentes composantes du champ de vagues évoluent indépendamment. En revanche, la présence d’une non-linéarité implique en principe un couplage entre les échelles et ainsi un phénomène d’interaction entre ondes. Nous allons aborder ce phénomène d’abord sur un exemple d’optique non-linéaire plus simple à traiter que le cas des vagues. 3.1 Addition de fréquences en optique non-linéaire ω1 ω2 ω1 ω2 ω3 Milieu non-linéaire L x Figure 7 – Principe de la génération de la fréquence somme en faisant interagir deux faisceaux mono- chromatiques dans un milieu optique non-linéaire. On envoie, en incidence normale, deux ondes lumineuses planes monochromatiques de pulsation ω1 et ω2 dans un milieu optique transparent d’indice optique n et se caractérisant par une réponse non-linéaire quadratique (de tels matériaux sont des cristaux dits non-centrosymétriques). L’indice optique de ce matériau est un nombre réel plus grand que 1, mais dépendant de la pulsation ω de façon monotone. On mesure à la sortie de cet objet de largeur L, la présence d’une onde à la pulsation ω3 = ω1 + ω2 de faible amplitude, en plus des ondes incidentes ω1 et ω2. On suppose dans la suite que l’onde 3 reste d’amplitude trop faible par rapport aux ondes 1 et 2 pour modifier significativement l’amplitude de ces dernières. On admet que la propagation dans ce milieu d’une onde électromagnétique se traduit localement par la présence d’une densité de courant −→j dans la direction du champ électrique −→ E associé à l’onde électro- magnétique sous la forme : −→j = ∂ ∂t ϵ0(n2(ω) − 1)E + ϵ0χE2 −→ E E Avec E = ∥−→ E ∥ et χ un coefficient de susceptibilité non-linéaire, quantifiant l’importance de la non- linéarité du matériau. On suppose que les 3 ondes conservent une structure d’onde plane au cours de leur propagation dans le milieu et que leurs polarisations restent rectilignes au cours de leur propagation, de telle sorte que −→ E /E = −→ ey en tout point. Les effets non-linéaires restent faibles et seront traités comme une petite perturbation autour des solutions linéaires. 12 Q54. À partir des équations de Maxwell, trouver l’équation aux dérivées partielles non-linéaire vérifiée par l’amplitude du champ électrique E, pour un milieu électriquement neutre : ∂2E ∂x2 − n2(ω) c2 ∂2E ∂t2 = χ c2 ∂2E2 ∂t2 Q55. On suppose que le champ électrique dans le matériau s’écrit en régime stationnaire comme une somme des trois ondes : E = 3 p=1 Ep = 3 p=1 Ap(x) exp(i(ωpt − kpx)) avec Ap l’amplitude de l’onde p évoluant sur des échelles d’espace grandes devant la longueur d’onde λp = 2π kp . Reporter dans l’équation d’onde précédente en ne considérant que 3 ondes. Est-ce que le système est fermé ? Justifier que les termes d2Ap dx2 sont négligeables. Q56. En ne considérant que la composante à la pulsation ω3, en déduire l’équation différentielle vérifiée par A3 : dA3 dx = −i χω2 3 k3 c2 A1 A2 exp(−i∆k x) ∆k = k1 + k2 − k3 est appelé l’écart à la résonance exacte. Pour quelle raison physique, n’a-t-on pas en général ∆k = 0 ? Q57. En déduire A3(L) à la sortie du matériau, sachant que A3(0) = 0. Q58. Justifier que l’intensité lumineuse à la pulsation ωp, s’écrit : Ip = 1 2 n(ωp) ϵ0 c ApA∗ p avec A∗ p le nombre complexe conjugué de Ap. Calculer A3A∗ 3 et simplifier l’expression en utilisant l’identité 1 − cos 2x 2 = sin2 x. Exprimer I3(L) en fonction, entre autres, des produits ∆k L et I1 I2. Q59. Représenter schématiquement la courbe I3 en fonction de ∆k. Citer un exemple physique, où l’on rencontre une répartition analogue de l’intensité lumineuse. Q60. Représenter schématiquement l’évolution de I3 en fonction de L, pour ∆k ̸= 0. Pour quelles valeurs de L, I3 est maximale à ∆k fixé ? L’ordre de grandeur du paramètre non linéaire est χ = 7 10−12 m/V. On utilise comme ondes sources deux faisceaux laser de longueurs d’onde dans le vide respectivement λ1 = 1300 nm et λ2 = 800 nm. On suppose que l’indice optique n du milieu non-linéaire peut s’écrire en fonction de la longueur d’onde λ dans le vide exprimée en nm : n(λ) = B + C/λ2, avec B = 1,5 et C = 5000 nm2. Q61. Application numérique : Donner les valeurs numérique correspondantes dans le milieu de k1, k2 et k3. Pour les indices optiques, on prendra trois chiffres significatifs pour n(λ) − B. En déduire la valeur de ∆k. Quelle est la valeur maximale de I3/(I1 I2), si L = 1 mm ? En déduire sous quelles conditions sur les faisceaux 1 et 2, on a bien I3 ≪ √I1 I2. Commenter. 13 La non-linéarité quadratique du milieu permet ainsi de générer une onde à la pulsation ω3 = ω1 + ω2. Néanmoins pour ∆k ̸= 0 l’amplitude de l’onde 3 reste faible et en moyennant sur une grande distance, on peut montrer qu’il n’y a pas de transfert effectif d’énergie des ondes 1 et 2 vers l’onde 3. En revanche pour ∆k = 0, on a un couplage important entre les trois ondes. On dit que les conditions de résonance sont satisfaites. Ce mécanisme dit d’interactions résonantes à 3 ondes, induit un couplage important entre ondes, permettant une amplification sélective de modes. En présence d’une non-linéarité quadratique, l’interaction d’une onde 1 avec une onde 2 engendre une onde 3, si les conditions dites de résonance sont vérifiées : −→ k1 + −→ k2 = −→ k3 (14) ω1 + ω2 = ω3 (15) 3.2 Interactions résonantes à trois ondes des vagues. En établissant les lois de la propagation linéaire des vagues dans la partie 2, nous avons vu que des non- linéarités quadratiques ont été négligées, en particulier dans le traitement de la condition à la surface libre Eq. (4). Des phénomènes d’interactions résonantes à 3 ondes sont donc a priori attendus dans le cas des vagues. Dans cette partie, comme le calcul des coefficients d’interaction est relativement complexe, on se limite à l’étude des conditions de résonance. Dans le plan Oxy, correspondant à la surface libre de liquide horizontale au repos, on considère des vagues satisfaisant la relation de dispersion linéaire en eau profonde : ω2 = g k + γ ρ k3 On génère le train de vagues 1 à la pulsation ω1 et le train de vagues 2 à la pulsation ω2. On suppose par la suite, que les fréquences sont choisies de sorte que la condition d’eau profonde k h ≫ 1 soit toujours vérifiée. Ces deux trains se croisent avec un angle α dans la zone d’observation et on étudie la création d’une onde 3 par le mécanisme à 3 ondes (voir Fig. 8). Onde 2 Onde 1 Zone d'interaction α M k1 k2 k1 k2 Figure 8 – Principe de l’interaction de deux trains d’ondes de surface. On étudie au point M la création d’une onde par interaction non-linéaire due au croisement des deux trains d’onde. Les vecteurs ⃗ki ne sont pas à l’échelle et indiquent juste la direction des vagues. Q62. On suppose les conditions de résonance satisfaites : −→ k1 + −→ k2 = −→ k3 ω1 + ω2 = ω3 Indiquer qualitativement sur un schéma la direction de l’onde 3. En utilisant les expressions de la quantité de mouvement des vagues et de leur énergie moyenne données aux questions 37 et 38, interpréter les conditions de résonance. Pourquoi est-il important que la dissipation visqueuse soit faible ? Comment s’in- terprètent les conditions de résonance dans le cas des ondes lumineuses, traitées dans la partie précédente ? 14 On a placé au point M un capteur mesurant la hauteur locale des vagues en fonction du temps η(t). Ce capteur fournit un signal électrique proportionnel au niveau de liquide, dont on peut faire ensuite le traitement sur ordinateur. On obtient le spectre de puissance de η en prenant le module carré de la transformée de Fourier de η. Il est représenté en fonction de la fréquence f sur la Fig. 9 pour des ondes 1 de fréquence f1 = 15 Hz et 2 de fréquence f2 = 18 Hz. On remarque que les ondes 1 et 2 ne sont pas exactement sinusoïdales et s’accompagnent de composantes à des fréquences harmoniques 2f1 et 2f2. Q63. Interpréter le spectre représenté Fig. 9. À quoi d’après vous correspond le pic « Bruit à 50 Hz » ? 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 10 −12 10 −10 10 −8 f (Hz) Spectre (m2.s) f 1 f 2 2 f1 2 f2 f 1+ f 2 2 f 1+ f 2 f 1+ 2 f 2 Bruit à 50 Hz Figure 9 – Spectre de hauteur de vagues, correspondant à l’interaction entre une onde 1 avec une onde 2 pour f1 = 15 Hz et f2 = 18 Hz en fonction de la fréquence. L’échelle des abscisses est linéaire, tandis que celle des ordonnées est logarithmique. Q64. On se place d’abord dans le régime des ondes purement capillaires, soit g = 0, valable pour k ≫ 1/Lc = ρ g γ . Quel est la gamme de fréquences correspondantes ? Application numérique : Trouver les valeur des nombres d’ondes correspondants k1, k2 et k3. Q65. On propose de faire une résolution graphique des conditions de résonance, pour f1 = 60 Hz, f2 = 70 Hz et f3 = 130 Hz. Sur un diagramme kx, ky, exprimer géométriquement la condition −→ k1+−→ k2 = −→ k3 (On attend le principe de construction, un dessin à l’échelle n’est pas nécessaire.) Montrer alors que le choix des pulsations ω1 et ω2 impose la valeur de l’angle α ? Q66. Exprimer le cosinus de l’angle α en fonction de k1, k2 et k3. Application numérique : Donner la valeur numérique de α. Q67. On se place maintenant dans le régime des ondes purement gravitaires, soit γ = 0, valable pour k ≪ 1/Lc = ρ g γ . On essaie de faire la même résolution graphique des conditions de résonance, pour f1 = 1 Hz, f2 = 2 Hz et f3 = 3 Hz. Application numérique : Trouver les valeur des nombres d’ondes correspondants k1, k2 et k3. Q68. Prouver à l’aide d’un diagramme kx, ky, qu’il est impossible de vérifier les conditions de résonance à 3 ondes pour ces fréquences. Q69. Dans le cas général d’ondes suivant une relation de dispersion de la la forme ω = c kβ (β > 0), montrer que la condition d’existence d’un angle α permettant de vérifier −→ k1 + −→ k2 = −→ k3, équivaut à k1 + k2 ≥ k3. En déduire une condition sur β pour observer des interactions résonantes à 3 ondes. Est-ce cohérent par rapport au cas des ondes purement capillaires et celui des ondes purement gravitaires ? ⋆ ⋆ ⋆ 15

Si vous décelez une erreur ou une imprécision dans ce corrigé, n’hésitez pas à m’en faire part à paulbou@orange.fr. E.N.S.  2017 Physique C  PC Ondes de surface 1 Oscillations d’un volume de fluide 1.1 Oscillations d’un liquide dans un tube en U sous l’effet de la gravité 1.1.1 Détermination de la pulsation propre du système Q1. La partie gauche du fluide va se mettre à descendre (son poids est supérieur à celui de la partie droite) ; en atteignant son niveau d’équilibre, il possédera une vitesse dirigée vers le bas et passera donc dans la zone η < 0. À ce moment, le poids excédentaire du fluide de droite va le freiner jusqu’à annuler sa vitesse, puis l’inverser. Le mouvement reprend alors en sens inverseăet se poursuit par des oscillations. Q2. Le fluide se déplace « en bloc » dans le tube et il n’existe pas de zone de compression ou de dilatation. La vitesse est donc de norme uniforme dans tout le fluide et, dans la partie gauche, v = ˙η(t)ez. Q3. La masse du fluide est m = ρSL se déplace en bloc avec une vitesse de norme ˙η ; son énergie cinétique est simplement Ec = 1 2ρSL ˙η2. Q4. On prendra l’énergie potentielle nulle lorsque η = 0 (position d’équilibre). On passe de la situation d’équilibre à une dénivellation de 2η en prélevant une hauteur η dans le tube de droite pour le transférer dans le tube de gauche. Dans cette opération, une masse ρSη de fluide a vu son centre de masse passer de z = −η/2 à z = +η/2, ce qui lui confère une énergie potentielle Eg = ρSgη2. le reste du fluide n’étant pas déplacé, cette énergie potentielle représente l’énergie potentielle du fluide dans son ensemble. Q5. L’énergie mécanique totale du fluide se conserve, donc d(Ec + Ep) dt = 0 = ρSL ˙η¨η + 2ρSgη ˙η d’où ¨η + 2g L η = 0. 11/05/2017 Paul BOURDET — 1 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC La solution de cette équation est η(t) = η0 cos 2g L t . Q6. La pulsation vérifie donc bien ω2 = 2g L , ce qui correspond à une période1 T = 2 s. Q7. L’expérience est tout à fait réalisable, mais les oscillations observées sont amorties du fait de la viscosité du fluide. 1.1.2 Approche historique des vagues de gravité par NEWTON Q8. La période d’un pendule simple de longueur ℓ est Tpend = 2π ℓ g · La période des oscillations dans un tube en U est TU = 2π ω = 2π L 2g · Ces deux périodes coïncident si L = 2ℓ donc si le pendule a une longueur entre le point de suspension et le centre d’oscillation . . . égale à la moitié de la longueur de la colonne d’eau qui est dans le tube en U. Q9. La demi-période des oscillations d’un tube en U de longueur λ/2 est T 2 = π 2 λ g · Au bout de cette durée, le point A se retrouve dans le creux de la vague et le point B sur un crête, ce que l’on visualise comme un déplacement de la vague d’une longueur λ/2. La vitesse de phase correspondante est alors v = λ/2 T/2 = 1 π gλ (1) et la vitesse des ondes est en raison sous doublée de leur largeur. Q10. Avec v = ω/k, (1) se réécrit ω k = 2g πk soit ω = 2gk π · (2) L’erreur sur la période de la houle est de 25% d’où le commentaire de Newton : le temps n’est déterminé qu’à peu près. 1.2 Oscillations d’une goutte 1.2.1 Introduction à la capillarité Q11. Lorsque seule la capillarité est en jeu, l’énergie d’une goutte de masse m est ET = γS. Lorsque sa forme varie, sa surface se modifie mais son volume reste constant égal à m/ρ. La forme d’équilibre est celle qui minimise la surface à volume constant : c’est donc une sphère (ou plutôt une boule). 1 Avec les 3 chiffres significatifs, presque imposés par l’énoncé, on aurait 2,01 2, mais est-ce bien utile ? 2 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC Q12. Le centre de masse de la goutte se trouvant à une hauteur h = R au-dessus du substrat, les énergies de surface et de gravité sont ET = 4πγR2 et Eg = 4π 3 ρgR4· Q13. Les phénomènes de capillarité l’emportent sur les effets de la gravité si ET ≫ Eg soit R ≪ Rc = 3γ ρg = √ 3 Lc. Numériquement, Rc = 4,7 mm. 1.2.2 Modes de vibration d’une goutte cylindrique Q14. L’aire de la face supérieure est r dr dθ = 2π 0 R(t,θ) 0 r dr dθ = 1 2 2π 0 R(t, θ)2dθ = 1 2 2π 0 R1(t)2 + 2an(t)R1(t) cos(nθ) + an(t)2 cos2(nθ) dθ = π R1(t)2 + an(t)2 2 · Le volume de la goutte, invariable, vérifie donc πR2 0h = π R1(t)2 + an(t)2 2 h soit R1(t) = R2 0 − an(t)2 2 · Au premier ordre non nul en an/R0, on aura R1(t) = R0 − an(t)2 4R0 · (3) Q15. L’élément de longueur en coordonnées cylindriques est dl = √ dr2 + rdθ2. Le long de la courbe r = R(θ, t), à t fixé, dr = (∂R/∂θ)dθ, d’où dl = R 1 + 1 R2 ∂R ∂θ 2 dθ. Q16. Ici ∂R ∂θ = −nan(t) sin(nθ) donc, au premier ordre, 1 R ∂R ∂θ ≈ −nan(t) R1 sin(nθ) ≈ −nan(t) R0 sin(nθ) ce qui permet d’écrire dl = Rdθ 1 + n2a2n R2 0 sin2(nθ) ≈ R 1 + n2a2 n 2R2 0 sin2(nθ) dθ = (R1 + an cos(nθ)) 1 + n2a2 n 2R2 0 sin2(nθ) dθ ≈ R1 + an cos(nθ) + n2R1a2 n 2R2 0 sin2(nθ) dθ ≈ R0 − an(t)2 4R0 + an cos(nθ) + n2a2 n 2R0 sin2(nθ) dθ 11/05/2017 Paul BOURDET — 3 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC et, en intégrant entre 0 et 2π, l = 2π R0 + (n2 − 1)a2 n 4R0 · L’accroissement de la surface latérale est δS = h(l − 2πR0) et l’énergie capillaire vaut (avec ET = 0 pour la goutte cylindrique) ET = (n2 − 1)γπha2 n 2R0 · Q17. Le fluide est incompressible, donc div v = 0, soit ∆φ = 0. (4) Q18. Avec φ(r, θ, t) = bn(r, t) cos(nθ), l’équation (4) devient, après simplification du cosinus, ∂2bn ∂r2 + 1 r ∂bn ∂r − n2 r2 bn = 0. On peut en chercher des solutions polynomiales, chacun des termes ayant la même puissance virtuelle. On pose donc bn(r, t) = cn(t)rm et on obtient m(m − 1) + m − n2 = 0 soit m = ±n. Mais la solution en r−n diverge au centre de la goutte et on aura donc bn(r, t) = cn(t)rn. Q19. La vitesse radiale sur la surface latérale de la goutte est vr(r = R(θ, t), θ, t) = ∂φ ∂r (r = R(θ, t), θ, t) = ncnrn−1 cos(nθ) R(θ,t) = ncn(t)R(θ, t)n−1 cos(nθ). (5) Cette vitesse doit être égale à la vitesse de variation de R(θ, t) soit vr(r = R(θ, t), θ, t) = ∂R ∂t (θ, t). (6) Mais ∂R ∂t = ˙R1(t) + ˙an(t) cos(nθ) ≈ ˙an(t) cos(nθ) puisque, d’après (3), ˙R1 = −an ˙an/2R0 est d’ordre 2 en an. En remplaçant R par R0 dans (5) pour ne garder que l’ordre principal, la condition (6) devient simplement ncn(t)Rn−1 0 cos(nθ) = ˙an(t) cos(nθ) soit cn(t) = ˙an(t) nRn−1 0 · On en tire φ(r, θ, t) = ˙an(t) nRn−1 0 rn cos(nθ). (7) Q20. On a Ec = V ρ 2v(r, θ, t)2dτ = V ρ 2 [grad φ(r, θ, t)]2 dτ 4 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC où V est le volume de la goutte en mouvement. Mais le potentiel φ étant déjà d’ordre 1 en an, l’intégrande est d’ordre 2 et il suffit d’intégrer sur le volume V0 de repos de la goutte, d’où Ec = V0 ρ 2 [grad φ(r, θ, t)]2 dτ. Q21. On peut écrire div(φ grad φ) = div(φ) grad(φ) + [grad φ]2 . Mais l’incompressibilité impose div(φ) = 0 et on a donc bien [grad φ]2 = div(φ grad φ). Q22. Par le théorème de Green-Ostrogradsky, Ec = ⊂⊃ S0 ρ 2φ grad φ · dS = S0 ρ 2φ(r = R0, θ, t) grad φ(r = R0, θ, t) · dS où S0 est la surface totale de la goutte au repos et S0 sa surface latérale cylindrique au repos. En effet, la vitesse en tout point est perpendiculaire à Oz alors que les vecteurs surface des faces inférieures et supérieures sont dirigés selon cet axe. Sur la surface cylindrique latérale, l’élément dS = dSer est radial donc grad φ · dS = (∂φ/∂r)dS et, avec (7), Ec = S0 ρ 2 ˙an(t) nRn−1 0 Rn 0 cos(nθ) ˙an(t) Rn−1 0 Rn−1 0 cos(nθ)dS = 2π 0 ρ 2 ˙an(t)2R0 n cos2(nθ)hR0dθ et Ec = πρhR2 0 2n ˙an(t)2. Q23. L’énergie totale ET + Ec de la goutte se conserve au cours du temps, ce qui impose à an de vérifier l’équation πρhR2 0 n ˙an¨an + (n2 − 1)γπh R0 an ˙an = 0 soit ¨an + n(n2 − 1)γ ρR3 0 an = 0. Les différents modes sont donc harmoniques avec des pulsations données par ω2 n = n(n2 − 1) γ ρR3 0 · Q24. On trouve2 ω3 = 120 s−1 et ω7 = 440 s−1, soit f3 = 19 Hz et f7 = 70 Hz. Q25. Pour une onde stationnaire, la longueur du milieu, ici 2πR0, doit être un multiple de la longueur d’onde, soit 2πR0 = nλn ou encore kn = n R0 · On peut donc écrire 1/R0 = kn/n et ω2 n = 1 − 1 n2 γ ρk3 n. Q26. Pour les grandes valeurs de n (λn ≪ R0), cette formule se simplifie en ω2 = γ ρk3 (8) et la relation de dispersion ne dépend plus du mode. 2 . . . avec 2 chiffres significatifs seulement . . . 11/05/2017 Paul BOURDET — 5 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC 2 Ondes de surface 2.1 Vagues en régime d’eau profonde 2.1.1 Cinématique Q27. L’équation de Laplace appliquée au potentiel proposé conduit à 0 = ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂z2 = b cos(ωt − kx + ψ) −k2f(z) + f ′′(z) soit f ′′(z) − k2f(z) = 0. La solution finie (la vitesse ne saurait diverger), définie sur R− et vérifiant f(0) = 1 est f(z) = ekz. (9) Q28. Soit P une particule fluide de la surface libre, située en M = (x, z = η(x, t)) à l’instant t ; elle se trouvera, à t + dt, en M ′ = (x + vxdt, z′ = η(x + vxdt, t + dt)). Sa vitesse selon Oz est alors vz = Dz Dt = Dη Dt = ∂η ∂t + vx ∂η ∂x, soit, en introduisant le potentiel des vitesses, ∂η ∂t − ∂φ ∂x z=η ∂η ∂x = − ∂φ ∂z z=η · (10) Q29. En ordre de grandeur, on a vx ∼ vz ∼ kφ. Le déplacement vertical est donc d’ordre vzdt, d’où η ∼ kφ/ω ∼ a. On en tire ∂η ∂t ∼ kφ ∼ aω et ∂η ∂x ∼ k2φ ω ∼ ka· À la surface, φ ∼ b ∼ aω/k et les termes linéaires de (10) sont d’ordre aω alors que le terme non linéaire est d’ordre (ka)(aω) ; le terme non-linéaire sera donc négligeable si a ≪ λ (ou encore |kη| ≪ 1). Ensuite φ(z = η) = φ(z = 0) + η ∂φ ∂z , où le premier terme est d’ordre b et le second d’ordre kab, donc négligeable par rapport au premier dans les mêmes conditions que ci-dessus. On peut donc linéariser (10) en ∂η ∂t = − ∂φ ∂z z=0 · (11) Q30. Puisque, avec (9), ∂φ ∂z = kφ, l’équation (11) devient −ωa sin(ωt − kx) = −kb cos(ωt − kx + ψ) d’où b = aω k et ψ = −π 2 · Le potentiel des vitesses s’écrit donc φ(x, z, t) = aω k ekz sin(ωt − kx). (12) Q31. La vitesse de la particule se trouvant en (x, z) l’instant t est v = −∂φ ∂xex − ∂φ ∂z ez = aωekz (cos(ωt − kx)ex − sin(ωt − kx)ez) . (13) 6 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC x x x x Fig. 1 : Mouvements circulaires et propagation ; la distance d entre deux points est telle que kd = π/4 et l’intervalle de temps entre chaque ligne est T/8. On peut considérer les termes kx et kz comme constants au cours du temps dans cette expression ; en effet, l’étendue des variations des coordonnées est de l’ordre de a (plus précisément de l’ordre de aekz et ces termes varient de ±ka, avec ka ≪ 1. La position (x, z) peut alors être considérée comme étant la position moyenne de la particule P étudiée dont la position s’obtient par intégration directe de (13). On obtient alors xP = x + aekz sin(ωt − kx) zP = z + aekz cos(ωt − kx). Les trajectoires sont des cercles de rayon aekz (décroissant avec la profondeur) parcourus en sens horaire. On peut graphiquement relier ces mouvements circulaires avec la propagation de la vague à l’aide du schéma ci-dessous. 2.1.2 Approche énergétique Q32. Avec (13), on a immédiatement ec = ρa2ω2 2 e2kz. Dès lors, ⟨Ec⟩ = η −∞ ρa2ω2 2 e2kzdz = ρa2ω2 4k e2kη. Puisque |kη| ≪ 1, on peut simplifier cette expression en prenant e2kη = 1 et ⟨Ec⟩ = ρa2ω2 4k · Q33. L’énergie potentielle volumique de pesanteur est eg = ρgz. On notera Eg0 l’énergie surfacique de repos du fluide (en l’absence d’onde) Eg0 = 1 λ λ 0 dx 0 −∞ eg(z)dz que l’on prendra comme énergie surfacique de référence3, de sorte Eg = 1 λ λ 0 dx η −∞ eg(z)dz − Eg0 = 1 λ λ 0 dx η 0 eg(z)dz = 1 λ λ 0 ρgη(x, t)2 2 dx. En posant u = kx, on se ramène à Eg = 1 2π 2π 0 ρga2 2 cos2(ωt − u)du = ρga2 2 cos2(ωt − u) 3 Cette indication manque dans le sujet. C’est d’autant plus gênant que, sans cela, l’intégrale de Eg définie sur le même modèle que Ec est infinie. 11/05/2017 Paul BOURDET — 7 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC et ⟨Eg⟩ = ρga2 4 · |dη| dx dy η Q34. La surface δS = dx dy se modifie au cours de l’élévation (algébrique) de la vague et passe à la valeur δS′ = dy dx2 + dη2 = δS 1 + ∂η ∂x 2 · La variation de la surface élémentaire du fluide sera dS = δS′ − δS = dx dy 1 + ∂η ∂x 2 (x, t) − 1 . Q35. Lorsque |kη| ≪ 1, on peut développer en dS = 1 2dxdy ∂η ∂x 2 = k2a2 2 dxdy sin2(ωt − kx) de sorte que l’énergie capillaire par unité de surface est Ecap = y0+1 y0 dy 1 λ x0+λ x0 γk2a2 2 sin2(ωt − kx)dx = γk2a2 2 sin2(ωt − kx) d’où ⟨Ecap⟩ = γk2a2 4 · Q36. L’égalité des énergies cinétique et potentielle moyennes impose alors ρa2ω2 4k = ρga2 4 + γk2a2 4 soit ω2 = gk + γ ρ k3. On retrouve les deux relations de dispersion déjà évoquées au Q10. et dans (8). Q37. On aura, avec (12), ⟨P ⟩ = 1 λ λ 0 dx η −∞ ρaωekz cos(ωt − kx)dzex = ρaω kλ λ 0 dxekη cos(ωt − kx)ex. Le premier ordre non nul pour le calcul de ⟨P ⟩ est obtenu en prenant ekη = 1 + kη au premier ordre en |kη| car le terme d’ordre 0 est nul du fait de la moyenne de cos(ωt − kx). On a alors ⟨P ⟩ = ρaω kλ λ 0 cos(ωt − kx)dxex + ρa2ω λ λ 0 cos2(ωt − kx)dxex = 0 + ρa2ω cos2(ωt − u) ex d’où ⟨P ⟩ = ρa2cφk 2 ex (14) où cφ = ω/k est la vitesse de phase de l’onde. 8 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC Q38. Je ne sais pas trop quoi dire sur la « nature » de la constante ρcφa2 2 sinon qu’elle une constante de proportionnalité . . . On peut toujours écrire une formule du genre ⟨Em⟩ cφ , ⟨P ⟩ = ρcφa2 2 ω cφ , k (15) mais ça ne dis toujours rien sur la « nature » du coefficient. Si on note S la surface de fluide étudiée, alors ρcφa2S 2 a la même dimension que ℏ, qui joue un rôle analogue en mécanique quantique. 2.2 Vagues en régime d’eau peu profonde 2.2.1 Effet d’une bathymétrie variable. Cas unidimensionnel Q39. En régime stationnaire, l’énergie du fluide contenue entre deux plans x1 et x2 est constante. Entre deux instants t et t + dt, l’énergie qui entre dans le volume étudié à travers une largeur L du plan x1 est δEe = E(x1)Lc(x1)dt et celle qui sort en x2 est δEs = E(x2)Lc(x2)dt ; ces deux quantités étant nécessairement égale on a, pour toute paire (x1, x2), E(x1)c(x1) = E(x2)c(x2) ou encore dEc dx = 0. Q40. En chaque point, une onde de fréquence f, invariable au cours de la propagation, est caractérisée par une longueur d’onde λ = c f = g(h0 − βx) f , c’est-à-dire que la longueur d’onde diminue à l’approche du rivage comme la racine carrée de la profondeur. Q41. La constance du produit Ec au cours de la propagation indique que a2√ h = cte, c’est-à-dire que a augmente à l’approche du rivage comme a ∝ h−1/4. Q42. Comme la profondeur décroît et que l’amplitude croît, l’hypothèse selon laquelle |η| ≪ h tombe en défaut et les phénomènes non-linéaires prennent de l’importance et conduisent au déferlement de la vague. zone de déferlement Fig. 2 : Vagues au voisinage des plages Si, loin de la plage, la hauteur de la houle est a0 lorsque la profondeur est h0, on aura ah1/4 = a0h1/4 0 . La zone critique ou l’on passe d’une houle (|η| ≪ h) en eau peu profonde à une vague déferlante se trouve au voisinage du lieu où a = h, soit hc = a4/5 0 h1/5 0 . L’énergie de la vague est dissipée dans les phénomènes non-linéaires, les turbulences et communiquée au rivage qui s’érode peu à peu. 11/05/2017 Paul BOURDET — 9 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC 2.2.2 Effet d’une bathymétrie variable. Cas général Q43. Le vecteur d’onde en x < 0 est k0 = k0 cos α0 ex + k0 sin α0 ey ; en x > 0, on l’écrit k1 = k1xex + k1yey. La continuité de la phase en x = 0 impose alors (ωt − k0 cos α0x − k0 sin α0y)x=0 = (ωt − k1xx − k1yy)x=0 soit k1y = k0 sin α0. Mais k0 = ω/c0 et k1 = ω/c1 et si on appelle α1 l’angle entre k1 et Ox, on obtient 1 c1 sin α1 = 1 c0 sin α0. C’est l’équivalent des relations de Descartes pour la réfraction des ondes lumineuses. En reformulant en fonction de la profondeur, sin α1 = h1 h0 sin α0. Q44. On a vu à la question précédente que la conservation de la phase impliquait la conservation de la composante ky, donc k sin α = K. Q45. Un déplacement élémentaire le long de yR(x), dℓ = dxex + dyRey est localement parallèle à k puisque ce vecteur définit la tangente à yR(x). On en tire immédiatement dyR dx = ky kx = k sin α k cos α que l’on peut réécrire dyR dx = K √ k2 − K2 · x 0 xb Fig. 3 : Fond parabolique Q46. On a maintenant K = k0 sin α0 = ω √gh0 sin α0 et k = ω/ gh(x), d’où dyR dx = sin α0 h0/h − sin2 α0 ou encore dyR dx = sin α0 xb xb − x 2 − sin2 α0 · Q47. Avec ξ = 1 − x/xb et η = yR/xb, il vient dyR/dx = −dη/dξ et dη dξ = − ξ sin α0 1 − (ξ sin α0)2 · Q48. On a donc d(sin α0η) = −ξ sin α0d(ξ sin α0) 1 − (ξ sin α0)2 = d 1 − (ξ sin α0)2 10 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC et, par intégration directe, avec yR(0) = y0, on trouve sin α0 yR − y0 xb = 1 − sin2 α0 1 − x xb 2 − cos α0 ou encore (xb − x)2 + (yR − y0 + xb cot α0)2 = x2 b sin2 α0 . C’est l’équation d’un cercle dont le centre se trouve sur la plage en (xb, y0 − xb cot α0 et dont le rayon est xb/ sin α0. x Fig. 4 : Trajectoire des vagues Q49. Pour xb = 1 000 m et α0 = 30°, le centre se trouve en y = −xb cot α0 = −1 730 m. Le rayon de la trajectoire vaut 2 000 m donc le point d’impact sur la plage se situe en y = 270 m. À ce moment les vagues se déplacent perpendiculairement au rivage. Q50. Sur la plage, les vagues sont parallèles au rivage. Q51. Ce phénomène est effectivement observé sur la photographie. zone de calme Fig. 5 : Trajectoire des vagues autour de l’île Q52. Réponse sous toute réserve ! On voit d’après ce qui précède que un train de vague arrivant en xb = Rb sous un angle de 90° (en bleu sur la Fig. 5) converge vers la plage en suivant un cercle de rayon Rb. Dans le cas de l’île conique, ce cercle reste toujours à la même distance de la plage et je postule donc la trajectoire en bleu. Du fait de la symétrie, 2 trains de vagues, se déplaçant en sens inverse, se rencontrent donc au point (x = Rb, y = 0), avec une vitesse tendant vers 0. Q53. Si la condition R ≪ λ n’est plus respectée, il faudra tenir compte de la diffraction. 11/05/2017 Paul BOURDET — 11 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC 3 Interactions non-linéaires entre ondes 3.1 Addition de fréquences en optique non-linéaire Q54. L’énoncé ne le précise pas, mais la propagation a lieu selon Ox, et E = E(x, t)ey. Les équations de Maxwell permettent d’écrire, d’une part rot rot E = −∆E, car div E = 0, et d’autre part rot rot E = −∂ rot B ∂t = −µ0 ∂ ∂t j + ε0 ∂E ∂t = −µ0ε0 n2 ∂2E ∂t2 + χ∂2E2 ∂t2 ey , d’où, en projection sur Oy et avec ∆E = ∂2E ∂x2 , ∂2E ∂x2 − n(ω)2 c2 ∂2E ∂t2 = χ c2 ∂2E2 ∂t2 · (16) Q55. Le second membre étant un terme correctif du fait de la présence de χ, on ne tiendra compte que de A1 et A2 dans le calcul de E2. Le carré E2 contient alors des termes constants (car E2 ̸= 0), des termes de pulsations 2ω1 et 2ω2, un terme de pulsation |ω1 − ω2| et enfin un terme de pulsation ω3 = ω1 + ω2 qui s’écrit, en notation complexe, E2 = 2A1A2ei(ω3t−(k1+k2)x) + · · · ; on ne conserve que celui-ci dans le problème étudié. Les trois autres termes qui demeurent dans la dérivée temporelle de E2 indiquent que le problème n’est pas fermé. Ensuite, on a ∂2Apei(ωpt−kpx) ∂x2 = ei(ωpt−kpx) d2Ap dx2 − 2ikp dAp dx − k2 pAp et si ℓ ≫ λ est la distance caractéristique de variation de Ap, les ordres de grandeurs seront d2Ap dx2 ∼ |Ap| λ2 ≪ kp dAp dx ∼ |Ap| λℓ ≪ k2 p|Ap| ∼ |Ap| λ2 ce qui fait que le premier terme est négligeable devant les deux autres. Finalement, l’équation (16), décomposée sur chaque composante spectrale, devient n(ωp)2ω2 p c2 − k2 p Ap − 2ikp dAp dx = 0 pour p = 1, 2 et n(ω3)2ω2 3 c2 − k2 3 A3 − 2ik3 dA3 dx = −2χω2 3 c2 A1A2ei(k3−k1−k2)x. Q56. On choisit, pour chaque pulsation, kp = n(ωp)ωp c · (17) Avec ce choix, A1 et A2 deviennent indépendant de x et, en notant ∆k = k1 + k2 − k3, dA3 dx = −iχω2 3 c2k3 A1A2e−i∆kx. ∆k est non nul du fait que n dépend de ω. 12 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC Q57. L’intégration directe entre x = 0 et L donne A3(L) = χω2 3 c2k3∆k A1A2 e−i∆k L − 1 . (18) Q58. Partant de E = p Ep et de l’équation de Maxwell rot E = −∂B/∂t, on peut écrire Bp = (kp × Ep)/ωp, en négligeant les dérivées dA3/dx devant les termes k3A3 dans rot E3 = ∂Ey ∂x ez = dA3 dx − ik3A3 ei(ω3t−k3x)ez, pour obtenir Bp = n(ωp) c Epez. Le vecteur de Poynting moyen est Π = 1 µ0 p,q ⟨Ep × Bq⟩ mais, dans la somme, tous les produits avec p ̸= q ont une moyenne nulle, de sorte que Π = 1 µ0 p ⟨Ep × Bp⟩ = 1 µ0 p n(ωp) c E2 p ex = p Ipex où Ip = n(ωp) µ0c E2 p soit Ip = n(ωp)ε0c 2 ApA∗ p. (19) En x = L, avec (18) A3A∗ 3 = χω2 3 c2k3∆k 2 A1A∗ 1A2A∗ 2 e−i∆k L − 1 e+i∆k L − 1 = χω2 3 c2k3∆k 2 A1A∗ 1A2A∗ 2 (2 − 2 cos(∆k L)) = 2χω2 3 c2k3∆k 2 A1A∗ 1A2A∗ 2 sin2(∆k L). En utilisant (17) et (19), on peut écrire I3 = n(ω3)ε0c 2 2 n(ω1)ε0c 2 n(ω2)ε0c 2χω3 cn(ω3)∆k 2 I1I2 sin2(∆k L) soit I3 = 8χ2ω2 3 n(ω1)n(ω2)n(ω3)ε0c3 I1I2 sin2(∆k L) ∆k2 = 8χ2ω2 3L2 n(ω1)n(ω2)n(ω3)ε0c3 I1I2 sinc2(∆k L). Q59. On a représenté ci-dessous la courbe I3(∆k), avec I3,max = 8χ2ω2 3L2 n(ω1)n(ω2)n(ω3)ε0c3 I1I2. On obtient une répartition de l’intensité lumineuse similaire à celle que l’on obtient lors de la diffraction d’une onde plane par une fente étroite. ∆k L/π I3/I3,max −3 −2 −1 0 1 2 3 0 1 Fig. 6 : I3(∆k) 11/05/2017 Paul BOURDET — 13 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC Q60. Sur la graphe de la Fig. 7, on a pris I′ 3,max = 8χ2ω2 3 n(ω1)n(ω2)n(ω3)ε0c3(∆k)2 I1I2. I3(L) est maximale à chaque fois que ∆k L = mπ (m ∈ N). L ∆k/π I3/I′ 3,max 0 1 2 3 0 1 Fig. 7 : I3(L) Q61. Les indices du milieu pour les deux radiations sont n1 = 1,5 + 2,96×10−3 et n2 = 1,5 + 7,81×10−3 et les nombres d’onde valent k1 = 2πn1 λ1 = 7,26 m−1 et k1 = 2πn2 λ2 = 11,3 m−1. Les pulsations correspondantes sont ω1 = 2πc λ1 = 1,45×1015 s−1 et ω2 = 2πc λ2 = 2,35×1015 s−1 d’où l’on tire ω3 = ω1 + ω2 = 3,80×1015 s−1, λ3 = 2πc ω3 = 495 nm, n3 = 1,5 + 2,04×10−2 et, finalement k3 = 2πn3 λ3 = 19,3×106 m−1 et ∆k = k1 + k2 − k3 = −1,83×105 m−1. On peut alors calculer I3,max I1I2 = 8χ2ω2 3L2 n(ω1)n(ω2)n(ω3)ε0c3 = 6,90×10−12 m2/W. On aura donc I3 ≪ √I1I2 si √I1I2 ≪ 145 GW/m2. Le fait que la génération d’harmonique soit due à un terme non-linéaire quadratique, impose de travailler avec des intensités initiales limitées pour pouvoir considérer les harmoniques générées comme des perturbations. 3.2 Interactions résonantes à trois ondes des vagues k1 k2 α k3 Q62. D’après (14), l’impulsion de l’onde p varie comme a2 pωpup (up est la direction de propagation) et d’après (15), son énergie varie en a2 pω2 p/kp. Je ne vois personnel- lement pas quoi en tirer. Si a1 = a2 = a et u1 = u2 = u, alors P1 + P2 ∝ a2ω3u tandis que P3 ∝ a2 3ω3u (la direction de propagation est conservée puisque k3 = k3u3 = (k1 + k2)u) ; or a3 ≪ a (perturbation) donc . . . ? Ou alors faut-il oublier ici le caractère « petit » de la troisième onde ? 14 — 11/05/2017 Paul BOURDET E.N.S. – 2017 – Physique C – PC On peut aller plus loin dans les hypothèses « bizarres » : si le coefficient ρcφa2/2 était le même pour les 3 ondes, alors les conditions de résonance se transforment en P1 + P2 = P3 et E1 + E2 = E3, c’est-à-dire que les ondes incidentes s’annihilent pour donner naissance à l’onde 3. Mais tout cela m’a l’air très tiré par les cheveux . . . Dans le cas de l’optique non-linéaire, les conditions de résonances signifie que ∆k = 0 et que l’on est au maximum du couplage (mais avec I1, I2 ≫ I3 ce qui se transpose ici à a1, a2 ≫ a3). Q63. La superposition quadratique des deux fréquences f1 et f2 génèrent des harmoniques dont les fréquences sont de la forme |pf1 + qf2| où (p, q) ∈ Z2. Si on excepte f2 − f1 = 3 Hz en dehors du diagramme, les premiers termes composites sont bien là, à savoir f1 + f2, 2f1, 2f2, 2f1 + f2, 2f2 + f1 de même que 2f2 − f1 = 21 Hz et 2f1 − f2 = 12 Hz, ou 3f1 = 45 Hz et 3f2 = 54 Hz, etc. Le bruit à 50 HZ provient de l’alimentation des instruments de mesure. Q64. Si kLc ≫ 1, alors f 2 = 1 4π2 γk3 ρ ≫ 1 4π2 ρg3 γ = g 4π2Lc soit f ≫ fc = 1 2π g Lc · f1 et f2 ne vérifient pas vraiment cette condition à ce stade de l’énoncé ! On prendra directement les valeurs de fréquences de la question suivante, soit f1 = 60 Hz et f2 = 70 Hz ! On a alors k = 3 4π2ρf 2 γ d’où k1 = 1 250 m−1 et k2 = 1 390 m−1. La condition de résonance nous permet de calculer f3 = 130 Hz et k3 = 2 100 m−1. Q65. On trace les cercles de rayons k1 et k3 et on positionne le vecteur k1. En prenant l’extrémité de k1 comme centre, on trace le cercle de rayon k2 ; les intersections de ce cercle avec le cercle de rayon k3 donnent deux solutions pour k2 et k3, symétriques par rapport à k1. L’angle α est donc déterminé de façon univoque. k1 k2 k3 k3 k2 α k3 k2 α Fig. 8 : Résolution graphique Q66. On a (k1 + k2)2 = k2 1 + k2 2 + 2k1k2 cos α = k2 3, d’où cos α = k2 3 − k2 1 − k2 2 2k1k2 · Ici α = 75°. Q67. Cette fois-ci il faut f ≪ fc, d’où le choix f1 = 1 Hz et f2 = 2 Hz. Dès lors f3 = 3 Hz et k1 = 4π2f 2 1 g = 4 m−1, k2 = 4π2f 2 2 g = 16,1 m−1 et k3 = 4π2f 2 3 g = 36,2 m−1. 11/05/2017 Paul BOURDET — 15 E.N.S. – 2017 – Physique C – PC k1 k2 k3 Fig. 9 : Absence de solution si k1 + k2 < k3 Q68. Il apparaît clairement sur la Fig. 9 que le pro- blème résonant n’a pas de solution ici. En effet, le cal- cul mené au Q66. montre que cette solution n’existe que si |k1 − k2| < k3 < k1 + k2 alors qu’ici, k1 + k2 < k3. Q69. Si k ∝ f 1/β, l’existence d’une solution n’est garantie que si k(f1) + k(f2) > k(f1 + f2), donc si f 1/β 1 + f 1/β 2 > (f1 + f2)1/β ou encore, en posant u = (f2/f1)1/β, ∀u > 0 (1 + u)β > 1 + uβ. On pose alors f(u) = 1 + uβ et g(u) = (1 + u)β avec f(0) = g(0) = 1 (β > 0). Pour u > 0 on a f ′(u) = βuβ−1 et g′(u) = β(1 + u)β−1 ce qui impose 0 < f ′(u) < g′(u) si β > 1 et 0 < g′(u) < f ′(u) si β < 1. La condition g(u) > f(u) avec g(0) = f(0) ne se réalise donc que si β > 1. C’est bien le cas des ondes capillaires (β = 3) et on a bien absence de solution pour les ondes de gravité (β = 1 2). 16 — 11/05/2017 Paul BOURDET